48. Sorozatok

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

SOROZATOK

D	Számsorozat	Olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza (képhalmaza a valós számok halmaza). Jelölése: {an}; ahol an a sorozat n-edik tagját jelöli.
M	A sorozat megadása	– Körülírással: a sorozatban szereplő számok tulajdonságával. – Képlettel (általános taggal): az n-edik tag megadása n függvényében. – Rekurzív módon: megadjuk, hogy hogyan lehet kiszámítani a sorozat n-edik tagját az előtte lévő egy vagy több tag ismeretében, valamint megadjuk a rekurzióhoz szükséges első néhány tagot. Például: a 2; 4; 6; 8; … sorozat megadható az előbbi három módon: körülírással: pozitív páros számok növekvő sorozata; képlettel: a_n = 2n (n ∈ N+); rekurzív módon: a_1 = 2 és a_n+1 = a_n + 2 (n ∈ N+).
D	Számtani sorozat	Az {an} számsorozat számtani sorozat, ha a második tagtól kezdve bármely tag és az előtte álló tag különbsége állandó, vagyis 1 < n esetén an - a_n-1 értéke állandó. Ez az állandó a sorozat differenciája (különbsége). Jele: d Például: 3; 9; 15; 21; … egy olyan számtani sorozat, ahol a_1 = 3, d = 6 12; 7; 2; -3; … egy olyan számtani sorozat, ahol a_1 = 12, d = -5
T	A számtani sorozat n-edik tagja	Ha {an} olyan számtani sorozat, amelynek első tagja a1, és a differenciája d, akkor minden n esetén a_n = a_1 + (n - 1) · d. Például: a_5 = a_1 + 4d
T	A számtani sorozat első n tagjának összege	Az {an} számtani sorozatban az első n tag összege (S_n = a_1 + a_2 + … + a_n): `S_n=(a_1+a_n)/2*n` , másként `S_n=(2*a_1+(n-1)*d)/2*n`
D	Mértani sorozat	Az {an} számsorozat mértani sorozat, ha a második tagtól kezdve bármely tag és az előtte álló tag hányadosa 0-tól különböző állandó, vagyis 1 < n esetén a_n/a_n-1 értéke állandó. Ez az állandó a sorozat kvóciense (hányadosa). Jele: q Például: 3; 6; 12; 24; … egy olyan mértani sorozat, ahol a1 = 3, q = 2 108; -36; 12; -4; … egy olyan mértani sorozat, ahol a1 = 108, q = -1/3
T	A mértani sorozat n-edik tagja	Ha {an} olyan mértani sorozat, amelynek első tagja a1, és a kvóciense q, akkor minden n ∈ N+ esetén `a_n = a_1*q^(n - 1)`. Például: a_16 = a_1*q15
T	A mértani sorozat első n tagjának összege	Az {an} mértani sorozatban az első n tag összege (Sn = a_1 + a_2 + … + a_n): ha q ≠ 1, akkor `S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1); ha q = 1, akkor S_n = n*a_1`.
	Kamatos kamat számítása	Ha egy A0 összeg p%-kal kamatozik évente, akkor az n-edik év végére az összeg: `A_n=A_0*(1+p/100)^n` A kamatozás üteme éves időszaktól eltérő is lehet (például: havi, napi stb.), ekkor figyelni kell arra, hogy a p kamattényező a megfelelő időszakra vonatkozzon. (Az időszakokat a kamattényezőben szereplő időszakhoz kell igazítani.)
	Gyűjtőjáradék	Gyűjtőjáradékról akkor beszélünk, ha úgy gyűjtjük a pénzt, hogy ugyanazon a számlán egyenlő időközönként azonos összeget helyezünk el a bankban, azaz egy alapösszeget egyenlő időközönként ugyanakkora összeggel növelünk.
	Állandó törlesztőrészlet	Állandó (fix) törlesztőrészletről akkor beszélünk, ha a banktól felvett hitelt úgy törlesztjük, hogy azonos időközönként ugyanakkora összeget fizetünk vissza.

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Egy mértani sorozat első tagja 6; második tagja 12.
a) Add meg a sorozat a_n általános tagját az n függvényében a legegyszerűbb alakban!
b) Mennyi a sorozat 10. tagja?
c) Mennyi az első 30 tag összege? Az eredményt normálalakban add meg!
d) Legalább hány tagot kell összeadni az első tagtól kezdve, hogy az összeg 107-nél nagyobb legyen?

Megoldás

a) A feladat szövege alapján a_1 = 6, és a_2 = 12.
Ebből q = 2.
Az általános tag a_n = 6 ∙ 2^(n - 1), ami átalakítás után `a_n = 6*2^n/2^1 = 3*2^n`.
b) A 10. tag számítható az általános tagból: a_10 = 3 ∙ 2^10 = 3072 (ami egyenértékű az a_n = a_1*q^(n - 1) képletből adódó a_10 = 6 ∙ 2^(10 - 1) = 3072 értékkel).
A 10. tag tehát 3072.
c) Mivel q ! 1, ezért használhatjuk az `S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)` összegképletet, amiből helyettesítés után kapjuk:
`S_10=6*(2^30-1)/(2-1)=6442450938 ≈ 6,44*10^9`
d) A `6*(2^n-1)/(2-1)>10^7` egyenlőtlenséget teljesítő pozitív egész számok közül keressük a legkisebbet.
Az egyenlőtlenség rendezése után `2^n > (10^7)/6+1`.
A logaritmus definícióját felhasználva: `2^n>2^(log_2((10^7)/6+1))`.
A 2 alapú exponenciális függvény szigorúan monoton növekedése miatt a hatványalapok elhagyása után a hatványkitevők közötti reláció az eredetivel megegyező marad: `n > log_2((10^7)/6+1)`, amiből 10-es alapú logaritmusra való áttéréssel adódik, hogy `n>(lg((10^7)/6+1))/(lg2)`.
Ebből számológéppel kapjuk, hogy n > 20,67.
Az egyenlőtlenséget teljesítő pozitív egész számok közül a legkisebb a 21, tehát legalább 21 tagot kell összeadni az első tagtól kezdve, hogy az összeg 107-nél nagyobb legyen.

---

2. Egy vállalkozásban használatban lévő nyomdagép értéke jelenleg 42 millió forint.
A gép rendszeres használata során az állaga folyamatosan romlik, így az értéke átlagosan mindig az előző évi 90%-ára esik vissza.
Az aktuális karbantartásra a cégtulajdonos átlagosan évi 300 000 forintot fordít, így a gép értéke ennyivel megnő évente.
Mennyi lesz a berendezés értéke 8 teljes év múlva?
Válaszod százezer forintra kerekítve add meg!
(Egyéb gazdasági befolyásoló tényezőket ne vegyél figyelembe a feladat megoldása során.)

Megoldás

Egy év múlva a gép értéke: 42 ∙ 10^6 ∙ 0,9 + 300 000
Két év múlva a gép értéke: (42 ∙ 10^6 ∙ 0,9 + 300 000) ∙ 0,9 + 300 000 = 42 ∙ 10^6 ∙ 0,92 + 300 000(0,9 + 1)
Hasonló gondolatmenettel felírható, hogy 8 év múlva a gép értéke:
42 ∙ 10^6 ∙ 0,98 + 300 000(0,97 + 0,96 + … + 0,9 + 1), ahol a zárójelben lévő kifejezésről látható, hogy egy mértani sorozat első 8 tagjának az összege, ahol a_1 = 1, és q = 0,9.
Előbbiek miatt `S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)` felhasználásával felírható: 42 ∙ 10^6 ∙ 0,98 + 300 000 ∙ 1 ∙ `(0,9^8-1)/(0,9-1)`,
Ebből számolással 19 788 221 adódik, tehát 8 év múlva a nyomdagép értéke közelítőleg 19 800 000 forint lesz.

---

3. Az egymástól 189 km-re lévő A és B városból egy-egy kerékpáros indul egymással szemben, a B város felé enyhén emelkedő, egyenes úton.
Az A városból éppen délben, a B városból délután 2-kor indul a kerékpáros.
Az A városból induló az első órában 21 km-t tesz meg, és – mivel egyre fáradtabb lesz – a további órák mindegyikében 1,4 km-rel kevesebbet, mint az azt megelőző órában.
A B városból induló, pihenés után lévő kerékpáros az első órában 18 km-t tesz meg, majd minden órában 2-vel többet, mint az azt megelőzőben.
(A kerékpárosok sebessége a teljes mozgás során pozitív.)
a) Hány km-t tettek meg az egyes kerékpárosok délután 4 és 5 óra között?
b) Mikor találkozott a két kerékpáros, és ekkor milyen távol voltak az A várostól?

Megoldás

A két kerékpáros által óránként megtett út egy-egy számtani sorozattal írható le.
Jelölje a_n az A városból induló, bn a B városból induló mozgását jellemző számtani sorozat tagjait, d_A és d_B pedig a sorozatok differenciáit km-ben.
Ekkor a_1 = 21, és d_A = -1,4, valamint b_1 = 21, és d_B = 2.
a) A délután 4-től 5-ig tartó szakasz az A városból indulónak a mozgás 5. órája, a B városból indulónak a mozgás 3. órája, így a megfelelő számtani sorozatok 5., valamint 3. tagja adja meg a választ.
Számoljunk a számtani sorozat n-edik tagjára felírható összefüggés felhasználásával:
a_5 = 21 + (5 - 1) ∙ (-1,4) = 15,4, valamint b_3 = 18 + (3 - 1) ∙ 2 = 22.
Tehát az A városból induló 15,4 km-t, a B városból induló 22 km-t tett meg ebben az órában.
b) A délben induló kerékpáros n, a délután 2-kor induló n - 2 órán keresztül haladt a találkozásig.
Az általuk megtett utak hossza: az A városból induló megtett útja n óra alatt: `S_(A,n) = (2*21+(n-1)*(-1,4))/2*n` ,
a B városból induló megtett útja n - 2 óra alatt: `S_(B,n-2) = (2*18+(n-2-1)*2)/2*(n-2)`.
A két kerékpáros összesen megtett útja éppen a két város távolságának összege:
`S_(A,n) = (2*21+(n-1)*(-1,4))/2*n + S_(B,n-2) = (2*18+(n-2-1)*2)/2*(n-2) = 189`
A műveletek elvégzése, összevonás és egyenletrendezés után: 0,3n² + 34,7n - 219 = 0 másodfokú egyenlet adódik,
amelynek gyökei n_1 = -365/3 , valamint n_2 = 6.
Az n_1 nem megoldása a feladatnak.
Tehát délután 6 órakor találkoznak, és ekkor `S_(A,6)=(2*21+(6-1)*(-1,4))/2*6 = 105` km-re vannak az A várostól.
Ellenőrzés: `S_(B,6-2)=(2*18+(6-2-1)*2)/2*(6-2)=84`

FELADATOK I. RÉSZ

B1. Iktass be a 2 és az 54 közé két számot úgy, hogy a megadottakkal együtt egy számtani sorozat négy egymást követő tagját kapd eredményül!

---

B2. Egy számtani sorozat harmadik, negyedik és ötödik tagjának összege 123.
A sorozat differenciája 5.
Mennyi a sorozat hatodik tagja?

---

B3. Egy számtani sorozat első tagja 7, differenciája - 5/6 .
Mennyi a sorozat 20. tagja és az első 20 tag összege?

---

B4. Egy mértani sorozat második tagja - 1/9 , hányadosa 3.
Mennyi az 5. tag?

---

B5. Hat sorozatot megadtunk az általános tagjával.
Írj az általános tagok alá S betűt, ha az számtani, M betűt, ha az mértani sorozatot határoz meg, és E betűt, ha az előbbiek egyike sem érvényes!
Minden helyre írj legalább egy betűt! (n ! N+)
an = 6n
bn = 6
cn = n⁶
dn = 6ⁿ
en = 6 +n
fn = n - 6

---

B6. Mennyi lehet annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek 3. tagja -7, 5. tagja -112?

---

B7. Határozd meg a kétjegyű páratlan számok összegét!
Megoldásod részletezd!

---

B8. Melyik az az 50. pozitív egész szám, ami 7-tel osztva 3 maradékot ad?

---

B9. Egy mértani sorozat első tagja 4, hányadosa 2.
Az első 100 tag közül hány olyan tagja van a sorozatnak, amelyik
a) 2-nek hatványa?
b) 4-nek hatványa?

---

B10. Egy sorozat első tagja -9, második tagja 4.
Minden további tag a közvetlenül előtte álló két tag összegével egyenlő.
Add meg a sorozat további öt tagját!

---

B11. Igaz-e, hogy a `sqrt(5) ; sqrt(20) ; sqrt(45)` lehetnek egy számtani sorozat egymást követő tagjai?
Megoldásod részletezd!

---

B12. Valaki a bankban 2 millió forintot helyez el kamatos kamatra, és a bank évi 8% kamatot ad.
Mennyi pénze lesz az illetőnek ezen a számlán 2 teljes év elteltével, ha más összeget nem tesz be és nem vesz ki időközben?

FELADATOK II. RÉSZ

Q1. Adott négy számsorozat (n ∈ N+):
a_n = 5 - 2n;
b_n = 3 ∙ 0,8ⁿ;
c_n = n(n + 1);
d_n = 7.
Töltsd ki a táblázatot a megadott sorozatokra vonatkozóan!
Az utolsó két sorba írt válaszaidat indokold!

	a_n	b_n	c_n	d_n
1. tag
2. tag
3. tag
4. tag
Számtani sorozat? (igen/nem)
Mértani sorozat? (igen/nem)

---

Q2. Egy cirkuszban a nézők összesen 12 sorban ülhetnek.
Minden sorban az azt megelőző sorhoz képest 10 hellyel van több.
Az utolsó sorban 210 az ülőhelyek száma.
a) Hány ember fér el a nézőtéren?
Az egyensúlyozóművész egy üvegpoharat helyez el egy tálcán, arra tesz egy újabb tálcát, amin aztán két újabb poharat helyez el, majd arra egy újabb tálcát, amire már három poharat tesz.
Így folytatva minden egyes újabb tálcára eggyel több poharat helyez, mint az előtte lévőn volt.
b) Hány tálcát kell egymás fölé halmoznia, ha összesen 66 poharat akar elhelyezni?
A cirkusz vezetése úgy dönt, hogy egy adott napon mindenkinek egységesen 1500 forintos kedvezményes áron kínálja a belépőt.
Egy telt házas előadást követően a bevétel 25 százalékát kifizetik a költségekre, és a maradékot bankban helyezik el.
A bank havi 1%-os kamatos kamatozású betétet biztosít.
c) Mennyi pénz lesz egy teljes év elteltével ezen a bankszámlán, ha (az egyetlen telt házas előadásból adódó nettó bevételen kívül) más összeget erre a számlára nem helyeznek el?

---

Q3. Egy mértani sorozat harmadik tagja -2, hatodik tagja 250.
a) Határozd meg a sorozat tizedik tagját!
b) Számítsd ki a sorozat első tíz tagjának összegét!
c) Tekintsük a sorozat első 20 tagját.
E tagok közül a páros indexű tagok összegét jelölje A, a páratlan indexű tagok összegét B.
Határozd meg az A/B hányados értékét!
Válaszod tovább már nem egyszerűsíthető valódi tört alakjában add meg!

---

Q4. a) Mennyi pénzt helyezett el eredetileg egy befektető a bankban kamatos kamatra, ha 10 év letelte után 7%-os éves kamat mellett 32 millió forint volt ezen a számláján, és a 10 év során nem nyúlt ehhez a számlához?
b) A 6%-os éves kamatra elhelyezett kamatos kamatozású bankbetét értéke hány év alatt másfélszereződik meg, ha közben semmilyen tranzakciót nem hajtunk végre a számlán?
c) Hány százalékos éves kamatozást ígérő bankban duplázódhat meg a pénzünk 20 év alatt, ha kamatos kamatra kötjük le?
d) Egy befektető 6 éven keresztül minden év elején 1 200 000 Ft-ot helyez el a gyűjtőszámláján, évi 8%-os kamatos kamatra.
Mennyi pénz lesz ezen a számlán a 6. év végére?

---

Q5. Egy számtani sorozat első tagja 7, differenciája -9.
a) Tagja-e a sorozatnak a -472?
b) Legalább hány tagot adtunk össze, ha az összeg kisebb, mint -4300?
c) Határozd meg az első 30 tag abszolút értékének az összegét!

FELADATOK II. RÉSZ

R1. A magyarországi autók rendszáma 2022-ig 3 betűből és 3 számjegyből állt.
Hány olyan rendszám létezett 2022-ig, amelynek
a) három betűje SAM, és a 3 szám sorrendben egy növekvő számtani sorozat egymást követő 3 tagja;
b) három betűje MER, és a 3 szám sorrendben egy növekvő mértani sorozat egymást követő 3 tagja?

---

R2. Néhány szakasz hossza (cm-ben mérve) olyan számtani sorozat egymás után következő tagjai, amelynek differenciája 3, és ezek közül a legrövidebb szakasz hossza 2,3 cm.
A szakaszok hosszának összege 158 cm.
a) Hány szakaszról van szó? Milyen hosszú ezek közül a leghosszabb?
Egy számtani sorozat első és második tagjának összege 48.
A második, harmadik és negyedik tagjának összege 54.
b) Hányszorosa az első 10 tag összege a második 10 tag összegének?

---

R3. Adott a valós számok halmazán értelmezett f (x) = 2^{x - 4}, valamint g(x) = 2^{x - 4} függvény.
a) Ábrázold a megadott függvények grafikonját derékszögű koordináta-rendszerben!
b) Add meg a függvények értékkészletét és zérushelyét! Jellemezd a függvényeket monotonitás szempontjából!
Tekintsük a pozitív egész számok halmazára leszűkített f és g függvényt.
Vizsgáld az így kapott a_n = 2^{n - 4}, valamint b_n = 2^{n - 4} (n ! N+) sorozatokat!
c) Mértani sorozat-e az {an}, valamint a {bn} sorozat? Indokold a válaszod!
d) Amennyiben {an} vagy {bn} mértani sorozat, akkor add meg a sorozat első 10 tagjának összegét, valamint első 10 tagjának szorzatát!

---

R4. Szerencsés Flórián nyert a lottón 5 millió forintot, de annyira szerencsés, hogy az 5 év múlva esedékes nyugdíjazásáig megél a jelenlegi keresetéből.
Azon töri a fejét, hogy mi legyen a nyeremény sorsa.
a) Otthon tartja 5 éven keresztül a pénzt.
Mennyi lesz a pénzének a vásárlóértéke 5 év múlva, ha az éves átlagos infl áció 6% (ami azt jelenti, hogy a pénz vásárlóereje minden évben az előző évhez képest a 100/106-od részére csökken)?
b) Bankba teszi a teljes összeget évi 8% kamatos kamatozású betétre.
Mennyi pénzhez juthat így 5 év múlva? Ennek az összegnek mennyi lesz a vásárlóértéke az a) részben leírt feltételekkel?
c) A nyeremény mellé felvesz 1 500 000 Ft hitelt, és ebből az összegből napelemet csináltat a háza tetejére.
A hitelt 4 év alatt, 4 egyenlő részletben törleszti.
Mekkora a törlesztőrészlet, ha a hitel kamata évi 9%?

---

R5. (Középszintű érettségi feladat 2020 nyomán)
Egy kutató (a 2000 óta mért adatok alapján tett) egyik feltételezése szerint a 2018 utáni néhány évtizedben a globális éves középhőmérséklet alakulását a következő függvénnyel lehet előre jelezni: g(t) = 15,92 ∙ 1,002^t.
Ebben a képletben t jelöli a 2018 óta eltelt évek számát, g(t) pedig az adott év becsült középhőmérsékletét Celsius-fokban (0 ≤ t).
Ezt a modellt alkalmazva
a) számítsd ki, hogy mennyi volt az éves középhőmérséklet 2018-ban;
b) számítsd ki, hogy mennyi lesz az éves középhőmérséklet 2024-ben;
c) számítsd ki, hogy melyik évben lesz az éves középhőmérséklet 16,7 °C!
Adott a [-2; 2] intervallumon értelmezett f(x) = 2^x - 2 függvény.
d) Vázold a függvény grafikonját, majd határozd meg a függvény zérushelyét és értékkészletét!