2024. november 1., péntek

49. Geometria 3. (Koordináta-geo)

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

VEKTOROK, KOORDINÁTAGEOMETRIA

D Irányított szakasz Irányított szakaszt kapunk, ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük, egyik a kezdőpont, másik a végpont.
D Vektor Azonos irányú, azonos hosszúságú irányított szakaszok ugyanazt a vektort határozzák meg.
D Vektor abszolút értéke A vektor kezdőpontjának és végpontjának a távolságát a vektor abszolút értékének (a vektor hosszának) nevezzük.
D Vektorok egyenlősége Két vektor egyenlő, ha azok iránya megegyezik, és az abszolút értékük egyenlő.
D Nullvektor A nullvektor az a vektor, amelynek kezdő- és végpontja egybeesik, iránya tetszőleges.
A nullvektor abszolút értéke 0.
D Vektorok összege Ha egy vektor ugyanazt az eltolást hozza létre, mint az a vektorral és b vektorral való eltolás egymásutánja, akkor ezt a vektort az a és a b vektor összegének nevezzük.
D Vektorok különbsége A c = a - b vektor az a és b különbségvektora, ha az a vektor a b és c vektor összege.
D Vektor számszorosa Az a vektor m valós számmal vett szorzata a m ∙ a vektor, amely az a vektorral párhuzamos, hossza az a hosszának ;m;-szerese, iránya az a irányával megegyezik, ha 0 1 m; az a irányával ellentétes, ha m 1 0; tetszőleges, ha m = 0 (ekkor a m ∙ a = 0 ∙ a = 0, vagyis a nullvektor).
D Ellentett vektor Két vektor egymás ellentettje, ha hosszuk egyenlő, irányuk ellentétes.
Az a vektor ellentettje a (-1) ∙ a vektor, rövidebben -a vektor.
T Vektor koordinátái A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben bázisvektoroknak nevezzük az origóból az (1; 0) pontba mutató i és a (0; 1) pontba mutató j egységvektorokat.
A sík bármely a vektora egyértelműen felírható az i és j bázisvektorok segítségével a = a1i + a2j alakban.
Ekkor az a koordinátái: a(a1; a2)
T Műveletek vektorokkal a(a1; a2) és b(b1; b2) vektorok, c valós szám: a + b (a1 + b1; a2 + b2) a - b (a1 - b1; a2 - b2) c ∙ a(c ∙ a1; c ∙ a2)
T Vektor hossza A derékszögű koordináta-rendszerben az a(a1; a2) vektor hossza: ;a;= a
D Pont koordinátái Egy pont koordinátái megegyeznek az origóból a pontba mutató vektor (helyvektor) koordinátáival.
T AB vektor koordinátái Az A(a1; a2) és B(b1; b2) pontok esetén AB (b1 - a1; b2 - a2).
T Két pont távolsága Az A(a1; a2) és B(b1; b2) pontok távolsága egyenlő az AB vektor hosszával: AB AB b a b a 1 1 2 2 2 = = ^ - h +^ - h2
T Felezőpont Az A(a1; a2), B(b1; b2) végpontú szakasz felezőpontja: F a b ; a b
D Alakzat egyenlete Egy alakzat egyenlete a síkban olyan x és y változókat tartalmazó egyenlőség (vagy egyenlőtlenség), melyet azoknak és csak azoknak a P(x; y) pontoknak a koordinátái tesznek igazzá, amelyek illeszkednek az alakzatra.
T Egyenes egyenlete Minden, az y tengellyel nem párhuzamos egyenes egyenlete felírható y = mx + b alakban, ahol m az egyenes meredeksége (iránytangense), és az egyenes az y tengelyt a (0; b) pontban metszi (m ! R, b ! R).
Az y tengellyel párhuzamos egyenesek egyenlete x = c alakú (c ! R).
T Merőlegesség, párhuzamosság Két egyenes párhuzamos, ha meredekségük egyenlő, vagy ha párhuzamosak az y tengellyel.
Két egyenes merőleges egymásra, ha meredekségeik szorzata -1, vagy ha az egyik párhuzamos az x tengellyel, a másik párhuzamos az y tengellyel.
T A kör egyenlete Ha a kör középpontja C(u; v), és sugara r, akkor a kör egyenlete: (x - u)2 + (y - v)2 = r2
M Egyenesek metszéspontja Az egyenesek egyenletéből álló kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásai adják a közös pont koordinátáit. (Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor az egyeneseknek nincs közös pontja.)

KIDOLGOZOTT FELADAT

6. Adottak az ABC háromszög csúcsai: A(-5; 3), B(-1; 0) és C(4; 12).
a) Határozd meg a háromszög oldalainak hosszát!
b) Számítsd ki a B csúcsnál lévő belső szög nagyságát!
c) Írd fel az A csúcsból induló súlyvonal egyenesének egyenletét!
7. Az e egyenes meredeksége -3, és az y tengelyt a (0; 6) pontban metszi.
a) Írd fel az egyenes egyenletét!
b) Írd fel annak az f egyenesnek az egyenletét, amely merőleges e-re, és az x tengelyt a (-5; 0) pontban metszi!
c) Határozd meg az e egyenes és az y = 2x - 9 egyenletű g egyenes metszéspontjának koordinátáit!
d) Az e egyenes a koordinátatengelyekkel együtt egy derékszögű háromszöget hoz létre.
Mekkora ennek a háromszögnek a területe?
e) Írd fel a d) részben leírt derékszögű háromszög Th alész-körének egyenletét!
Számolással igazold, hogy az origó illeszkedik erre a körre!

FELADATOK I. RÉSZ

C1. Határozd meg az A(-3; 8) és B(7; -2) végpontú szakasz felezőpontjának koordinátáit!
C2. Adottak az a(-3; 8) és b(7; -2) vektorok. Számítsd ki a 2a, az a + b, valamint a b - a vektorok koordinátáit!
C3. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C(-5; 4) pont, és a körvonal egyik pontja az origó!
C4. Milyen hosszú a PQ szakasz, ha P(-6; 9) és Q(-1; -3)?
C5. Hol metszi az y = 4x - 3 egyenletű egyenes az x tengelyt?
C6. Adott az e: y = 5x - 7 és az f: y = k · x + 3 egyenletű egyenes.
Milyen k valós szám esetén merőleges egymásra a két egyenes?
C7. Válaszd ki, és jelöld aláhúzással a dőlten szedett szavak közül azt, amely igazzá teszi az állítást!
a) Az AB vektorban a B pont a vektornak a kezdőpontja / végpontja.
b) Ha egy körnek és egy egyenesnek egy közös pontja van, akkor az egyenes a kört elkerüli / érinti / metszi.
c) Ha két vektor egymással párhuzamos, akkor egymásnak biztosan az ellentettjei / a számszorosai
d) Az x2 + (y - 5)2 = 100 egyenletű kör középpontja illeszkedik a koordináta-rendszer x tengelyére / y tengelyére / origójára.
C8. Az ]x - 2g2 +]y + 5g2 = 9 egyenletű körvonalra illeszkedik-e a P(0; -3) pont?
Válaszod indokold!
C9. Az ABCD négyzet AB oldalvektorát jelölje b, és AD oldalvektorát jelölje d.
Legyen H a BC oldal B-hez közelebb lévő harmadolópontja. Állítsd elő az AH vektort a b és d vektorok segítségével!
C10. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!
A: Két vektor összege lehet rövidebb az eredeti két vektor mindegyikénél.
B: Ha két egyenes meredeksége egyenlő, akkor az egyenesek párhuzamosak egymással.
C: Ha egy pont egyenlő távolságra van a két koordinátatengelytől, akkor a pont két koordinátája egyenlő.
D: Egy vektor -3-szorosának hossza az eredeti vektor hosszának 3-szorosa.
C11. Írd fel az m 3 =- 2 meredekségű, P(4; -2)ponton átmenő egyenes egyenletét!
C12. A rajzon lévő vektorok mindegyike rácspontból indul, és rácspontban végződik.
Írd a pontok helyére egy-egy vektor betűjelét úgy, hogy helyesek legyenek az egyenlőségek!
a) a + b = ….
b) e - a = ….
c) b = -2 · ….
d) a = 0,5 · ….

FELADATOK II. RÉSZ

Q1. A koordinátasík három helyvektora a(5; 4), b(-1; 2) és c(-6; -3).
a) Rajta van-e az a végpontja az e: y  7 x  8 egyenletű egyenesen?
b) Illeszkedik-e a b végpontja a k: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 36 egyenletű körvonalra?
c) Melyik vektor hosszabb: az a + b vagy a c - a?
Q2. Tekintsük a koordináta-rendszer A(-17; 9), B(12; 11) és C(7; -1) pontjait.
a) Számítással igazold, hogy a háromszög C csúcsánál lévő szög derékszög!
b) Írd fel az AC oldal felezőmerőlegesének egyenletét!
c) Mekkora a háromszög és a háromszög köré írható kör területének aránya?
Q3. Adott az e: y   2 x 3 11 3 egyenletű egyenes és a k: (x - 6)2 + (y + 9)2 = 169 egyenletű kör.
a) Add meg a kör középpontjának koordinátáit!
b) Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a kör középpontjára, és merőleges az e egyenesre! c) Hol metszi a kör az x tengelyt?
d) Határozd meg annak a háromszögnek a szögeit, amelyet a kör középpontja, valamint a kör x tengellyel alkotott metszéspontjai hoznak létre!
Q4. A sík két egyenese: e: y = 2x + 11 és f: y = -0,5x + 3,5.
a) Számítással igazold, hogy a két egyenes merőleges egymásra!
b) Határozd meg a két egyenes metszéspontjának koordinátáit!
c) Tekintsd azokat a négyzeteket, amelyeknek két oldalegyenese az e és f egyenesek, és közös csúcsuk a két egyenes metszéspontja!
Hány ilyen 6 egység oldalhosszúságú négyzet van?
Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelyre illeszkednek ezen négyzetek középpontjai!
Q5. Egy túrázó csapat az indulási és érkezési helyük pozícióját a térképhez rögzített koordináta-rendszerben ábrázolta.
A koordináta-rendszer egységei a valóságban 1 km-nek felelnek meg.
Az indulási helyük a P(3; 2) pontban, az érkezési helyük a Q(11; 17) pontban volt, és a közbeeső utat egyenes vonal mentén tették meg.
a) Hány kilométert haladtak, míg a P pontból a Q pontba jutottak?
Másnap, a továbbhaladás előtt tanácskozni kezdtek:
Aladár azt javasolta, hogy menjenek tovább ugyanebben az irányban, és tegyenek meg ugyanakkora távolságot, mint eddig.
Béla azt mondta, hogy induljanak el az eddigi útirányra merőlegesen, a folyó irányába fordulva (a folyó a koordinátarendszer x tengelye mentén folyik), és menjenek el egészen a folyó partjáig.
Cecil azt szerette volna, ha a folyó egy olyan pontjához jutnak el, ahonnan az eddig megtett PQ útjuk derékszög alatt látszik.
b) Van-e vajon mindhármuk ötletének megfelelő érkezési pont a térképen?
Ha van ilyen pont, akkor határozd meg az egyes úti céloknak megfelelő pontok koordinátáit!
Melyik esetben hány kilométert fognak megtenni a túra következő szakaszában?

FELADATOK I. RÉSZ

D1. Egy derékszögű háromszög átfogója 25 cm, a hozzá tartozó magassága 6,72 cm hosszú.
Mekkora a háromszög területe?
D2. Egy 18 cm sugarú körben megrajzoltunk egy 18 cm hosszú húrt.
Mekkora a húr végpontjai által meghatározott körívekhez tartozó középponti szögek nagysága?
D3. Egy kocka mindegyik sarkáról levágunk egy olyan gúlát, amelynek az oldallapjai derékszögű háromszögek, és alapélei kisebbek, mint a kocka élének fele (lásd az ábrát).
Hány lapja, hány csúcsa és hány éle van a keletkezett testnek?
D4. Számítsd ki a y = -2x - 4 és a y = 3x + 1 egyenletű egyenes metszéspontjának koordinátáit!
D5. Az 1 : 30 000 arányú térképen egy tó 2 cm2 területű kék foltként van ábrázolva.
Hány négyzetméter a valóságban a tó víztükrének a területe?
D6. Adott az A(-3; 5) és a B(4; 2) pont.
a) Számítsd ki az AB szakasz hosszát!
b) Add meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit!
D7. Döntsd el, hogy az alábbi összefüggések közül – amelyek a mellékelt ábrára vonatkoznak – melyik igaz, melyik hamis!
a) a2 + c2 = b2 + d2
b) m2 = c2 - b2
c) c2 + d2 = a2 + 2ab + b2
D8. Hányszorosára, illetve hány %-kal változik az egyenes hasáb térfogata, ha
a) a magasságát felére csökkentjük, de az alaplapját változatlanul hagyjuk;
b) az alaplapját 0,5-szeresére kicsinyítjük, de a magasságát változatlanul hagyjuk;
c) a hasábot 1,2-szeresére nagyítjuk?
D9. Egy szabályos sokszög egyik külső szöge 15°-os. Hány oldalú ez a sokszög?
Add meg a következő egyenesek meredekségét!
a) y = -4x + 1,6
b) 9x - 9y = 9
D11. Egy deltoidról tudjuk, hogy van két derékszöge.
Melyik kijelentés igaz az alábbiak közül?
A: Ez a deltoid biztosan egy négyzet.
B: Ennek a deltoidnak pontosan három derékszöge van.
C: Ebben a deltoidban a külső szögek összege 360°.
D: Ennek a deltoidnak van körülírt köre.
E: Ebben a deltoidban a belső szögek összege 360°.
D12. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja K(-12; 5), sugara pedig r = 13.

FELADATOK II. RÉSZ

R1. Egy háromszög egyik oldala 8,5 cm hosszú, a rajta fekvő két szög 50°-os, illetve 66°-os.
a) Mekkora szögben látszanak a háromszög oldalai a beírt kör középpontjából?
b) Mekkora a háromszög másik két oldala?
c) Mekkora a háromszög területe?
R2. 80 cm hosszúságúra darabolt, 10 cm átmérőjű fahengerekből olyan cölöpöket esztergálnak, amelyeknek a hengeres része ugyancsak 10 cm átmérőjű (lásd az ábrát).
Egy cölöp hossza 77 cm, a csonka kúp alakú rész 5 cm magas, a henger alakú rész 60 cm hosszú.
A cölöp csonka kúp alakú végén lévő kör 5 cm átmérőjű.
A cölöpök külső felületét vízálló lakkal vonják be.
Hány m2 felületet kell belakkozni, ha 15 000 darab cölöpöt gyártanak?
Válaszodat tíz négyzetméterre kerekítve add meg!
R3. Adott a síkban egy kör és rajta kívül egy P pont.
A P pont 34 cm távolságra van a kör középpontjától.
P-ből a körhöz érintőket húzunk, ahol az érintőszakaszok hossza 30 cm.
a) Mekkora a kör sugara?
b) Mekkora szöget zár be egymással a két érintő?
c) Mekkora annak a síkrésznek a területe, amelyet a két érintőszakasz és az érintési pontokat összekötő rövidebb körív határol?
R4. Egy húrtrapéz átlói merőlegesek a trapéz egy-egy szárára.
A trapéz hosszabbik alapja 24 cm-es, egyik szöge 60°-os.
a) Mekkora a trapéz köré írt kör sugara?
b) Számítsd ki a trapéz kerületét!
c) Számítsd ki a trapéz területét!
R5. Az ABC háromszög két csúcsa A(-3; 5) és C(5; 1), az AB oldal felezőmerőlegesének egyenlete y  1 x  3 1.
a) Írd fel az AB egyenes egyenletét!
b) Melyik pont az AB szakasz felezőpontja?
c) Határozd meg a B pont koordinátáit!
d) Írd fel a C-ből induló magasságvonal egyenletét!

FELADATOK II. RÉSZ

S1. Az ABCD négyzet két szemközti csúcsa: A(-3; -2) és C(3; 2).
a) Mekkora a négyzet oldala, kerülete, területe?
b) Írd fel az AC egyenes egyenletét!
c) Írd fel a négyzet beírható körének egyenletét!
d) Írd fel a négyzet köré írható körének egyenletét!
S2. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza 13 cm, átlóinak hossza 10 cm, illetve 24 cm.
a) Igazold, hogy a paralelogramma átlói merőlegesek egymásra!
b) Igazold, hogy ez a paralelogramma rombusz!
c) Igazold, hogy az oldalhosszak négyzetének összege egyenlő az átlóhosszak négyzetének összegével!
d) Mekkorák ennek a rombusznak a szögei?
e) Számítsd ki ennek a rombusznak a magasságát!
S3. Egy háromszög két oldalának hossza 16 cm, illetve 7 cm. A 16 cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal hossza 9 cm.
a) Mekkora a súlyvonal és a 16 cm-es oldal által bezárt szög?
b) Mekkora a háromszög harmadik oldala?
c) Mekkora területű részekre osztja a háromszöget a súlyvonal?
S4. Egy 10 cm belső átmérőjű, 15 dm magasságú forgáshenger alakú tartály tele van folyékony viasszal.
A viaszból annyi 5 cm sugarú gömböt öntünk ki, ahányat csak lehet.
(A fagyás során bekövetkező térfogatváltozástól eltekintünk.)
a) Hány gömböt tudunk így készíteni?
b) A henger térfogatának hányad része marad meg a gömbök elkészítését követően?
c) Hogy aránylik egymáshoz a henger alakú tartály felszíne és a gömbök felszínének az összege?
S5. Az ABC háromszög szabályos, oldalhossza 12 cm, az AB oldalának felezőpontja F.
a) Mekkora távolságra van az F pont a BC oldaltól?
b) Az A, B, C pontok körül 6-6 cm sugarú kört rajzolunk.
A háromszög területének mekkora része nem tartozik hozzá egyik körhöz sem?
c) Az A, B, C pontok körül egy-egy 12 cm sugarú kört rajzolunk.
Mekkora annak a síkidomnak a területe, amelynek pontjai mindhárom körhöz hozzátartoznak?
dátum: