2024. november 1., péntek

49. Geometria 2. (Síkgeo és térgeo)

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK, SÍKBELI ÉS TÉRBELI ALAKZATOK

D Geometriai transzformáció Kölcsönösen egyértelmű leképezés, amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete is ugyanaz a ponthalmaz.
D Egybevágósági transzformáció Olyan geometriai transzformáció, amely távolságtartó, azaz bármely két pont távolsága egyenlő a képeik távolságával.
A sík egybevágósági transzformációi: tengelyes tükrözés, pontra vonatkozó tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás, illetve ezek egymás utáni elvégzése.
D Tengelyesen szimmetrikus alakzat Ha egy síkidomhoz van olyan egyenes, amelyre tükrözve önmagába megy át, akkor a síkidom tengelyesen szimmetrikus.
Tengelyesen szimmetrikus síkidomok Tengelyesen szimmetrikus síkidomok például: egyenlő szárú háromszög, szabályos háromszög, négyzet, téglalap, rombusz, deltoid, húrtrapéz, kör.
D Középpontos szimmetria Ha egy síkidomhoz van olyan pont, amelyre tükrözve önmagába megy át, akkor a síkidom középpontosan szimmetrikus.
Középpontosan szimmetrikus síkidomok Középpontosan szimmetrikus síkidomok például: négyzet, téglalap, rombusz, paralelogramma, kör.
Forgásszimmetria Ha van olyan 0°-nál nagyobb és 360°-nál kisebb szögű elforgatás, amely egy síkidomot önmagába visz át, akkor a síkidom forgásszimmetrikus.
Ilyenkor a legkisebb alkalmas a szögre hivatkozunk, és azt mondjuk, hogy az alakzat a szögű forgásszimmetriával rendelkezik.
Forgásszimmetrikus síkidomok Forgásszimmetrikus síkidomok: szabályos háromszög, négyzet, téglalap, szabályos sokszög, kör.
D Egybevágóság Két alakzatot egybevágónak nevezünk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi.
T Háromszögek egybevágóságának alapesetei Két háromszög egybevágó, ha a két háromszög
– egy-egy oldalának hossza és az ezeken fekvő két szög nagysága páronként egyenlő;
– két-két oldalának hossza és az általuk közbezárt szög nagysága páronként egyenlő;
– két-két oldal hossza és közülük a hosszabbikkal szemben fekvő szög nagysága egyenlő;
– a három oldalának hossza páronként egyenlő.
D Középpontos hasonlósági transzformáció Adott O pont (a hasonlóság középpontja) és k pozitív valós szám (a hasonlóság aránya) esetén: az O pont képe önmaga (azaz O = Ol); a tér – bármely O ponttól különböző – P pontjához hozzárendeljük a Pl pontot, amely az OP félegyenesének azon pontja, amelyre igaz, hogy az OPl szakasz hossza az OP szakasz hosszának k-szorosa, azaz k = OP'/OP.
Ha 1 < k, akkor a transzformáció középpontos nagyítás, ha k < 1, akkor középpontos kicsinyítés, ha k = 1, akkor egybevágóság.
Ha k negatív valós szám, akkor a transzformáció a ;k; arányú, O középpontú középpontos hasonlóság és egy O középpontú tükrözés egymásutánja.
Például:
Középpontos hasonlóság Két alakzatot középpontosan hasonlónak nevezünk, ha a két alakzathoz van olyan középpontos hasonlóság, amely az egyiket a másikba viszi át.
D Hasonlósági transzformáció Olyan geometriai transzformáció, amely aránytartó, vagyis amely transzformáció esetén bármely két pont távolságának és a képeik távolságának az aránya állandó.
A hasonlóság arányszámának abszolút értéke megadja, hányszorosára változnak az egyes távolságok a transzformáció során.
T Hasonlósági transzformáció Minden hasonlósági transzformáció előállítható egy középpontos hasonlósági transzformáció és egy egybevágósági transzformáció egymásutánjaként.
D Síkidomok hasonlósága Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha hasonlósági transzformációval egymásba vihetők.
T Síkidomok hasonlósága Bármely két azonos oldalszámú szabályos sokszög hasonló.
Bármely két kör hasonló.
T Háromszögek hasonlóságának alapesetei Két háromszög hasonló, ha a két háromszögben
– két-két szög nagysága páronként egyenlő;
– két-két megfelelő oldal hosszának aránya és az általuk közbezárt szög nagysága egyenlő;
– két-két megfelelő oldal hosszának aránya és közülük a nagyobbikkal szemben fekvő szög nagysága egyenlő;
– a három oldal hosszának aránya páronként egyenlő.
T Arányok hasonló síkidomok, hasonló testek esetén Ha két síkidom hasonló, és a hasonlóság arányszáma k, akkor a két síkidom kerületének aránya |k|, a két síkidom területének aránya k².
Ha két test hasonló, és a hasonlóság arányszáma k, akkor a két test felszínének aránya k², a két test térfogatának aránya |k|³.
D,T A háromszög középvonala A háromszög egy középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz.
A háromszög középvonala párhuzamos a szemközti oldallal, és feleolyan hosszú.
T Pitagorasz-tétel A derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével.
T A Pitagorasz-tétel megfordítása Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.
T Thalész-tétel A kör átmérője a körvonal bármely pontjából – kivéve az átmérőkét végpontját – derékszög alatt látszik.
T A Thalész-tétel megfordítása Ha az AB szakasz egy C pontból derékszögben látszik, akkor a C pont rajta van az AB átmérőjű körvonalon.
T Körérintő, sugár A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra.
T Érintőszakaszok A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak.
D Középponti szög Olyan szög, amelynek csúcsa a kör középpontja.
T Középponti szög, körív, körcikk területe Adott körben a középponti szögek nagysága és az ezekhez tartozó ívek hossza között egyenes arányosság van.
Adott körben a középponti szögek nagysága és az ezekhez tartozó körcikkek területének nagysága között egyenes arányosság van.
D Hegyesszögek függvényei (a a derékszögű háromszög egyik hegyesszöge) sin a = a szöggel szemben lévő befogó hossza /átfogó hossza
cos a = a szög melletti befogó hossza/ átfogó hossza
tg a = a szöggel szemben lévő befogó hossza/a szög melletti befogó hossza
D 90°-os szög szögfüggvényei sin 90° = 1
cos 90° = 0
D Szögfüggvények kiterjesztése tompaszögre 90° < a < 180° esetén:
sin a = sin(180° - a)
cos a = -cos(180° - a)
tg a = -tg(180° - a)
T Pótszögek szögfüggvényei sin a = cos(90° - a)
cos a = sin(90° - a)
T Ugyanazon szög szögfüggvényeinek kapcsolata sin2 a + cos2 a = 1
tg a = sin a/cos a a ≠ 90°
T Szinusztétel A háromszögben két oldal hosszának aránya egyenlő a velük szemben lévő szögek szinuszának az arányával.
A szokásos jelölésekkel:
a/b = sin a/sin b
T Koszinusztétel A szokásos jelölésekkel:
c² = a² + b² - 2 * a * b * cos c
T A háromszög területképletei T = a*m_a/2, ahol ma az a oldalhoz tartozó magasság hossza.
T = a*b*sin c/2, ahol a és b a háromszög oldala, c az a és b oldalak által közbezárt szög.
T Négyszögek területképletei Tparalelogramma = a ∙ ma, ahol ma az a oldalhoz tartozó magasság hossza.
T_paralelogramma = a ∙ b sin c, ahol a és b a paralelogramma oldalainak hossza, c az a és b oldalak által közbezárt szög nagysága.
Tdeltoid = e*f/2, ahol e és f a deltoid átlóinak hossza.
T_trapéz = (a + c)/2*m, ahol a és c a trapéz alapjainak, m pedig a trapéz magasságának a hossza.
T A kör kerülete, területe Az r sugarú kör kerülete: K = 2rπ; területe: T = r²π
T A körcikk területe T = r²π/360°*a, ahol r a kör sugarának hossza, a a körcikk középponti szögének fokban megadott nagysága.
T Testek felszíne Hasáb, gúla, csonkagúla felszíne: a testet határoló lapok területének összege.
A_forgáshenger = 2r² ∙ π + 2r ∙ π ∙ M
A_forgáskúp = r2 ∙ π + 2r ∙ π ∙ a
A_csonkakúp = π[R² + (R + r) ∙ a + r²]
A_gömb = 4r² ∙ π
T Térfogat V_hasáb = T_alaplap ∙ M
V_gúla = T_alaplap * M/3
V_csonkagúla = M/3(T + √(Tt) + t)
Vgömb = 4/3*r³*π
V_forgáshenger = r² ∙ π ∙ M
V_forgáskúp = r²*π*M/3
V_csonkakúp = M*π/3(R² + Rr + r²)

KIDOLGOZOTT FELADAT

4. Egy függőhíd tartószerkezete körívet alkot.
A híd hossza (a körív két vége közötti távolság) 750 méter, és az ív a legmagasabb ponton 120 méteres magasságban emelkedik a hídpálya fölé.
Mekkora a híd ívének sugara?
5. Számítsd ki az ismeretlen szakaszhosszokat és a megjelölt szögeket!
A keresett hosszúságokat két tizedesjegy pontossággal, a szögeket egy tizedesjegy pontossággal határozd meg!

FELADATOK I. RÉSZ

B1. Egy épület tervrajzán egy 2 cm hosszúságú szakasz jeleníti meg az 5 m hosszú folyosót.
Hány centiméter a rajzon a folyosó szélessége, ha a valóságban 1,8 m széles?
B2. Az r sugarú körvonal egyik pontjából kiinduló két merőleges húr hossza 5 cm, valamint 7 cm.
Add meg az r értékét cm-ben kifejezve két tizedesjegy pontossággal!
B3. Az ABCD téglalap AB oldalának hossza 26 egység, az AC átló az AB oldallal 24,7° nagyságú szöget zár be.
Mekkora a téglalap BC oldalának hossza?
A választ egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
B4. Egy kör kerülete 16 m.
Mekkora középponti szög tartozik ebben a körben a 14 m hosszúságú körívhez?
B5. Egy szabályos négyoldalú gúla oldalélének hossza háromszorosa a gúla alaplapján lévő átlónak.
Mekkora szöget zár be az oldalél az alaplappal?
Válaszod fokban, egy tizedesjegyre kerekítve add meg!
B6. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!
A: Ha egy háromszöget 4-szeresére nagyítunk, akkor a szögei is 4-szeresére növekednek.
B: Minden szabályos sokszög középpontosan szimmetrikus.
C: Ha egy ötszöget felére kicsinyítünk, akkor területe negyedére csökken.
D: A téglalapnak 4 szimmetriatengelye van.
B7. Egy kör alakú, 3 méter átmérőjű virágágyást 0,5 méter szélességben zúzott kővel vesznek körbe.
Mekkora a zúzott kővel borított rész területe?
B8. Egy paralelogramma átlóinak hossza 10 cm és 16 cm, az átlók által bezárt szög nagysága 60°.
Mekkora a paralelogramma rövidebb oldalának hossza cm-ben kifejezve, egy tizedesjegy pontossággal?
B9. Egy henger alakú tartályba 37 700 liter vizet töltöttek, és így a folyadék felszíne 30 cm magasan van az alaplaptól számítva.
Hány centiméter a tartály belső átmérője?
B10. Egy kocka nagyítása során a felszíne a 64-szeresére növekszik.
Hányszorosára nő ugyanekkor a kocka térfogata?
B11. Egy háromszög oldalainak hossza 10 cm, 24 cm, valamint 26 cm.
Derékszögű-e a háromszög középvonalai – mint oldalak – által alkotott háromszög?
Válaszod indokold!
B12. Egészítsd ki a mondatokat a vonalakra írt szavakkal, kifejezésekkel vagy számokkal úgy, hogy igazak legyenek az állítások!
a) A 28° nagyságú szög szinusza ugyanakkora, mint a nagyságú szög koszinusza.
b) A kör érintője és az érintési pontba húzott sugár .
c) Ha két háromszög két-két szögének nagysága páronként egyenlő, akkor a háromszögek egymással .
d) A tompaszögek koszinusza , mint 0.

FELADATOK II. RÉSZ

P1. A 8 cmg3 sűrűségű nemesacélból készült kézi súlyzók egyik típusának markolata olyan forgáshenger, amelynek átmérője 28 mm.
A súlyzó egésze tömör szerkezetű, és a súlyzóvégek szorosan illeszkednek a markolatra.
A súlyzó teljes hossza 28 cm, ebből a markolat 18 cm hosszú.
A súlyzó össztömege 10 kg.
a) Határozd meg a henger alakú súlyzóvégek átmérőjének nagyságát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve!
b) A kényelmesebb használat érdekében a súlyzó teljes felületét speciális, bőrbarát lakkréteggel vonják be.
Mennyibe kerül egy ilyen súlyzó bevonása, ha mindenhol egyenletes vastagon vonják be, és az 1 dm2-re számolt réteg ára 80 Ft?
P2. Egy szabályos nyolcszög oldalának hossza 12 egység.
a) Számítsd ki a nyolcszög legrövidebb és leghosszabb átlójának hosszát!
b) Hogyan aránylik egymáshoz a nyolcszögbe, valamint a nyolcszög köré írható kör területe?
c) Egy ilyen nyolcszög alapú egyenes hasáb magassága 10 egység hosszúságú. Mekkora a hasáb térfogata?
P3. Bendegúz egyik rajzórai feladatát nagyrészt vonalzó és körző segítségével készítette.
Szabadkézzel csak a virág levelét rajzolta.
A cserepes növény virágzatát egy 3 cm sugarú körben egy 255° középponti szögű körcikkel formázta meg.
A cserépedény alakját úgy alakította ki, hogy két, egy-egy 7 cm hosszúságú alapjával egymáshoz illesztett szimmetrikus trapézt rajzolt.
Az alsó trapéz másik alapja 6 cm, a felső trapéz másik alapja 8 cm hosszúságú.
Az alul lévő trapéz rövidebbik alapján lévő szöget 95°, a felül lévő trapéz rövidebbik alapján lévő szöget 105° nagyságúra szerkesztette.
a) Mekkora nagyságú területet színezett be összesen, ha a virágzat, valamint a cserép színezésével készült el?
b) Bendegúz később elárulta, hogy úgy választotta meg a rajzon a cserép méreteit, hogy az minél inkább hasonlítson az anyukája egyik kedvenc virágát tartó cseréphez.
Felhasználta ugyanis, hogy a cserép olyan csonka kúpokból áll össze, amelyeknek a rajzon a tengelymetszetei jelennek meg negyedére kicsinyített formában.
Hány liter virágföld fér a kedvenc virágot tartó cserépbe, ha azt éppen színültig töltik?
P4. Egy gömb sugara 10 cm hosszúságú.
a) Mekkora a gömb térfogatával megegyező térfogatú félgömb sugara?
b) Mekkora a gömb középponttól 5 cm-re lévő síkmetszet területe?
c) Milyen távolságban van a gömb középpontjától az a síkmetszet, amelynek feleakkora a kerülete, mint a gömb főkörének kerülete?
P5. Az ABC háromszög BC oldalán úgy helyeztük el a P1 és P2, valamint AC oldalán a Q1 és Q2 pontokat, hogy BP1 = P1P2 = P2C, valamint AQ1 = Q1Q2 = Q2C.
Tudjuk, hogy AB = 6 cm.
a) Mekkora a P1Q1, valamint P2Q2 szakaszok hossza?
b) Hányad része az ABC háromszög területének a Q1Q2P2P1 trapéz területe?
dátum: