Kezdőoldal

Térgeometria	Sorozatok
Bevezető	Sorozatok
Testek fajtái	Számtani sorozatok
Kocka	Mértani sorozatok
Téglatest	Kamatos kamat
Sokszög alapú hasáb	Gyakorlás
Henger	Teszt
Gömb
Gúla
Kúp
Csonka testek
Összetett testek
Gyakorlás
Teszt

Témazáró sorozatok (teszt)

Témazáró sorozatok (gyakorlás)

Kamatos kamatszámítás

1. Kamatos kamatszámítás

Elmélet:

Jelölések:
KÉ = kezdőérték
ZÉ = záróérték
% = kamatláb %-ban megadva
 r = ráta, kamatláb tizedes törtben megadva
n = időszakok száma

Képletek: `ZÉ = KÉ·(1 + %/100)^n`
`ZÉ = KÉ·(1 + r)^n`

Kamatos kamatszámítás alapfeladatok:
1.
Beteszünk a bankba 150EFt-ot 3 évre 2,5%-os kamatos kamatra.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

  1.B. Beteszünk a bankba 200EFt-ot 3évre, kamatlábak az egyes években: 2,5%, 2%, 1,5%.
  Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
  1.C. Beteszünk a bankba 200EFt-ot 2 évre, éves kamatláb 8%. Kamatfizetés negyedévente történik.
  Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

2.
Mennyi pénzt tegyünk a bankba, hogy 4 év múlva, 4%-os évi kamatos kamatozás mellett 250EFT-unk legyen?

3.
Hány százalékos kamatos kamatláb mellett gyarapszik 5 év alatt a 200EFt-unk 400EFT-ra?

4.
Hány év alatt lesz a 150EFt-unkból 300EFt-unk évi 5%-os kamatos kamatozás mellett?

---

2. Gyüjtőjáradék

Mértani sorozat, ahol
A = annuitás, azonos összegű befektetés
a_1 = A*(1 + r)
q = 1 + r
`S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`
`color(blue)(ZÉ = A*(1+r)*((1+ r)^n - 1)/(1 + r -1))`

Feladat:
1. 3 éven keresztül minden év elején beteszünk a bankba 500EFt-ot, évi 6%-os kamatos kamatra.
Kamatfizetés év végén történik. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
Táblázat:

Ssz.	Tőke az időszak elején	Kamat	Tőke az időszak végén
1.
2.
3.

3. Törlesztőjáradék

Mértani sorozat, ahol
ZÉ = S_n
a_1 = A
q = 1 + r
`color(red)(A*((1+ r)^n - 1)/(1 + r -1) = KÉ*(1 + r)^n)`

Feladat:
Felveszünk 3 millió forint hitelt 1 éves lejáratra, 12%-os éves kamatos kamatra.
A törlesztés harmadévente, az időszak végén, azonos összegű törlesztőrészletekben történik.
Mekkora a törlesztőrészlet értéke?

Megoldás táblázat nélkül:
KÉ = 3000 000Ft
% = 10/3 = 4% -> r = 0,04
n = 3
`A*(1,04^3 -1)/(0,04) = 3 000 000*1,04^3`
A = 1 081 046Ft

Ellenőrzés táblázat:
Adósságszolgálat = törlesztés + Kamat

Ssz.	Hitel az időszak elején	Törlesztés	Kamat	Adósságszolgálat
1.	3 000 000	1 081 046 - 120 000 = 961 046	3 000 000*0,04 = 120 000	1 081 046
2.	30000000 - 961046 = 2038954	1081046-81558 = 999488	2038954*0.04 81558	1 081 046
3.	2038954-999488 = 1039466	1081046-41579 = 1039467	1039466*0.04 = 41579	1 081 046

Egyéb megoldás:

Házi feladatok

A. Kamatos kamat:
1. Beteszünk a bankba 250EFtot 4 évre 7,5%-os kamatos kamatra. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

2. Mennyi pénz tegyünk a bankba, hogy 5 év múlva 5%-os kamatos kamat mellett 350EFt-unk legyen?

3. Hány százalékos kamatos kamat mellett lesz 6 év alatt 300EFt-ból 650EFt?

4. Hány év alatt lesz a 250EFt-ból 450EFt, évi 8%-os kamatos kamatozás mellett?

B. Gyűjtőjáradék, törlesztőjáradék:
1. Negyedévente beteszünk a bankba az időszak elején 180EFtot, 6 éves lejáratra, évi 16%-os kamatos kamatra. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

2. Harmadévente beteszünk a bankba az időszak elején 210EFt-ot, 7 éves lejáratra, évi 8%-os kamatos kamtra. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

3. 5 éves lejáratra 5millió Ft hitelt veszünk fel, törlesztés félévente azonos összegekben történik. Éves kamatláb 15%. Mekkora a törlesztőrészlet?

4. 3 éves lejáratra 3millió Ft hitelt veszünk fel, törlesztés havonta azonos összegekben történik. Éves kamatláb 18%. Mekkora a törlesztőrészlet?

Mértani sorozatok

A mértani sorozat fogalma:

A sorozat mindig ugyanannyiszorosára nő, vagy ugyanannyiad részére csökken (exponenciálisan nő/csökken)
pl. 1; 2; 4; 8; esetén.

Jellemzők:

q = hányados = a növekedés mértéke
a_n = általános tag
S_n = első n-tag összege:

Képletek:

`a_n = a_1·q^(n-1)`
`S_n = a_1·(q^n - 1)/(q - 1)`

Mintafeladatok:

1. Ha az első tag és a hányados is pozitív:
a1 = 2, q = 3,
A sorozat: 2; 6; 18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = 2*3^4 = 162`
S_5 = ?
 `S_5 = 2*(3^5-1)/(3-1)=242`

2. Ha az első tag negatív a hányados viszont pozitív:
a1 = -2, q = 3,
A sorozat: -2; -6; -18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = -2*3^4 = -162`
S_5 = ?
 `S_5 = -2*(3^5-1)/(3-1)=-242`

3. Ha az első tag pozitív, a hányados viszont negatív:
a1 = 2, q = -3
A sorozat: 2; -6; 18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = 2*(-3)^4 = 162`
S_5 = ?
 `S_5 = 2*((-3)^5-1)/(-3-1)=122`

4. Ha az első tag és a hányados is negatív:
a_1 = -2, q = -3
A sorozat: -2; 6; -18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = -2*(-3)^4 = -162`
S_5 = ?
 `S_5 = -2*((-3)^5-1)/(-3-1)=-122`

Házi feladatok

Mértani sorozatok esetén:
1.
a_1 = 3
q = 2,5
 a_7 = ?
 S_7 = ?

2.
a_1 = -2
q = 1,5
 a_8 = ?
 S_8 = ?

3.
a_1 = 5
q = -7,5
 a_9 = ?
 S_9 = ?

4.
a_1 = -9
q = -4,5
 a_10 = ?
 S_10 = ?

Számtani sorozatok

A számtani sorozat meghatározása:

mindig ugyanannyival nő, vagy csökken (egyenletesen nő/csökken)

Jellemzők:
d = különbség
an = általános tag
Sn = első n-tag összege:

Képletek:

`an = a1 + (n - 1)·d`
`Sn = n·(a1 + an)/2`
`Sn = (2·a1 + (n-1)·d)·n/2`

Órai Feladatok:

1. a_3 = 10, a_5 = 6
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

2. a_4 = 15, a_7 = 6
d = ?, a1 =?, a8= ?, S8 = ?

3. a_2 = 11, a_6 = -9
d = ?, a1 =?, a7 = ?, S7 = ?

4. a_5 = 12, a_7 = 9
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

5. a_6 = 14, a_9 = 9
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

Házi Feladatok:

1. a_4 = 8, a_6 = 4
d = ?, a1 =?, a9 = ?, S9 = ?

2. a_5 = 10, a_8 = 1
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

3. a_3 = 22, a_7 = 2
d = ?, a1 =?, a8 = ?, S8 = ?

4. a_2 = 7, a_4 = 4
d = ?, a1 =?, a6 = ?, S6 = ?

5. a_6 = 8, a_9 = 3
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

Számsorozatok

Elmélet

1. Sorozatok fogalma:

Egyértelmű folytathatóság
A függvények leszűkítése a pozitív egészek, vagy a természetes számok halmazára

2. Sorozatok fajtái

Számtani sorozatok
Mértani sorozatok
Fibonacci-sorozat

3. Jelölések:

a,b, ... sorozatok jele
1,2,3 ... = index, sorszám
a_1 = az a sorozat 1. tagja
a_n = az a sorozat (tetszőleges sorszámú, általános) n. tagja

4. Sorozatok megadása:

1. szöveges körülírással: pl. a √2 tizedes jegyei
2. függvényszerű képlettel
3. rekurzív definícióval:
Ebben az esetben 2 dolgot kell megadni:
- kezdőértékeket,
- előző értékekre hivatkozó képletet.

5. A képzési szabályok:

direkt szabály: a_n és n között teremt kapcsolatot
pl. a_n = 3*n - 2

rekurzív: a_n és a_(n-1), a_(n-2) között teremt kapcsolatot
Fibonacci-sorozat: a_1 = 1, a_2 = 1 és a_n = a_(n-1) + a_(n-2)

Feladatok

1. Határozza meg a következő sorozat első 5 tagját:
a_n = 5·n + 3

2. Határozza meg a következő sorozat képzési szabályát:
1; 3; 5; 7; ...