három, nem egy egyenesre illeszkedő (nem kollineális), de a síkra illeszkedő (komplanáris) pont.
két párhuzamos vagy két metsző, a síkra illeszkedő egyenes.
egy síkbeli pont és a ponton kívül fekvő, de a síkra illeszkedő egyenes.
egy síkbeli pont és egy olyan egyenes, amely merőleges a síkra.
Milyen helyzetű lehet egymáshoz képest két sík?
Két sík egymáshoz képest lehet:
két sík párhuzamos : nincs közös pontjuk
egymásra illeszkedő: minden pont közös (ez valójában egy sík)(végtelen sok közös pont van)
két sík szöget bezáró: van egy közös egyenesük (ezt nevezzük metszésvonalnak)
két sík egymásra merőleges: ha a bezárt szög 90°-os.
Hogyan határozzuk meg két sík hajlásszögét?
Két egymást metsző sík közös egyenesét metszésvonalnak nevezzük.
Vegyük a metszésvonal egy tetszőleges pontját.
Állítsunk merőlegeseket az adott pontból a metszésvonalra mindkét síkban.
A két közös kezdőpontú félegyenes egy szöget határoz meg.
Ezt nevezzük a kés sík hajlásszögének.
Milyen helyzetű lehet egy egyenes és egy sík?
Az egyenes lehet:
a síkkal párhuzamos
a síkra illeszkedő
a síkkal szöget bezáró
a síkra merőleges
A síkkal szöget bezáró egyenes egy pontban metszi a síkot: döféspont.
A döféspontban a síkra egyetlen merőleges egyenes létezik. (Ilyenkor a döféspont egyben a merőleges egyenes talppontja is)
A merőleges egyenes és a szöget bezáró egyenes síkja egy egyenesben metszi az eredeti síkot:
- ez az egyenes merőleges vetülete a síkra.
Hogyan határozzuk meg egy párhuzamos egyenes merőleges vetületét?
1. Válasszunk ki egy pontot az egyenesen (nevezzük ezt kiválasztott pontnak).
2. Állítsunk merőlegest az adott pontból az adott síkra (nevezzük ez merőleges egyenesnek, a döféspontját talppontnak).
3. Ismételjük meg ezt egy másik tetszőleges kiválasztott ponttal.
4. Kössük össze a talppontokat (ekkor az egyenes merőleges vetületéhez jutottunk).
Két párhuzamos egyenes merőleges vetülete is párhuzamos egymással.
Két metsző egyenes merőleges vetülete is metsző helyzetű.
Milyen helyzetű lehet egy pont és egy sík?
A pont a síkhoz képest elhelyezkedhet:
- a síkon kívül,
- a síkon belül.
A síkon kívüli pont egyetlen olyan egyenesre illeszkedik, amelyik merőleges az adott síkra.
Ennek a merőleges egyenesnek az eredeti síkkal alkotott döféspontja és az adott pont távolsága a pont és sík távolsága.
Ennek megfelelően értelmezhető:
- két párhuzamos sík távolsága.
- egy sík és egy vele párhuzamos egyenes távolsága.
Milen helyzetű lehet egymással a térben két egyenes?
Két egyenes lehet:
- egymásra illeszkedő (ezek valójában egybeesnek)
- egymással párhuzamosak
- egymást metszők
- kitérők
Kitőrő egyenesek esetén végtelen sok olyan egyenes létezik, amelyik illeszkedik az egyik egyenes egy adott, illetve a másik egyenes egy másik adott pontjára.
Nevezzük ezt az egyenest összekötő egyenesnek.
Az összekötő egyenes adott szögeket zár be az egyenesekkel.
Hogyan határozhatjuk meg két kitérő egyenes távolságát?
1. Válasszunk ki egy-egy tetszőleges pontot mindkét egyenesen.
2. Kössük össze a két pontot.
3. Huzzunk párhuzamosok az adott pontokon keresztük az egyenesekkel. → Így két tartalmazó, egymással párhuzamos síkot kapunk.
(Valójában párhuzamos eltolást végeztünk).
4. Vegyük az egyik egyenesnek a másikra eső merőleges vetületét.
5. Ugyanezt tegyük a másik egyenessel is.
6. Kössük össze az egyenesek metszéspontjait egymással. Ennek a szakasznak a hossza lesz az egyenesek távolsága.
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Milyen alakzatokat nevezünk térelemeknek?
2. Mi határoz meg egyértelműen egy síkot?
3. Mikor mondjuk azt, hogy két sík párhuzamos egymással?
4. Lehet-e két sík hajlásszöge tompaszög?
5. Miben tér el egymástól a döféspont és a talppont fogalma?
6. Lehet-e két párhuzamos egyenes merőleges vetülete metsző helyzetű?
7. Mi a közös pont és sík, párhuzamos egyenes és sík, két párhuzamos sík távolságának meghatározásában?
8. Hogy nevezzük azokat az egyeneseket, amelyeknek nincs közös pontjuk, de nem párhuzamosak egymással?
9. Hogyan határozzuk meg két ilyen egyenes távolságát?
10. Miért kell a folyamat kezdetén párhuzamos eltolást végezni?
Milyen képletek jellemzik a szimmetrikus trapéz alapú hasábot?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Jelölések:
m = a szimmetrikus trapéz magassága = mtr helyett!
M = a test magassága
a = a szimmetrikus trapéz hosszabb alapélének a hossza
b = a szimmetrikus trapéz szárának a hossza
c = a szimmetrikus trapéz rövidebb alapélének a hossza
I. Általános eset:
Ilyenkor az élek különböző hosszúak (a ≠ b ≠ c).
Pitagorasz-tétel: (a -c)²/4 + m² = b²
T = (a + c)·m/2 (alapterület)
K = a + 2·b + c (alaplap kerülete)
A = 2·T +K·M
Felszínképlet: A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
Térfogatképlet:
V = T·M V = (a + c)·m·M/2
II. Speciális eset:
b = c
III. Még speciálisabb eset:
b = c = a/2
Ebben az esetben egy szabályos hatszög alapú hasábot vágunk ketté.
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
4+3 paraméter van: a,b,c,m + M,A,V.
Ezek közül 4 ismert, a többit ki kell számolni.
Soroljuk fel a fontosabb lehetséges eseteket:
(a,b,c,m)-ból 3-t választunk (M,A,V)-ből 1-t:
1. Adott a,c,m +M → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott a,b,c +M
3. Adott a,c,m +A
4. Adott a,c,m +V
5. Legyen b = c, adott a,c +M
6. Legyen b = c = a/2, adott a +M
Mintafeladatok
1. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb alapéleinek hossza a = 5cm, c = 3cm,
az alaplap magassága 4cm és a test magassága 6cm.
Mekkora a szimmetrikus trapéz alapú hasáb oldalélének hossza, felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5cm
c = 3cm
m = 4cm
M = 6cm
b = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
b = √(a -c)²/4 +m²
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
V = (a + c)·m·M/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
b = √(5 -3)²/4 +4² = cm
A = (5 + 3)·4 + (5 + 2· + 3)·6 = cm²
V = (5 + 3)·4·6/2 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapéleinek hossza a = 5cm, c = 3cm,
az oldaléle b = 7cm, valamint a test magassága 8cm.
Mekkora a harmadik oldal hossza?
Mekkora a szimmetrikus trapéz alapú hasáb felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5cm
b = 7cm
c = 3cm
M = 8cm
m = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
m = √b² - (a -c)²/4
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
V = (a + c)·m·M/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = √7² - (5 -3)²/4 = cm
A = (5 + 3)· + (5 + 2·7 + 3)·8 = cm²
V = (5 + 3)··8/2 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapélének hossza a = 5cm és c = 3cm.
Az alaplap magassága m = 7cm, felszíne 500cm².
Mekkora a szimmetrikus trapéz alapú hasáb alaplapjának oldaléle, a test magassága és a test térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5cm
c = 3cm
m = 7cm
A = 500cm
b = ?
M = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
b = √(a -c)²/4 +m²
M = (A -(a + c)·m)/(a + 2·b + c)
V = (a + c)·m·M/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
b = √(5 -3)²/4 +7² = cm
M = (500 -(5 + 3)·7)/(5 + 2· + 3) = cm
V = (5 + 3)·7·/2 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapélének nagysága a = 5cm és c = 3cm.
Az alaplap magassága m = 6cm, a térfogatának a nagysága 500cm³.
Mekkora az alaplap oldalélének a hossza, a test magassága és a felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5 cm
c = 3 cm
m = 6 cm
V = 500 cm²
b = ?
M = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
b = √(a -c)²/4 +m²
M = 2·V/(a + c)/m
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
b = √(5 -3)²/4 +6² = cm
M = 2·V/(5 + 3)/6 = cm
A = (5 + 3)·6 + (5 + 2· + 3)· = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb oldaléleinek a nagysága a = 5cm, b = 3cm, c = 3cm.
A testmagassága 11cm.
Mekkora a szimmetrikus trapéz alapú hasáb alaplapjának magassága, afelszíne és a térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5 cm
b = 3 cm
c = 3 cm
M = 11 cm³
m = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: Ez a 2. eset speciális változata.
m = √b² - (a -c)²/4
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
V = (a + c)·m·M/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = √3² - (5 -3)²/4 = cm
A = (5 + 3)· + (5 + 2·3 + 3)·11 = cm²
V = (5 + 3)··11/2 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
6. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb oldaléleinek a nagysága a = 6cm, b = 3cm, c = 3cm.
A testmagassága 11cm.
Mekkora a szimmetrikus trapéz alapú hasáb alaplapjának magassága, afelszíne és a térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 6 cm
b = 3 cm
c = 3 cm
M = 11 cm³
m = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: Ez a 2. eset speciális változata.
m = √b² - (a -c)²/4
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
V = (a + c)·m·M/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = √3² - (6 -3)²/4 = cm
A = (6 + 3)· + (6 + 2·3 + 3)·11 = cm²
V = (6 + 3)··11/2 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb alapéleinek hossza a = 5cm, c = 3cm,
az alaplap magassága 4cm és a test magassága 6cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
A = cm²
V = cm³
2. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapéleinek hossza a = 5cm, c = 3cm,
az oldaléle b = 7cm, valamint a test magassága 8cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
3. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapélének hossza a = 5cm és c = 3cm.
Az alaplap magassága m = 7cm, felszíne 500cm².
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
M = cm
V = cm³
4. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapélének nagysága a = 5cm és c = 3cm.
Az alaplap magassága m = 6cm, a térfogatának a nagysága 500cm³.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
M = cm
A = cm²
5. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb oldaléleinek a nagysága a = 5cm, b = 3cm, c = 3cm.
A testmagassága 11cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
6. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb oldaléleinek a nagysága a = 6cm, b = 3cm, c = 3cm.
A testmagassága 11cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Legye az alapél hossza a, magassága m.
n = oldalak száma
alfa = 360/2/n = 180/n
beta = 90 -alfa = 90 - 180/n
tg beta = m_hsz/(a/2) = 2·m_hsz/a
m_hsz = a·(tg beta)/2 = a·(tg (90 - 180/n))/2
T = n·a·m_hsz/2 = n·a²·(tg (90 - 180/n))/4
A = 2·T +n·a·m = n/2·a²·(tg (90 - 180/n)) +n·a·m
V = T·m = n/4·a²·m·(tg (90 - 180/n))
Nézzük meg azokat a sokszögeket, amelyek előfordulhatnak:
A. Szabályos háromszög alapú hasáb (prizma):
n = 3
A = 3/2·a²·(tg (90 - 180/3)) +3·a·m ≈ a²·0,866 +3·a·m
V = 3/4·a²·m·(tg (90 - 180/3)) ≈ a²·m·0,433
B. Négyzet alapú hasáb (négyzetes oszlop):
n = 4
A = 4/2·a²·(tg (90 - 180/4)) +4·a·m = 2·a² +4·a·m
V = 4/4·a²·m·(tg (90 - 180/4)) = a²·m
Eddig remekül működik a képlet, visszakaptuk az eddigi képleteinket.
C. Szabályos ötszög alapú hasáb:
n = 5
A = 5/2·a²·(tg (90 - 180/5)) +5·a·m ≈ a²·3,441 +5·a·m
V = 5/4·a²·m·(tg (90 - 180/5)) ≈ a²·m·1,7205
D. Szabályos hatszög alapú hasáb:
n = 6
A = 6/2·a²·(tg (90 - 180/6)) +6·a·m ≈ a²·5,1962 +6·a·m
V = 6/4·a²·m·(tg (90 - 180/6)) ≈ a²·m·2,5981
E. Szabályos hétszög alapú hasáb:
n = 7
A = 7/2·a²·(tg (90 - 180/7)) +7·a·m ≈ a²·7,2678 +7·a·m
V = 7/4·a²·m·(tg (90 - 180/7)) ≈ a²·m·3,6339
F. Szabályos nyolcszög alapú hasáb:
n = 8
A = 8/2·a²·(tg (90 - 180/8)) +8·a·m ≈ a²·9,6569 +8·a·m
V = 8/4·a²·m·(tg (90 - 180/8)) ≈ a²·m·4,8284
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
HA n ismert, akkor
4 paraméter van: a,m,A,V.
Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 4·3/2 = 6
Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
1. Adott a,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott a,A
3. Adott a,V
4. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
5. Adott m,V
6. Adott A,V → hiányos harmadfokú egyenlet!!! (legbonyolultabb eset)
Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.
A másik esetet is meg lehet közelítőleg oldani függvényvizsgálat segítségével.
Mintafeladatok
1. Egy szabályos 5-szög alapú hasáb alapélének hossza 3 cm.
A magassága 5cm.
Mekkora a felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
n = 5
a = 3cm
m = 5cm
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
A = a²·3.441 +5·a·m
V = a²·m·1.7205
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A = 3²·3.441 +5·3·5 = cm²
V = 3²·5·1.7205 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy szabályos 6-szög alapú hasáb alapélének hossza 3 cm.
A felszíne 150cm².
Mekkora a szabályos 6-szög alapú hasáb magassága, magassága és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
n = 6
a = 3cm
A = 150cm
m = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az A képletéből indulunk ki!
A = a²·5,1962 +6·a·m | - a²·5,1962
A - a²·5,1962 = 6·a·m |/6/a
A/6/a - a·0,866 = m
m = A/6/a - a·0,866
V = a²·m·2,5981
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 150/6/3 - 6·0,866 = cm
V = 3²··2,5981 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy szabályos 7-szög alapú hasáb alapélének nagysága 3cm.
A térfogatának a nagysága 187 cm³.
Mekkora a magasságának a hossza?
Mekkora a szabályos 7-szög alapú hasáb felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
n = 7
a = 3 cm
V = 187 cm²
m = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
m = V/a²/3,6339
A = a²·7,2678 +7·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 187/3²/3,6339 = cm
A = 3²·7,2678 +7·3· = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy szabályos 8-szög alapú hasáb magasságának a nagysága 24 cm.
A felszíne 340 cm².
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a szabályos 8-szög alapú hasáb térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
n = 8
m = 24 cm
A = 340 cm
a = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
Másodfokú egyenlet:
9,6569·a² +8·m·a -A = 0
mfa = 9,6569
mfb = 8·m
mfc = -A
a = (-mfb + √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)
V = a²·m·4,8284
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet megoldása:
a = cm
V = ²·24·4,8284 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy szabályos 6-szög alapú hasáb magasságának a nagysága 25 cm.
A térfogata 350 cm³.
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
n = 6
m = 25 cm
V = 350 cm³
a = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
a = √V/m/2,5981
A = a²·5,1962 +6·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √350/25/2,5981 = cm
A = ²·5,1962 +6··25 = cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy szabályos 5-szög alapú hasáb alapélének hossza 3 cm.
A magassága 5cm.
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
A = cm²
V = cm³
2. Egy szabályos 6-szög alapú hasáb alapélének hossza 3 cm.
A felszíne 150cm².
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
V = cm³
3. Egy szabályos 7-szög alapú hasáb alapélének nagysága 3cm.
A térfogatának a nagysága 187 cm³.
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
4. Egy szabályos 8-szög alapú hasáb magasságának a nagysága 24 cm.
A felszíne 340 cm².
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
V = cm³
5. Egy szabályos 6-szög alapú hasáb magasságának a nagysága 25 cm.
A térfogata 350 cm³.
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
A = cm²
