Sokszög alapú hasáb
Milyen képletek jellemzik a prizmát?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! Legye az alapél hossza a, magassága m.
n = oldalak száma
alfa = 360/2/n = 180/n
beta = 90 -alfa = 90 - 180/n
tg beta = m_hsz/(a/2) = 2·m_hsz/a
m_hsz = a·(tg beta)/2 = a·(tg (90 - 180/n))/2
T = n·a·m_hsz/2 = n·a²·(tg (90 - 180/n))/4
A = 2·T +n·a·m = n/2·a²·(tg (90 - 180/n)) +n·a·m
V = T·m = n/4·a²·m·(tg (90 - 180/n))
Nézzük meg azokat a sokszögeket, amelyek előfordulhatnak:
A. Szabályos háromszög alapú hasáb (prizma):
n = 3
A = 3/2·a²·(tg (90 - 180/3)) +3·a·m ≈ a²·0,866 +3·a·m
V = 3/4·a²·m·(tg (90 - 180/3)) ≈ a²·m·0,433
B. Négyzet alapú hasáb (négyzetes oszlop):
n = 4
A = 4/2·a²·(tg (90 - 180/4)) +4·a·m = 2·a² +4·a·m
V = 4/4·a²·m·(tg (90 - 180/4)) = a²·m
Eddig remekül működik a képlet, visszakaptuk az eddigi képleteinket.
C. Szabályos ötszög alapú hasáb:
n = 5
A = 5/2·a²·(tg (90 - 180/5)) +5·a·m ≈ a²·3,441 +5·a·m
V = 5/4·a²·m·(tg (90 - 180/5)) ≈ a²·m·1,7205
D. Szabályos hatszög alapú hasáb:
n = 6
A = 6/2·a²·(tg (90 - 180/6)) +6·a·m ≈ a²·5,1962 +6·a·m
V = 6/4·a²·m·(tg (90 - 180/6)) ≈ a²·m·2,5981
E. Szabályos hétszög alapú hasáb:
n = 7
A = 7/2·a²·(tg (90 - 180/7)) +7·a·m ≈ a²·7,2678 +7·a·m
V = 7/4·a²·m·(tg (90 - 180/7)) ≈ a²·m·3,6339
F. Szabályos nyolcszög alapú hasáb:
n = 8
A = 8/2·a²·(tg (90 - 180/8)) +8·a·m ≈ a²·9,6569 +8·a·m
V = 8/4·a²·m·(tg (90 - 180/8)) ≈ a²·m·4,8284
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
HA n ismert, akkor
4 paraméter van: a,m,A,V. Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 4·3/2 = 6
Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
1. Adott a,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott a,A
3. Adott a,V
4. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
5. Adott m,V
6. Adott A,V → hiányos harmadfokú egyenlet!!! (legbonyolultabb eset)
Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.
A másik esetet is meg lehet közelítőleg oldani függvényvizsgálat segítségével.
Mintafeladatok
1. Egy szabályos 5-szög alapú hasáb alapélének hossza 3 cm.
A magassága 5cm. Mekkora a felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
n = 5
a = 3cm
m = 5cm
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
A = a²·3.441 +5·a·m
V = a²·m·1.7205
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A = 3²·3.441 +5·3·5 = 105.97cm²
V = 3²·5·1.7205 = 77.42cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy szabályos 6-szög alapú hasáb alapélének hossza 3 cm. A felszíne 150cm².
Mekkora a szabályos 6-szög alapú hasáb magassága, magassága és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
n = 6
a = 3cm
A = 150cm
m = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az A képletéből indulunk ki!
A = a²·5,1962 +6·a·m | - a²·5,1962
A - a²·5,1962 = 6·a·m |/6/a
A/6/a - a·0,866 = m
m = A/6/a - a·0,866 A = a²·5,1962 +6·a·m | - a²·5,1962
A - a²·5,1962 = 6·a·m |/6/a
A/6/a - a·0,866 = m
V = a²·m·2,5981
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 150/6/3 - 6·0,866 = 5.74cm
V = 3²·5.74·2,5981 = 134.11cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy szabályos 7-szög alapú hasáb alapélének nagysága 3cm. A térfogatának a nagysága 187 cm³.
Mekkora a magasságának a hossza?
Mekkora a szabályos 7-szög alapú hasáb felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
n = 7
a = 3 cm
V = 187 cm²
m = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
m = V/a²/3,6339
A = a²·7,2678 +7·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 187/3²/3,6339 = 5.72cm
A = 3²·7,2678 +7·3·5.72 = 185.48cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy szabályos 8-szög alapú hasáb magasságának a nagysága 24 cm. A felszíne 340 cm².
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a szabályos 8-szög alapú hasáb térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
n = 8
m = 24 cm
A = 340 cm
a = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
Másodfokú egyenlet: 9,6569·a² +8·m·a -A = 0
mfa = 9,6569
mfb = 8·m
mfc = -A
a = (-mfb + √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)
V = a²·m·4,8284
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet megoldása:
a = 1.64cm
V = 1.64²·24·4,8284 = 310.23cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy szabályos 6-szög alapú hasáb magasságának a nagysága 25 cm. A térfogata 350 cm³.
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
n = 6
m = 25 cm
V = 350 cm³
a = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
a = √V/m/2,5981
A = a²·5,1962 +6·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √350/25/2,5981 = 2.32cm
A = 2.32²·5,1962 +6·2.32·25 = 376.20cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy szabályos 4-szög alapú hasáb alapélének hossza 2 cm.
A magassága 14cm.
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
A = cm²
V = cm³
2. Egy szabályos 8-szög alapú hasáb alapélének hossza 10 cm.
A felszíne 2326cm².
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
V = cm³
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
V = cm³
3. Egy szabályos 5-szög alapú hasáb alapélének nagysága 6cm.
A térfogatának a nagysága 496 cm³.
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
4. Egy szabályos 8-szög alapú hasáb magasságának a nagysága 15 cm.
A felszíne 279 cm².
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
V = cm³
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
V = cm³
5. Egy szabályos 8-szög alapú hasáb magasságának a nagysága 15 cm.
A térfogata 1811 cm³.
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
A = cm²
Határozzuk meg a szabályos alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
A = cm²
Sokszög alapú hasáb:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| Összesen. |
