Szimmetrikus trapéz alapú hasáb
Milyen képletek jellemzik a szimmetrikus trapéz alapú hasábot?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! Jelölések:
m = a szimmetrikus trapéz magassága = mtr helyett!
M = a test magassága
a = a szimmetrikus trapéz hosszabb alapélének a hossza
b = a szimmetrikus trapéz szárának a hossza
c = a szimmetrikus trapéz rövidebb alapélének a hossza
I. Általános eset:
Ilyenkor az élek különböző hosszúak (a ≠ b ≠ c).
Pitagorasz-tétel:
(a -c)²/4 + m² = b²
T = (a + c)·m/2 (alapterület)
K = a + 2·b + c (alaplap kerülete)
A = 2·T +K·M
Felszínképlet:
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
Térfogatképlet:
V = T·M
V = (a + c)·m·M/2
II. Speciális eset:
b = c
III. Még speciálisabb eset:
b = c = a/2
Ebben az esetben egy szabályos hatszög alapú hasábot vágunk ketté.
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
4+3 paraméter van: a,b,c,m + M,A,V. Ezek közül 4 ismert, a többit ki kell számolni.
Soroljuk fel a fontosabb lehetséges eseteket:
(a,b,c,m)-ból 3-t választunk (M,A,V)-ből 1-t:
1. Adott a,c,m +M → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott a,b,c +M
3. Adott a,c,m +A
4. Adott a,c,m +V
5. Legyen b = c, adott a,c +M
6. Legyen b = c = a/2, adott a +M
Mintafeladatok
1. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb alapéleinek hossza a = 5cm, c = 3cm, az alaplap magassága 4cm és a test magassága 6cm.
Mekkora a szimmetrikus trapéz alapú hasáb oldalélének hossza, felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5cm
c = 3cm
m = 4cm
M = 6cm
b = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
b = √(a -c)²/4 +m²
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
V = (a + c)·m·M/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
b = √(5 -3)²/4 +4² = 4.12cm
A = (5 + 3)·4 + (5 + 2·4.12 + 3)·6 = 129.48cm²
V = (5 + 3)·4·6/2 = 96.00cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapéleinek hossza a = 5cm, c = 3cm,
az oldaléle b = 7cm, valamint a test magassága 8cm.
Mekkora a harmadik oldal hossza?
Mekkora a szimmetrikus trapéz alapú hasáb felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5cm
b = 7cm
c = 3cm
M = 8cm
m = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
m = √b² - (a -c)²/4
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
V = (a + c)·m·M/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = √7² - (5 -3)²/4 = 6.93cm
A = (5 + 3)·6.93 + (5 + 2·7 + 3)·8 = 231.43cm²
V = (5 + 3)·6.93·8/2 = 221.70cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapélének hossza a = 5cm és c = 3cm.
Az alaplap magassága m = 7cm, felszíne 500cm².
Mekkora a szimmetrikus trapéz alapú hasáb alaplapjának oldaléle, a test magassága és a test térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5cm
c = 3cm
m = 7cm
A = 500cm
b = ?
M = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
b = √(a -c)²/4 +m²
M = (A -(a + c)·m)/(a + 2·b + c)
V = (a + c)·m·M/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
b = √(5 -3)²/4 +7² = 7.07cm
M = (500 -(5 + 3)·7)/(5 + 2·7.07 + 3) = 20.05cm
V = (5 + 3)·7·20.05/2 = 561.46cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapélének nagysága a = 5cm és c = 3cm.
Az alaplap magassága m = 6cm, a térfogatának a nagysága 500cm³.
Mekkora az alaplap oldalélének a hossza, a test magassága és a felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5 cm
c = 3 cm
m = 6 cm
V = 500 cm²
b = ?
M = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
b = √(a -c)²/4 +m²
M = 2·V/(a + c)/m
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
b = √(5 -3)²/4 +6² = 6.08cm
M = 2·V/(5 + 3)/6 = 20.83cm
A = (5 + 3)·6 + (5 + 2·6.08 + 3)·20.83 = 468.12cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb oldaléleinek a nagysága a = 5cm, b = 3cm, c = 3cm.
A testmagassága 11cm. Mekkora a szimmetrikus trapéz alapú hasáb alaplapjának magassága, afelszíne és a térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5 cm
b = 3 cm
c = 3 cm
M = 11 cm³
m = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: Ez a 2. eset speciális változata.
m = √b² - (a -c)²/4
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
V = (a + c)·m·M/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = √3² - (5 -3)²/4 = 2.83cm
A = (5 + 3)·2.83 + (5 + 2·3 + 3)·11 = 176.63cm²
V = (5 + 3)·2.83·11/2 = 124.45cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
6. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb oldaléleinek a nagysága a = 6cm, b = 3cm, c = 3cm.
A testmagassága 11cm. Mekkora a szimmetrikus trapéz alapú hasáb alaplapjának magassága, afelszíne és a térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 6 cm
b = 3 cm
c = 3 cm
M = 11 cm³
m = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: Ez a 2. eset speciális változata.
m = √b² - (a -c)²/4
A = (a + c)·m + (a + 2·b + c)·M
V = (a + c)·m·M/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = √3² - (6 -3)²/4 = 2.60cm
A = (6 + 3)·2.60 + (6 + 2·3 + 3)·11 = 188.38cm²
V = (6 + 3)·2.60·11/2 = 128.60cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb alapéleinek hossza a = 11cm, c = 3cm,
az alaplap magassága 6cm és a test magassága 10cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
A = cm²
V = cm³
az alaplap magassága 6cm és a test magassága 10cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
A = cm²
V = cm³
2. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapéleinek hossza a = 7cm, c = 3cm,
az oldaléle b = 7cm, valamint a test magassága 13cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
az oldaléle b = 7cm, valamint a test magassága 13cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
3. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapélének hossza a = 7cm és c = 2cm.
Az alaplap magassága m = 6cm, felszíne 340cm².
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
M = cm
V = cm³
Az alaplap magassága m = 6cm, felszíne 340cm².
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
M = cm
V = cm³
4. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb két alapélének nagysága a = 12cm és c = 3cm.
Az alaplap magassága m = 6cm, a térfogatának a nagysága 536cm³.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
M = cm
A = cm²
Az alaplap magassága m = 6cm, a térfogatának a nagysága 536cm³.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
M = cm
A = cm²
5. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb oldaléleinek a nagysága a = 9cm, b = 2cm, c = 2cm.
A testmagassága 16cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
A testmagassága 16cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
6. Egy szimmetrikus trapéz alapú hasáb oldaléleinek a nagysága a = 6cm, b = 3cm, c = 3cm.
A testmagassága 13cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
A testmagassága 13cm.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
Trapéz alapú hasáb:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| 6. | ||||
| Összesen. |
