2022. július 27., szerda

10. Térelemek szöge és távolsága

Térelemek

Térelemek

Mik a térelemek?
A térelemek lehetnek:
  • síkok
  • egyenesek
  • pontok
Egy egyenest egyértelműen meghatároz:
  • két az egyenesre illeszkedő (kollineáris) pont.
Egy síkot egyértelműen meghatároz:
  • három, nem egy egyenesre illeszkedő (nem kollineális), de a síkra illeszkedő (komplanáris) pont.
  • két párhuzamos vagy két metsző, a síkra illeszkedő egyenes.
  • egy síkbeli pont és a ponton kívül fekvő, de a síkra illeszkedő egyenes.
  • egy síkbeli pont és egy olyan egyenes, amely merőleges a síkra.
Milyen helyzetű lehet egymáshoz képest két sík?
Két sík egymáshoz képest lehet:
  • két sík párhuzamos : nincs közös pontjuk
  • egymásra illeszkedő: minden pont közös (ez valójában egy sík)(végtelen sok közös pont van)
  • két sík szöget bezáró: van egy közös egyenesük (ezt nevezzük metszésvonalnak)
  • két sík egymásra merőleges: ha a bezárt szög 90°-os.

merőleges síkok
Hogyan határozzuk meg két sík hajlásszögét?
Két egymást metsző sík közös egyenesét metszésvonalnak nevezzük.
Vegyük a metszésvonal egy tetszőleges pontját.
Állítsunk merőlegeseket az adott pontból a metszésvonalra mindkét síkban.
A két közös kezdőpontú félegyenes egy szöget határoz meg.
Ezt nevezzük a kés sík hajlásszögének.
sikok szöge
Milyen helyzetű lehet egy egyenes és egy sík?
Az egyenes lehet:
  • a síkkal párhuzamos
  • a síkra illeszkedő
  • a síkkal szöget bezáró
  • a síkra merőleges

A síkkal szöget bezáró egyenes egy pontban metszi a síkot: döféspont.
A döféspontban a síkra egyetlen merőleges egyenes létezik. (Ilyenkor a döféspont egyben a merőleges egyenes talppontja is)
A merőleges egyenes és a szöget bezáró egyenes síkja egy egyenesben metszi az eredeti síkot:
- ez az egyenes merőleges vetülete a síkra.
merőleges vetület
Hogyan határozzuk meg egy párhuzamos egyenes merőleges vetületét?
1. Válasszunk ki egy pontot az egyenesen (nevezzük ezt kiválasztott pontnak).
2. Állítsunk merőlegest az adott pontból az adott síkra (nevezzük ez merőleges egyenesnek, a döféspontját talppontnak).
3. Ismételjük meg ezt egy másik tetszőleges kiválasztott ponttal.
4. Kössük össze a talppontokat (ekkor az egyenes merőleges vetületéhez jutottunk).

Két párhuzamos egyenes merőleges vetülete is párhuzamos egymással.
Két metsző egyenes merőleges vetülete is metsző helyzetű.

S b a S b a b' a' B 1 B 2 B 1 ' B 2 ' A 1 A 2 A 1 ' A 2 ' a b a' b' ÷÷ ÷÷
Milyen helyzetű lehet egy pont és egy sík?
A pont a síkhoz képest elhelyezkedhet:
- a síkon kívül,
- a síkon belül.

A síkon kívüli pont egyetlen olyan egyenesre illeszkedik, amelyik merőleges az adott síkra.
Ennek a merőleges egyenesnek az eredeti síkkal alkotott döféspontja és az adott pont távolsága a pont és sík távolsága.
ő-pont és sík táv
Ennek megfelelően értelmezhető:
- két párhuzamos sík távolsága.
parhuzamos sikok tavolsaga
- egy sík és egy vele párhuzamos egyenes távolsága.
párh e táv
Milen helyzetű lehet egymással a térben két egyenes?
Két egyenes lehet:
- egymásra illeszkedő (ezek valójában egybeesnek)
- egymással párhuzamosak
- egymást metszők
- kitérők

Kitőrő egyenesek esetén végtelen sok olyan egyenes létezik, amelyik illeszkedik az egyik egyenes egy adott, illetve a másik egyenes egy másik adott pontjára.
Nevezzük ezt az egyenest összekötő egyenesnek.
Az összekötő egyenes adott szögeket zár be az egyenesekkel.
Hogyan határozhatjuk meg két kitérő egyenes távolságát?
1. Válasszunk ki egy-egy tetszőleges pontot mindkét egyenesen.
2. Kössük össze a két pontot.
3. Huzzunk párhuzamosok az adott pontokon keresztük az egyenesekkel. → Így két tartalmazó, egymással párhuzamos síkot kapunk.
(Valójában párhuzamos eltolást végeztünk).
4. Vegyük az egyik egyenesnek a másikra eső merőleges vetületét.
5. Ugyanezt tegyük a másik egyenessel is.
6. Kössük össze az egyenesek metszéspontjait egymással. Ennek a szakasznak a hossza lesz az egyenesek távolsága.
kitérők távolsága
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Milyen alakzatokat nevezünk térelemeknek?
2. Mi határoz meg egyértelműen egy síkot?
3. Mikor mondjuk azt, hogy két sík párhuzamos egymással?
4. Lehet-e két sík hajlásszöge tompaszög?
5. Miben tér el egymástól a döféspont és a talppont fogalma?
6. Lehet-e két párhuzamos egyenes merőleges vetülete metsző helyzetű?
7. Mi a közös pont és sík, párhuzamos egyenes és sík, két párhuzamos sík távolságának meghatározásában?
8. Hogy nevezzük azokat az egyeneseket, amelyeknek nincs közös pontjuk, de nem párhuzamosak egymással?
9. Hogyan határozzuk meg két ilyen egyenes távolságát?
10. Miért kell a folyamat kezdetén párhuzamos eltolást végezni?





dátum: