48. Függvények

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

Bevezető

A felismerés, hogy a körülöttünk lévő világ jelenségei egymással összefüggnek, egyidős az emberiséggel.
A matematikában azonban a függvény fogalma (legalábbis mai formájában) viszonylag későn alakult ki: a kifejezés Gottfried Leibniz német matematikus egy 1673-ban írt levelében bukkant fel először.
Az azóta eltelt három és fél évszázad alatt a függvények vizsgálata a matematika egyik leglátványosabb és leghasznosabb területévé nőtte ki magát.
Függvényekkel dolgozik a Mars-járót célba juttató mérnök, a tőzsdei elemző, a vírusok fertőzési gyorsaságát vizsgáló virológus.
A hétköznapi, gyakorlati életben is fontosak a függvénytani alapismeretek, hiszen azok nélkül nehezen lehetne megérteni például a heti időjárás-előrejelzést, vagy gondot okozna a hivatásos sofőrök vezetéssel kapcsolatos információkat tartalmazó tachográf (menetíró-készülék) elemzésének elvégzése.

FÜGGVÉNYEK

D	Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet	Legyen A és B két – egymástól nem feltétlenül különböző – nemüres halmaz. Függvénynek nevezzük azt a hozzárendelést, amely az A halmaz minden eleméhez a B halmazból pontosan egy elemet rendel. Ekkor a függvény értelmezési tartománya az A halmaz, képhalmaza a B halmaz. Értékkészlet: a B halmaz azon elemeinek halmaza, melyeket hozzárendelünk valamely értelmezési tartománybeli elemhez. Megjegyzés: A függvény tehát egyértelmű hozzárendelés. Az A és B halmazok nem csak számhalmazok lehetnek. Például: A Föld országaihoz hozzárendeljük a hivatalos fővárosukat. A = {a világ országai} B = {a világ városai}
D	Hozzárendelési szabály	A hozzárendelési szabály az az utasítás, amely egyértelműen megadja, hogy az értelmezési tartomány egyes elemeihez a képhalmaz melyik elemét kell hozzárendelni. A függvényeket általában az értelmezési tartománnyal és a hozzárendelési szabállyal szokás megadni. (Ha a számhalmazokon értelmezett függvényekre az értelmezési tartományt nem adják meg, akkor a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát tekintjük értelmezési tartománynak, amin a hozzárendelésnek értelme van.) Például: f : Rendeljük hozzá minden pozitív egész számhoz a háromszorosát. Ekkor a hozzárendelés szabálya a háromszorozás; az értelmezési tartomány a pozitív egész számok halmaza; az értékkészlet a hárommal osztható pozitív egész számok halmaza. g: Rendeljük hozzá minden valós számhoz az abszolút értékét. Ekkor a hozzárendelés szabálya az abszolútérték-képzés; az értelmezési tartomány a valós számok halmaza; az értékkészlet a nemnegatív valós számok halmaza.
D	Függvénytani jelölések	A függvények jele általában f , g, h … Értelmezési tartománya: Df , Dg, Dh … Értékkészlete: Rf , Rg, Rh … A hozzárendelést a ↦ szimbólum jelöli. Az értelmezési tartomány és a képhalmaz közé → szimbólum kerül. Például: Az előbbi példák jelölésekkel: f : N → R; x ↦ 3x; Df = N; Rf = {0; 3; 6; 9; …} = {3x|x ∈ N} g : R → R; x ↦ |x|; Dg = R; Rg = R0+ Leírhatók a hozzárendelések f : N → R; f (x) = 3x; g : R → R; g(x) = |x| módon is.
D	Helyettesítési érték	Ha x0 az f függvény értelmezési tartományának eleme, akkor a függvény x0 helyen felvett helyettesítési értéke (röviden: függvényértéke): a képhalmaznak az az eleme, amit a függvény x0-hoz rendel. Jele: f (x0) Például: Az f (x) = 3x függvénynek az 5 helyen felvett helyettesítési értéke f (5) = 3 ∙ 5 = 15; a g (x) = |x| függvény értéke a -7,2 helyen g(-7,2) = |-7,2| = 7,2.
D	Kölcsönösen egyértelmű függvény	Ha egy függvény az értelmezési tartomány bármely két különböző eleméhez az értékkészlet különböző elemeit rendeli, akkor a függvény kölcsönösen egyértelmű. Például: Az f : N → R; f (x) = 3x függvény kölcsönösen egyértelmű; a g : R → R; g (x) = |x| függvény nem kölcsönösen egyértelmű, mert például a -3-hoz és a 3-hoz ugyanazt az értéket, a 3-at rendeli.
D	Függvény megfordítása	Legyen f az A halmazon értelmezett kölcsönösen egyértelmű függvény, melynek értékkészlete a B halmaz. Az f függvény megfordítása (inverze) az a g függvény, amely minden B halmazbeli y elemhez azt az A halmazbeli x elemet rendeli, amelyre f (x) = y. Az f függvény megfordítását az f -1 szimbólummal jelölik. Például: 1. Legyen A = {kémiai elemek} és B = {vegyjelek}. Ekkor f : A → B minden elemhez a vegyjelét rendeli, például: vas ↦ Fe, ezüst ↦ Ag. A függvény megfordítása g : B → A, a vegyjelekhez az elemeket rendeli, például: S ↦ kén, Ra ↦ rádium. 2. Ha az f függvény minden valós számhoz a háromszorosát rendeli, akkor az f függvény megfordítása az a g függvény, amely minden valós számhoz a harmadrészét rendeli: f (x) = 3x, és g(x) = 1/3 x.
M	A függvény grafikonja	Ha az értelmezési tartomány és az értékkészlet is számhalmaz, akkor a függvény grafikonnal szemléltethető a derékszögű koordináta-rendszerben. Legyen az f függvénynek az x0 helyen felvett függvényértéke y0 (azaz y0 = f (x0)). Az egymáshoz tartozó x0 és y0 számokból alkotott (x0; y0) koordinátájú síkbeli pontok összessége adja a függvény grafikonját (másképp: a függvénygörbét).
D	Függvény zérushelye, szélsőértéke	Zérushely: az értelmezési tartomány azon x0 eleme (helye), amelyre f (x0) = 0, azaz ahol a függvényérték 0 (zérus). Maximum: az értékkészlet legnagyobb eleme, ha ez létezik. Maximumhely: az értelmezési tartomány azon eleme, amelyhez a maximum van hozzárendelve. Minimum: az értékkészlet legkisebb eleme, ha ez létezik. Minimumhely: az értelmezési tartomány azon eleme, amelyhez a minimum van hozzárendelve. Megjegyzés: Egy függvénynek lehet több zérushelye, maximumhelye, minimumhelye.
D	Monotonitás, a függvény menete (monoton növekvő; monoton csökkenő; szigorúan monoton növekvő; szigorúan monoton csökkenő)	Egy függvény az értelmezési tartományának egy adott intervallumán – monoton növekvő, ha az adott intervallum bármely két eleme közül a nagyobbikhoz legalább akkora helyettesítési érték tartozik, mint a kisebbikhez; – monoton csökkenő, ha az adott intervallum bármely két eleme közül a nagyobbikhoz legfeljebb akkora helyettesítési érték tartozik, mint a kisebbikhez; – szigorúan monoton növekvő, ha az adott intervallum bármely két eleme közül a nagyobbikhoz nagyobb helyettesítési érték tartozik, mint a kisebbikhez; – szigorúan monoton csökkenő, ha az adott intervallum bármely két eleme közül a nagyobbikhoz kisebb helyettesítési érték tartozik, mint a kisebbikhez. Például: Az f függvény a ]-6; 2] intervallumon monoton növekvő, ezen belül a ]-6; -2] intervallumon szigorúan monoton növekvő, a [-2; 2] intervallumon mondhatjuk monoton növekvőnek vagy monoton csökkenőnek is. Az f függvény a [2; 3[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő. Ez teljesül a [2; 3[ intervallum részhalmazaira is, például a ]2; 3[ intervallumra is. A g függvény a ]-3; -1] intervallumon szigorúan monoton csökkenő. A g függvény a [-1; 8] intervallumon szigorúan monoton növekvő. Megjegyzés: A monotonitás értelmezhető akkor is, ha a függvény értelmezési tartománya nem intervallum, hanem más számhalmaz, például a természetes számok halmaza.
D	Lineáris függvény	Az f : R → R f (x) = ax + b (a, b ∈ R) függvényt lineáris függvénynek nevezzük. A függvény grafikonja egyenes, amelynek a meredeksége a, és az egyenes az y tengelyt a (0; b) pontban metszi. Ha a = 0, akkor f (x) = b konstans függvény (nulladfokú függvény); ha a ≠ 0, akkor f (x) = ax + b elsőfokú függvény; ha a ≠ 0 és b = 0, akkor f (x) = ax az a arányszámú egyenes arányosságot leíró függvény.
D	Fordított arányosságot leíró függvény	f : R \ {0} → R f(x) = a/x (a ∈ R; a ≠ 0) Az f(x) = 1/x függvény tulajdonságai: értékkészlet: R \ {0} zérushely nincs x < 0 esetén szigorúan monoton csökken 0 < x esetén szigorúan monoton csökken szélsőérték nincs
D	Abszolútérték-függvény	f : R → R f (x) = |x|, ahol , |x| = -x, ha x < 0 és |x| = x, ha 0 ≤ x. A függvény tulajdonságai: értékkészlet: R+0 zérushely: x0 = 0 x ≤ 0 esetén szigorúan monoton csökken 0 ≤ x esetén szigorúan monoton nő minimumhely: x = 0 minimum: y = 0
D	Másodfokú függvény alapfüggvény:	f : R → R f (x) = x² általános alak: f : R → R f (x) = ax² + bx + c (a, b, c ∈ R; a ≠ 0) Az alapfüggvény tulajdonságai: értékkészlet: R+0 zérushely: x0 = 0 x ≤ 0 esetén szigorúan monoton csökken 0 ≤ x esetén szigorúan monoton nő minimumhely: x = 0 minimum: y = 0
D	Négyzetgyökfüggvény	f : R0 + → R f (x) = √x A függvény tulajdonságai: értékkészlet: R+0 zérushely: x0 = 0 szigorúan monoton nő minimumhely: x = 0 minimum: y = 0
D	a alapú exponenciális függvény	f : R → R f(x) = ax (a ∈ R+, a ≠ 1) A függvény tulajdonságai: értékkészlet: R+ zérushely nincs szélsőérték nincs a monotonitás az a értékétől függ Ha a > 1, akkor a függvény szigorúan monoton nő, ha 0 < a < 1, akkor a függvény szigorúan monoton csökken.
M	Függvénytranszformáció	Egy f függvény görbéjének ismeretében újabb függvényeket tudunk ábrázolni függvénytranszformációk segítségével (a függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára: eltolás, nyújtás vagy zsugorítás, tükrözés). Például:

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Az ábrán az f lineáris függvény grafikonján jelöltük a grafikonra illeszkedő A és B rácspontot.
Olvasd le az A és B pont koordinátáit, majd ezek segítségével határozd meg a függvény hozzárendelési szabályát!
Ennek ismeretében válaszolj az alábbiakra!
a) Milyen értéket vesz fel a függvény x = 123-nál?
b) Hol veszi fel a függvény az f (x) = 456 értéket?
c) Hol van a függvény zérushelye? A zérushely ismeretében oldd meg a valós számok halmazán az f (x) < 0 egyenlőtlenséget!

Megoldás

A pontok koordinátái: A(-5; 6) és B (5; -2), ez azt jelenti, hogy a függvény az x = -5 helyen 6, valamint az x = 5 helyen -2 értéket vesz fel.
A lineáris függvény képletét f(x) = ax + b alakban keressük.
Teljesül tehát a következő két egyenlőség:
6 = -5a + b és -2 = 5a + b.
Az a és b ismeretlenekre az egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy a = -0,8 és b = 2.
A lineáris függvény tehát az f (x) = -0,8x + 2 hozzárendelési szabállyal megadható.
a) x = 123 esetén a függvényérték helyettesítéssel számolható: f (123) = -0,8 ∙ 123 + 2, amiből f (123) = -96,4.
Tehát a függvényérték a keresett helyen -96,4.
b) Ha a függvényérték 456, akkor az x értéke a 456 = -0,8x + 2 egyenletből számítható.
Ebből x = -567,5, tehát a -567,5 helyen lesz a függvényérték 456.
c) A zérushely meghatározásakor azt a helyet kell meghatározni, ahol a függvényérték 0, ezért a 0 = -0,8x + 2 egyenlet megoldását keressük. Ebből x = 2,5 a függvény zérushelye.
A függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért az f (x) 1 0 egyenlőtlenség megoldása – az ábráról is leolvasható – minden olyan valós x, amelyre 2,5 1 x.

---

2. Legyen f(x) = x² , valamint g az a függvény, amelynek grafikonja a koordináta-rendszerben az f függvény grafikonjának v(-3; -4) vektorral való eltolásával kapható meg.
a) Add meg a g függvény hozzárendelési szabályát!
b) Határozd meg mindkét függvény zérushelyét! Válaszod számolással indokold!
c) Add meg mindkét függvény szélsőértékeinek helyét és értékét!
d) Add meg a függvények értékkészletét!
e) Jellemezd a függvényeket monotonitás szempontjából!
f) Hol metszi a g függvény grafikonja a h(x) = -3 függvény grafikonját?
Válaszod számolással igazold!

Megoldás

a) Az f függvény v vektorral való eltolása után kapott g függvény grafikonja az ábrán látható.

A transzformáció alapján:
g : R → R g (x) = (x + 3)² - 4
b) A függvények zérushelye az ábráról leolvasva, majd számolással ellenőrizve:
az f függvény zérushelye x = 0, mert f (0) = 0^2 = 0; a g függvény zérushelye x_1 = -5, valamint x_2 = -1, mert g(-5) = (-5 + 3)² - 4 = 0, valamint g(-1) = (-1 + 3)² - 4 = 0.
c) Mindkét függvénynek van minimuma, egyiknek sincs maximuma.
Az f függvény minimumának helye x = 0, értéke f(0) = 0; a g függvény minimumának helye x = -3, értéke g(-3) = -4.
d) Az f függvény értékkészlete: Rf = [0; 3[; a g függvény értékkészlete: Rg = [-4; 3[
e) Az f függvény a ]-3; 0[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a [0; 3[ intervallumon szigorúan monoton növekvő.
A függvény a ]-3; -3[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a [-3; 3[ intervallumon szigorúan monoton növekvő.
f) Ábrázoljuk az előbbi koordináta-rendszerben a h függvényt is.
Az ábráról azt láthatjuk, hogy a g és h függvények grafikonjai metszéspontjainak első koordinátája vélhetően az x1 = -4, valamint x2 = -2.
Ezt számolással ellenőrizzük:
g(-4) = (-4 + 3)² - 4 = -3, valamint g(-2) = (-2 + 3)² - 4 = -3, azaz a felvett függvényérték az adott helyeken -3.
Tehát a g függvény grafikonja a h függvény grafikonját az x_1 = -4 és az x_2 = -2 helyeken metszi.

Megjegyzés:

A g és h függvény grafikonjainak metszéspontját meghatározhatjuk a g(x) = h(x), vagyis (x + 3)² - 4 = -3 másodfokú egyenlet megoldásával is.

---

3. a) Ábrázold az R \ {0} halmazon értelmezett f(x) = 1/x + 2 függvény grafikonját!
b) Ábrázold az R \ {0} halmazon értelmezett g = |f| függvény grafikonját!
c) Ábrázold az [1; 4] halmazon értelmezett h(x) = 1/x + 2 függvény grafikonját!
d) Határozd meg az f, g és h függvények értékkészletét!
e) Az f és a g függvény közül melyiknek van szélsőértéke? Határozd meg a szélsőértéket, illetve a szélsőértékhelyet!

Megoldás

a) Az f függvény grafikonját az R \ {0} halmazon értelmezett x ↦ 1/x függvény transzformációjával kapjuk úgy, hogy ez utóbbit eltoljuk a v(0; 2) vektorral.

b) A g függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy a grafikonnak azt a részét, amelyik az x tengely „alá” esik, tükrözzük az x tengelyre.

c) A h függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy a grafikonnak azt a részét jelöljük ki, amelyik az 1 ≤ x ≤ 4 helyekhez tartozik.

d) A grafikonok alapján meghatározhatjuk a függvények értékkészletét.
A h függvény esetében behelyettesítéssel tudjuk kiszámolni, hogy x = 1 és x = 4 helyen mennyi a függvényérték: h(1) = 1/1 + 2 = 3, és h(4) = 1/4 + 2 = 2,25.
Rf = R \ {2} Rg = R0 + Rh = [2,25; 3]
e) A grafikonról leolvasható, hogy f függvénynek nincs szélsőértéke.
A g függvénynek maximuma nincs, de minimuma van azon a helyen, ahol a függvényérték 0.
0 = 1/x + 2, ebből 1/x =-2, így x =- 1/2 .
A minimumhely tehát az x =- 1/2 , a minimuma pedig y = 0.

FELADATOK I. RÉSZ

A1. Függvény vagy sem? Kölcsönösen egyértelmű vagy sem?
A táblázat minden sorában tegyél X-et abba az oszlopba, amelyik teljesül az adott hozzárendelés esetében!

	Nem függvény	Függvény, de nem kölcsönösen egyértelmű	Kölcsönösen egyértelmű függvény
Minden valós számhoz hozzárendeljük a négyzetét.
Minden háromszöghöz hozzárendeljük azt a pozitív valós számot, amely megadja területének nagyságát cm2-ben mérve.
Minden egész számhoz hozzárendeljük azt a valós számot, amelytől 2 egység távolságra van a számegyenesen.
Minden valós számhoz hozzárendeljük a hozzá legközelebb eső egész számot.
Minden valós számhoz hozzárendeljük a számnál 5-tel nagyobb számot.

---

A2. Határozd meg a valós számok halmazán értelmezett f (x) = 2x² - x - 1 függvény zérushelyeit!

---

A3. Add meg annak a lineáris függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelynek grafikonjára illeszkedik az A(-3; 2), valamint a B(5; 4) koordinátájú pont!

---

A4. Mennyi a helyettesítési értéke az x = 2- 1 helyen a valós számokon értelmezett f (x) = 9x + 5 függvénynek?

---

A5. a) Válaszd ki az ábrán lévő grafikonhoz a megfelelő hozzárendelési szabály betűjelét!
A: f (x) = (x + 5)² - 2
B: f (x) = (x - 2)² - 5
C: f (x) = (x + 2)² - 5
D: f (x) = (x - 2)² + 5
E: f (x) = x² - 2x + 5
F: f (x) = (x + 5)² + 2

b) Add meg azt a legbővebb intervallumot, ahol negatív az a) feladatrészben ábrázolt f függvény értéke!

---

A6. Számítsd ki a valós számok halmazán értelmezett f (x) = 0,5^x - 8 függvény zérushelyét!

---

A7. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz-e, vagy hamis!
A: Minden, a valós számok halmazán értelmezett másodfokú függvénynek van szélsőértéke.
B: Minden hozzárendelés függvény.
C: Minden elsőfokú függvény menete szigorúan monoton.
D: Van olyan exponenciális függvény, amelynek van zérushelye.

---

A8. Jellemezd a valós számok halmazán értelmezett f (x) = -7/3 x + 22 függvényt monotonitás szempontjából!

---

A9. Hol veszi fel a valós számokon értelmezett f (x) = -7x + 16 függvény a 13 értéket?

---

A10. Hány olyan függvény van, amelynek értelmezési tartománya az A = {1; 2; 3} halmaz, és értékkészlete a B = {5; 6; 7} halmaz?
Ezek közül hány függvény kölcsönösen egyértelmű?

---

A11. Add meg képlet segítségével az alábbi függvényeket!
f: Minden valós számhoz hozzárendeljük az 5-szörösénél 2-vel kisebb számot.
g: Minden valós számhoz hozzárendeljük a számnál 4-gyel nagyobb szám négyzetét.
h: Minden valós számhoz hozzárendeljük az abszolút értékének az ellentettjét.
i: Minden valós számhoz hozzárendeljük a négyzetgyökénél 6-tal nagyobb számot.

---

A12. Az ábrán egy f függvény grafikonja látható.
Add meg az |f| függvény

a) minimumát és minimumhelyeit!
b) maximumát és maximumhelyét!

FELADATOK II. RÉSZ

P1. Az ábrán egy ferdén kilőtt, parabolapályán haladó test mozgását jelenítettük meg.

A kilövés az időmérés kezdetén (x = 0 s) történt a talajszintnél magasabban lévő helyről.
Az x tengelyen az eltelt időt (1 másodperc 1 egység), az y tengelyen a test talajtól mért magasságát (1 méter 1 egység) mérjük.
A pályagörbét leíró függvény f (x) = -(x - 2)² + 9.
a) Igazold, hogy a test a kilövéskor 5 méter magasan volt!
b) A kilövéstől számítva mennyi idő múlva éri el a test a pálya legmagasabb pontját?
Milyen távol van ekkor a talajtól?
c) A kilövéstől számítva hány másodperc múlva lesz a test 8 méter magasan?
d) A kilövéstől számítva hány másodperc múlva érkezik a talajra a test?

---

P2. Az f és a g függvény értelmezési tartománya az R, f(x) = 3 - 2x ; g(x) = x² .
a) Ábrázold közös koordináta-rendszerben az f és a g függvény grafikonját!
b) Olvasd le az ábrádról, mely x-ekre teljesül az f(x) = g(x) egyenlet!
c) Ellenőrizd a b) részben kapott eredményt a másodfokú egyenlet megoldóképletével!
d) Oldd meg grafikusan az f (x) > g(x) egyenlőtlenséget!

---

P3. Egy internetes csomagküldő szolgálatnál a csomagküldés díja egy fix csomagolási díjból és a csomag tömegével egyenesen arányos szállítási díjból tevődik össze.
Az x dekagramm tömegű csomagért (forintban) fizetendő díjat az f (x) = 12x + 640 képlettel számítják ki.
Ha a csomag tömege eléri a 10 kg-ot, akkor az f (x) = 12x + 640 összegen felül csomagonként további 1100 Ft extra költséget számít fel a cég.
25 kg-nál nehezebb csomag kiszállítását nem vállalják.
a) Mennyi a fix csomagolási díj?
b) Mennyi az 1 dkg-ra jutó szállítási díj egy 10 kg-nál könnyebb csomag esetén?
c) Mennyibe kerül egy 450 grammos csomag küldése?
d) Hány kilogramm annak a küldeménynek a tömege, amiért összesen 1600 forintot kell fizetni?
e) Készíts grafikont a csomagokért fizetendő díjról a csomag tömegének függvényében!
f) Milyen határok között mozoghat a csomagokért fizetendő díj?

---

P4. Megadtuk hat függvény hozzárendelési szabályát és közülük háromnak a grafikonját.
A függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza.
p: x ↦ 0,5|x + 2|
q: x ↦ -2|x|
r: x ↦ |x - 2|
s: x ↦ |x + 2|
t: x ↦ -0,5|x|
u: x ↦ 0,5|x -2|

a) Válaszd ki az adottak közül az ábrán lévő három grafikonhoz tartozó hozzárendelési szabályokat!
b) Határozd meg az ábrán lévő függvények 0-hoz rendelt értékét!
c) Add meg az ábrán lévő függvények zérushelyeit!
d) Jellemezd az ábrán lévő függvényeket szélsőértékek szempontjából!

---

P5. Arnd Leike német fizikus – aki a müncheni Ludwig Maximilian Egyetem fizika tanszékének munkatársa, és alapvetően a részecskefizika a fő kutatási területe – a sörhab magasságának változására vonatkozó vizsgálatot végzett a 2000-es évek elején.
Háromféle 19 °C-os hőmérsékletű sörrel kísérletezett.
A sört az üvegből egy 7,2 cm átmérőjű hengerbe töltötte.
A sörhab néhány másodperc alatt elérte maximális magasságát, majd kezdett fokozatosan leapadni.
Leike 15 másodpercenként mérte meg a sörhab magasságát.
Az egyik sör esetében azt tapasztalta, hogy a sörhab mm-ben mért magasságának változását jó közelítéssel az f (t) = 14 ∙ 0,991^t függvény írja le a [0, 360] időintervallumban az eltelt t (másodpercekben mért) idő függvényében.
a) Hány mm magas volt eredetileg ennek a sörnek a habja?
b) Milyen magas volt a hab 1 perc eltelte után?
c) Hány másodperc elteltével volt a hab magassága 3 mm?
A válaszod egy tizedesjegy pontossággal add meg!
d) Vázold a hab magasságára vonatkozó függvény grafikonját a derékszögű koordináta-rendszerben az első 120 s-ra vonatkozóan!
Válaszd meg észszerűen a koordinátatengelyek beosztását!
(A sörhabbal kapcsolatos tanulmányért Leike doktor később – a hasonló nevű Nobel-díjtól eltérő – Ignobel-díjat kapott, amit a meglepő, ám haszontalan felfedezésekért ítélnek oda.)

47. Számtan, algebra

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

Bevezető

A számtan – a számok és a számolás tudománya – a matematika legrégebbi és egyik legszerteágazóbb területe.
Fejlődése nyomon követhető az ujjakon végzett egyszerű számolásoktól egészen a napjaink szuperszámítógépeivel végzett számításokig.
A számokkal való műveletek alapos ismerete, a betűs kifejezések használatában való jártasság, az egyenletek, egyenletrendszerek megoldása nemcsak a matematikában fontos, hanem a többi tudományágban, valamint a hétköznapi életben is (pl. pénzügyi számítások, lakásfelújítás, konyhai műveletek).

FOGALMAK, TÉTELEK, MÓDSZEREK

1. SZÁMELMÉLET

D	A valós számkör	N = természetes számok halmaza Z = egész számok halmaza Q = racionális számok halmaza Q* = irracionális számok halmaza R = valós számok halmaza racionális számok halmaza (Q) egész számok halmaza (Z) természetes számok halmaza (N) irracionális számok halmaza (Q* ) valós számok halmaza (R) Természetes számok: 0; 1; 2; 3; … Egész számok: … -2; -1; 0; 1; 2; … Racionális számok: a két egész szám hányadosaként előállítható számok. Például: 5/7; 2,03; -5; `3,dot(4) 0dot(5)` Irracionális számok azok a (valós) számok, amelyek nem állnak elő két egész szám hányadosaként. Például: `sqrt(2)` ; lg 3; π A racionális és az irracionális számok halmazának uniója a valós számok halmaza. A valós számok kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők a számegyenes pontjainak.
T	Valós számok tizedes tört alakja	Minden racionális szám tizedes tört alakja véges vagy végtelen szakaszos. Például: 3/5 = 0 6; , 1/6 = `0,1dot(6)` Minden irracionális szám tizedes tört alakja végtelen nem szakaszos.
D	Intervallum	Azoknak az x valós számoknak a halmaza, amelyekre az a és b valós számok esetén - a < x < b, az a; b nyílt intervallum, jele: ]a; b[; - a ≤ x < b, az a; b balról zárt, jobbról nyílt intervallum, jele: [a; b[; - a < x ≤ b, az a; b balról nyílt, jobbról zárt intervallum, jele: ]a; b]; - a ≤ x ≤ b, az a; b zárt intervallum, jele: [a; b]; - ]a; 3[ jelöli azon valós számok halmazát, melyekre a < x; - ]-3; b[ jelöli azon valós számok halmazát, melyekre x < b. Például: az A = ]-2; 1[, B = [2; 4[, C = [5; 6] intervallumok a számegyenesen:
D	Oszthatóság	Az a természetes szám osztható a b természetes számmal, ha van olyan c természetes szám, hogy a = bc. Ekkor b osztója az a-nak, az a szám többszöröse a b-nek. Jele: b;a Például: 2|6; 0|0, vagyis a 0 osztója 0-nak, azaz a 0 többszöröse a 0-nak. Megjegyzés: Az oszthatóság egy reláció két természetes szám között. Nem tévesztendő össze az osztás művelettel.
D	Prímszámok	Azok a pozitív egész számok, amelyeknek pontosan két pozitív osztójuk van. Például: 2; 3; 5; 7; 11 A definíció szerint az 1 nem prímszám.
D	Összetett számok	Azok a pozitív egész számok, amelyeknek kettőnél több osztójuk van. Például: 4; 15; 26; 49 A definíció szerint az 1 nem összetett szám.
D	Legnagyobb közös osztó	Két vagy több pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a közös osztók közül a legnagyobb. Jele: (a; b)
M	A legnagyobb közös osztó meghatározása	Két vagy több pozitív egész szám legnagyobb közös osztóját a számok prímtényezős felbontásából megkapjuk, ha a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb kitevőjű hatványra emeljük, majd ezeket összeszorozzuk. Ha nincsenek közös prímtényezők, akkor a legnagyobb közös osztó 1. Például: (25 ∙ 3; 23 ∙ 34) = 23 ∙ 3; (25 ∙ 3; 53 ∙ 7) = 1
D	Legkisebb közös többszörös	Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse a pozitív közös többszörösök közül a legkisebb. Jele: [a; b]
M	A legkisebb közös többszörös meghatározása	Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszörösét megkapjuk, ha a számok prímtényezős felbontásában az előforduló összes prímszámot az előforduló legnagyobb hatványon összeszorozzuk. Például: [25 ∙ 5; 23 ∙ 34] = 25 ∙ 34 ∙ 5
D	Relatív prímek	Két pozitív egész szám egymással relatív prím, ha a legnagyobb közös osztójuk 1.
T	Műveleti tulajdonságok (a, b, c ∈ R)	Kommutativitás, felcserélhetőség: a + b = b + a &emp;ab = ba Asszociativitás, csoportosíthatóság: (a + b) + c = a + (b + c) &emp;(ab)c = a(bc) Disztributivitás, széttagolhatóság: a(b + c) = ab + ac

2. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

D	Valós szám egész kitevőjű hatványai	a ∈ R és n ∈ Z+ \ {1} esetén an egy olyan n-tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. a ∈ R esetén a1 = a. a ∈ (R \ {0}) és n ∈ Z+ esetén `a^(-n)=1/(a^n)`. a ∈ (R \ {0}) esetén a0 = 1. A 0-nak nem értelmezzük sem a nulladik, sem negatív kitevőjű hatványát.
T	A hatványozás azonosságai	Minden olyan a, b, m és n esetében, amelyekre értelme van a következő kifejezéseknek, igaz, hogy: `a^n * a^m = a^(n+m)` ; `a^n / a^m = a^(n-m)` ; `(a^n)^m = a^(n*m)` ; `(a*b)^n = a^n*a^m` ; `(a/b)^n = a^n/b^n`
D	A négyzetgyök	Az a nemnegatív valós szám esetén `sqrt(a)` jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek a négyzete a-val egyenlő, azaz `(sqrt(a)^2)^2=a` . Például: `sqrt(9) = 3`, mert 3 ≥ 0, és 3² = 9.
T		Bármely valós a esetén: `sqrt(a^2) = |a|` . Például: `sqrt(200)=sqrt(100)*sqrt(2)`; `sqrt(25^3)=(sqrt(25))^3`
T	A négyzetgyökvonás azonosságai	Minden olyan a, b nemnegatív valós szám és k egész szám esetén, amelyekre értelme van a következő kifejezéseknek, igaz, hogy `sqrt(a * b) = sqrt(a) * sqrt(b)` ; `sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)` ; `sqrt(a^k)=(sqrt(a))^k`. Például: `sqrt(200) = sqrt(100) * sqrt(2)` ; `sqrt(25^3)= (sqrt(25))^3`
D	n-edik gyök	Ha a nemnegatív valós szám, és n páros pozitív egész, akkor `root(n)(a)` jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek n-edik hatványa a, azaz `(root(n)(a))^n = a`. Ha a valós szám, és n 1-nél nagyobb páratlan pozitív egész, akkor `root(n)(a)` jelenti azt a valós számot, amelynek n-edik hatványa a, azaz `(root(n)(a))^n = a`. Például: `root(3)(8) = 2; root(4)(625) = 5; root(5)(-32) =-2`
T		Ha a valós szám, és n páros pozitív egész szám, akkor `root(n)(a^n) = |a|` . Ha a valós szám, és n 1-nél nagyobb páratlan pozitív egész szám, akkor `root(n)(a^n) = a`. Például: `root(4)((-5)^4) = |-5| = 5; root(3)(2^3) = 2; root(5)((-7)^5) = -7`
D	Törtkitevőjű hatvány	Ha az a pozitív valós szám, p és q egész számok, és q > 1, akkor a `a^(p/q) =root(q)(p)`. Például: `5^(2/3) = root(3)(5^2); a^(1/2) = root(2)(a^1) = sqrt(a); 7^(-4/5) = root(5)(7^(-4))`.
D	A logaritmus	Ha a, b pozitív valós szám, és a ≠ 1, akkor az log_a b jelenti azt a valós hatványkitevőt, amelyre az a-t emelve b-t kapunk, azaz `a^(log_a b) = b`. A log_a b-t így olvasssuk: a alapú logaritmus b. Az a a logaritmus alapszáma. A 10-es alapú logaritmus jele: lg. Például: log_2 8 = 3; log_9 3 = 1/2; log_5 1/5 = -1; lg 100 = 2 Ha a pozitív valós szám, és a ≠ 1, akkor log_a a = 1, valamint log_a 1 = 0.
T	Áttérés más alapú logaritmusra	Ha a, b és c pozitív valós számok, a ≠ 1, és c ≠ 1, akkor `log_a b = (log_c b)/(log_c a)`. Például: `log_4 3 = (log_2 3)/(log_2 4) = (log_2 3)/2; log_5 2 = (lg 2)/(lg 5)`

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

T	Nevezetes azonosságok	(a, b ∈ R) `(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2` `(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2` `(a + b)(a - b) = a^2 - b^2`
D	Egyenlet alaphalmaza	A valós számok halmazának az a részhalmaza, amelynek az elemei között a megoldásokat keressük.
D	Egyenlet megoldáshalmaza	Az alaphalmaz azon elemeinek összessége, amelyek igazzá teszik az egyenletet.
M	Mérlegelv	Az egyenletek megoldása során nem változik meg az egyenlet megoldáshalmaza, ha az egyenlőségjel két oldalán álló kifejezést ugyanazzal a valós számmal vagy kifejezéssel növeljük vagy csökkentjük, illetve ugyanazzal a nullától különböző valós számmal vagy kifejezéssel szorozzuk vagy osztjuk.
M	Ekvivalens átalakítás	Azok az átalakítások, amelyek nem járnak gyökvesztéssel, és nem adódik olyan megoldás, amely nem gyöke az eredeti egyenletnek. Nem ekvivalens átalakítás lehet pl. ismeretlennel való szorzás vagy osztás, hatványozás, gyökvonás.
D	A másodfokú egyenlet	általános alakja ax² + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R, és a ≠ 0)
T	A másodfokú egyenlet megoldóképlete	Az ax² + bx + c = 0 egyenlet esetén az egyenlet megoldásai (gyökei): `x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)` (a, b, c ∈ R, és a ≠ 0)
D	A másodfokú egyenlet diszkriminánsa	(a, b, c ∈ R, és a ≠ 0) Az ax² + bx + c = 0 egyenlet megoldóképletében a négyzetgyökjel alatt lévő kifejezés: D = b² - 4ac. Ha D > 0, két különböző valós gyöke van az egyenletnek, ha D = 0, egy valós gyöke (két egyenlő valós gyöke) van az egyenletnek, ha D < 0, nincs valós gyöke az egyenletnek.
T	A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja	(a, b, c ∈ R, és a ≠ 0) Ha az ax² + bx + c = 0 egyenlet valós gyökei x_1 és x_2, akkor ax² + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). Például: A 3x² - 2x - 1 = 0 egyenlet valós gyökei x_1 = 1 és x_2 = -3 1 , ezért 3x² - 2x - 1 = 3(x - 1)(x + 1/3).
	n alapú számrendszer (n ∈ N, n ≥ 2)	Az n alapú számrendszerben: n db számjegy használható, a 0; 1; 2; …; n - 1 számjegyek (ha n > 10, akkor A = 10, B = 11 …), a számjegyek helyi értéke jobbról balra haladva 1; n1; n2; n3 … Például: A hatos számrendszerben a számjegyek 0; 1; 2; 3; 4 és 5. A helyi értékek jobbról balra haladva 1; 61; 62; 63. 2304_6 = 2 ∙ 63 + 3 ∙ 62 + 0 ∙ 61 + 4 ∙ 1, tehát 2304_6 = 544.
D	Egyenes arányosság	Két változó mennyiség között egyenes arányosság van, ha összetartozó értékeik hányadosa 0-tól különböző állandó. Egyenes arányosság van például: egyenletes mozgás esetén a megtett út és a közben eltelt idő között; órabér esetén a ledolgozott munkaórák és az azokért kapott fizetség között; a négyzet oldalhossza és a kerülete között.
D	Fordított arányosság	Két változó mennyiség fordítottan arányos, ha teljesül a következő: ahányszorosára változik az egyik mennyiség, annyiad részére változik a másik. Ekkor a változó mennyiségek összetartozó értékeinek szorzata állandó. Fordított arányosság van például: adott mennyiségű pénzből vásárolható azonos termékek egységára és darabszáma között; adott területű téglalap oldalhosszai között; adott menynyiségű anyag elszállításához szükséges teherautók száma és az azok által megtett fordulók száma között.
D	Százalék	Ha egy k mennyiség az a mennyiségnek p százaléka, akkor k = a/100*p . Például: 72-nek a 15%-a egyenlő 72 századrészének a 15-szörösével, 100 , 72/100 * 15 =10,8-del.

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. a) Alakítsd szorzattá az alábbi kifejezéseket!
3x² - 12x
3x² - 12
3x² - 12x + 12
b) Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
3x² - 12x = 0
3x² - 12 = 0
3x² - 12x + 12 = 0

Megoldás

a) Mindhárom kifejezés esetében alkalmazható a kiemelés módszere, majd a második és harmadik esetben nevezetes azonosságok is.
3x² - 12x = 3x(x - 4)
3x² - 12 = 3(x² - 4) = 3(x - 2)(x + 2)
3x² - 12x + 12 = 3(x² - 4x + 4) = 3(x - 2)²
b) Az egyenletek bal oldalát az a) feladatrészben megkapott szorzatalakban írva és felhasználva, hogy egy szorzat értéke akkor és csak akkor nulla, ha az abban szereplő valamely tényező értéke nulla, adódik:
3x² - 12x = 0
3x(x - 4) = 0
I. eset vagy II. eset
3x = 0 vagy x - 4 = 0
x = 0 vagy x = 4
M = {0; 4}

3x² - 12 = 0
3(x - 2)(x + 2) = 0
I. eset vagy II. eset
x - 2 = 0 vagy x + 2 = 0
x = 2 vagy x = -2
M = {2; -2}

3x² - 12x + 12 = 0
3(x - 2)² = 0
(x - 2)² = 0
x - 2 = 0
x = 2
M = {2}
A kapott eredmények az eredeti egyenlet megoldásai, mert ekvivalens átalakításokat végeztünk.
(Ha nem csak ekvivalens átalakításokat végeztünk, mindenképpen ellenőrizzük a megoldásokat behelyettesítéssel.)

---

2. a) Alakítsd szorzattá a 3x² - 8x - 35 kifejezést!
b) Oldd meg a 3x² - 8x - 35 < 0 egyenlőtlenséget az egész számok halmazán!

Megoldás

a) A 3x² - 8x - 35 másodfokú kifejezés szorzattá alakítása a gyöktényezős alak felírásával végezhető el.
A 3x² - 8x - 35 = 0 egyenlet gyökei: `x_(1,2)=(-(-8)+-sqrt((-8)^2-4*3*(-35)))/(2*3)=(8+-22)/6` , amiből x_1 =-7/3 , valamint x_2 = 5, ezért a gyöktényezős alak:
3x² - 8x - 35 = 3(x +7/3)(x -5)
b)

Első megoldás (grafikus módszer)

Tekintsük a valós számokon értelmezett f (x) = 3x² - 8x - 35 másodfokú függvényt.
A függvény grafikonja a másodfokú tag együtthatójának pozitív előjele miatt felfelé nyitott (konvex) parabola.
A 3x² - 8x - 35 = 0 egyenlet gyökei megadják az f függvény zérushelyeit, tehát a függvény grafikonja az abszcisszatengelyt az x_1 =-7/3 , valamint az x_2 = 5 helyeken metszi.
Előbbiek felhasználásával a függvénygörbe vázolható, és a függvény grafikonjáról leolvasható az egyenlőtlenség megoldása.

Az eredeti egyenlőtlenség megfelel az f (x) < 0 egyenlőtlenségnek, vagyis azt kell meghatározni, hogy a függvény által felvett értékek hol negatívak.
Az ábrán piros színnel jelölt intervallum megadja az egyenlőtlenséget teljesítő valós x értékek halmazát, de mivel az egyenlőtlenség alaphalmaza az egész számok halmaza, ezért a megoldáshalmaz elemei a jelölt intervallumba eső egész számok, tehát ]-7/3;5[ ∈ Z , vagyis:
M = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.

Második megoldás (algebrai módszer)

A 3x² - 8x - 35 < 0 egyenlőtlenség megoldása elvégezhető a b) feladatrészben felírt szorzatalak segítségével is.
A 3(x +7/3)(x -5) < 0 egyenlőtlenség bal oldala egy háromtényezős szorzat, amelynek egyik tényezője (a 3) pozitív előjelű, ezért elegendő az (x +7/3)(x -5) szorzat előjelének vizsgálata.
(x +7/3)(x -5) szorzat akkor negatív, ha egyik tényezője sem 0, és a két tényező előjele egymással ellentétes.
A tényezők értékének előjelvizsgálatához célszerű ún. előjeltáblázat készítése, melyből a megoldás leolvasható.
Mivel (x +7/3)(x -5) = 0 akkor teljesül, ha x_1 =-7/3 , vagy x2 = 5, ezért:

	x < -7/3	x = -7/3	-7/3 < x < 5	x = 5	5 < x
x + 7/3 értéke	negatív	0	pozitív	pozitív	pozitív
x - 5 értéke	negatív	negatív	negatív	0	pozitív
(x +7/3)(x -5) értéke	pozitív	0	negatív	0	pozitív

A táblázatból kiolvasható, hogy a szorzat negatív, ha -7/3 < x < 5, de az alaphalmaz miatt ennek az intervallumnak csak az egész elemei tartoznak a megoldáshalmazba, így: M = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.

---

3. Írd át 6-os számrendszerbe a 3014_5 számot!

Megoldás

Először átírjuk az adott számot 10-es számrendszerbe:
30145 = 3 * 5³ + 0 * 5² + 1 * 5 + 4 = 3 * 125 + 0 * 25 + 1 * 5 + 4 = 384
Ezután a 10-es számrendszerből térünk át a 6-osra.
A 6 legkisebb hatványai: 1, 6, 36, 216, 1296.
Közülük a 216 még kisebb a 384-nél, de az 1296 már nagyobb nála.
384 = 1 * 216 + 168; 168 = 4 * 36 + 24; 24 = 4 * 6.
Tehát 3014_5 = 384 = 1 * 216 + 4 * 36 + 4 * 6 + 0 * 1, vagyis 384 = 1440_6.

---

4. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) `sqrt(3 - 7x) =-2
b) `sqrt(4x - 3) = x - 6

Megoldás

a) Egy valós szám négyzetgyöke nemnegatív szám, ezért nem lehet az értéke az egyenlet jobb oldalán álló -2.
Tehát az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.
b) A négyzetgyökvonás művelete a nemnegatív valós számokon értelmezett, és eredményként nemnegatív valós számot ad a kifejezés.
A bal oldalon álló kifejezés értelmezési tartományát a 4x - 3 ≥ 0 egyenlőtlenség megoldása adja: x ≥ 3/4 .
Mivel a bal oldal értéke nemnegatív, ezért a jobb oldalra is teljesülnie kell az x - 6 ≥ 0 relációnak, amiből x≥ 6.
A két egyenlőtlenség egyidejűleg akkor teljesül, ha x≥ 6.
Ezt követően (ezen a halmazon) ekvivalens átalakításokkal az egyenlet megoldása:
`sqrt(4x - 3) = x - 6 / ()^2`
4x - 3 = x² - 12x + 36
0 = x² - 16x + 39
`x_(1,2) = (-(-16)+-sqrt((-16)^2-4*1*(39)))/(2*1)=(16+-10)/2
, amiből x_1 = 3, valamint x_2 = 13.
Az előzetes feltételeket x_1 = 3 nem teljesíti, ezért nem megoldása az egyenletnek, x_2 = 13 teljesíti, ezért megoldása az egyenletnek, így a megoldáshalmaz M = {13}.

Megjegyzések:

1. A feladat megoldható az értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata nélkül is, de ezek elhagyásakor a kapott gyökök mindegyikét ellenőrizni kell az eredeti egyenletbe való visszahelyettesítéssel.
2. Az egyenlőtlenség megoldása során kapott relációkat érdemes számegyenes mentén ábrázolni, ez megkönynyíti a feladat átláthatóságát, könnyebbé teszi a halmazmetszetek létrehozását.
Például a b) feladatrészben:

---

5. Két cég, az Egyik Kft. és a Másik Kft. közösen vállalta el egy termék mintadarabjainak elkészítését.
Ha az Egyik Kft. az eredeti vállalásnak csak 4/5 részét teljesíti, a Másik Kft. pedig 10%-kal felülmúlja a tervet, akkor közösen 4300 darab terméket készítenek.
Viszont ha az Egyik Kft. az eredeti tervek 5/6 részét tudja legyártani, és a Másik Kft. 5%-os termelésnövekedésre képes, akkor 4230 darab terméket tudnak közösen gyártani.
Eredetileg hány termék gyártását vállalta az Egyik Kft. és a Másik Kft.?

Megoldás

Legyen az Egyik Kft. eredeti tervének megfelelő darabszám x; a Másik Kft. esetében pedig y.
Az I. változat szerint: 4/5x +110/100y = 4300
A II. változat szerint: 5/6x +105/100y = 4230
A két egyenlet együtt egy kétismeretlenes egyenletrendszert alkot.
Célszerű a megoldást az egyenlő együtthatók módszerével végezni, ezért az I. sort szorozzuk 5/4 -del, a II. sort 6/5 -del.
II. x + 1,375y = 5375
II. x + 1,26y = 5076
Az I. és II. sor különbsége: 0,115y = 299, ebből y = 2600.
Az y = 2600 valamelyik tetszőleges sorba való visszahelyettesítésével x = 1800 adódik.
Ellenőrzés a szöveg szerint:
I. változat esetén: Az Egyik Kft. eredeti vállalása 1800 darab, ennek 4/5 része 1440, a Másik Kft. eredeti vállalása 2600 darab, ennek 110%-a 2860, így együtt 4300 darabot tudnak gyártani.
II. változat esetén:
Az Egyik Kft. eredeti vállalása 1800 darab, ennek 5/6 része 1500, a Másik Kft. eredeti vállalása 2600 darab, az 5%-os növekedés miatt 105%-ot, vagyis 3120 darabot gyártanak, így a két cég 4300 darabot.
Válasz:
Az Egyik Kft. eredetileg 1800, a Másik Kft. 2600 darab termék előállítását vállalta.

---

6. Egy ingatlanbecslő szerint Kovács úr lakásának jelenlegi értéke (2022 januárjában) 7,8 millió forint.
Kovács úr azt tervezi, hogy eladja lakását, és helyette egy kisebbet fog vásárolni.
Az új lakás ára 5,2 millió forint, és az adásvétellel kapcsolatos költségek várhatóan 400 000 forint körül lesznek.
Az ingatlan eladása adó befizetésével jár (mivel ilyenkor a tulajdonos bevételre tesz szert).
Az adó az adóalap 15%-a, és az adóalapot az „eladási ár - (vételár + költségek)” képlet alapján számítják.
a) Mennyi adót kell fizetnie Kovács úrnak, ha az ingatlan-adásvétel a terv szerint zajlik?
b) Mennyit fog érni a jelenlegi lakás 4 teljes év eltelte után, ha a lakás értékcsökkenésének mértéke évi 3% (és időközben nem végeznek lakásfelújítást)?

Megoldás

a) A képlet szerint az adó 7,8 · 10^6 - (5,2 · 10^6 + 0,4 · 10^6) = 2,2 · 10^6 forintnak a 15%-a, vagyis 2,2 · 10^6 · 0,15 = 330 000 forint.
b) A 3%-os csökkenés miatt a lakás értéke az előző évinek mindig a 97%-ára, vagyis 0,97-szorosára esik vissza.
Így a 4 teljes év alatt összesen 0,974-szeresére csökken a lakás értéke.
Tehát 7,8 · 10^6 · 0,974 ≈ 6,9 · 10^6 forint lesz a lakás értéke 4 teljes év elteltével.

---

7. A Föld népessége 2020 év végén közelítőleg 7,753 milliárd volt.
2022 július végén már körülbelül 7,963 milliárd ember élt a Földön.
a) Hány százalékos volt a népesség havi átlagos növekedése ebben az időszakban?
b) Ugyanilyen ritmusú növekedés mellett milyen népesség várható 2022 év végére?
c) Ilyen mértékű növekedés mellett mikor éri el a világ népessége a 9 milliárdot?

Megoldás

a) A szöveg alapján az eltelt 19 hónap alatt bekövetkezett változásra felírható egyenlet:
7,963 · 10^9 = 7,753 · 10^9 · q^19, ahol q a növekedésre vonatkozó arányszám.
Az egyenlet oldalainak 7,753 · 10^9-nel való osztása után 1,027 . q^19, ahonnan 19. gyökvonással (vagy mindkét oldal 1/19-re történő hatványozásával) adódik: q ≈ 1,0014, ami 100,14%-nak felel meg, ezért átlagosan közelítőleg havi 0,14%-os növekedést jelent.
b) Az a) feladatrészben megkapott 0,14%-os növekedéssel számolva 2022 év végére (ami a július után 5 hónappal következik be) felírható:
A = 7,963 · 10^9 · 1,0014^5, ami számolás után A = 8,018 · 10^9 értéket ad.
A 2022 év végére várható népesség tehát közelítőleg 8,018 milliárd fő.
c) Jelölje a 2022 év vége óta eltelt hónapok számát x, így 9 · 10^9 = 7,753 · 10^9 · 1,0014x.
Az egyenlet oldalainak 7,753 · 10^9-nel való osztása után 1,161 ≈ 1,0014^x.
Ezek után azt keressük, hogy 1,0014-nek hányadik hatványa lesz közelítőleg 1,161-del egyenlő.
A logaritmus definíciójának felhasználásával a keresett hatványkitevő értéke: log_ 1,161 1,0014.
A számérték meghatározását a logaritmus új alapra átírásával végezhetjük el:
log_ 1,161 1,0014 = lg 1,161/lg1,0014 = 106,7 ≈ 107.
Vagyis 2020 után közel 107 hónapnak kell eltelnie, hogy a népesség elérje a 9 milliárdot, tehát várhatóan 2029 év végén (novemberben) következik be.

FELADATOK I. RÉSZ

A1. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!
A: Ha két szám abszolút értéke egyenlő, akkor harmadik hatványaik is egyenlők.
B: A kettes számrendszerben felírt 101111 szám a tízes számrendszerben 47.
C: Bármely öt prímszám összege páros.
D: A 90 és a 75 legkisebb közös többszöröse a 900.
E: A prímszámok közül ki tudunk választani ötöt úgy, hogy az összegük páros legyen.

---

A2. Egy autó értéke egy év alatt 6%-kal csökkent, így jelenleg 2 280 000 Ft-ot ér.
Mennyi volt az értéke 1 évvel ezelőtt?

---

A3. Pista a bankkártyája négyjegyű PIN-kódjából két dologra emlékszik.
Az egyik, hogy benne van a 123 háromjegyű szám, a másik, hogy a kód olyan szám, ami osztható 4-gyel.
Mi lehet a PIN-kód?
Válaszod indokold!

---

A4. A 3-nak hányadik hatványa `9/sqrt(27)` ?

---

A5. Adott a (2x -1)² - 3x(2x - 4) másodfokú kifejezés.
Rendezd a másodfokú kifejezést általános alakra (ax² + bx + c, ahol a, b, c ∈ R), majd számold ki a kifejezés helyettesítési értékét x =-1/2 esetén!
Megoldásod részletezd!

---

A6. Hány olyan természetes szám van, amelyre értelme van a `sqrt(47 - 3x)` kifejezésnek?

---

A7. Az alábbiak közül melyik kifejezés értéke racionális szám?
A = `log_5 sqrt(5)`
B = log_9 1/3
C = π⁰
D = `(sqrt(7))^(-2)*(sqrt(7))^5`

---

A8. Írd fel a -2x² + 4x - 3 = 0 másodfokú egyenlet diszkriminánsát!
Hány valós gyöke van az egyenletnek?

---

A9. Mely valós számpárok teszik igazzá az egyenletrendszert?
I. 4x -3y =-10
II. 2x +6y = 10

---

A10. Írd fel szorzat alakban a következő kifejezéseket!
a) 6ab² - 9b
b) 3x² -12x +12

---

A11. Egy üzem 21 egyforma teljesítményű gépe 4,4 óra alatt gyártaná le a megrendelt mintadarabokat.
18 ugyanilyen teljesítményű gép hány perc alatt tudja legyártani a megrendelést?

---

A12. Húzd alá a megfelelőt a vastagon írt lehetőségek közül ahhoz, hogy igazak legyenek az állítások!
a) Ha két különböző pozitív egész szám legnagyobb közös osztója 1, akkor azok egyik osztója a másiknak / relatív prímek.
b) Ha egy nem nulla valós számnak van négyzetgyöke, akkor értelmezzük / nem értelmezzük a 10-es alapú logaritmusát.
c) Azonos alapú hatványok szorzását úgy is elvégezhetjük, hogy a közös alapot a kitevők összegére/különbségére/szorzatára emeljük.
d) Ha egy szám racionális, akkor biztosan eleme a természetes/egész/irracionális/valós számok halmazának is.

FELADATOK I. RÉSZ

B1. Válaszd ki azokat az egyenlőségeket, amelyek minden a; b ! R+ esetén igazak!
A: `sqrt(ab) = sqrt(a) * sqrt(b)`
B: (a - b)² = a² - ab + b²
C: `(a^(-1))/b=b/a`
D: log_(a+b) (a + b) = 1

---

B2. Adj meg növekvő sorrendben négy olyan racionális számot, amelyek elemei a ]-2; 0] intervallumnak!
A megadott számok közül legalább kettőt két egész szám hányadosaként írj fel!

---

B3. Antal édesanyja három és félszer olyan idős most, mint Antal.
8 év múlva életkoraik hányadosa 2,5 lesz.
Hány éves most Antal?
Megoldásod részletezd!

---

B4. Milyen számjegy állhat az A és a B helyén, ha a négyjegyű 5A7B szám osztható 15-tel?

---

B5. Egy iskola tanulóinak 28%-a végzős, a végzősök 75%-a, vagyis 168 diák egyetemen kíván továbbtanulni.
Hány diák jár összesen ebbe az intézménybe?

---

B6. Oldd meg a (2x -1)(2x +1) = 8 egyenletet a valós számok halmazán!

---

B7. Igaz vagy hamis?
a) Van olyan valós szám, amelynek második hatványa nagyobb a harmadik hatványánál.
b) Egy negatív szám negatív kitevős hatványa lehet pozitív.
c) Van olyan nullától különböző valós szám, amelynek ellentettje egyenlő a szám abszolút értékével.

---

B8. Add meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyre a lg(7 - 3x) kifejezésnek értelme van!

---

B9. Add meg kettes számrendszerben az 1234_6 számot!

---

B10. Hány természetes szám teszi igazzá az egyenlőtlenséget? Válaszod indokold! 2x - 7 ≤ 0

---

B11. Írj az x helyére olyan számjegyet a `72/(x4)` törtben, hogy az 1-nél nagyobb értékű, véges tizedes tört legyen!

---

B12. A 2-nek hányadik hatványával egyenlő `8 ^(-3/4)` ?

FELADATOK II. RÉSZ

P1. a) Oldd meg az egyenletet a racionális számok halmazán! `3^x*9^(-x)= 27*(1/3)^(2x)`
b) Milyen egész számok esetén teljesül az egyenlőtlenség? (x -1)² +(x - 3)(x + 3) ≤ 4
c) Bizonyítsd be, hogy az |x - 6| +(x + 6)² = 0 egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán!

---

P2. Két hajó, az AngryMan és a BigBlue ugyanabból a kikötőből indul útra március 1-én.
Ezt követően ugyanebből a kikötőből az AngryMan 18 naponként, a BigBlue pedig 20 naponként indul újra útjára, majd mindig újra visszatér.
a) Ugyanebben a naptári évben melyik napokon fognak ismét együtt indulni a kikötőből?
b) A két hajó egyik alkalommal ugyanabban az irányban, egymással párhuzamos útvonalon indul el.
Az AngryMan éppen délben 35 km/h sebességgel, a BigBlue azt követően 45 perccel, 45 km/h sebességgel indul.
Hány óra múlva és milyen távolság megtétele után éri utol a BigBlue a másik hajót?
c) Az AngryMan hajóskapitánya és kormányosa életkorainak összege 92 év.
Ha az életkoraik összege megduplázódik, akkor a kapitány 4 év híján 100 éves lesz.
Hány évesek jelenleg?

---

P3. A Földön, a tengerszinten mért légnyomás értéke közelítőleg p0 = 105 Pa (pascal).
A légnyomás mértékét a tengerszinttől h km magasságban a p = p0* 2,718^(-0,1275) összefüggés adja meg.
a) Mekkora a légnyomás a tengerszint fölött 100 méterrel?
b) A tengerszint fölött milyen magasságban lesz a légnyomás értéke 0,9 · 10^5 Pa?

---

P4. Egy baráti társaság egynapos kirándulást tervez.
A közös költségekre 12 000 Ft-ot szednek össze fejenként.
A nap végén kiderül, hogy 4000 Ft-tal kevesebb pénzt szedtek össze, mint amennyire szükség volt.
Ha 13 000 Ft-ot szedtek volna, akkor pontosan anynyival gyűlt volna össze több pénz, mint amennyivel kevesebbet szedtek össze eredetileg.
a) Hány fős ez a baráti társaság?
b) A társaság tagjai emlékeznek rá, hogy a közös hajókirándulás két éve összesen 23 000 Ft-ba került.
Ez az érték egy év alatt 20%-kal nőtt, és az azt követő évben 30%-os volt az áremelkedés.
Mennyi lett a hajókirándulás ára a két év eltelte után?
Hány százalékos két év alatt az árnövekedés?

---

P5. Április 11-re, a költészet napjára egy iskola közössége flashmobelőadással készül.
Az iskola minden diákja részt vesz az eseményen.
Az előadás során olyan téglalap alakzatban szeretnének felállni, ahol soronként 6; 8; 9 vagy 10 diák helyezkedik el, de így az utolsó sorra minden esetben 4 diák marad.
a) Hány diák tanul az intézményben, ha tudjuk, hogy 500-nál kisebb az összlétszám?
b) Hogyan tudják létrehozni a téglalap alakzatot, ha azt szeretnék, hogy minden sorban ugyanannyi diák legyen, és soronként legalább 6, de kevesebb, mint 11 diák álljon?

FELADATOK II. RÉSZ

Q1. Add meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét közönséges tört alakban, ha a = 0,3 és b = 1/3 !
a) `((a^2)-1*a^3)/b`
b) `sqrt(10*b*a^(-1))`
c) `0,5*log_b 10a`

---

Q2. Informatikai eszközök tervezésekor fontos szempont, hogy egy bizonyos feladat elvégzése mennyi időt vesz igénybe.
Ez részben az eszköz fizikai tulajdonságaitól, részben a feladat bonyolultságától függ.
Például „az egérrel rámutatni egy kívánt ikonra” egy olyan mozdulatsor, amelynek a „bonyolultsági indexét” (ID) az ID = log_2 2x/d összefüggéssel számítják ki.
A képletben x a kiindulópont és a célpont távolsága a monitoron, d pedig a célpont átmérője azonos mértékegységben kifejezve.
a) Mekkora ID-érték tartozik egy olyan mozdulathoz, amely során egy 0,5 cm átmérőjű ikonra 8 cm távolságról indulva kell rámutatni?
b) Hányszorosára nő ez az érték (azaz hányszor annyi idő kell a feladat elvégzéséhez), ha ugyanezt az ikont 4-szer távolabbról próbáljuk eltalálni?

---

Q3. Oldd meg az egyenleteket a negatív valós számok halmazán!
a) 2x² - x -1 = 0
b) `sqrt(2x +11) = x + 4`
c) `sqrt(x) + |x| + x² = 0`

---

Q4. a) Mi a számrendszer n alapja, ha: 20123_n = 539 teljesül (n egész szám, és 1 < n)?
b) Melyik a nagyobb értékű?
A legkisebb négyjegyű szám a hármas számrendszerben vagy a legnagyobb háromjegyű szám a négyes számrendszerben?

---

Q5. A sarki boltban egy állattartó minden héten 5 doboz macskaeledel-konzervet és 3 doboz kutyaeledel-konzervet vásárol, és minden alkalommal 2250 forintot fizet.
Árváltozások miatt a macskaeledel 20%-kal olcsóbb, a kutyaeledel pedig 10%-kal drágább lett, de az állattartó továbbra is 2250 forintot fizet a 8 doboz konzervért.
a) Mennyibe került eredetileg egy-egy konzerv?
A bolt tulajdonosa a riasztóberendezés kódjaként mindig olyan négyjegyű számot választ, amelynek prímtényezős felbontásában szerepel mindegyik egyjegyű prímszám.
b) Van-e olyan számjegy, ami benne van minden ilyen módon megalkotható kódban?
c) Adj meg négy lehetséges kódszámot!
d) Van-e a lehetséges kódok között négyzetszám?

46. Halmazok, logika, kombinatorika, gráfok

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

Bevezető

A halmazelmélet számos tudományterület alapját képezi.
Halmazokra épül a biológiában a rendszertan.
A fizika és a kémia is csoportosítja és halmazokba sorolja az anyagokat.
A matematikán belül a számhalmazokat az algebra, a ponthalmazokat a geometria vizsgálja.
A függvények esetében két halmaz elemei közötti hozzárendelésről beszélünk.
A kombinatorikában olyan feladatokkal találkozunk, ahol egy véges halmaz elemeit rendezzük sorba, vagy egy véges halmaz elemei közül választunk ki néhányat.
A gráfokat úgy határozzuk meg, mint pontok (más szóval csúcsok) és bizonyos pontokat összekötő élek halmaza.
A matematikában a halmaz és a halmaz eleme alapfogalmak.
Ez azt jelenti, hogy ezeket a fogalmakat nem vezetjük vissza egyszerűbb fogalmakra, azaz nem definiáljuk.

FOGALMAK, TÉTELEK, MÓDSZEREK

1. HALMAZOK

	Alapfogalmak	halmaz, halmaz eleme Jelölés: A = {2; 3; 5; 7} esetén 2 ∈ A, 12 ∉ A
M	Halmaz megadása	Akkor mondjuk, hogy megadtunk egy halmazt, ha minden dologról eldönthető, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem. Egy halmaznak nincs két azonos eleme. Egy halmaz megadható például: – annak megfogalmazásával, hogy milyen tulajdonságú elemek tartoznak a halmazba; – az elemek felsorolásával; – jelekkel, ábrákkal; – halmazok és halmazműveletek segítségével. Például: A = {egyjegyű prímszámok} = {2; 3; 5; 7} = {n ∈ N|n prím és n < 10} A halmazokat szokás Venn-diagrammal szemléltetni. A számhalmazok hagyományos jelölését a Számtan, algebra témakörben találod.
D	Halmazok egyenlősége	Két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemeik.
D	Üres halmaz	Ha a halmaznak nincs eleme, akkor üres halmaznak nevezzük. Jele: ∅ vagy { }
D	Véges halmaz	Ha egy halmaz elemeinek száma megadható egy természetes számmal, akkor véges halmaznak nevezzük.
D	Végtelen halmaz	Olyan halmaz, amely nem véges. Vagyis bármilyen természetes számot adunk meg, a halmaznak több eleme van ennél. Végtelen halmaz például az egész számok halmaza, egy körvonal pontjainak halmaza, a koordináta-rendszer rácspontjainak halmaza.
D	Véges halmaz számossága	Véges halmaz számossága egyenlő az elemeinek a számával. Jele: |A|
D	Részhalmaz Valódi részhalmaz	Egy A halmaz részhalmaza egy B halmaznak, ha az A halmaz minden eleme egyúttal eleme a B halmaznak is. Jele: A ⊆ B (Az A és a B halmaz lehet egyenlő.) Ha az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, és B-nek van olyan eleme, amely nem eleme A-nak, akkor az A valódi részhalmaza B-nek. Jele: A ⊂ B.
D	Unió (egyesítés)	Az A és a B halmaz uniója azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei (azaz benne vannak az A vagy a B halmazban). Jele: A U B
D	Metszet (közös rész)	Az A és a B halmaz metszete azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek mindkét halmaznak elemei (azaz benne vannak az A és a B halmazban is). Jele: A ⋂ B
D	Különbséghalmaz	Az A és a B halmaz különbséghalmaza azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek elemei az A halmaznak, de nem elemei a B halmaznak. Jele: A \ B
D	Komplementer halmaz	Ha az A halmaz részhalmaza a H halmaznak, akkor a H \ A halmazt az A halmaz H-ra vonatkozó komplementer halmazának nevezzük. Jele: `bar(A)`
T	Szitaformula	Két véges halmaz uniójának elemszámát megkapjuk, ha a halmazok számosságának összegéből kivonjuk a metszet számosságát. |A U B| = |A| + |B| - |A ⋂ B| Három véges halmaz esetén: |A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A ⋂ B| - |A ⋂ C| - |B ⋂ C| + |A ⋂ B ⋂ C|

2. LOGIKA

D	Állítás, kijelentés Állítás logikai értéke	A logikában azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen eldönthető, hogy a tartalmuk igaz vagy hamis, állításoknak vagy kijelentéseknek nevezzük. Egy állítás igaz vagy hamis, harmadik eset nincs. Az igaz, illetve a hamis megjelölés az állítás logikai értéke.
D	Állítás tagadása (negáció)	Egy A állítás tagadása az az állítás, amely akkor és csak akkor igaz, ha az A állítás hamis. Jele: ¬A A ¬A igaz hamis hamis igaz
D	VAGY művelet (diszjunkció)	Ha A és B egy-egy állítás, akkor A vagy B azt az állítást jelenti, amely igaz, ha A és B közül legalább az egyik igaz, és hamis, ha A és B is hamis. Ez a művelet a „megengedő vagy” művelet. Jele: A V B A B A V B igaz igaz igaz igaz hamis igaz hamis igaz igaz hamis hamis hamis
D	ÉS művelet (konjunkció)	Ha A és B egy-egy állítás, akkor A és B azt az állítást jelenti, amely igaz, ha A is és B is igaz, és hamis, ha A és B közül legalább az egyik hamis. Jele: A ⋀ B A B A ⋀ B igaz igaz igaz igaz hamis hamis hamis igaz hamis hamis hamis hamis
D	Kizáró vagy	Ha A és B egy-egy állítás, akkor a „vagy A, vagy B” azt az állítást jelenti, amely igaz, ha A és B közül pontosan az egyik igaz, minden más esetben hamis. Ez a művelet a „kizáró vagy” művelet. (Jele: A ⊕ B.) A B vagy A, vagy B igaz igaz hamis igaz hamis igaz hamis igaz igaz hamis hamis hamis
D	„Ha …, akkor” művelet (implikáció)	Ha A és B egy-egy állítás, akkor a „ha A, akkor B” állítás pontosan akkor hamis, ha A igaz, és B hamis, minden más esetben igaz. Jele: A → B A B A → B igaz igaz igaz igaz hamis hamis hamis igaz igaz hamis hamis igaz
D	„Akkor és csak akkor” művelet (ekvivalencia)	Ha A és B egy-egy állítás, akkor az „ A akkor és csak akkor, ha B” azt az állítást jelenti, amely pontosan akkor igaz, ha A és B logikai értéke azonos, azaz vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis. Minden más esetben hamis. Jele: A ↔ B A B A ↔ B igaz igaz igaz igaz hamis hamis hamis igaz hamis hamis hamis igaz
M	Állítás megfordítása	Egy „ha A, akkor B” (A → B) állítás megfordítása a „ha B, akkor A” (B → A) állítás. Az eredeti és a megfordított állítás igazságértéke független egymástól. Például: állítás: Ha egy négyszög téglalap, akkor átlói felezik egymást. megfordítása: Ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor téglalap. (Most az első állítás igaz, a második hamis.)

3. KOMBINATORIKA

D	Faktoriális	n! = 1 ∙ 2 ∙ … ∙ n (n ∈ Z+) Értelmezzük a 0!-t is: 0! = 1.
T	Sorba rendezés	n darab különböző elem lehetséges sorba rendezéseinek száma: n! (n ∈ Z+) (n darab elem egy lehetséges sorba rendezését az n elem egy permutációjának nevezzük.) Például: 5 különböző elem lehetséges sorba rendezéseinek száma 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5! = 120
T	Kiválasztás, ha számít a kiválasztott elemek sorrendje	n darab különböző elem közül kiválasztunk k darabot, és számít a kiválasztott elemek sorrendje. (n, k ∈ Z+, n ≥ k) – Ha minden elemet legfeljebb egyszer választhatunk, akkor a lehetőségek száma: n ∙ (n - 1) ∙ … ∙ (n - k + 1) – Ha az elemek akár többször is kiválaszthatók, akkor a lehetőségek száma nk. (Ha n darab elem közül kiválasztunk k darabot, és számít a kiválasztott elemek sorrendje, akkor egy lehetséges kiválasztást az n elem egy k-ad osztályú variációjának nevezzük.) Például: 8 versenyző között az első három helyezett 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336- féleképpen alakulhat ki, ha nincs holtverseny. Ha háromszor dobunk egy dobókockával, és a dobások eredményét sorban felírjuk, akkor a lehetőségek száma 6³ = 216.
D	Binomiális együttható	Az `((n),(k))` kifejezéseket binomiális együtthatóknak nevezzük. (n, k ∈ N, n ≥ k) `((n),(k))=(n!)/(k!*(n-k)!)`
T	Kiválasztás, ha nem számít a kiválasztott elemek sorrendje	n darab különböző elem közül kiválasztunk k darabot, nem számít a kiválasztott elemek sorrendje, és minden elemet legfeljebb egyszer választhatunk. (n, k ∈ N+, n ≥ k) A lehetőségek száma: `((n),(k))` (Ha n elem közül kiválasztunk k darabot, és nem számít a kiválasztott elemek sorrendje, akkor egy lehetséges kiválasztást az n elem egy k-ad osztályú kombinációjának nevezzük.) Például: 8 gyerek közül `((8),(3))=(8*7*6)/(3!)` = 56-féleképpen választhatunk ki egy 3 gyerekből álló csoportot, ha a csoport tagjainak sorrendje nem számít.
T	Összefüggések binomiális együtthatók között	`((n),(k)) = ((n),(n-k))`   `((n),(n))=1`  `((n),(0))=1`  `((n),(n))=n`
T	k elemű részhalmazok száma	Egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak száma `((n),(k))`. (n, k ∈ N, n ≥ k)
T	Összes részhalmaz száma	Egy n elemű halmaz összes részhalmazainak száma 2n. (n ∈ N)

4. GRÁFOK

D	Gráf	Pontok (más szóval csúcsok) és bizonyos pontokat összekötő élek halmaza.
D	Fokszám	Egy csúcs fokszáma egyenlő az adott csúcsból kiinduló élek számával.
T	Fokszámok összege	Minden gráfban a pontok fokszámának összege egyenlő az élek számának kétszeresével. Ebből következik, hogy a fokszámok összege mindig páros.

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Egy osztályban 17-en vannak, akik látták az Avatar, 18-an, akik látták a Mátrix, és 13-an, akik látták a Gladiátor című filmet.
Ugyanannyian vannak azok, akik mindhárom filmet látták, akik a három közül pontosan két filmet, akik pontosan egy filmet, és akik egy filmet sem láttak.
Hányan vannak az osztályban?

Megoldás

Legyen A azok halmaza, akik látták az Avatart, M azok halmaza, akik látták a Mártixot, és G azok halmaza, akik látták a Gladiátort.
Venn-diagramon ábrázoltuk a három halmazt.

Jelöljük x-szel azok számát, akik mindhárom filmet látták.
Ekkor azok, akik pontosan két filmet láttak, a Venn-diagramon zöld színnel jelölt részbe tartoznak, az ő számuk is x.
Azok, akik pontosan egy filmet láttak, az ábrán sárga színnel jelölt részbe tartoznak.
Az ő számuk is x.
Ha összeadjuk az A, M és G halmazok számosságát, akkor kétszer számoljuk azokat, akik két filmet láttak, és háromszor azokat, akik három filmet láttak.
Ezért 17 + 18 + 13 = x + 2x + 3x.
Ebből 48 = 6x, és x = 8.
A filmek közül 8 tanuló három filmet, 8 tanuló pontosan 2 filmet, 8 tanuló pontosan 1 filmet, 8 tanuló pedig egy filmet sem látott.
Az osztályban tehát 32 tanuló van.

2. Hány olyan 5 jegyű szám van, amelynek az utolsót kivéve mindegyik számjegye nagyobb, mint a rákövetkező?

Megoldás

A keresett számok 5 különböző számjegyet tartalmaznak, a legkisebb számjegy az egyes helyi értéken áll.
Ha tetszőleges módon megadunk 5 különböző számjegyet (például a 4, 8, 0, 7 és 3), akkor ezekből pontosan egy olyan ötjegyű szám képezhető, amely megfelel annak, hogy az utolsót kivéve mindegyik számjegye nagyobb, mint a rákövetkező (ez most a 87 430).
Ezért a megfelelő 5 jegyű számokból pontosan annyi van, ahányféleképpen a 10 számjegy közül 5 különbözőt ki tudunk választani, ha a kiválasztás sorrendje nem számít.
Ennek száma `((10),(5))` = 252.

Megjegyzés

Az `((n),(k))` kifejezés a számológépek nCr feliratú gombjával közvetlenül kiszámolható.

3. Egy hivatalos megbeszélésen 6 cégvezető találkozott egymással.
Érkezéskor mindenki mindenkivel kezet fogott pontosan egyszer.
Minden kézfogást megörökített egy hivatalos fotós.
a) Hány kézfogás történt összesen?
b) A rendezvény honlapjára fotódokumentáció is felkerült a kézfogásokról.
Hányféleképpen választhatták ki a szerkesztők, hogy melyik képeket teszik a honlapra, ha az is lehet, hogy minden kézfogásról felteszik a képet, az is lehet, hogy kevesebbről?
(Legalább egy képet mindenképpen feltesznek, és a kiválasztás sorrendje nem számít.)

Megoldás

a) Minden résztvevő kezet fogott a többi 5-tel.
6 résztvevő esetén ez 6 ∙ 5 = 30, de így minden kézfogást kétszer számoltunk.
A megoldás ezért: 15 kézfogás történt.
A feladat szemléltethető egy 6 pontú gráffal, amelyben bármely két pont között pontosan egy él fut.

Ez a 6 pontú teljes gráf, éleinek száma 15.
b) A szerkesztők a 15 fénykép mindegyikéről eldönthetik, hogy felkerül-e a honlapra, vagy sem.
Ez 2¹⁵ = 32 768 lehetőség.
Ebből ki kell vonni azt a lehetőséget, amikor egyik kép sem kerül fel.
Ezért a megoldás 32 767.
A feladat összekapcsolódik azzal, hogy egy 15 elemű halmaznak 2¹⁵ darab részhalmaza van.
Ebbe beletartozik az üres halmaz is és maga a 15 elemű teljes halmaz.

---

FELADATOK I. RÉSZ

A1. Az A halmaz elemei a 120 pozitív osztói, a B halmaz elemei pedig a 150 pozitív osztói.
Elemei felsorolásával add meg az A ⋂ B és az A \ B halmazokat!

---

A2. A felsorolt halmazok közül melyek a végtelen halmazok?
N ⋂ R
N U R
N \ R
R \ N

---

A3. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy |A| = 10 és |B| = 13.
a) Add meg A ⋂ B számosságának legnagyobb lehetséges értékét!
b) Add meg B \ A számosságának legkisebb lehetséges értékét!

---

A4. Rajzolj egy olyan gráfot, amelynek 5 csúcsa és 7 éle van, és minden csúcs fokszáma kisebb 4-nél!

---

A5. Hét ember érkezik egy terembe (közöttük Péter), és egyesével, egymás után lépnek be az ajtón.
Hányféle sorrendben léphetnek be, ha tudjuk, hogy közülük Péter nem másodikként lép a terembe?

---

A6. Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelyben szerepel az ötös számjegy?

---

A7. Egy házban nyári szálláshelyként két különálló apartmant alakítottak ki.
Egyik héten az egyik apartmant a négytagú Sallai család, a másik apartmant az öttagú Kemény család vette ki.
A két család tagjai a héten megismerkedtek egymással, és összebarátkoztak, annak ellenére, hogy korábban senki nem ismert senkit a másik családból.
Ha senkit sem tekintünk önmaga ismerősének, akkor hány ismeretség van a 9 ember között
a) a nyaralás kezdetekor;
b) a nyaralás végén?

---

A8. Hány részhalmaza van a 15-nél kisebb pozitív páros számok halmazának?
Indokold a válaszodat!

---

A9. Hány pontja és hány éle van annak a gráfnak, amelynek pontjai megfelelnek egy kocka oldallapjainak, és két pont között pontosan akkor fut él, ha a lapok szomszédosak?

---

A10. Anikó a következőt állítja:
Minden országban él kenguru.
Az alábbi négy állítás közül válaszd ki az összeset, amely Anikó állításának tagadása!
A: Semelyik országban sem élnek kenguruk.
B: Van olyan ország, amelyben nem él kenguru.
C: Van olyan ország, amelyben él kenguru.
D: Nem minden országban él kenguru.

---

A11. Határozd meg az A, a B, az A⋀ ¬B és az A V ¬B állítások logikai értékét!
A: Van olyan halmaz, amelynek a számossága 0.
B: Van olyan gráf, amelynek ugyanannyi éle van, mint pontja.
Válaszodat indokold!

---

A12. Egy kerékpáros lámpában 5 LED (LED = fényt kibocsátó dióda) van.
A LED-ek egymástól függetlenül működhetnek, legalább egy LED mindig világít, ha a lámpa be van kapcsolva.
a) Hány különböző módon világíthat a lámpa, ha két világítást akkor tekintünk különbözőnek, ha nem ugyanazok a LED-ek világítanak?
b) Hány lehetőség van akkor, ha mindegyik LED fehéren vagy pirosan világíthat?

FELADATOK I. RÉSZ

B1. Az A és a B halmazokról tudjuk, hogy A U B = {egyjegyű pozitív egész számok}, A ⋂ B = {6 pozitív osztói} és A \ B = {4; 5}.
Elemei felsorolásával add meg az A és a B halmazokat!

---

B2. Legyen az A halmaz a [2; 6] zárt intervallum, a B halmaz pedig a [3; 10] zárt intervallum.
Határozd meg az A U B és az A ⋂ B halmazokat!

---

B3. Az ábrán látható gráfot hány éllel kell kiegészíteni ahhoz, hogy
a) bármely két csúcsa között pontosan egy él fusson;
b) minden csúcsának a fokszáma 5 legyen?

---

B4. Határozd meg az A, a B és az A ⋀ ¬B állítások logikai értékét!
Indokold a válaszodat!
A: Minden deltoid tengelyesen szimmetrikus.
B: Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus.

---

B5. Egy héttagú csoportban minden tagnak pontosan két ismerőse van a csoport tagjai között.
Szemléltess gráffal egy ilyen ismeretségi rendszert!
(Az ismeretség kölcsönös, és senki sem ismerőse saját magának.)

---

B6. Egy 8 főből álló baráti társaság moziba megy.
Arnold a társaság egyik tagja. Hányféleképpen ülhetnek le egy 8 ülésből álló sorba úgy, hogy Arnold üljön a sor valamelyik szélén?

---

B7. Legyenek a és b valós számok. Adott a következő állítás:
„Ha a abszolút értéke és b abszolút értéke egyenlő, akkor a és b egyenlő.”
a) Határozd meg az állítás logikai értékét!
b) Fogalmazd meg az állítás megfordítását!
c) Határozd meg a b)-ben kimondott állítás logikai értékét!

---

B8. Mely halmazok végtelenek az alábbiak között?
R + Z
Z + N
R + ∅
R \ ∅
∅ \ R

---

B9. Egy 10 elemű halmaznak hány olyan részhalmaza van, amelynek legalább 7 eleme van?

---

B10. Egy kötélen néhány zokni szárad.
Tekintsük a következő állítást:
A kötélen minden zokni fekete.
Válaszd ki az alábbiak közül az összes állítást, amely tagadása a fentinek!
A: A kötélen minden zokni fehér.
B: A kötélen nincs fekete zokni.
C: Van olyan zokni a kötélen, amely nem fekete.
D: A kötélen nem minden zokni fekete.

---

B11. Egy 34 fős osztály 2 képviselőt választ a diákönkormányzatba és 4 felelőst az iskolai közösségi szolgálatot szervező csoportba.
A 2 képviselő sorrendje és a 4 felelős sorrendje nem számít.
Hányféle lehet a választás eredménye, ha senkit sem választanak meg két tisztségre?

---

B12. Hány olyan ötjegyű szám van, amelynek
a) mindegyik számjegye páros;
b) mindegyik számjegye különböző?

FELADATOK II. RÉSZ

P1. Egy gyógytornász minden hétfőn, szerdán és pénteken tart úszásfoglalkozást gyerekeknek.
Nincs olyan tanítványa, aki mindhárom nap jár úszni.
Hétfőn és szerdán 14-en járnak, szerdán és pénteken 18-an, hétfőn és pénteken 8-an. Összesen 65 gyerek jár hozzá úszni, és ugyanannyian járnak hétfőn, szerdán és pénteken is.
a) Hányan vannak, akik csak pénteken járnak hozzá úszni?
b) A gyógytornászt felkérték, hogy tartson egy rövid bemutatófoglalkozást.
Hányféleképpen választhat ki az úszásra járó tanítványai közül egy 5 gyerekből álló csoportot, akikkel a bemutatófoglalkozást tartja?
c) Az egyik alkalommal az úszáson részt vevők közül 5 gyerek (köztük Anna és Péter) megkérte, hogy hadd versenyezzenek.
Hányféle végeredmény születhetett a versenyen, ha tudjuk, hogy Anna előrébb végzett, mint Péter, és a versenyen nem volt holtverseny?

---

P2. Egy pozitív egész szám pozitív osztói ábrázolhatók gráf segítségével úgy, hogy a gráf csúcsai az osztók, és két csúcs között akkor fut él, ha az egyik csúcsban lévő szám osztója vagy többszöröse a másik csúcsban lévő számnak.
a) Helyezd el a 63 pozitív osztóit az ábra szerinti gráf csúcsaiban a leírt szabálynak megfelelően!
b) Hányféle szabályos kitöltése van az ábra szerinti gráfnak a 63 pozitív osztóival a leírt szabálynak megfelelően?
Válaszodat indokold!
c) Hányféleképpen választhatunk ki a 63 pozitív osztói közül valahány osztót, ha legalább egyet kiválasztunk, és a kiválasztás sorrendje nem számít?

---

P3. Egy édesipari cég olyan dobozba csomagolja az egyik termékét, amelynek az alakja négyoldalú szabályos csonkagúla.
a) A cég úgy dönt, hogy a doboz fedőlapját és az oldallapokat kék, zöld, lila vagy sárga színűre színezik olyan módon, hogy a szomszédos oldallapok különböző színűek.
Hány különböző doboz készíthető e négy szín használatával?
(Minden lap egyszínű, az alaplap fehér, a doboz mérete adott, és két dobozt különbözőnek tekintünk, ha forgatással nem vihetők egymásba.)
b) Döntsd el az alábbi állításról, hogy igaz vagy hamis!
Indokold a válaszodat!
Ha egy test csonkagúla, akkor van két olyan lapja, amelyek területe különböző.
c) Fogalmazd meg a b)-ben megadott állítás megfordítását, és add meg a logikai értékét!
Indokold a válaszodat!

---

P4. Egy dobókockát egymás után háromszor feldobunk.
Ha a dobások sorrendjét is figyelembe vesszük, akkor hányféleképpen fordulhat elő, hogy
a) mindegyik esetben ugyanazt a számot dobjuk;
b) három különböző számot dobunk;
c) a három szám között pontosan kettő ugyanaz;
d) a dobott pontok összege 16?

---

P5. Egy zsákban 30 darab számozott golyó van.
Az 1-től 10-ig számozott golyók színe fehér, a 11-től 20-ig számozottak színe fekete, és a 21-től 30-ig számozottak színe zöld.
A golyók tapintásra egyformák.
Becsukott szemmel, visszatevés nélkül kihúzunk a zsákból néhány golyót.
A kihúzott golyók sorrendje nem számít. (Két húzás azonos, ha ugyanazokat a golyókat húztuk ki.)
a) Hány golyót kell kihúzni a zsákból, hogy biztosan legyen a kihúzott golyók között fekete vagy fehér?
b) Hány golyót kell kihúzni a zsákból, hogy biztosan legyen a kihúzott golyók között fekete és fehér?
c) Öt golyót húzunk ki.
Hány olyan húzás van, amelyben mindegyik golyó fehér?
d) Öt golyót húzunk ki.
Hány olyan húzás van, amelyben a golyók közül legalább kettő fehér?
e) Öt golyót húzunk ki.
Hány olyan húzás van, amelyben a golyók közül pontosan kettő fehér, és pontosan kettőn 10-zel osztható szám áll?

FELADATOK II. RÉSZ

Q1. a) Az A halmazban a kételemű részhalmazok száma 1575-tel több, mint az egyelemű részhalmazok számának 50-szerese.
Hány elemű az A halmaz?
b) A B halmaz elemei azok a 100-nál kisebb pozitív egész számok, amelyek nem oszthatók sem 2-vel, sem 7-tel, sem 11-gyel.
Hány elemű a B halmaz?

---

Q2. Egy sakkversenyt körmérkőzéses rendszerben bonyolítanak le, azaz mindenki mindenkivel pontosan egy partit játszik.
Táblázatba foglaltuk, hogy eddig ki kivel játszott, a partit ki nyerte, vagy a parti döntetlenre végződött.
(Például a táblázatba dőlt betűvel írt Anna azt jelenti, hogy Anna és Béla már játszott egymással, és azt a partit Anna nyerte.)

	Anna	Béla	Cili	Dani	Ede	Feri
	Anna	-	Anna		Ede	Feri
Béla	-	-	Béla	döntetlen
Cili	-	-	-	Dani		Cili
Dani	-	-	-	-	döntetlen
Ede	-	-	-	-	-	Feri
Feri	-	-	-	-	-	-

a) Szemléltesd gráffal a versenyen lejátszott partikat úgy, hogy a gráf pontjai jelentsék a versenyzőket, a gráf élei pedig az eddig lejátszott partikat!
b) A versenyen hetente egy fordulót rendeznek meg.
Egy fordulóban mindenki pontosan egy partit játszik.
Hány forduló van még hátra a versenyből?
c) A győzelemért 1 pont, a döntetlenért 0,5 pont, a vesztes partiért 0 pont jár.
Kinek hány pontja van a verseny jelenlegi állásában?

Név	Anna	Béla	Cili	Dani	Ede	Feri
Pontszám

---

Q3. Hány olyan hatjegyű szám van,
a) amelyben szerepel a nyolcas számjegy;
b) amely háromféle számjegyet tartalmaz, mindegyik számjegyből kettőt;
c) amelyben a számjegyek különbözők, és növekvő sorrendben követik egymást?

---

Q4. Egy 30 fős érettségiző osztályban 18 tanulónak van középfokú nyelvvizsgája angol nyelvből vagy német nyelvből, közülük 3 tanulónak mindkét nyelvből.
Az angol nyelvvizsgával rendelkezők száma kétszerese a német nyelvvizsgával rendelkező tanulók számának.
Más nyelvből nem tett senki nyelvvizsgát az osztályban.
a) Hány tanulónak van német nyelvből középfokú nyelvvizsgája?
b) Hányféleképpen választható ki az osztály tanulói közül négy úgy, hogy legalább kettőnek legyen nyelvvizsgája, ha a kiválasztás sorrendje nem számít?
c) Hányféle sorrendben hívhatják be a szóbeli érettségi vizsgára a diákokat, ha először azokat hívják, akiknek két nyelvvizsgájuk van, utána azokat, akiknek egy, végül azokat, akiknek nincs nyelvvizsgájuk?

---

Q5. Egy cégcsoport égisze alatt 7 vállalkozás működik.
A szervezet olyan forrásokra pályázhatott, amelyeket együttműködés keretében használhatnak fel.
Úgy döntöttek, hogy mindegyik pályázatukban pontosan 2 vállalkozás dolgozik együtt.
a) Az egyik megbeszélésen mind a 7 vállalkozásból egy-egy ember vesz részt.
A találkozó elején mindenki koccint a többi emberrel, mindenkivel pontosan egyszer.
Hány koccintás történik?
b) Bizonyítsd be, hogy nem lehetséges, hogy mind a 7 vállalkozás pontosan 3 projektben vesz részt!
c) Az év végén a forrást biztosító szervezet ellenőriz néhány befejezett projektet.
Hányféleképpen választhat ki 4 projektet a szervezet projektjei közül, ha a vállalkozások közül 4 vállalkozás 3 projektben, 3 vállalkozás pedig 2 projektben vett részt?