47. Számtan, algebra

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

Bevezető

A számtan – a számok és a számolás tudománya – a matematika legrégebbi és egyik legszerteágazóbb területe.
Fejlődése nyomon követhető az ujjakon végzett egyszerű számolásoktól egészen a napjaink szuperszámítógépeivel végzett számításokig.
A számokkal való műveletek alapos ismerete, a betűs kifejezések használatában való jártasság, az egyenletek, egyenletrendszerek megoldása nemcsak a matematikában fontos, hanem a többi tudományágban, valamint a hétköznapi életben is (pl. pénzügyi számítások, lakásfelújítás, konyhai műveletek).

FOGALMAK, TÉTELEK, MÓDSZEREK

1. SZÁMELMÉLET

D	A valós számkör	N = természetes számok halmaza Z = egész számok halmaza Q = racionális számok halmaza Q* = irracionális számok halmaza R = valós számok halmaza racionális számok halmaza (Q) egész számok halmaza (Z) természetes számok halmaza (N) irracionális számok halmaza (Q* ) valós számok halmaza (R) Természetes számok: 0; 1; 2; 3; … Egész számok: … -2; -1; 0; 1; 2; … Racionális számok: a két egész szám hányadosaként előállítható számok. Például: 5/7; 2,03; -5; `3,dot(4) 0dot(5)` Irracionális számok azok a (valós) számok, amelyek nem állnak elő két egész szám hányadosaként. Például: `sqrt(2)` ; lg 3; π A racionális és az irracionális számok halmazának uniója a valós számok halmaza. A valós számok kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők a számegyenes pontjainak.
T	Valós számok tizedes tört alakja	Minden racionális szám tizedes tört alakja véges vagy végtelen szakaszos. Például: 3/5 = 0 6; , 1/6 = `0,1dot(6)` Minden irracionális szám tizedes tört alakja végtelen nem szakaszos.
D	Intervallum	Azoknak az x valós számoknak a halmaza, amelyekre az a és b valós számok esetén - a < x < b, az a; b nyílt intervallum, jele: ]a; b[; - a ≤ x < b, az a; b balról zárt, jobbról nyílt intervallum, jele: [a; b[; - a < x ≤ b, az a; b balról nyílt, jobbról zárt intervallum, jele: ]a; b]; - a ≤ x ≤ b, az a; b zárt intervallum, jele: [a; b]; - ]a; 3[ jelöli azon valós számok halmazát, melyekre a < x; - ]-3; b[ jelöli azon valós számok halmazát, melyekre x < b. Például: az A = ]-2; 1[, B = [2; 4[, C = [5; 6] intervallumok a számegyenesen:
D	Oszthatóság	Az a természetes szám osztható a b természetes számmal, ha van olyan c természetes szám, hogy a = bc. Ekkor b osztója az a-nak, az a szám többszöröse a b-nek. Jele: b;a Például: 2|6; 0|0, vagyis a 0 osztója 0-nak, azaz a 0 többszöröse a 0-nak. Megjegyzés: Az oszthatóság egy reláció két természetes szám között. Nem tévesztendő össze az osztás művelettel.
D	Prímszámok	Azok a pozitív egész számok, amelyeknek pontosan két pozitív osztójuk van. Például: 2; 3; 5; 7; 11 A definíció szerint az 1 nem prímszám.
D	Összetett számok	Azok a pozitív egész számok, amelyeknek kettőnél több osztójuk van. Például: 4; 15; 26; 49 A definíció szerint az 1 nem összetett szám.
D	Legnagyobb közös osztó	Két vagy több pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a közös osztók közül a legnagyobb. Jele: (a; b)
M	A legnagyobb közös osztó meghatározása	Két vagy több pozitív egész szám legnagyobb közös osztóját a számok prímtényezős felbontásából megkapjuk, ha a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb kitevőjű hatványra emeljük, majd ezeket összeszorozzuk. Ha nincsenek közös prímtényezők, akkor a legnagyobb közös osztó 1. Például: (25 ∙ 3; 23 ∙ 34) = 23 ∙ 3; (25 ∙ 3; 53 ∙ 7) = 1
D	Legkisebb közös többszörös	Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse a pozitív közös többszörösök közül a legkisebb. Jele: [a; b]
M	A legkisebb közös többszörös meghatározása	Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszörösét megkapjuk, ha a számok prímtényezős felbontásában az előforduló összes prímszámot az előforduló legnagyobb hatványon összeszorozzuk. Például: [25 ∙ 5; 23 ∙ 34] = 25 ∙ 34 ∙ 5
D	Relatív prímek	Két pozitív egész szám egymással relatív prím, ha a legnagyobb közös osztójuk 1.
T	Műveleti tulajdonságok (a, b, c ∈ R)	Kommutativitás, felcserélhetőség: a + b = b + a &emp;ab = ba Asszociativitás, csoportosíthatóság: (a + b) + c = a + (b + c) &emp;(ab)c = a(bc) Disztributivitás, széttagolhatóság: a(b + c) = ab + ac

2. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

D	Valós szám egész kitevőjű hatványai	a ∈ R és n ∈ Z+ \ {1} esetén an egy olyan n-tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. a ∈ R esetén a1 = a. a ∈ (R \ {0}) és n ∈ Z+ esetén `a^(-n)=1/(a^n)`. a ∈ (R \ {0}) esetén a0 = 1. A 0-nak nem értelmezzük sem a nulladik, sem negatív kitevőjű hatványát.
T	A hatványozás azonosságai	Minden olyan a, b, m és n esetében, amelyekre értelme van a következő kifejezéseknek, igaz, hogy: `a^n * a^m = a^(n+m)` ; `a^n / a^m = a^(n-m)` ; `(a^n)^m = a^(n*m)` ; `(a*b)^n = a^n*a^m` ; `(a/b)^n = a^n/b^n`
D	A négyzetgyök	Az a nemnegatív valós szám esetén `sqrt(a)` jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek a négyzete a-val egyenlő, azaz `(sqrt(a)^2)^2=a` . Például: `sqrt(9) = 3`, mert 3 ≥ 0, és 3² = 9.
T		Bármely valós a esetén: `sqrt(a^2) = |a|` . Például: `sqrt(200)=sqrt(100)*sqrt(2)`; `sqrt(25^3)=(sqrt(25))^3`
T	A négyzetgyökvonás azonosságai	Minden olyan a, b nemnegatív valós szám és k egész szám esetén, amelyekre értelme van a következő kifejezéseknek, igaz, hogy `sqrt(a * b) = sqrt(a) * sqrt(b)` ; `sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)` ; `sqrt(a^k)=(sqrt(a))^k`. Például: `sqrt(200) = sqrt(100) * sqrt(2)` ; `sqrt(25^3)= (sqrt(25))^3`
D	n-edik gyök	Ha a nemnegatív valós szám, és n páros pozitív egész, akkor `root(n)(a)` jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek n-edik hatványa a, azaz `(root(n)(a))^n = a`. Ha a valós szám, és n 1-nél nagyobb páratlan pozitív egész, akkor `root(n)(a)` jelenti azt a valós számot, amelynek n-edik hatványa a, azaz `(root(n)(a))^n = a`. Például: `root(3)(8) = 2; root(4)(625) = 5; root(5)(-32) =-2`
T		Ha a valós szám, és n páros pozitív egész szám, akkor `root(n)(a^n) = |a|` . Ha a valós szám, és n 1-nél nagyobb páratlan pozitív egész szám, akkor `root(n)(a^n) = a`. Például: `root(4)((-5)^4) = |-5| = 5; root(3)(2^3) = 2; root(5)((-7)^5) = -7`
D	Törtkitevőjű hatvány	Ha az a pozitív valós szám, p és q egész számok, és q > 1, akkor a `a^(p/q) =root(q)(p)`. Például: `5^(2/3) = root(3)(5^2); a^(1/2) = root(2)(a^1) = sqrt(a); 7^(-4/5) = root(5)(7^(-4))`.
D	A logaritmus	Ha a, b pozitív valós szám, és a ≠ 1, akkor az log_a b jelenti azt a valós hatványkitevőt, amelyre az a-t emelve b-t kapunk, azaz `a^(log_a b) = b`. A log_a b-t így olvasssuk: a alapú logaritmus b. Az a a logaritmus alapszáma. A 10-es alapú logaritmus jele: lg. Például: log_2 8 = 3; log_9 3 = 1/2; log_5 1/5 = -1; lg 100 = 2 Ha a pozitív valós szám, és a ≠ 1, akkor log_a a = 1, valamint log_a 1 = 0.
T	Áttérés más alapú logaritmusra	Ha a, b és c pozitív valós számok, a ≠ 1, és c ≠ 1, akkor `log_a b = (log_c b)/(log_c a)`. Például: `log_4 3 = (log_2 3)/(log_2 4) = (log_2 3)/2; log_5 2 = (lg 2)/(lg 5)`

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

T	Nevezetes azonosságok	(a, b ∈ R) `(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2` `(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2` `(a + b)(a - b) = a^2 - b^2`
D	Egyenlet alaphalmaza	A valós számok halmazának az a részhalmaza, amelynek az elemei között a megoldásokat keressük.
D	Egyenlet megoldáshalmaza	Az alaphalmaz azon elemeinek összessége, amelyek igazzá teszik az egyenletet.
M	Mérlegelv	Az egyenletek megoldása során nem változik meg az egyenlet megoldáshalmaza, ha az egyenlőségjel két oldalán álló kifejezést ugyanazzal a valós számmal vagy kifejezéssel növeljük vagy csökkentjük, illetve ugyanazzal a nullától különböző valós számmal vagy kifejezéssel szorozzuk vagy osztjuk.
M	Ekvivalens átalakítás	Azok az átalakítások, amelyek nem járnak gyökvesztéssel, és nem adódik olyan megoldás, amely nem gyöke az eredeti egyenletnek. Nem ekvivalens átalakítás lehet pl. ismeretlennel való szorzás vagy osztás, hatványozás, gyökvonás.
D	A másodfokú egyenlet	általános alakja ax² + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R, és a ≠ 0)
T	A másodfokú egyenlet megoldóképlete	Az ax² + bx + c = 0 egyenlet esetén az egyenlet megoldásai (gyökei): `x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)` (a, b, c ∈ R, és a ≠ 0)
D	A másodfokú egyenlet diszkriminánsa	(a, b, c ∈ R, és a ≠ 0) Az ax² + bx + c = 0 egyenlet megoldóképletében a négyzetgyökjel alatt lévő kifejezés: D = b² - 4ac. Ha D > 0, két különböző valós gyöke van az egyenletnek, ha D = 0, egy valós gyöke (két egyenlő valós gyöke) van az egyenletnek, ha D < 0, nincs valós gyöke az egyenletnek.
T	A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja	(a, b, c ∈ R, és a ≠ 0) Ha az ax² + bx + c = 0 egyenlet valós gyökei x_1 és x_2, akkor ax² + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). Például: A 3x² - 2x - 1 = 0 egyenlet valós gyökei x_1 = 1 és x_2 = -3 1 , ezért 3x² - 2x - 1 = 3(x - 1)(x + 1/3).
	n alapú számrendszer (n ∈ N, n ≥ 2)	Az n alapú számrendszerben: n db számjegy használható, a 0; 1; 2; …; n - 1 számjegyek (ha n > 10, akkor A = 10, B = 11 …), a számjegyek helyi értéke jobbról balra haladva 1; n1; n2; n3 … Például: A hatos számrendszerben a számjegyek 0; 1; 2; 3; 4 és 5. A helyi értékek jobbról balra haladva 1; 61; 62; 63. 2304_6 = 2 ∙ 63 + 3 ∙ 62 + 0 ∙ 61 + 4 ∙ 1, tehát 2304_6 = 544.
D	Egyenes arányosság	Két változó mennyiség között egyenes arányosság van, ha összetartozó értékeik hányadosa 0-tól különböző állandó. Egyenes arányosság van például: egyenletes mozgás esetén a megtett út és a közben eltelt idő között; órabér esetén a ledolgozott munkaórák és az azokért kapott fizetség között; a négyzet oldalhossza és a kerülete között.
D	Fordított arányosság	Két változó mennyiség fordítottan arányos, ha teljesül a következő: ahányszorosára változik az egyik mennyiség, annyiad részére változik a másik. Ekkor a változó mennyiségek összetartozó értékeinek szorzata állandó. Fordított arányosság van például: adott mennyiségű pénzből vásárolható azonos termékek egységára és darabszáma között; adott területű téglalap oldalhosszai között; adott menynyiségű anyag elszállításához szükséges teherautók száma és az azok által megtett fordulók száma között.
D	Százalék	Ha egy k mennyiség az a mennyiségnek p százaléka, akkor k = a/100*p . Például: 72-nek a 15%-a egyenlő 72 századrészének a 15-szörösével, 100 , 72/100 * 15 =10,8-del.

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. a) Alakítsd szorzattá az alábbi kifejezéseket!
3x² - 12x
3x² - 12
3x² - 12x + 12
b) Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
3x² - 12x = 0
3x² - 12 = 0
3x² - 12x + 12 = 0

Megoldás

a) Mindhárom kifejezés esetében alkalmazható a kiemelés módszere, majd a második és harmadik esetben nevezetes azonosságok is.
3x² - 12x = 3x(x - 4)
3x² - 12 = 3(x² - 4) = 3(x - 2)(x + 2)
3x² - 12x + 12 = 3(x² - 4x + 4) = 3(x - 2)²
b) Az egyenletek bal oldalát az a) feladatrészben megkapott szorzatalakban írva és felhasználva, hogy egy szorzat értéke akkor és csak akkor nulla, ha az abban szereplő valamely tényező értéke nulla, adódik:
3x² - 12x = 0
3x(x - 4) = 0
I. eset vagy II. eset
3x = 0 vagy x - 4 = 0
x = 0 vagy x = 4
M = {0; 4}

3x² - 12 = 0
3(x - 2)(x + 2) = 0
I. eset vagy II. eset
x - 2 = 0 vagy x + 2 = 0
x = 2 vagy x = -2
M = {2; -2}

3x² - 12x + 12 = 0
3(x - 2)² = 0
(x - 2)² = 0
x - 2 = 0
x = 2
M = {2}
A kapott eredmények az eredeti egyenlet megoldásai, mert ekvivalens átalakításokat végeztünk.
(Ha nem csak ekvivalens átalakításokat végeztünk, mindenképpen ellenőrizzük a megoldásokat behelyettesítéssel.)

---

2. a) Alakítsd szorzattá a 3x² - 8x - 35 kifejezést!
b) Oldd meg a 3x² - 8x - 35 < 0 egyenlőtlenséget az egész számok halmazán!

Megoldás

a) A 3x² - 8x - 35 másodfokú kifejezés szorzattá alakítása a gyöktényezős alak felírásával végezhető el.
A 3x² - 8x - 35 = 0 egyenlet gyökei: `x_(1,2)=(-(-8)+-sqrt((-8)^2-4*3*(-35)))/(2*3)=(8+-22)/6` , amiből x_1 =-7/3 , valamint x_2 = 5, ezért a gyöktényezős alak:
3x² - 8x - 35 = 3(x +7/3)(x -5)
b)

Első megoldás (grafikus módszer)

Tekintsük a valós számokon értelmezett f (x) = 3x² - 8x - 35 másodfokú függvényt.
A függvény grafikonja a másodfokú tag együtthatójának pozitív előjele miatt felfelé nyitott (konvex) parabola.
A 3x² - 8x - 35 = 0 egyenlet gyökei megadják az f függvény zérushelyeit, tehát a függvény grafikonja az abszcisszatengelyt az x_1 =-7/3 , valamint az x_2 = 5 helyeken metszi.
Előbbiek felhasználásával a függvénygörbe vázolható, és a függvény grafikonjáról leolvasható az egyenlőtlenség megoldása.

Az eredeti egyenlőtlenség megfelel az f (x) < 0 egyenlőtlenségnek, vagyis azt kell meghatározni, hogy a függvény által felvett értékek hol negatívak.
Az ábrán piros színnel jelölt intervallum megadja az egyenlőtlenséget teljesítő valós x értékek halmazát, de mivel az egyenlőtlenség alaphalmaza az egész számok halmaza, ezért a megoldáshalmaz elemei a jelölt intervallumba eső egész számok, tehát ]-7/3;5[ ∈ Z , vagyis:
M = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.

Második megoldás (algebrai módszer)

A 3x² - 8x - 35 < 0 egyenlőtlenség megoldása elvégezhető a b) feladatrészben felírt szorzatalak segítségével is.
A 3(x +7/3)(x -5) < 0 egyenlőtlenség bal oldala egy háromtényezős szorzat, amelynek egyik tényezője (a 3) pozitív előjelű, ezért elegendő az (x +7/3)(x -5) szorzat előjelének vizsgálata.
(x +7/3)(x -5) szorzat akkor negatív, ha egyik tényezője sem 0, és a két tényező előjele egymással ellentétes.
A tényezők értékének előjelvizsgálatához célszerű ún. előjeltáblázat készítése, melyből a megoldás leolvasható.
Mivel (x +7/3)(x -5) = 0 akkor teljesül, ha x_1 =-7/3 , vagy x2 = 5, ezért:

	x < -7/3	x = -7/3	-7/3 < x < 5	x = 5	5 < x
x + 7/3 értéke	negatív	0	pozitív	pozitív	pozitív
x - 5 értéke	negatív	negatív	negatív	0	pozitív
(x +7/3)(x -5) értéke	pozitív	0	negatív	0	pozitív

A táblázatból kiolvasható, hogy a szorzat negatív, ha -7/3 < x < 5, de az alaphalmaz miatt ennek az intervallumnak csak az egész elemei tartoznak a megoldáshalmazba, így: M = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}.

---

3. Írd át 6-os számrendszerbe a 3014_5 számot!

Megoldás

Először átírjuk az adott számot 10-es számrendszerbe:
30145 = 3 * 5³ + 0 * 5² + 1 * 5 + 4 = 3 * 125 + 0 * 25 + 1 * 5 + 4 = 384
Ezután a 10-es számrendszerből térünk át a 6-osra.
A 6 legkisebb hatványai: 1, 6, 36, 216, 1296.
Közülük a 216 még kisebb a 384-nél, de az 1296 már nagyobb nála.
384 = 1 * 216 + 168; 168 = 4 * 36 + 24; 24 = 4 * 6.
Tehát 3014_5 = 384 = 1 * 216 + 4 * 36 + 4 * 6 + 0 * 1, vagyis 384 = 1440_6.

---

4. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) `sqrt(3 - 7x) =-2 b)`sqrt(4x - 3) = x - 6

Megoldás

a) Egy valós szám négyzetgyöke nemnegatív szám, ezért nem lehet az értéke az egyenlet jobb oldalán álló -2.
Tehát az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.
b) A négyzetgyökvonás művelete a nemnegatív valós számokon értelmezett, és eredményként nemnegatív valós számot ad a kifejezés.
A bal oldalon álló kifejezés értelmezési tartományát a 4x - 3 ≥ 0 egyenlőtlenség megoldása adja: x ≥ 3/4 .
Mivel a bal oldal értéke nemnegatív, ezért a jobb oldalra is teljesülnie kell az x - 6 ≥ 0 relációnak, amiből x≥ 6.
A két egyenlőtlenség egyidejűleg akkor teljesül, ha x≥ 6.
Ezt követően (ezen a halmazon) ekvivalens átalakításokkal az egyenlet megoldása:
`sqrt(4x - 3) = x - 6 / ()^2`
4x - 3 = x² - 12x + 36
0 = x² - 16x + 39
`x_(1,2) = (-(-16)+-sqrt((-16)^2-4*1*(39)))/(2*1)=(16+-10)/2
, amiből x_1 = 3, valamint x_2 = 13.
Az előzetes feltételeket x_1 = 3 nem teljesíti, ezért nem megoldása az egyenletnek, x_2 = 13 teljesíti, ezért megoldása az egyenletnek, így a megoldáshalmaz M = {13}.

Megjegyzések:

1. A feladat megoldható az értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata nélkül is, de ezek elhagyásakor a kapott gyökök mindegyikét ellenőrizni kell az eredeti egyenletbe való visszahelyettesítéssel.
2. Az egyenlőtlenség megoldása során kapott relációkat érdemes számegyenes mentén ábrázolni, ez megkönynyíti a feladat átláthatóságát, könnyebbé teszi a halmazmetszetek létrehozását.
Például a b) feladatrészben:

---

5. Két cég, az Egyik Kft. és a Másik Kft. közösen vállalta el egy termék mintadarabjainak elkészítését.
Ha az Egyik Kft. az eredeti vállalásnak csak 4/5 részét teljesíti, a Másik Kft. pedig 10%-kal felülmúlja a tervet, akkor közösen 4300 darab terméket készítenek.
Viszont ha az Egyik Kft. az eredeti tervek 5/6 részét tudja legyártani, és a Másik Kft. 5%-os termelésnövekedésre képes, akkor 4230 darab terméket tudnak közösen gyártani.
Eredetileg hány termék gyártását vállalta az Egyik Kft. és a Másik Kft.?

Megoldás

Legyen az Egyik Kft. eredeti tervének megfelelő darabszám x; a Másik Kft. esetében pedig y.
Az I. változat szerint: 4/5x +110/100y = 4300
A II. változat szerint: 5/6x +105/100y = 4230
A két egyenlet együtt egy kétismeretlenes egyenletrendszert alkot.
Célszerű a megoldást az egyenlő együtthatók módszerével végezni, ezért az I. sort szorozzuk 5/4 -del, a II. sort 6/5 -del.
II. x + 1,375y = 5375
II. x + 1,26y = 5076
Az I. és II. sor különbsége: 0,115y = 299, ebből y = 2600.
Az y = 2600 valamelyik tetszőleges sorba való visszahelyettesítésével x = 1800 adódik.
Ellenőrzés a szöveg szerint:
I. változat esetén: Az Egyik Kft. eredeti vállalása 1800 darab, ennek 4/5 része 1440, a Másik Kft. eredeti vállalása 2600 darab, ennek 110%-a 2860, így együtt 4300 darabot tudnak gyártani.
II. változat esetén:
Az Egyik Kft. eredeti vállalása 1800 darab, ennek 5/6 része 1500, a Másik Kft. eredeti vállalása 2600 darab, az 5%-os növekedés miatt 105%-ot, vagyis 3120 darabot gyártanak, így a két cég 4300 darabot.
Válasz:
Az Egyik Kft. eredetileg 1800, a Másik Kft. 2600 darab termék előállítását vállalta.

---

6. Egy ingatlanbecslő szerint Kovács úr lakásának jelenlegi értéke (2022 januárjában) 7,8 millió forint.
Kovács úr azt tervezi, hogy eladja lakását, és helyette egy kisebbet fog vásárolni.
Az új lakás ára 5,2 millió forint, és az adásvétellel kapcsolatos költségek várhatóan 400 000 forint körül lesznek.
Az ingatlan eladása adó befizetésével jár (mivel ilyenkor a tulajdonos bevételre tesz szert).
Az adó az adóalap 15%-a, és az adóalapot az „eladási ár - (vételár + költségek)” képlet alapján számítják.
a) Mennyi adót kell fizetnie Kovács úrnak, ha az ingatlan-adásvétel a terv szerint zajlik?
b) Mennyit fog érni a jelenlegi lakás 4 teljes év eltelte után, ha a lakás értékcsökkenésének mértéke évi 3% (és időközben nem végeznek lakásfelújítást)?

Megoldás

a) A képlet szerint az adó 7,8 · 10^6 - (5,2 · 10^6 + 0,4 · 10^6) = 2,2 · 10^6 forintnak a 15%-a, vagyis 2,2 · 10^6 · 0,15 = 330 000 forint.
b) A 3%-os csökkenés miatt a lakás értéke az előző évinek mindig a 97%-ára, vagyis 0,97-szorosára esik vissza.
Így a 4 teljes év alatt összesen 0,974-szeresére csökken a lakás értéke.
Tehát 7,8 · 10^6 · 0,974 ≈ 6,9 · 10^6 forint lesz a lakás értéke 4 teljes év elteltével.

---

7. A Föld népessége 2020 év végén közelítőleg 7,753 milliárd volt.
2022 július végén már körülbelül 7,963 milliárd ember élt a Földön.
a) Hány százalékos volt a népesség havi átlagos növekedése ebben az időszakban?
b) Ugyanilyen ritmusú növekedés mellett milyen népesség várható 2022 év végére?
c) Ilyen mértékű növekedés mellett mikor éri el a világ népessége a 9 milliárdot?

Megoldás

a) A szöveg alapján az eltelt 19 hónap alatt bekövetkezett változásra felírható egyenlet:
7,963 · 10^9 = 7,753 · 10^9 · q^19, ahol q a növekedésre vonatkozó arányszám.
Az egyenlet oldalainak 7,753 · 10^9-nel való osztása után 1,027 . q^19, ahonnan 19. gyökvonással (vagy mindkét oldal 1/19-re történő hatványozásával) adódik: q ≈ 1,0014, ami 100,14%-nak felel meg, ezért átlagosan közelítőleg havi 0,14%-os növekedést jelent.
b) Az a) feladatrészben megkapott 0,14%-os növekedéssel számolva 2022 év végére (ami a július után 5 hónappal következik be) felírható:
A = 7,963 · 10^9 · 1,0014^5, ami számolás után A = 8,018 · 10^9 értéket ad.
A 2022 év végére várható népesség tehát közelítőleg 8,018 milliárd fő.
c) Jelölje a 2022 év vége óta eltelt hónapok számát x, így 9 · 10^9 = 7,753 · 10^9 · 1,0014x.
Az egyenlet oldalainak 7,753 · 10^9-nel való osztása után 1,161 ≈ 1,0014^x.
Ezek után azt keressük, hogy 1,0014-nek hányadik hatványa lesz közelítőleg 1,161-del egyenlő.
A logaritmus definíciójának felhasználásával a keresett hatványkitevő értéke: log_ 1,161 1,0014.
A számérték meghatározását a logaritmus új alapra átírásával végezhetjük el:
log_ 1,161 1,0014 = lg 1,161/lg1,0014 = 106,7 ≈ 107.
Vagyis 2020 után közel 107 hónapnak kell eltelnie, hogy a népesség elérje a 9 milliárdot, tehát várhatóan 2029 év végén (novemberben) következik be.

FELADATOK I. RÉSZ

A1. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!
A: Ha két szám abszolút értéke egyenlő, akkor harmadik hatványaik is egyenlők.
B: A kettes számrendszerben felírt 101111 szám a tízes számrendszerben 47.
C: Bármely öt prímszám összege páros.
D: A 90 és a 75 legkisebb közös többszöröse a 900.
E: A prímszámok közül ki tudunk választani ötöt úgy, hogy az összegük páros legyen.

---

A2. Egy autó értéke egy év alatt 6%-kal csökkent, így jelenleg 2 280 000 Ft-ot ér.
Mennyi volt az értéke 1 évvel ezelőtt?

---

A3. Pista a bankkártyája négyjegyű PIN-kódjából két dologra emlékszik.
Az egyik, hogy benne van a 123 háromjegyű szám, a másik, hogy a kód olyan szám, ami osztható 4-gyel.
Mi lehet a PIN-kód?
Válaszod indokold!

---

A4. A 3-nak hányadik hatványa `9/sqrt(27)` ?

---

A5. Adott a (2x -1)² - 3x(2x - 4) másodfokú kifejezés.
Rendezd a másodfokú kifejezést általános alakra (ax² + bx + c, ahol a, b, c ∈ R), majd számold ki a kifejezés helyettesítési értékét x =-1/2 esetén!
Megoldásod részletezd!

---

A6. Hány olyan természetes szám van, amelyre értelme van a `sqrt(47 - 3x)` kifejezésnek?

---

A7. Az alábbiak közül melyik kifejezés értéke racionális szám?
A = `log_5 sqrt(5)`
B = log_9 1/3
C = π⁰
D = `(sqrt(7))^(-2)*(sqrt(7))^5`

---

A8. Írd fel a -2x² + 4x - 3 = 0 másodfokú egyenlet diszkriminánsát!
Hány valós gyöke van az egyenletnek?

---

A9. Mely valós számpárok teszik igazzá az egyenletrendszert?
I. 4x -3y =-10
II. 2x +6y = 10

---

A10. Írd fel szorzat alakban a következő kifejezéseket!
a) 6ab² - 9b
b) 3x² -12x +12

---

A11. Egy üzem 21 egyforma teljesítményű gépe 4,4 óra alatt gyártaná le a megrendelt mintadarabokat.
18 ugyanilyen teljesítményű gép hány perc alatt tudja legyártani a megrendelést?

---

A12. Húzd alá a megfelelőt a vastagon írt lehetőségek közül ahhoz, hogy igazak legyenek az állítások!
a) Ha két különböző pozitív egész szám legnagyobb közös osztója 1, akkor azok egyik osztója a másiknak / relatív prímek.
b) Ha egy nem nulla valós számnak van négyzetgyöke, akkor értelmezzük / nem értelmezzük a 10-es alapú logaritmusát.
c) Azonos alapú hatványok szorzását úgy is elvégezhetjük, hogy a közös alapot a kitevők összegére/különbségére/szorzatára emeljük.
d) Ha egy szám racionális, akkor biztosan eleme a természetes/egész/irracionális/valós számok halmazának is.

FELADATOK I. RÉSZ

B1. Válaszd ki azokat az egyenlőségeket, amelyek minden a; b ! R+ esetén igazak!
A: `sqrt(ab) = sqrt(a) * sqrt(b)`
B: (a - b)² = a² - ab + b²
C: `(a^(-1))/b=b/a`
D: log_(a+b) (a + b) = 1

---

B2. Adj meg növekvő sorrendben négy olyan racionális számot, amelyek elemei a ]-2; 0] intervallumnak!
A megadott számok közül legalább kettőt két egész szám hányadosaként írj fel!

---

B3. Antal édesanyja három és félszer olyan idős most, mint Antal.
8 év múlva életkoraik hányadosa 2,5 lesz.
Hány éves most Antal?
Megoldásod részletezd!

---

B4. Milyen számjegy állhat az A és a B helyén, ha a négyjegyű 5A7B szám osztható 15-tel?

---

B5. Egy iskola tanulóinak 28%-a végzős, a végzősök 75%-a, vagyis 168 diák egyetemen kíván továbbtanulni.
Hány diák jár összesen ebbe az intézménybe?

---

B6. Oldd meg a (2x -1)(2x +1) = 8 egyenletet a valós számok halmazán!

---

B7. Igaz vagy hamis?
a) Van olyan valós szám, amelynek második hatványa nagyobb a harmadik hatványánál.
b) Egy negatív szám negatív kitevős hatványa lehet pozitív.
c) Van olyan nullától különböző valós szám, amelynek ellentettje egyenlő a szám abszolút értékével.

---

B8. Add meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyre a lg(7 - 3x) kifejezésnek értelme van!

---

B9. Add meg kettes számrendszerben az 1234_6 számot!

---

B10. Hány természetes szám teszi igazzá az egyenlőtlenséget? Válaszod indokold! 2x - 7 ≤ 0

---

B11. Írj az x helyére olyan számjegyet a `72/(x4)` törtben, hogy az 1-nél nagyobb értékű, véges tizedes tört legyen!

---

B12. A 2-nek hányadik hatványával egyenlő `8 ^(-3/4)` ?

FELADATOK II. RÉSZ

P1. a) Oldd meg az egyenletet a racionális számok halmazán! `3^x*9^(-x)= 27*(1/3)^(2x)`
b) Milyen egész számok esetén teljesül az egyenlőtlenség? (x -1)² +(x - 3)(x + 3) ≤ 4
c) Bizonyítsd be, hogy az |x - 6| +(x + 6)² = 0 egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán!

---

P2. Két hajó, az AngryMan és a BigBlue ugyanabból a kikötőből indul útra március 1-én.
Ezt követően ugyanebből a kikötőből az AngryMan 18 naponként, a BigBlue pedig 20 naponként indul újra útjára, majd mindig újra visszatér.
a) Ugyanebben a naptári évben melyik napokon fognak ismét együtt indulni a kikötőből?
b) A két hajó egyik alkalommal ugyanabban az irányban, egymással párhuzamos útvonalon indul el.
Az AngryMan éppen délben 35 km/h sebességgel, a BigBlue azt követően 45 perccel, 45 km/h sebességgel indul.
Hány óra múlva és milyen távolság megtétele után éri utol a BigBlue a másik hajót?
c) Az AngryMan hajóskapitánya és kormányosa életkorainak összege 92 év.
Ha az életkoraik összege megduplázódik, akkor a kapitány 4 év híján 100 éves lesz.
Hány évesek jelenleg?

---

P3. A Földön, a tengerszinten mért légnyomás értéke közelítőleg p0 = 105 Pa (pascal).
A légnyomás mértékét a tengerszinttől h km magasságban a p = p0* 2,718^(-0,1275) összefüggés adja meg.
a) Mekkora a légnyomás a tengerszint fölött 100 méterrel?
b) A tengerszint fölött milyen magasságban lesz a légnyomás értéke 0,9 · 10^5 Pa?

---

P4. Egy baráti társaság egynapos kirándulást tervez.
A közös költségekre 12 000 Ft-ot szednek össze fejenként.
A nap végén kiderül, hogy 4000 Ft-tal kevesebb pénzt szedtek össze, mint amennyire szükség volt.
Ha 13 000 Ft-ot szedtek volna, akkor pontosan anynyival gyűlt volna össze több pénz, mint amennyivel kevesebbet szedtek össze eredetileg.
a) Hány fős ez a baráti társaság?
b) A társaság tagjai emlékeznek rá, hogy a közös hajókirándulás két éve összesen 23 000 Ft-ba került.
Ez az érték egy év alatt 20%-kal nőtt, és az azt követő évben 30%-os volt az áremelkedés.
Mennyi lett a hajókirándulás ára a két év eltelte után?
Hány százalékos két év alatt az árnövekedés?

---

P5. Április 11-re, a költészet napjára egy iskola közössége flashmobelőadással készül.
Az iskola minden diákja részt vesz az eseményen.
Az előadás során olyan téglalap alakzatban szeretnének felállni, ahol soronként 6; 8; 9 vagy 10 diák helyezkedik el, de így az utolsó sorra minden esetben 4 diák marad.
a) Hány diák tanul az intézményben, ha tudjuk, hogy 500-nál kisebb az összlétszám?
b) Hogyan tudják létrehozni a téglalap alakzatot, ha azt szeretnék, hogy minden sorban ugyanannyi diák legyen, és soronként legalább 6, de kevesebb, mint 11 diák álljon?

FELADATOK II. RÉSZ

Q1. Add meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét közönséges tört alakban, ha a = 0,3 és b = 1/3 !
a) `((a^2)-1*a^3)/b`
b) `sqrt(10*b*a^(-1))`
c) `0,5*log_b 10a`

---

Q2. Informatikai eszközök tervezésekor fontos szempont, hogy egy bizonyos feladat elvégzése mennyi időt vesz igénybe.
Ez részben az eszköz fizikai tulajdonságaitól, részben a feladat bonyolultságától függ.
Például „az egérrel rámutatni egy kívánt ikonra” egy olyan mozdulatsor, amelynek a „bonyolultsági indexét” (ID) az ID = log_2 2x/d összefüggéssel számítják ki.
A képletben x a kiindulópont és a célpont távolsága a monitoron, d pedig a célpont átmérője azonos mértékegységben kifejezve.
a) Mekkora ID-érték tartozik egy olyan mozdulathoz, amely során egy 0,5 cm átmérőjű ikonra 8 cm távolságról indulva kell rámutatni?
b) Hányszorosára nő ez az érték (azaz hányszor annyi idő kell a feladat elvégzéséhez), ha ugyanezt az ikont 4-szer távolabbról próbáljuk eltalálni?

---

Q3. Oldd meg az egyenleteket a negatív valós számok halmazán!
a) 2x² - x -1 = 0
b) `sqrt(2x +11) = x + 4`
c) `sqrt(x) + |x| + x² = 0`

---

Q4. a) Mi a számrendszer n alapja, ha: 20123_n = 539 teljesül (n egész szám, és 1 < n)?
b) Melyik a nagyobb értékű?
A legkisebb négyjegyű szám a hármas számrendszerben vagy a legnagyobb háromjegyű szám a négyes számrendszerben?

---

Q5. A sarki boltban egy állattartó minden héten 5 doboz macskaeledel-konzervet és 3 doboz kutyaeledel-konzervet vásárol, és minden alkalommal 2250 forintot fizet.
Árváltozások miatt a macskaeledel 20%-kal olcsóbb, a kutyaeledel pedig 10%-kal drágább lett, de az állattartó továbbra is 2250 forintot fizet a 8 doboz konzervért.
a) Mennyibe került eredetileg egy-egy konzerv?
A bolt tulajdonosa a riasztóberendezés kódjaként mindig olyan négyjegyű számot választ, amelynek prímtényezős felbontásában szerepel mindegyik egyjegyű prímszám.
b) Van-e olyan számjegy, ami benne van minden ilyen módon megalkotható kódban?
c) Adj meg négy lehetséges kódszámot!
d) Van-e a lehetséges kódok között négyzetszám?