50. Statisztika, valószínűségszámítás

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

Bevezető

Az ezredforduló óta nagyon megnőtt a statisztika jelentősége.
Az internet elterjedésével ugyanis rengeteg adat vált elérhetővé,a nagy teljesítményű számítógépek segítségével pedig kezelhetővé.
A világban lévő óriási információmennyiség feldolgozásához, a körülöttünk zajló folyamatok megértéséhez, valamint számos elméleti és gyakorlati probléma kezeléséhez ma már nélkülözhetetlen a statisztika tudománya.
A számszerű információk összegyűjtését, majd azok feldolgozását követően elemzéseket lehet elvégezni, és ezek alapján tudományos igényességgel következtetéseket lehet levonni.
Sok esetben a statisztika által nyert információk biztosítanak kiinduló adatokat a valószínűségszámítás számára.
A statisztika és a valószínűségszámítás kulcsfontosságú szerepet játszanak a tudományos felfedezésekben, az objektív mutatók alapján meghozható döntések és az előrejelzések létrehozásában.

FOGALMAK, TÉTELEK, MÓDSZEREK

D	Átlag	Az adatsokaság elemeinek az összegét elosztjuk az elemek számával: `bar(x)=(x_1+x_2+...+x_n)/n`
D	Módusz	Az adatsokaságban a legtöbbször előforduló elem (lehet több módusz is).
D	Medián	Olyan szám, amelynél az adatok fele kisebb vagy egyenlő. Az adatsokaság nagyság szerinti felsorolásában páratlan elemszám esetén a középen álló szám, páros elemszám esetén a középen álló két szám átlaga.
D	Alsó kvartilis	Olyan szám, amelynél az adatoknak (közelítőleg) a negyede kisebb vagy egyenlő. Páros elemszám esetén a nagyság szerint sorba rendezett adatok alsó felének mediánja. Páratlan elemszám esetén a mediánt elhagyva az adatok alsó felének mediánja.
D	Felső kvartilis	Olyan szám, amelynél az adatoknak (közelítőleg) a negyede nagyobb vagy egyenlő. Páros elemszám esetén a nagyság szerint sorba rendezett adatok felső felének mediánja. Páratlan elemszám esetén a mediánt elhagyva az adatok felső felének mediánja.
D	Terjedelem	Az adatsokaság legnagyobb és legkisebb elemének különbsége.
D	Félterjedelem	Az adatsokaságban a felső kvartilis és az alsó kvartilis különbsége.
D	Szórás	Az adatsokaságban az adatok szóródását jellemző szám. Az adatoknak az átlagtól való eltéréseit vesszük, ezek négyzetének átlaga a szórásnégyzet, ennek négyzetgyöke a szórás. `sigma=sqrt(((a_1-bar(x))^2+...+(x_n-bar(x))^2)/n)` (az adatok: x1, x2, …, xn, az átlaguk xr )
D	Relatív gyakoriság	Ha egy kísérletet n-szer végeztünk el, és k-szor kaptunk meg egy bizonyos kimenetelt, akkor az adott kimenetel gyakorisága k, relatív gyakorisága k/n .
	Diagramok
D	Elemi események	Egy véletlen kísérlet lehetséges kimenetelei. Például: Ha dobunk egy fehér és egy fekete dobókockával, akkor egy elemi esemény az, hogy a feketével hatost, a fehérrel egyest dobunk.
D	Eseménytér	Az elemi események halmaza. Például: Ha két kockával dobunk, akkor a 36 elemi esemény halmaza.
D	Esemény	Az eseménytér egy részhalmaza. Az események között a biztos esemény az, amely biztosan bekövetkezik, a lehetetlen esemény az, amely nem következhet be. Például: Ha két kockával dobunk, akkor egy esemény például, hogy két dobás összege 7.
D	Események szorzata	Az A és a B események szorzata az az esemény, amikor az A és a B események közül mindkettő bekövetkezik. Jele: A ∙ B
D	Események összege	Az A és a B események összege az az esemény, amikor az A és a B események közül legalább az egyik bekövetkezik. Jele: A + B
D	Komplementer esemény	Egy A esemény komplementere az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor az A esemény nem következik be. Jele: A
D	Egymást kizáró események	Az A és B események egymást kizáró események, ha egyszerre nem következhetnek be. Például: Két kockával dobunk. Egymást kizáró események, hogy az egyik dobás hatos, illetve a két dobás összege 5.
	A valószínűség fontos tulajdonságai	Az A esemény valószínűségének jele P(A). – Az A esemény P(A) valószínűségére 0 ≤ P(A) ≤ 1. – A biztos esemény valószínűsége 1, a lehetetlen esemény valószínűsége 0. – Ha A és B egymást kizáró események, akkor P(A + B) = P(A) + P(B). – A komplementer esemény valószínűsége: P(A) = 1 - P(A).
D	A valószínűség klasszikus modellje	Ha az elemi események egyformán valószínűek, és számuk véges: P(A) = az A eseményt adó elemi események száma /összes elemi esemény száma
	Geometriai valószínűség	Ha az események előfordulása egy geometriai mennyiséggel jellemezhető, akkor az esemény valószínűsége számolható úgy, hogy az adott eseményhez tartozó mennyiség mértékét osztjuk a teljes eseménytérhez tartozó ugyanezen mennyiség mértékével.
D	Független események	Az A és a B események függetlenek, ha P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B). Például: Két kockával dobunk. Független események, hogy az egyik dobás hatos, illetve a másik dobás hatos. D Várható érték A lehetséges kimeneteleknek a valószínűségekkel súlyozott átlaga.
D	Visszatevés nélküli mintavétel	Olyan mintavétel, amely során, ha egy elemet kiválasztunk, akkor azt nem tesszük vissza, az nem választható ki újra. Ez történhet úgy is, hogy egyszerre veszünk ki több elemet.
D	Visszatevéses mintavétel	Olyan mintavétel, amely során minden kiválasztás pontosan ugyanazon elemek közül történik. Ha kiválasztunk egy elemet, akkor a következő választás előtt azt visszatesszük a többi közé.
T	Visszatevéses mintavétel (binomiális eloszlás)	Egy kísérletet n-szer megismétlünk, és megfigyelünk egy p valószínűségű eseményt (pl. visszatevéses mintavételt alkalmazunk). Annak a valószínűsége, hogy ez a p valószínűségű esemény az n kísérletből pontosan k-szor következik be: `P(k)=((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)`
T	Visszatevés nélküli mintavétel	Adott N darab elemünk, melyek közül M darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal (és N - M darab különbözik ettől). Visszatevés nélkül kiválasztunk n darab elemet. Annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott elemek közül pontosan k darab rendelkezik az adott tulajdonsággal: `P(k)=(((M),(k))*((N-M),(n-k)))/(((N),(n)))`

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Egy osztály 20 tanulója írt meg egy dolgozatot.
A dolgozatban elért pontszámok:
16; 20; 24; 28; 28; 32; 36; 37; 38; 39; 41; 42; 43; 44; 46; 46; 47; 48; 48; 50.
a) Készíts dobozdiagramot az adatsokaságról!
b) Sorold hat osztályba az adatokat (16–20; 21–25; …; 46–50), majd az osztályközepekkel számolva határozd meg az adatok szórását!

Megoldás

a) 16; 20; 24; 28; 28; 32; 36; 37; 38; 39; 41; 42; 43; 44; 46; 46; 47; 48; 48; 50
Az adatok nagyság szerint növekvő sorrendben vannak.
A medián a 10. és a 11. adat átlaga, azaz 40.
Az alsó kvartilis az 5. és a 6. adat átlaga, azaz 30, a felső kvartilis a 15. és a 16. adat átlaga, azaz 46.
A dobozdiagramot meghatározó öt adat tehát 16; 30; 40; 46; 50.

b) Érdemes táblázatba rendezni az adatokat.
A táblázat első sora tartalmazza az osztályokat.
Az osztályközép az osztályt határoló két szám átlaga.
Ha kitöltjük a táblázat 3. sorát, akkor az ott szereplő gyakoriságok segítségével kiszámolható az adatok átlaga.

Osztály 16–20 21–25 26–30 31–35 36–40 41–45 46–50
Osztályközép 18 23 28 33 38 43 48
Gyakoriság 2 1 2 1 4 4 6
xi - x (xi - x)2 x = 20
2 $18 + 1 $ 23 + 2 $ 28 +1 $ 33 + 4 $ 38 + 4 $ 43 + 6 $ 48 = 38
Az átlag ismeretében tudjuk kitölteni a táblázat 4., majd az 5. sorát.
Az 5. sor segítségével számolható ki az adatsokaság szórása.
Osztály 16–20 21–25 26–30 31–35 36–40 41–45 46–50
Osztályközép 18 23 28 33 38 43 48
Gyakoriság 2 1 2 1 4 4 6
xi - x -20 -15 -10 -5 0 5 10
(xi - x)2 400 225 100 25 0 25 10020 ,
v2 = 2 $ 400 +1 $ 225 + 2 $100 +1 $ 25 + 4 $ 0 + 4 $ 25 + 6 $100 = 97 5 ebből: v . 9,87

Megjegyzések:

– Ha nem soroljuk osztályokba az adatokat, akkor a 20 adat átlaga 37,65, szórása pedig 9,70.
Látható, hogy az osztályba sorolás után kapott eredmények csak kismértékben különböznek ettől.
Sokszor nem ismertek az eredeti (nyers) adatok, csak az osztályba sorolt adatok, de az osztályba sorolás után kapott statisztikai jellemzők kellő pontossággal jellemezhetik az adatsokaságot.
– Az átlag és a szórás a számológép statisztika üzemmódjával is számolható.

---

2. táblázat két úszócsoport létszámát és az egyik távon elért időeredményeik átlagát tartalmazza.
Mennyi az n, ha az összes időeredmény átlaga 73,28 s?

Megoldás

Az 1. csoportban az átlag 72,6, ezért az időeredmények összege 12 ∙ 72,6 = 871,2.
A 2. csoportban az eredmények összege n ∙ 74,3.
Az összes eredmény átlagára ezért felírható: , , ,n 73 28 n 12 871 2 74 3 =
Átrendezve: 73,28(n + 12) = 871,2 + 74,3n
Ebből: 73,28n + 879,36 = 871,2 + 74,3n
8 , 1 6 = 1 , 0 2 n n = 8, tehát a 2. csoportban 8 fő van.
létszám átlag (s)
1. csoport 12 72,6
2. csoport n 74,3

---

3. Egy játékban két dobókockával dobnak.
Ha a két kockán különböző pontszám látható, akkor a nagyobbik érték számít, ha azonos pontszám, akkor a közös érték számít.
Mennyi egy dobás várható értéke?

Megoldás

Érdemes kitölteni a 6 × 6-os táblázatot, akkor megtudhatjuk, hogy melyik értékhez hány elemi esemény tartozik.
Ennek segítségével felírható mind a hat eredmény valószínűsége.
A várható értéket megkapjuk, ha ezekkel a valószínűségekkel súlyozva átlagoljuk az eredményeket.
Eredmény 1 2 3 4 5 6
Valószínűség 36
= 161 . 4 47 A várható érték 4,47.

---

4. Az egyik iskolában a magyar irodalom érettségi tételei közül 6 kapcsolódik külföldi és 14 magyar szerzőhöz.
Ha véletlenszerűen kiválasztunk a 20 tétel közül 5-öt, akkor mennyi a valószínűsége, hogy az 5 közül pontosan 3 kapcsolódik magyar szerzőhöz, ha a kihúzott tételeket
a) húzás után nem tesszük vissza;
b) minden húzás után visszatesszük?

Megoldás

a) Visszatevés nélküli mintavételről van szó.
A kedvező esetek azok, amikor a 14 tételből választunk 3-at, és a 6 tételből 2-t.
A lehetőségek száma 14.
Az összes eset számát az adja meg, hogy hányféleképpen választhatunk 20 tételből 5-öt.
Ez 20.
A valószínűség tehát: P(pontosan 3 magyar) = 20/5
b) Visszatevéses mintavételről van szó, ekkor a binomiális eloszlás adja meg a valószínűséget.
Mind az 5 húzás során 20 14 = 0,7 a valószínűsége, hogy a szerző magyar, és 0,3 a valószínűsége, hogy külföldi.
A kérdéses valószínűség tehát: P(pontosan 3 magyar) = 5 3 0 7 0 3 e o $ 3 $ 2 = 0,3087

---

5. Egy üzemben meghibásodik egy gép, ezért minden termék 0,015 valószínűséggel selejtes lesz.
Mennyi a valószínűsége, hogy 200 termékből legfeljebb 2 lesz selejtes?

Megoldás

Minden egyes termék 0,015 valószínűséggel selejtes és 0,985 valószínűséggel jó.
Mivel ugyanaz a helyzet ismétlődik, ezért a binomiális eloszlással számolhatunk.
Legfeljebb 2 selejtes termék akkor lesz, ha a selejtes termékek száma 0; 1 vagy 2.
P(legfeljebb 2 selejtes) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,985200 + 200 1 e o ∙ 0,015 ∙ 0,985199 + 200 2 e o ∙ 0,0152 ∙ 0,985198 .
. 0,049 + 0,148 + 0,225 = 0,422 A valószínűség tehát 0,422.

FELADATOK I. RÉSZ

A1. Határozd meg a táblázatban megadott adatsokaság móduszát, mediánját és átlagát!

---

A2. Ábrázold kördiagramon az adatsokaságot! Határozd meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögeket!
2; 4; 5; 5; 4; 2; 2; 5; 2; 4; 4; 4; 5

---

A3. Állapítsd meg a dobozdiagram alapján, hogy az adatsokaság
félterjedelme hány százaléka a terjedelemnek!

---

A4. Határozd meg a táblázatban megadott adatsokaság szórását!
adat 18 18,3 18,8
gyakorisága 5 3 2

---

A5. Egy csoportos utazáson 45 fő vesz részt, a résztvevők 3 településről jöttek: Pápáról, Zircről és Veszprémből.
A 12 pápai résztvevő átlagéletkora 48 év.
A 25 zirci átlagéletkora 42 év.
A veszprémiek átlagéletkora 52 év.
Mennyi a teljes csoportban az átlagéletkor?

---

A6. Oszlopdiagramon ábrázoltuk, hogy egy dolgozatra milyen osztályzatok születtek egy osztályban.
Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy dolgozatot, akkor mennyi a valószínűsége, hogy az eredménye legalább hármas?

---

A7. Négy barát, Kati, Laci, Móni és Nándi véletlenszerű sorrendben leülnek egymás mellé egy padra.
Mennyi a valószínűsége, hogy a két lány nem egymás mellé ül?

---

A8. Mennyi a valószínűsége, hogy két szabályos dobókockával dobva a dobott számok összege 10?

---

A9. Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk.
A dobott számokat (a dobás sorrendjében) egymás után írva egy kétjegyű számot kapunk.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kapott szám osztható 3-mal?

---

A10. Egy szerencsekerék 3 1 valószínűséggel áll meg a NYERT feliratnál, 3 2 valószínűséggel a NEM NYERT feliratnál.
Megpörgetjük 6-szor a szerencsekereket.
Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 2 forgatásnál kapunk NYERT feliratot?

---

A11. Egy szabályos pénzérmét négyszer egymás után feldobunk. A dobás eredményét az F és I betűkkel rövidítve sorban feljegyezzük (F = fej, I = írás). Legyen az A esemény az, hogy az első dobás fej, a B esemény az, hogy a dobások között több írás van, mint fej. A megfelelő dobássorozatok felsorolásával add meg az A + B és az A ∙ B eseményeket!

---

A12. Egy zsákban 3 piros és 5 sárga, tapintásra egyforma üveggolyó van.
Véletlenszerűen húzunk egyszerre két golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy
a) mindkét golyó piros;
b) mindkét golyó sárga;
c) egyik golyó sárga, a másik piros?

FELADATOK I. RÉSZ

B1. Egy 12 fős csoportban az átlagéletkor 24 év.
A csoportban lévő 8 férfi átlagéletkora 25,5 év.
Mennyi a csoportban lévő nők átlagéletkora?

---

B2. A táblázat egy nemzetközi cég éves bevételeit mutatja millió dollárban, földrészek szerinti bontásban.
Ábrázold kördiagramon az adatokat!
Határozd meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek nagyságát!

---

B3. A 42; a; 30 adatok csökkenő sorrendben követik egymást (30 1 a1 42), és tudjuk, hogy a három adat átlaga 2-vel nagyobb, mint a mediánja.
Határozd meg a értékét!

---

B4. 11 darab, nem feltétlenül különböző természetes számról a következőket tudjuk: a számok egyetlen módusza 2, mediánja 3, átlaga 4, terjedelme 5.
Adj meg 11 darab ilyen természetes számot!

---

B5. Egy zsákban 12 piros és 3 kék üveggolyó van.
Néhány zöld színű üveggolyót tettünk a zsákba, így 0,3 lett annak a valószínűsége, hogy ha véletlenszerűen húzunk a zsákból egy üveggolyót, akkor piros golyót húzunk.
Hány darab zöld golyót tettünk a zsákba?

---

B6. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kétjegyű szám osztható 8-cal?

---

B7. Klári, Eszter és Hanna megbeszéltek egy találkozót egymással.
Ha véletlenszerű sorrendben érkeznek a találkozó helyszínére, akkor mennyi a valószínűsége, hogy Klári hamarabb érkezik, mint Eszter?

---

B8. Egy számítógépes játékban 0,3 valószínűséggel sérülést szenved, aki a játéktér egy adott mezőjére lép.
Ha a játék folyamán 8 alkalommal lép valaki arra a mezőre, akkor mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 3 alkalommal szenved sérülést?

---

B9. Egy szabályos pénzérmét háromszor egymás után feldobunk, és a dobás eredményét az F és I betűkkel rövidítve sorban feljegyezzük (F = fej, I = írás).
Mennyi a valószínűsége, hogy az IFI szót kapjuk?

---

B10. Az egyik héten az ötöslottóban a következő öt szám nyert: 10; 12; 40; 45 és 48.
Ha véletlenszerűen töltöttük ki a lottószelvényt, akkor mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 2 találatot értünk el?
(Az ötöslottóban 90 szám közül sorsolnak ki 5-öt, tekintet nélkül a sorrendre.)

---

B11. Egy részvény árfolyama 4200 Ft.
Egy elemző modellje szerint a részvény ára egy hét múlva 0,5 valószínűséggel emelkedni fog 210 Ft-tal, 0,2 valószínűséggel csökkenni fog 400 Ft-tal, és 0,3 valószínűséggel nem változik.
Mennyi a részvény árfolyamának várható értéke egy hét múlva ezen modell szerint?

---

B12. Két dobókockával egyszer dobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok öszszege prím?

FELADATOK II. RÉSZ

P1. Tanulók egy statisztikai kísérlet során azt vizsgálták, hogy hány szál gyufa van egy-egy gyufásdobozban.
Táblázatba foglalták a kapott adatokat.
Gyufaszálak száma 38 39 40 41 42 43
Gyakoriság 22 33 42 12 13 3
a) Határozd meg a gyufaszálak számának szórását!
b) Ha véletlenszerűen választunk egy gyufásdobozt, akkor mennyi a benne lévő gyufák számának várható értéke?
c) A gyufagyártó cég előírása szerint a csomagolás megfelelő, ha a gyufák számának a 40-től való eltérése a dobozok 98%-ában kisebb, mint 5%.
Megfelel-e ennek az elvárásnak a kísérlet eredménye?

---

P2. Egy középiskola évfolyamonként három osztályt indít: egy nyelvi, egy matematikai és egy informatikai tagozatot.
Az egyes évfolyamokon az egyes osztályokba járó tanulók számát a táblázat szemlélteti:
9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam
Nyelvi tagozat 36 33 30 28
Matematika tagozat 34 33 29 31
Informatikai tagozat 35 34 34 30
a) Készíts kördiagramot, amely a diákok évfolyamonkénti eloszlását ábrázolja! Egy tizedesjegy pontossággal határozd meg a kördiagramon a középponti szögeket!
b) Mennyi a valószínűsége, hogy két véletlenszerűen kiválasztott diák közül az egyik a 9., a másik a 11. évfolyamra jár?
c) Mennyi a valószínűsége, hogy három véletlenszerűen kiválasztott diák mindegyike nyelvi tagozatra jár?

---

P3. Egy pénzérmét 12-szer feldobunk, a „fej” dobását F-fel, az „írás” dobását I-vel jelöljük.
Egymás után felírjuk a dobások eredményét.
a) Hányféle betűsort kaphatunk?
b) Mekkora a valószínűsége, hogy csak fejekből áll majd a sorozat?
c) Mekkora a valószínűsége, hogy az első és az utolsó dobás is fej?
d) Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan a dobások fele lesz fej, a másik fele pedig írás?

---

P4. Egy társasjátékban az ábra szerinti szerencsekerék megpörgetése mutatja meg, hogy előre léphetünk egyet, kettőt, hármat vagy négyet, vagy vissza kell lépnünk egyet, kettőt vagy hármat.

A szerencsekeréken a (+4)-es lépést jelentő körcikk 90°-os, a többi körcikk 45°-os.
a) Ha egyszer megpörgetjük a szerencsekereket, akkor mennyi az eredmény várható értéke?
b) A célig még 10 mezőt kell haladnunk előre (a tizedikkel már célba érünk).
Mekkora a valószínűsége, hogy a harmadik forgatás után beérünk a célba? (A célba nem kell pontosan belépni, túl is haladhatunk rajta.)

---

P5. Ismert tény, hogy az úgynevezett partidrogok (tudatmódosító szerek) fogyasztása esetén a balesetveszély fokozódik.
Tegyük fel, hogy egy szombat éjszakán az országban 250 ezer fi atal vesz részt valamilyen partin, és ezeknek a fi ataloknak a 15%-a fogyaszt valamilyen partidrogot.
A partiról távozó fi atalok körében 0,0008 valószínűséggel következik be valamilyen közúti baleset, a tudatmódosító szert szedők között ez a valószínűség 0,0034.
Számítsd ki, hogy egy ilyen éjszakát követő hajnalon
a) hány baleset következik be a statisztikai adatok szerint a partiról távozó fiatalok körében;
b) hány tudatmódosító szer hatása alatt álló fi atallal történik közúti baleset;
c) mekkora a valószínűsége annak, hogy egy közúti balesetet szenvedett fi atal tudatmódosító szert szedett!

FELADATOK II. RÉSZ

Q1. Egy népszavazáson arról dönthettek a szavazók, hogy városukban park, bevásárlóközpont vagy hangversenyterem épüljön; a három lehetőség közül mindenki egyet választhatott.
A lakosság 54,6%-a szavazott, a szavazata mindenkinek érvényes volt.
A szavazás eredményének néhány részletét életkori csoportok szerint mutatjuk be:
Korcsoport
A szavazók száma (ezer fő)
Parkra szavazott
Bevásárlóközpontra szavazott
Hangversenyteremre szavazott
18–27 21 27% 57%
28–37 32 48% 15%
38–47 28 15% 53%
48–57 35 25% 25%
58–67 16 24% 50%
68 évtől 45 30% 26%
a) Hány lakosa van ennek a városnak?
b) Melyik terv nyerte meg a népszavazást?
c) Hányan szavaztak az egyes tervekre az 57 évnél idősebbek közül?

---

Q2. Egy nagyvállalat vezetősége összesítést készített arról, hogy a dolgozói között az egyes korcsoportokon belül mennyi a felsőfokú végzettségű dolgozók aránya (relatív gyakorisága).
Életkor Létszám
A diplomás dolgozók
relatív gyakorisága gyakorisága
20 év alatt 420 0
20–29 3645 0,75
30–39 5280 0,53
40–49 7013 0,32
50–59 4339 0,42
60 évtől 2106 0,95
a) Hányan dolgoznak ennél a vállalatnál?
b) Töltsd ki az üresen maradt rovatokat!
c) Mennyi a dolgozók között a diplomások relatív gyakorisága?
d) Mennyi a diplomások relatív gyakorisága a 30 év alattiak között?
e) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott dolgozó 30 és 49 év közötti diplomás?
f) Ha véletlenszerűen kiválasztunk három dolgozót, akkor mennyi a valószínűsége, hogy ketten 30 és 49 év közöttiek, és egyikük 60 évnél idősebb?

---

Q3. a) Határozd meg a táblázatba foglalt adatsokaság átlagát és szórását!
b) Készíts dobozdiagramot az adatsokaságról!
c) Ha véletlenszerűen kiválasztunk az adatsokaság elemei közül visszatevés nélkül 8 adatot, akkor mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb két adat kisebb, mint 4,4?

---

Q4. (Érettségi feladat, 2022) Andrea és Balázs kockarulettet játszanak.
Egy játék abból áll, hogy két szabályos dobókockával egyszerre dobnak.
A dobás előtt a játékszelvényen megadott öt eseményre lehet fogadni úgy, hogy a játékosok minden játék előtt beírják a tétjeiket a játékszelvény megfelelő oszlopába.
A tétként feltett pontokat levonják a játékos pontszámából.
A szelvényen látható az egyes eseményekre a nyereményszorzó is, ami megmutatja, hogy a tétként feltett pontok hányszorosát kapják meg nyereményként, amennyiben az esemény bekövetkezik.
A játékosok 100 ponttal indulnak.
A lenti ábrán Andrea játékszelvényét látjuk.
Az 1. játékban 10-10-10 pontot tett fel három eseményre, és ezek után az 1 és 4 számokat dobták a kockákkal.
Andrea az első téttel nem nyert, de a másik kettővel 3 ∙ 10, illetve 2 ∙ 10 pontot nyert. Összesen 30 pontot tett fel, és 50 pontot nyert, tehát az 1. játék után 120 pontja lett, ennyivel kezdi a 2. játékot.
ESEMÉNY nyereményszorzó
Tétek
1. játék 2. játék 3. játék
A: két páros számot dobunk 4 10
B: az egyik szám páros, a másik páratlan 3 0
C: a számok összege kisebb, mint 6 3 10
D: a számok szorzata páros 2 10
E: dobunk 6-ost 3 0
Összes tét 30
nyeremény 50
pontszám a játék után 120
dobott számok 1 és 4
a) A 2. játékban Andrea ugyanerre a három eseményre fogadott 20-20-20 ponttal, és mindhárom tétjével nyert.
Melyik számokat dobták a 2. játékban, és mennyi lett Andrea pontszáma a 2. játék után?
b) A 3. játékban Andrea az első három eseményre fogadott 10-10-10 ponttal, de egyikkel sem nyert.
Melyik számokat dobhatták a 3. játékban?
c) Balázs az egyik játékban az A, a D és az E eseményre fogadott összesen 70 ponttal, és mindhárom tétjével nyert.
Az E eseményre éppen kétszer annyi tétet tett, mint az A-ra.
Hány ponttal fogadott Balázs az A eseményre, ha öszszesen 200 pont lett a nyereménye? Melyik számokat dobhatták ebben a játékban?
d) Egy másik napon már három, különböző színű szabályos dobókockával dobtak egyszerre.
Számítsd ki annak az eseménynek a valószínűségét, hogy a dobások között előfordul az ötös dobás!

---

Q5. Egy gépsoron integrált áramköröket gyártanak.
A tapasztalat szerint a gépsoron gyártott áramkörök esetén 0,005 annak a valószínűsége, hogy egy legyártott áramkör hibás. A minőség-ellenőrzés során a nagyon sok alkatrész közül 100 alkalommal választanak ki egy-egy darabot.
a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a 100 alkalom közül egyszer sem találnak selejteset?
b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a 100 alkalom közül legalább egy selejtes darabot találnak?
c) Hány alkalommal kell megismételni a mintavételt, ha azt szeretnénk, hogy annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik darab selejtes, nagyobb legyen, mint 0,5?

49. Geometria 1. (Elemi geometria)

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

Bevezető

A geometria a matematikának az az ága, amely különböző alakzatokkal, azok tulajdonságaival, formájával, méretével, kölcsönös elhelyezkedésével foglalkozik.
A testek, síkidomok ismeretlen adatainak meghatározása, a szimmetriák felismerése és felhasználása már az ősi Mezopotámiában és Egyiptomban is része volt a földmérési, építészeti, csillagászati számításoknak.
A geometria szabályait Kr. e. 300 környékén Eukleidész öntötte szigorú formába Elemek című munkájában, amely a következő két évezredre megalapozta és meghatározta a geometria szemléletét.
A XVII. század elején René Descartes és Pierre de Fermat francia matematikusok a koordinátageometria bevezetésével lehetővé tették geometriai feladatok algebrai úton, egyenletek segítségével történő megoldását is.
A XIX. század matematikusai (közöttük a magyar Bolyai János) a párhuzamos egyenesek Eukleidésztől eltérő értelmezésével új típusú geometriákat hoztak létre, amelyek segítségével ma a tengeri szivacsok telepeinek alakjától egészen az univerzum lehetséges jövőjéig terjedő kérdésekre keressük a választ.
A geometria élő, napjainkban is fejlődő tudomány.
A felsőbb matematikában érintett differenciálgeometria, a topológia vagy éppen a fraktálgeometria művelői újabb és újabb érdekes, a természettudományok szempontjából is fontos eredményekkel állnak elő.

ELEMI GEOMETRIA

	Alapfogalmak	Pont, egyenes, sík (térelemek); illeszkedés
D	Térelemek kölcsönös helyzete	Két egyenes metsző, ha pontosan egy közös pontjuk van. Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak, és nincs közös pontjuk (vagy ha egybeesnek). Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha minden pontja a síkon van. Egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van. Egy egyenes párhuzamos egy síkkal, ha nincs közös pontjuk (vagy ha az egyenes illeszkedik a síkra). Két különböző sík metszi egymást, ha a két síknak van közös pontja. A közös pontok által alkotott egyenes a két sík metszésvonala. Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk (vagy ha egybeesnek). (Két egyenes kitérő, ha nem párhuzamosak és nem metszők. Ekkor nincs olyan sík, amely mindkét egyenest tartalmazza.)
D	Térelemek távolsága, ha van közös pontjuk	Ha két térelemnek van közös pontja, akkor a két térelem távolsága 0.
D	Térelemek távolsága, ha nincs közös pontjuk	Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza. Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza. Pont és sík távolsága a pontból a síkra állított merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egyik pontjának a másik egyenestől mért távolsága. Párhuzamos egyenes és sík távolsága az egyenes egyik pontjának a síktól mért távolsága. Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egyik pontjának a másik síktól mért távolsága.
D	A szög	Egy közös pontból kiinduló félegyenes a síkot két szögtartományra (szögre) bontja. A félegyenesek a szög szárai, a közös kezdőpont a szög csúcsa.
D	A szög mértéke fokban	A teljesszög 360-ad része az 1° nagyságú szög. Az 1° 60-ad része 1 szögperc (1’), az 1 szögperc 60-ad része 1 szögmásodperc (1’’).
D T	Nevezetes szögpárok	a és b egyállású szögek; a = b b és c csúcsszögek; b = c a és c váltószögek; a = c a és d mellékszögek; a + d = 180° d és c kiegészítő szögek; d + c = 180° c és f pótszögek; c + f = 90° a és b merőleges szárú szögek; a = b a és c merőleges szárú szögek; a + c = 180°
D	Térelemek hajlásszöge	Egyenes-egyenes: Két metsző egyenes hajlásszöge a két egyenes által meghatározott két-két egyenlő szög közül a nem nagyobbik (legfeljebb 90° nagyságú). Két párhuzamos egyenes szöge 0°. Egyenes-sík: Egy egyenes merőleges egy síkra, ha az egyenes síkra eső merőleges vetülete az egyenes és a sík metszéspontja. Belátható, hogy egy egyenes merőleges a síkra, ha az egyenes merőleges az egyenes és sík metszéspontjára illeszkedő, a síkban lévő két nem egybeeső egyenesre. Egy (a síkra nem merőleges) egyenes és egy sík hajlásszögén az egyenesnek és az egyenes síkra eső merőleges vetületének a hajlásszögét értjük. Ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor az egyenes és a sík szöge 0°. Sík-sík: Két metsző sík hajlásszöge megegyezik azzal a szöggel, amit a két sík metszésvonalának tetszőleges pontjában a metszésvonalra merőlegesen állított egyik, illetve másik síkra illeszkedő egyenesek határoznak meg. Párhuzamos síkok szöge 0°.
T	A háromszög szögei	A háromszög belső szögeinek összege 180°. A háromszög minden külső szöge a nem mellette fekvő belső szögek összegével egyenlő. A háromszög külső szögeinek összege 360°.
T	Háromszögegyenlőtlenség	Egy háromszög bármely két oldalhosszának összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál. Ha egy háromszög oldalainak hossza: a, b, c, akkor fennáll, hogy c 1 a + b; a 1 b + c; b 1 a + c.
T	A háromszög szögei és oldalai	A háromszögben egyenlő hosszúságú oldalakkal szemben egyenlő nagyságú szögek vannak, egyenlő nagyságú szögekkel szemben egyenlő hosszúságú oldalak vannak. Hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van, nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal van.
D	A háromszögek osztályozása	Szögei szerint: Egy háromszög hegyesszögű, ha legnagyobb szöge hegyesszög; derékszögű, ha legnagyobb szöge derékszög; tompaszögű, ha legnagyobb szöge tompaszög. A másik két szög minden esetben hegyesszög. Oldalai szerint: Egy háromszög egyenlő szárú, ha van két egyenlő hosszúságú oldala. Az egyenlő hosszú oldalak a szárak, a harmadik oldal az alap. A szárak által bezárt szög a szárszög, a másik két szöget alapon fekvő szögnek nevezzük. Egy háromszög szabályos (egyenlő oldalú), ha minden oldala egyenlő hosszú (és így minden szöge egyenlő nagyságú).
D	Nevezetes ponthalmazok	A sík két különböző pontjától egyenlő távolságban lévő pontok halmaza a síkon a két pont által meghatározott szakasz szakaszfelező merőlegese. Két metsző egyenestől egyenlő távolságban lévő pontok halmaza a síkon a két egyenes által bezárt szögek szögfelező egyenesei. (T: Két ilyen egyenes van, ezek merőlegesek egymásra.) A körvonal (röviden: a kör) a sík egy adott pontjától adott távolságra lévő pontok halmaza a síkon. A gömb a tér egy adott pontjától adott távolságra lévő pontok halmaza.
D	A háromszög oldalfelező merőlegesei	A háromszög oldalfelező merőlegesei a háromszög egy-egy oldalára merőleges és az adott oldal felezőpontjára illeszkedő egyenesek.
T	A háromszög oldalfelező merőlegesei	A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írható körének középpontja (egyenlő távolságra van a háromszög három csúcsától). Hegyesszögű háromszög esetén ez a pont a háromszög belső pontja, derékszögű háromszög esetén az átfogó felezőpontja, tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül eső pont.
D	A háromszög belső szögfelezői	A háromszög belső szögfelezői a háromszög belső szögeit felező egyenesek.
T	A háromszög belső szögfelezői	A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög beírható körének középpontja (egyenlő távolságra van a háromszög három oldalegyenesétől). Ez a pont minden háromszög esetén a háromszög belső pontja.
D	A háromszög magasságvonalai	A háromszög magasságvonalai a háromszög egy-egy csúcsára illeszkedő és az azzal szemközti oldalegyenesre merőleges egyenesek.
T	A háromszög magasságvonalai	A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög magasságpontja. Hegyesszögű háromszög esetén a magasságpont a háromszög belső pontja, derékszögű háromszögben a derékszög csúcsa, tompaszögű háromszög esetén a háromszög külső pontja.
D	A háromszög súlyvonalai	A háromszög súlyvonalai a háromszög egy-egy csúcsára és a csúccsal szemközti oldal felezőpontjára illeszkedő egyenesek.
T	A háromszög súlyvonalai	A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a súlypont. A súlypont a súlyvonal háromszögbe eső részének az oldalhoz közelebb eső harmadolópontja. A súlypont minden háromszög esetén a háromszög belső pontja.
T	A négyszög szögei	A négyszög belső szögeinek összege 360°. A négyszög külső szögeinek összege 360°.
D	Trapéz	A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos (ezek a trapéz alapjai, a másik két oldal a trapéz két szára).
T	Trapéz	A trapéz egy száron fekvő szögeinek összege 180°. A húrtrapéz alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak. A húrtrapéz tengelyesen szimmetrikus négyszög.
D	Paralelogramma	A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.
T	Paralelogramma	A paralelogrammában a szemközti szögek egyenlő nagyságúak; az egy oldalon fekvő szögek összege 180°; a szemközti oldalak hossza egyenlő; az átlók felezik egymást. A paralelogramma középpontosan szimmetrikus négyszög.
D	Deltoid	A deltoid olyan négyszög, amely tengelyesen szimmetrikus az egyik átló egyenesére.
T	Deltoid	A deltoidnak két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. A deltoidnak van két egyenlő nagyságú (egymással szemközti) szöge. A deltoid egyik átlóját merőlegesen felezi a másik átló egyenese. A deltoid tengelyesen szimmetrikus négyszög.
D	Rombusz	A rombusz olyan négyszög, amelynek oldalai egyenlő hosszúságúak.
T	Rombusz	A rombusz rendelkezik a paralelogramma, valamint a deltoid összes tulajdonságával.
D	Téglalap	A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge derékszög.
T	Téglalap	A téglalap szemközti oldalai egyenlő hosszúak és párhuzamosak egymással. Átlói felezik egymást. A téglalap tengelyesen és középpontosan szimmetrikus négyszög.
D	Négyzet	A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú, és minden szöge egyenlő nagyságú (szabályos négyszög).
T	Négyzet	A négyzet rendelkezik a téglalap, valamint a rombusz összes tulajdonságával.
T	Sokszögek szögei, átlói	Az n oldalú konvex sokszög egy csúcsából induló átlóinak száma n - 3; összes átlóinak száma `(n*(n-3))/2` ; belső szögeinek összege (n - 2) · 180°, ahol n ! N, és n 2 2; külső szögeinek összege 360°.
D	Szabályos sokszög	Egy konvex sokszög szabályos sokszög, ha minden oldala egyenlő hosszú, és minden szöge egyenlő nagyságú.
T	Szabályos sokszög	A páros oldalszámú szabályos sokszögek tengelyesen és középpontosan is szimmetrikusak, a páratlan oldalszámú szabályos sokszögek tengelyesen szimmetrikusak. Az n oldalú szabályos sokszög egy belső szögének nagysága n ]n - 2g $ 180o (n ! N; n 2 2).

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójához tartozó magasságvonal 20°-os szöget zár be a C csúcsból induló szögfelező egyenessel.
Mekkorák az ABC háromszög hegyesszögei?

Megoldás

Az ábra jelöléseivel:
A feladat szövege szerint TCP∢ = 20°.
Mivel BCA∢ = 90°, és CP felezi ezt a szöget, ezért BCP∢ = PCA∢ = 45°.
Ugyanakkor BCT∢ = BCP∢ - TCP∢ = 45° - 20° = 25°.
A TBC∢ és BCT∢ a BCT derékszögű háromszög hegyesszögei, ezért egymás pótszögei, így TBC∢ = 90° - 25° = 65°.
A CAB derékszögű háromszögben ABC∢ + CAB∢ = 90°, így CAB∢ = 25°.
Az ABC derékszögű háromszög hegyesszögei tehát 25° és 65° nagyságúak.

Megjegyzés:

A feladat más módon is megoldható.
Például, ha kihasználjuk, hogy a TPC derékszögű háromszög P csúcsánál lévő belső szöge a CAP háromszög P csúcsánál lévő külső szöge, vagy észrevesszük, hogy a BCT∢ és CAB∢ merőleges szárú hegyesszögek, ezért CAB∢ = BCT∢ = 25°.
ABC∢ + CAB∢ = 90°, amiből ABC∢ = 65°.

---

2. Egy háromszög cm-ben mért oldalhosszúságai egész számok.
Két oldalának hossza 35 cm és 91 cm.
a) Mekkora lehet a háromszög harmadik oldalhosszának legkisebb, illetve legnagyobb értéke?
b) Hány, a feltételeknek megfelelő, nem egybevágó háromszög létezik?
c) Van-e a háromszögek között olyan, amelyben két belső szög nagysága egyenlő?

Megoldás

Jelölje c a háromszög harmadik oldalának hosszát centiméterben.
A háromszög-egyenlőtlenség miatt teljesül, hogy c < 35 + 91, és 35 < 91 + c, valamint 91 < 35 + c.
Ezek alapján c < 126, és -56 < c, valamint 56 < c, ezért 56 < c < 126.
a) Mivel c egész szám, ezért legkisebb értéke 57, legnagyobb értéke 125 lehet.
b) 56-nál nagyobb, 126-nál kisebb egész számból összesen 125 - 56 = 69 darab van, ezért két oldalhossz rögzítése mellett a harmadik oldal hossza 69-féleképpen alakulhat.
Tehát 69 ilyen háromszög van.
c) A háromszög két belső szögének nagysága egyenlő, ha megegyezik két oldalának hosszúsága.
Az eredetileg adott 35 cm és 91 cm oldalhosszúság közül a harmadik oldal hossza 35 cm nem lehet, viszont 91 cm lehet, mert az teljesíti a c oldal hosszára érvényes egyenlőtlenséget.
Tehát egy olyan háromszög van a lehetségesek között, amelyben két belső szög nagysága egyenlő.

---

3. Egy konvex sokszög esetében behúztuk az egyik csúcsából induló összes átlót.
Ezek az átlók a csúcsnál lévő belső szöget 23°, 42°, 30°, 47°, valamint 8° nagyságú szögekre bontják.
Hányszorosa ennek a belső szögnek a sokszög belső szögeinek összege?

Megoldás

Ha az átlók öt diszjunkt szögtartományt hoznak létre, akkor a csúcsból induló átlók száma 4.
Minden csúcsból a csúcsok számánál 3-mal kevesebb átló indul, ebből következik, hogy a sokszögnek 7 csúcsa van.
Mivel a belső szögek összege (7 - 2) · 180°, így a keresett hányados `((7-2*180°)/(23°+42°+30°+47°+8°)=6`.
Tehát 6-szorosa a belső szögösszeg a szóban forgó belső szögnek.

FELADATOK I. RÉSZ

A1. Hány fokos szöget zár be az óra kismutatója és nagymutatója egymással
a) 7 órakor;
b) fél 4-kor?

---

A2. Az ABCD konvex négyszög A csúcsánál lévő külső szöge 104°, a B csúcsnál lévő belső szöge 74°, a C csúcsnál lévő belső szöge 80° nagyságú.
Hány fokos a négyszög D csúcsánál lévő külső szöge?

---

A3. Az ABCDA'B'C'D' kocka éleinek hossza 5 cm.
Add meg
a) az A pont és a CC'D'D sík;
b) a BDl egyenes és az ABCD sík;
c) az AD' egyenes és a CC'B'B sík;
d) az ABCD sík és az A'B'CD sík távolságát!

---

A4. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!
A: Minden paralelogramma trapéz.
B: Ha két szög egymással váltószög, akkor lehetnek egymás kiegészítő szögei.
C: Egy négyszögnek lehet 180°-nál nagyobb belső szöge is.
D: A rombusznak vannak egyállású belső szögei.

---

A5. Egy háromszög külső szögeinek aránya 3 : 5 : 7.
Mekkora a háromszög legkisebb belső szöge?

---

A6. Egy konvex sokszög belső szögeinek összege 1800°.
Hány átló indul a sokszög egy csúcsából?

---

A7. Mekkorák a paralelogramma szögei, ha az egyik belső szög 23°-kal nagyobb, mint egy másik?

---

A8. Írj mindegyik nyomtatott nagybetű alatt lévő vonalra legfeljebb egyet az alább felsorolt szavak közül aszerint, hogy az adott betűben megtalálható-e a megnevezett típusú nevezetes szögpár!
Az egyes nyomtatott nagybetűkben jelöld a két megfelelő szöget a és b betűkkel, és írd fel ezek kapcsolatát a vonal alá!
(Tekintsd a betűk felírásához használt vonalakat a megszokott írásmód szerinti merőlegeseknek vagy párhuzamosoknak!)
A felhasználható szavak: egyállású szögek, csúcsszögek, mellékszögek, váltószögek, pótszögek
A X F H Z K T

---

A9. Egy derékszögű háromszög köré írható körének középpontja 8 cm távolságra van a háromszög magasságpontjától.
Mekkora a háromszög köré írható kör átmérője?

---

A10. Egy szabályos sokszögben összesen 65 átló húzható.
Mekkora a sokszög egy belső szögének nagysága?

---

A11. Van-e olyan háromszög, amelyben az oldalak hossza 3,8 cm, 0,29 dm, valamint 64 mm?
Válaszod indokold!

---

A12. Mekkora lehet az a két szög, amelyek
a) egymásnak pótszögei, és az egyik a másiknak az ötszöröse;
b) merőleges szárú szögek, és az egyik 23°-kal nagyobb, mint a másik?

48. Függvények

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

Bevezető

A felismerés, hogy a körülöttünk lévő világ jelenségei egymással összefüggnek, egyidős az emberiséggel.
A matematikában azonban a függvény fogalma (legalábbis mai formájában) viszonylag későn alakult ki: a kifejezés Gottfried Leibniz német matematikus egy 1673-ban írt levelében bukkant fel először.
Az azóta eltelt három és fél évszázad alatt a függvények vizsgálata a matematika egyik leglátványosabb és leghasznosabb területévé nőtte ki magát.
Függvényekkel dolgozik a Mars-járót célba juttató mérnök, a tőzsdei elemző, a vírusok fertőzési gyorsaságát vizsgáló virológus.
A hétköznapi, gyakorlati életben is fontosak a függvénytani alapismeretek, hiszen azok nélkül nehezen lehetne megérteni például a heti időjárás-előrejelzést, vagy gondot okozna a hivatásos sofőrök vezetéssel kapcsolatos információkat tartalmazó tachográf (menetíró-készülék) elemzésének elvégzése.

FÜGGVÉNYEK

D	Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet	Legyen A és B két – egymástól nem feltétlenül különböző – nemüres halmaz. Függvénynek nevezzük azt a hozzárendelést, amely az A halmaz minden eleméhez a B halmazból pontosan egy elemet rendel. Ekkor a függvény értelmezési tartománya az A halmaz, képhalmaza a B halmaz. Értékkészlet: a B halmaz azon elemeinek halmaza, melyeket hozzárendelünk valamely értelmezési tartománybeli elemhez. Megjegyzés: A függvény tehát egyértelmű hozzárendelés. Az A és B halmazok nem csak számhalmazok lehetnek. Például: A Föld országaihoz hozzárendeljük a hivatalos fővárosukat. A = {a világ országai} B = {a világ városai}
D	Hozzárendelési szabály	A hozzárendelési szabály az az utasítás, amely egyértelműen megadja, hogy az értelmezési tartomány egyes elemeihez a képhalmaz melyik elemét kell hozzárendelni. A függvényeket általában az értelmezési tartománnyal és a hozzárendelési szabállyal szokás megadni. (Ha a számhalmazokon értelmezett függvényekre az értelmezési tartományt nem adják meg, akkor a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát tekintjük értelmezési tartománynak, amin a hozzárendelésnek értelme van.) Például: f : Rendeljük hozzá minden pozitív egész számhoz a háromszorosát. Ekkor a hozzárendelés szabálya a háromszorozás; az értelmezési tartomány a pozitív egész számok halmaza; az értékkészlet a hárommal osztható pozitív egész számok halmaza. g: Rendeljük hozzá minden valós számhoz az abszolút értékét. Ekkor a hozzárendelés szabálya az abszolútérték-képzés; az értelmezési tartomány a valós számok halmaza; az értékkészlet a nemnegatív valós számok halmaza.
D	Függvénytani jelölések	A függvények jele általában f , g, h … Értelmezési tartománya: Df , Dg, Dh … Értékkészlete: Rf , Rg, Rh … A hozzárendelést a ↦ szimbólum jelöli. Az értelmezési tartomány és a képhalmaz közé → szimbólum kerül. Például: Az előbbi példák jelölésekkel: f : N → R; x ↦ 3x; Df = N; Rf = {0; 3; 6; 9; …} = {3x|x ∈ N} g : R → R; x ↦ |x|; Dg = R; Rg = R0+ Leírhatók a hozzárendelések f : N → R; f (x) = 3x; g : R → R; g(x) = |x| módon is.
D	Helyettesítési érték	Ha x0 az f függvény értelmezési tartományának eleme, akkor a függvény x0 helyen felvett helyettesítési értéke (röviden: függvényértéke): a képhalmaznak az az eleme, amit a függvény x0-hoz rendel. Jele: f (x0) Például: Az f (x) = 3x függvénynek az 5 helyen felvett helyettesítési értéke f (5) = 3 ∙ 5 = 15; a g (x) = |x| függvény értéke a -7,2 helyen g(-7,2) = |-7,2| = 7,2.
D	Kölcsönösen egyértelmű függvény	Ha egy függvény az értelmezési tartomány bármely két különböző eleméhez az értékkészlet különböző elemeit rendeli, akkor a függvény kölcsönösen egyértelmű. Például: Az f : N → R; f (x) = 3x függvény kölcsönösen egyértelmű; a g : R → R; g (x) = |x| függvény nem kölcsönösen egyértelmű, mert például a -3-hoz és a 3-hoz ugyanazt az értéket, a 3-at rendeli.
D	Függvény megfordítása	Legyen f az A halmazon értelmezett kölcsönösen egyértelmű függvény, melynek értékkészlete a B halmaz. Az f függvény megfordítása (inverze) az a g függvény, amely minden B halmazbeli y elemhez azt az A halmazbeli x elemet rendeli, amelyre f (x) = y. Az f függvény megfordítását az f -1 szimbólummal jelölik. Például: 1. Legyen A = {kémiai elemek} és B = {vegyjelek}. Ekkor f : A → B minden elemhez a vegyjelét rendeli, például: vas ↦ Fe, ezüst ↦ Ag. A függvény megfordítása g : B → A, a vegyjelekhez az elemeket rendeli, például: S ↦ kén, Ra ↦ rádium. 2. Ha az f függvény minden valós számhoz a háromszorosát rendeli, akkor az f függvény megfordítása az a g függvény, amely minden valós számhoz a harmadrészét rendeli: f (x) = 3x, és g(x) = 1/3 x.
M	A függvény grafikonja	Ha az értelmezési tartomány és az értékkészlet is számhalmaz, akkor a függvény grafikonnal szemléltethető a derékszögű koordináta-rendszerben. Legyen az f függvénynek az x0 helyen felvett függvényértéke y0 (azaz y0 = f (x0)). Az egymáshoz tartozó x0 és y0 számokból alkotott (x0; y0) koordinátájú síkbeli pontok összessége adja a függvény grafikonját (másképp: a függvénygörbét).
D	Függvény zérushelye, szélsőértéke	Zérushely: az értelmezési tartomány azon x0 eleme (helye), amelyre f (x0) = 0, azaz ahol a függvényérték 0 (zérus). Maximum: az értékkészlet legnagyobb eleme, ha ez létezik. Maximumhely: az értelmezési tartomány azon eleme, amelyhez a maximum van hozzárendelve. Minimum: az értékkészlet legkisebb eleme, ha ez létezik. Minimumhely: az értelmezési tartomány azon eleme, amelyhez a minimum van hozzárendelve. Megjegyzés: Egy függvénynek lehet több zérushelye, maximumhelye, minimumhelye.
D	Monotonitás, a függvény menete (monoton növekvő; monoton csökkenő; szigorúan monoton növekvő; szigorúan monoton csökkenő)	Egy függvény az értelmezési tartományának egy adott intervallumán – monoton növekvő, ha az adott intervallum bármely két eleme közül a nagyobbikhoz legalább akkora helyettesítési érték tartozik, mint a kisebbikhez; – monoton csökkenő, ha az adott intervallum bármely két eleme közül a nagyobbikhoz legfeljebb akkora helyettesítési érték tartozik, mint a kisebbikhez; – szigorúan monoton növekvő, ha az adott intervallum bármely két eleme közül a nagyobbikhoz nagyobb helyettesítési érték tartozik, mint a kisebbikhez; – szigorúan monoton csökkenő, ha az adott intervallum bármely két eleme közül a nagyobbikhoz kisebb helyettesítési érték tartozik, mint a kisebbikhez. Például: Az f függvény a ]-6; 2] intervallumon monoton növekvő, ezen belül a ]-6; -2] intervallumon szigorúan monoton növekvő, a [-2; 2] intervallumon mondhatjuk monoton növekvőnek vagy monoton csökkenőnek is. Az f függvény a [2; 3[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő. Ez teljesül a [2; 3[ intervallum részhalmazaira is, például a ]2; 3[ intervallumra is. A g függvény a ]-3; -1] intervallumon szigorúan monoton csökkenő. A g függvény a [-1; 8] intervallumon szigorúan monoton növekvő. Megjegyzés: A monotonitás értelmezhető akkor is, ha a függvény értelmezési tartománya nem intervallum, hanem más számhalmaz, például a természetes számok halmaza.
D	Lineáris függvény	Az f : R → R f (x) = ax + b (a, b ∈ R) függvényt lineáris függvénynek nevezzük. A függvény grafikonja egyenes, amelynek a meredeksége a, és az egyenes az y tengelyt a (0; b) pontban metszi. Ha a = 0, akkor f (x) = b konstans függvény (nulladfokú függvény); ha a ≠ 0, akkor f (x) = ax + b elsőfokú függvény; ha a ≠ 0 és b = 0, akkor f (x) = ax az a arányszámú egyenes arányosságot leíró függvény.
D	Fordított arányosságot leíró függvény	f : R \ {0} → R f(x) = a/x (a ∈ R; a ≠ 0) Az f(x) = 1/x függvény tulajdonságai: értékkészlet: R \ {0} zérushely nincs x < 0 esetén szigorúan monoton csökken 0 < x esetén szigorúan monoton csökken szélsőérték nincs
D	Abszolútérték-függvény	f : R → R f (x) = |x|, ahol , |x| = -x, ha x < 0 és |x| = x, ha 0 ≤ x. A függvény tulajdonságai: értékkészlet: R+0 zérushely: x0 = 0 x ≤ 0 esetén szigorúan monoton csökken 0 ≤ x esetén szigorúan monoton nő minimumhely: x = 0 minimum: y = 0
D	Másodfokú függvény alapfüggvény:	f : R → R f (x) = x² általános alak: f : R → R f (x) = ax² + bx + c (a, b, c ∈ R; a ≠ 0) Az alapfüggvény tulajdonságai: értékkészlet: R+0 zérushely: x0 = 0 x ≤ 0 esetén szigorúan monoton csökken 0 ≤ x esetén szigorúan monoton nő minimumhely: x = 0 minimum: y = 0
D	Négyzetgyökfüggvény	f : R0 + → R f (x) = √x A függvény tulajdonságai: értékkészlet: R+0 zérushely: x0 = 0 szigorúan monoton nő minimumhely: x = 0 minimum: y = 0
D	a alapú exponenciális függvény	f : R → R f(x) = ax (a ∈ R+, a ≠ 1) A függvény tulajdonságai: értékkészlet: R+ zérushely nincs szélsőérték nincs a monotonitás az a értékétől függ Ha a > 1, akkor a függvény szigorúan monoton nő, ha 0 < a < 1, akkor a függvény szigorúan monoton csökken.
M	Függvénytranszformáció	Egy f függvény görbéjének ismeretében újabb függvényeket tudunk ábrázolni függvénytranszformációk segítségével (a függvénytranszformációk hatása a függvény grafikonjára: eltolás, nyújtás vagy zsugorítás, tükrözés). Például:

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Az ábrán az f lineáris függvény grafikonján jelöltük a grafikonra illeszkedő A és B rácspontot.
Olvasd le az A és B pont koordinátáit, majd ezek segítségével határozd meg a függvény hozzárendelési szabályát!
Ennek ismeretében válaszolj az alábbiakra!
a) Milyen értéket vesz fel a függvény x = 123-nál?
b) Hol veszi fel a függvény az f (x) = 456 értéket?
c) Hol van a függvény zérushelye? A zérushely ismeretében oldd meg a valós számok halmazán az f (x) < 0 egyenlőtlenséget!

Megoldás

A pontok koordinátái: A(-5; 6) és B (5; -2), ez azt jelenti, hogy a függvény az x = -5 helyen 6, valamint az x = 5 helyen -2 értéket vesz fel.
A lineáris függvény képletét f(x) = ax + b alakban keressük.
Teljesül tehát a következő két egyenlőség:
6 = -5a + b és -2 = 5a + b.
Az a és b ismeretlenekre az egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy a = -0,8 és b = 2.
A lineáris függvény tehát az f (x) = -0,8x + 2 hozzárendelési szabállyal megadható.
a) x = 123 esetén a függvényérték helyettesítéssel számolható: f (123) = -0,8 ∙ 123 + 2, amiből f (123) = -96,4.
Tehát a függvényérték a keresett helyen -96,4.
b) Ha a függvényérték 456, akkor az x értéke a 456 = -0,8x + 2 egyenletből számítható.
Ebből x = -567,5, tehát a -567,5 helyen lesz a függvényérték 456.
c) A zérushely meghatározásakor azt a helyet kell meghatározni, ahol a függvényérték 0, ezért a 0 = -0,8x + 2 egyenlet megoldását keressük. Ebből x = 2,5 a függvény zérushelye.
A függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért az f (x) 1 0 egyenlőtlenség megoldása – az ábráról is leolvasható – minden olyan valós x, amelyre 2,5 1 x.

---

2. Legyen f(x) = x² , valamint g az a függvény, amelynek grafikonja a koordináta-rendszerben az f függvény grafikonjának v(-3; -4) vektorral való eltolásával kapható meg.
a) Add meg a g függvény hozzárendelési szabályát!
b) Határozd meg mindkét függvény zérushelyét! Válaszod számolással indokold!
c) Add meg mindkét függvény szélsőértékeinek helyét és értékét!
d) Add meg a függvények értékkészletét!
e) Jellemezd a függvényeket monotonitás szempontjából!
f) Hol metszi a g függvény grafikonja a h(x) = -3 függvény grafikonját?
Válaszod számolással igazold!

Megoldás

a) Az f függvény v vektorral való eltolása után kapott g függvény grafikonja az ábrán látható.

A transzformáció alapján:
g : R → R g (x) = (x + 3)² - 4
b) A függvények zérushelye az ábráról leolvasva, majd számolással ellenőrizve:
az f függvény zérushelye x = 0, mert f (0) = 0^2 = 0; a g függvény zérushelye x_1 = -5, valamint x_2 = -1, mert g(-5) = (-5 + 3)² - 4 = 0, valamint g(-1) = (-1 + 3)² - 4 = 0.
c) Mindkét függvénynek van minimuma, egyiknek sincs maximuma.
Az f függvény minimumának helye x = 0, értéke f(0) = 0; a g függvény minimumának helye x = -3, értéke g(-3) = -4.
d) Az f függvény értékkészlete: Rf = [0; 3[; a g függvény értékkészlete: Rg = [-4; 3[
e) Az f függvény a ]-3; 0[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a [0; 3[ intervallumon szigorúan monoton növekvő.
A függvény a ]-3; -3[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a [-3; 3[ intervallumon szigorúan monoton növekvő.
f) Ábrázoljuk az előbbi koordináta-rendszerben a h függvényt is.
Az ábráról azt láthatjuk, hogy a g és h függvények grafikonjai metszéspontjainak első koordinátája vélhetően az x1 = -4, valamint x2 = -2.
Ezt számolással ellenőrizzük:
g(-4) = (-4 + 3)² - 4 = -3, valamint g(-2) = (-2 + 3)² - 4 = -3, azaz a felvett függvényérték az adott helyeken -3.
Tehát a g függvény grafikonja a h függvény grafikonját az x_1 = -4 és az x_2 = -2 helyeken metszi.

Megjegyzés:

A g és h függvény grafikonjainak metszéspontját meghatározhatjuk a g(x) = h(x), vagyis (x + 3)² - 4 = -3 másodfokú egyenlet megoldásával is.

---

3. a) Ábrázold az R \ {0} halmazon értelmezett f(x) = 1/x + 2 függvény grafikonját!
b) Ábrázold az R \ {0} halmazon értelmezett g = |f| függvény grafikonját!
c) Ábrázold az [1; 4] halmazon értelmezett h(x) = 1/x + 2 függvény grafikonját!
d) Határozd meg az f, g és h függvények értékkészletét!
e) Az f és a g függvény közül melyiknek van szélsőértéke? Határozd meg a szélsőértéket, illetve a szélsőértékhelyet!

Megoldás

a) Az f függvény grafikonját az R \ {0} halmazon értelmezett x ↦ 1/x függvény transzformációjával kapjuk úgy, hogy ez utóbbit eltoljuk a v(0; 2) vektorral.

b) A g függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy a grafikonnak azt a részét, amelyik az x tengely „alá” esik, tükrözzük az x tengelyre.

c) A h függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy a grafikonnak azt a részét jelöljük ki, amelyik az 1 ≤ x ≤ 4 helyekhez tartozik.

d) A grafikonok alapján meghatározhatjuk a függvények értékkészletét.
A h függvény esetében behelyettesítéssel tudjuk kiszámolni, hogy x = 1 és x = 4 helyen mennyi a függvényérték: h(1) = 1/1 + 2 = 3, és h(4) = 1/4 + 2 = 2,25.
Rf = R \ {2} Rg = R0 + Rh = [2,25; 3]
e) A grafikonról leolvasható, hogy f függvénynek nincs szélsőértéke.
A g függvénynek maximuma nincs, de minimuma van azon a helyen, ahol a függvényérték 0.
0 = 1/x + 2, ebből 1/x =-2, így x =- 1/2 .
A minimumhely tehát az x =- 1/2 , a minimuma pedig y = 0.

FELADATOK I. RÉSZ

A1. Függvény vagy sem? Kölcsönösen egyértelmű vagy sem?
A táblázat minden sorában tegyél X-et abba az oszlopba, amelyik teljesül az adott hozzárendelés esetében!

	Nem függvény	Függvény, de nem kölcsönösen egyértelmű	Kölcsönösen egyértelmű függvény
Minden valós számhoz hozzárendeljük a négyzetét.
Minden háromszöghöz hozzárendeljük azt a pozitív valós számot, amely megadja területének nagyságát cm2-ben mérve.
Minden egész számhoz hozzárendeljük azt a valós számot, amelytől 2 egység távolságra van a számegyenesen.
Minden valós számhoz hozzárendeljük a hozzá legközelebb eső egész számot.
Minden valós számhoz hozzárendeljük a számnál 5-tel nagyobb számot.

---

A2. Határozd meg a valós számok halmazán értelmezett f (x) = 2x² - x - 1 függvény zérushelyeit!

---

A3. Add meg annak a lineáris függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelynek grafikonjára illeszkedik az A(-3; 2), valamint a B(5; 4) koordinátájú pont!

---

A4. Mennyi a helyettesítési értéke az x = 2- 1 helyen a valós számokon értelmezett f (x) = 9x + 5 függvénynek?

---

A5. a) Válaszd ki az ábrán lévő grafikonhoz a megfelelő hozzárendelési szabály betűjelét!
A: f (x) = (x + 5)² - 2
B: f (x) = (x - 2)² - 5
C: f (x) = (x + 2)² - 5
D: f (x) = (x - 2)² + 5
E: f (x) = x² - 2x + 5
F: f (x) = (x + 5)² + 2

b) Add meg azt a legbővebb intervallumot, ahol negatív az a) feladatrészben ábrázolt f függvény értéke!

---

A6. Számítsd ki a valós számok halmazán értelmezett f (x) = 0,5^x - 8 függvény zérushelyét!

---

A7. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz-e, vagy hamis!
A: Minden, a valós számok halmazán értelmezett másodfokú függvénynek van szélsőértéke.
B: Minden hozzárendelés függvény.
C: Minden elsőfokú függvény menete szigorúan monoton.
D: Van olyan exponenciális függvény, amelynek van zérushelye.

---

A8. Jellemezd a valós számok halmazán értelmezett f (x) = -7/3 x + 22 függvényt monotonitás szempontjából!

---

A9. Hol veszi fel a valós számokon értelmezett f (x) = -7x + 16 függvény a 13 értéket?

---

A10. Hány olyan függvény van, amelynek értelmezési tartománya az A = {1; 2; 3} halmaz, és értékkészlete a B = {5; 6; 7} halmaz?
Ezek közül hány függvény kölcsönösen egyértelmű?

---

A11. Add meg képlet segítségével az alábbi függvényeket!
f: Minden valós számhoz hozzárendeljük az 5-szörösénél 2-vel kisebb számot.
g: Minden valós számhoz hozzárendeljük a számnál 4-gyel nagyobb szám négyzetét.
h: Minden valós számhoz hozzárendeljük az abszolút értékének az ellentettjét.
i: Minden valós számhoz hozzárendeljük a négyzetgyökénél 6-tal nagyobb számot.

---

A12. Az ábrán egy f függvény grafikonja látható.
Add meg az |f| függvény

a) minimumát és minimumhelyeit!
b) maximumát és maximumhelyét!

FELADATOK II. RÉSZ

P1. Az ábrán egy ferdén kilőtt, parabolapályán haladó test mozgását jelenítettük meg.

A kilövés az időmérés kezdetén (x = 0 s) történt a talajszintnél magasabban lévő helyről.
Az x tengelyen az eltelt időt (1 másodperc 1 egység), az y tengelyen a test talajtól mért magasságát (1 méter 1 egység) mérjük.
A pályagörbét leíró függvény f (x) = -(x - 2)² + 9.
a) Igazold, hogy a test a kilövéskor 5 méter magasan volt!
b) A kilövéstől számítva mennyi idő múlva éri el a test a pálya legmagasabb pontját?
Milyen távol van ekkor a talajtól?
c) A kilövéstől számítva hány másodperc múlva lesz a test 8 méter magasan?
d) A kilövéstől számítva hány másodperc múlva érkezik a talajra a test?

---

P2. Az f és a g függvény értelmezési tartománya az R, f(x) = 3 - 2x ; g(x) = x² .
a) Ábrázold közös koordináta-rendszerben az f és a g függvény grafikonját!
b) Olvasd le az ábrádról, mely x-ekre teljesül az f(x) = g(x) egyenlet!
c) Ellenőrizd a b) részben kapott eredményt a másodfokú egyenlet megoldóképletével!
d) Oldd meg grafikusan az f (x) > g(x) egyenlőtlenséget!

---

P3. Egy internetes csomagküldő szolgálatnál a csomagküldés díja egy fix csomagolási díjból és a csomag tömegével egyenesen arányos szállítási díjból tevődik össze.
Az x dekagramm tömegű csomagért (forintban) fizetendő díjat az f (x) = 12x + 640 képlettel számítják ki.
Ha a csomag tömege eléri a 10 kg-ot, akkor az f (x) = 12x + 640 összegen felül csomagonként további 1100 Ft extra költséget számít fel a cég.
25 kg-nál nehezebb csomag kiszállítását nem vállalják.
a) Mennyi a fix csomagolási díj?
b) Mennyi az 1 dkg-ra jutó szállítási díj egy 10 kg-nál könnyebb csomag esetén?
c) Mennyibe kerül egy 450 grammos csomag küldése?
d) Hány kilogramm annak a küldeménynek a tömege, amiért összesen 1600 forintot kell fizetni?
e) Készíts grafikont a csomagokért fizetendő díjról a csomag tömegének függvényében!
f) Milyen határok között mozoghat a csomagokért fizetendő díj?

---

P4. Megadtuk hat függvény hozzárendelési szabályát és közülük háromnak a grafikonját.
A függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza.
p: x ↦ 0,5|x + 2|
q: x ↦ -2|x|
r: x ↦ |x - 2|
s: x ↦ |x + 2|
t: x ↦ -0,5|x|
u: x ↦ 0,5|x -2|

a) Válaszd ki az adottak közül az ábrán lévő három grafikonhoz tartozó hozzárendelési szabályokat!
b) Határozd meg az ábrán lévő függvények 0-hoz rendelt értékét!
c) Add meg az ábrán lévő függvények zérushelyeit!
d) Jellemezd az ábrán lévő függvényeket szélsőértékek szempontjából!

---

P5. Arnd Leike német fizikus – aki a müncheni Ludwig Maximilian Egyetem fizika tanszékének munkatársa, és alapvetően a részecskefizika a fő kutatási területe – a sörhab magasságának változására vonatkozó vizsgálatot végzett a 2000-es évek elején.
Háromféle 19 °C-os hőmérsékletű sörrel kísérletezett.
A sört az üvegből egy 7,2 cm átmérőjű hengerbe töltötte.
A sörhab néhány másodperc alatt elérte maximális magasságát, majd kezdett fokozatosan leapadni.
Leike 15 másodpercenként mérte meg a sörhab magasságát.
Az egyik sör esetében azt tapasztalta, hogy a sörhab mm-ben mért magasságának változását jó közelítéssel az f (t) = 14 ∙ 0,991^t függvény írja le a [0, 360] időintervallumban az eltelt t (másodpercekben mért) idő függvényében.
a) Hány mm magas volt eredetileg ennek a sörnek a habja?
b) Milyen magas volt a hab 1 perc eltelte után?
c) Hány másodperc elteltével volt a hab magassága 3 mm?
A válaszod egy tizedesjegy pontossággal add meg!
d) Vázold a hab magasságára vonatkozó függvény grafikonját a derékszögű koordináta-rendszerben az első 120 s-ra vonatkozóan!
Válaszd meg észszerűen a koordinátatengelyek beosztását!
(A sörhabbal kapcsolatos tanulmányért Leike doktor később – a hasonló nevű Nobel-díjtól eltérő – Ignobel-díjat kapott, amit a meglepő, ám haszontalan felfedezésekért ítélnek oda.)