Bevezető
A geometria a matematikának az az ága, amely különböző alakzatokkal, azok tulajdonságaival, formájával, méretével, kölcsönös elhelyezkedésével foglalkozik.A testek, síkidomok ismeretlen adatainak meghatározása, a szimmetriák felismerése és felhasználása már az ősi Mezopotámiában és Egyiptomban is része volt a földmérési, építészeti, csillagászati számításoknak.
A geometria szabályait Kr. e. 300 környékén Eukleidész öntötte szigorú formába Elemek című munkájában, amely a következő két évezredre megalapozta és meghatározta a geometria szemléletét.
A XVII. század elején René Descartes és Pierre de Fermat francia matematikusok a koordinátageometria bevezetésével lehetővé tették geometriai feladatok algebrai úton, egyenletek segítségével történő megoldását is.
A XIX. század matematikusai (közöttük a magyar Bolyai János) a párhuzamos egyenesek Eukleidésztől eltérő értelmezésével új típusú geometriákat hoztak létre, amelyek segítségével ma a tengeri szivacsok telepeinek alakjától egészen az univerzum lehetséges jövőjéig terjedő kérdésekre keressük a választ.
A geometria élő, napjainkban is fejlődő tudomány.
A felsőbb matematikában érintett differenciálgeometria, a topológia vagy éppen a fraktálgeometria művelői újabb és újabb érdekes, a természettudományok szempontjából is fontos eredményekkel állnak elő.
ELEMI GEOMETRIA
| Alapfogalmak | Pont, egyenes, sík (térelemek); illeszkedés | |
| D | Térelemek kölcsönös helyzete | Két egyenes metsző, ha pontosan egy közös pontjuk van. Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak, és nincs közös pontjuk (vagy ha egybeesnek). Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha minden pontja a síkon van. Egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van. Egy egyenes párhuzamos egy síkkal, ha nincs közös pontjuk (vagy ha az egyenes illeszkedik a síkra). Két különböző sík metszi egymást, ha a két síknak van közös pontja. A közös pontok által alkotott egyenes a két sík metszésvonala. Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk (vagy ha egybeesnek). (Két egyenes kitérő, ha nem párhuzamosak és nem metszők. Ekkor nincs olyan sík, amely mindkét egyenest tartalmazza.) |
| D | Térelemek távolsága, ha van közös pontjuk | Ha két térelemnek van közös pontja, akkor a két térelem távolsága 0. |
| D | Térelemek távolsága, ha nincs közös pontjuk | Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza. Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza. Pont és sík távolsága a pontból a síkra állított merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egyik pontjának a másik egyenestől mért távolsága. Párhuzamos egyenes és sík távolsága az egyenes egyik pontjának a síktól mért távolsága. Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egyik pontjának a másik síktól mért távolsága.   |
| D | A szög | Egy közös pontból kiinduló félegyenes a síkot két szögtartományra (szögre) bontja. A félegyenesek a szög szárai, a közös kezdőpont a szög csúcsa. |
| D | A szög mértéke fokban | A teljesszög 360-ad része az 1° nagyságú szög. Az 1° 60-ad része 1 szögperc (1’), az 1 szögperc 60-ad része 1 szögmásodperc (1’’). |
| D T | Nevezetes szögpárok |
 b és c csúcsszögek; b = c a és c váltószögek; a = c a és d mellékszögek; a + d = 180° d és c kiegészítő szögek; d + c = 180° c és f pótszögek; c + f = 90°  a és c merőleges szárú szögek; a + c = 180° |
| D | Térelemek hajlásszöge | Egyenes-egyenes: Két metsző egyenes hajlásszöge a két egyenes által meghatározott két-két egyenlő szög közül a nem nagyobbik (legfeljebb 90° nagyságú). Két párhuzamos egyenes szöge 0°. Egyenes-sík: Egy egyenes merőleges egy síkra, ha az egyenes síkra eső merőleges vetülete az egyenes és a sík metszéspontja. Belátható, hogy egy egyenes merőleges a síkra, ha az egyenes merőleges az egyenes és sík metszéspontjára illeszkedő, a síkban lévő két nem egybeeső egyenesre.  Ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor az egyenes és a sík szöge 0°. Sík-sík: Két metsző sík hajlásszöge megegyezik azzal a szöggel, amit a két sík metszésvonalának tetszőleges pontjában a metszésvonalra merőlegesen állított egyik, illetve másik síkra illeszkedő egyenesek határoznak meg. Párhuzamos síkok szöge 0°.  |
| T | A háromszög szögei | A háromszög belső szögeinek összege 180°. A háromszög minden külső szöge a nem mellette fekvő belső szögek összegével egyenlő. A háromszög külső szögeinek összege 360°. |
| T | Háromszögegyenlőtlenség | Egy háromszög bármely két oldalhosszának összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál. Ha egy háromszög oldalainak hossza: a, b, c, akkor fennáll, hogy c 1 a + b; a 1 b + c; b 1 a + c. |
| T | A háromszög szögei és oldalai | A háromszögben egyenlő hosszúságú oldalakkal szemben egyenlő nagyságú szögek vannak, egyenlő nagyságú szögekkel szemben egyenlő hosszúságú oldalak vannak. Hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van, nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal van. |
| D | A háromszögek osztályozása | Szögei szerint: Egy háromszög hegyesszögű, ha legnagyobb szöge hegyesszög; derékszögű, ha legnagyobb szöge derékszög; tompaszögű, ha legnagyobb szöge tompaszög. A másik két szög minden esetben hegyesszög. Oldalai szerint: Egy háromszög egyenlő szárú, ha van két egyenlő hosszúságú oldala. Az egyenlő hosszú oldalak a szárak, a harmadik oldal az alap. A szárak által bezárt szög a szárszög, a másik két szöget alapon fekvő szögnek nevezzük. Egy háromszög szabályos (egyenlő oldalú), ha minden oldala egyenlő hosszú (és így minden szöge egyenlő nagyságú). |
| D | Nevezetes ponthalmazok | A sík két különböző pontjától egyenlő távolságban lévő pontok halmaza a síkon a
két pont által meghatározott szakasz szakaszfelező merőlegese. (T: Két ilyen egyenes van, ezek merőlegesek egymásra.)  A gömb a tér egy adott pontjától adott távolságra lévő pontok halmaza. |
| D | A háromszög oldalfelező merőlegesei | A háromszög oldalfelező merőlegesei a háromszög egy-egy oldalára merőleges és az adott oldal felezőpontjára illeszkedő egyenesek. |
| T | A háromszög oldalfelező merőlegesei | A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írható körének középpontja (egyenlő távolságra van a háromszög három csúcsától). Hegyesszögű háromszög esetén ez a pont a háromszög belső pontja, derékszögű háromszög esetén az átfogó felezőpontja, tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül eső pont.  |
| D | A háromszög belső szögfelezői | A háromszög belső szögfelezői a háromszög belső szögeit felező egyenesek. |
| T | A háromszög belső szögfelezői | A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög beírható körének középpontja (egyenlő távolságra van a háromszög három oldalegyenesétől). Ez a pont minden háromszög esetén a háromszög belső pontja.  |
| D | A háromszög magasságvonalai | A háromszög magasságvonalai a háromszög egy-egy csúcsára illeszkedő és az azzal
szemközti oldalegyenesre merőleges egyenesek. |
| T | A háromszög magasságvonalai | A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög magasságpontja. Hegyesszögű háromszög esetén a magasságpont a háromszög belső pontja, derékszögű háromszögben a derékszög csúcsa, tompaszögű háromszög esetén a háromszög külső pontja.  |
| D | A háromszög súlyvonalai | A háromszög súlyvonalai a háromszög egy-egy csúcsára és a csúccsal szemközti oldal felezőpontjára illeszkedő egyenesek. |
| T | A háromszög súlyvonalai | A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást.
Ez a pont a súlypont.
A súlypont a súlyvonal háromszögbe eső részének
az oldalhoz közelebb eső harmadolópontja.
A súlypont
minden háromszög esetén a háromszög belső pontja. |
| T | A négyszög szögei | A négyszög belső szögeinek összege 360°. A négyszög külső szögeinek összege 360°. |
| D | Trapéz | A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos (ezek a trapéz alapjai, a másik két oldal a trapéz két szára). |
| T | Trapéz | A trapéz egy száron fekvő szögeinek összege 180°.
A húrtrapéz alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak.
A húrtrapéz tengelyesen szimmetrikus négyszög. |
| D | Paralelogramma | A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak. |
| T | Paralelogramma | A paralelogrammában a szemközti szögek egyenlő nagyságúak; az egy oldalon fekvő szögek összege 180°; a szemközti oldalak hossza egyenlő; az átlók felezik egymást. A paralelogramma középpontosan szimmetrikus négyszög.  |
| D | Deltoid | A deltoid olyan négyszög, amely tengelyesen szimmetrikus az egyik átló egyenesére. |
| T | Deltoid | A deltoidnak két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú. A deltoidnak van két egyenlő nagyságú (egymással szemközti) szöge. A deltoid egyik átlóját merőlegesen felezi a másik átló egyenese. A deltoid tengelyesen szimmetrikus négyszög.  |
| D | Rombusz | A rombusz olyan négyszög, amelynek oldalai egyenlő hosszúságúak. |
| T | Rombusz | A rombusz rendelkezik a paralelogramma, valamint a deltoid összes tulajdonságával. |
| D | Téglalap | A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge derékszög. |
| T | Téglalap | A téglalap szemközti oldalai egyenlő hosszúak és párhuzamosak egymással. Átlói felezik egymást. A téglalap tengelyesen és középpontosan szimmetrikus négyszög.  |
| D | Négyzet | A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú, és minden szöge egyenlő nagyságú (szabályos négyszög). |
| T | Négyzet |
A négyzet rendelkezik a téglalap, valamint a rombusz összes tulajdonságával. |
| T | Sokszögek szögei, átlói |
Az n oldalú konvex sokszög
egy csúcsából induló átlóinak száma n - 3;
összes átlóinak száma n⋅(n-3)2 ;
belső szögeinek összege (n - 2) · 180°, ahol n ! N, és n 2 2;
külső szögeinek összege 360°. |
| D | Szabályos sokszög | Egy konvex sokszög szabályos sokszög, ha minden oldala egyenlő hosszú, és minden szöge egyenlő nagyságú. |
| T | Szabályos sokszög | A páros oldalszámú szabályos sokszögek tengelyesen és középpontosan is szimmetrikusak,
a páratlan oldalszámú szabályos sokszögek tengelyesen szimmetrikusak. |
KIDOLGOZOTT FELADAT
1. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójához tartozó magasságvonal 20°-os szöget zár be a C csúcsból induló szögfelező egyenessel.
Mekkorák az ABC háromszög hegyesszögei?
Mekkorák az ABC háromszög hegyesszögei?
2. Egy háromszög cm-ben mért oldalhosszúságai egész számok.
Két oldalának hossza 35 cm és 91 cm.
a) Mekkora lehet a háromszög harmadik oldalhosszának legkisebb, illetve legnagyobb értéke?
b) Hány, a feltételeknek megfelelő, nem egybevágó háromszög létezik?
c) Van-e a háromszögek között olyan, amelyben két belső szög nagysága egyenlő?
Két oldalának hossza 35 cm és 91 cm.
a) Mekkora lehet a háromszög harmadik oldalhosszának legkisebb, illetve legnagyobb értéke?
b) Hány, a feltételeknek megfelelő, nem egybevágó háromszög létezik?
c) Van-e a háromszögek között olyan, amelyben két belső szög nagysága egyenlő?
3. Egy konvex sokszög esetében behúztuk az egyik csúcsából induló összes átlót.
Ezek az átlók a csúcsnál lévő belső szöget 23°, 42°, 30°, 47°, valamint 8° nagyságú szögekre bontják.
Hányszorosa ennek a belső szögnek a sokszög belső szögeinek összege?
Ezek az átlók a csúcsnál lévő belső szöget 23°, 42°, 30°, 47°, valamint 8° nagyságú szögekre bontják.
Hányszorosa ennek a belső szögnek a sokszög belső szögeinek összege?
FELADATOK I. RÉSZ
A1. Hány fokos szöget zár be az óra kismutatója és nagymutatója egymással
a) 7 órakor;
b) fél 4-kor?
a) 7 órakor;
b) fél 4-kor?
A2. Az ABCD konvex négyszög A csúcsánál lévő külső szöge 104°, a B csúcsnál lévő belső szöge 74°, a C csúcsnál lévő belső szöge 80° nagyságú.
Hány fokos a négyszög D csúcsánál lévő külső szöge?
Hány fokos a négyszög D csúcsánál lévő külső szöge?
A3. Az ABCDA'B'C'D' kocka éleinek hossza 5 cm.
Add meg
a) az A pont és a CC'D'D sík;
b) a BDl egyenes és az ABCD sík;
c) az AD' egyenes és a CC'B'B sík;
d) az ABCD sík és az A'B'CD sík távolságát!
Add meg
a) az A pont és a CC'D'D sík;
b) a BDl egyenes és az ABCD sík;
c) az AD' egyenes és a CC'B'B sík;
d) az ABCD sík és az A'B'CD sík távolságát!
A4. Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!
A: Minden paralelogramma trapéz.
B: Ha két szög egymással váltószög, akkor lehetnek egymás kiegészítő szögei.
C: Egy négyszögnek lehet 180°-nál nagyobb belső szöge is.
D: A rombusznak vannak egyállású belső szögei.
A: Minden paralelogramma trapéz.
B: Ha két szög egymással váltószög, akkor lehetnek egymás kiegészítő szögei.
C: Egy négyszögnek lehet 180°-nál nagyobb belső szöge is.
D: A rombusznak vannak egyállású belső szögei.
A5. Egy háromszög külső szögeinek aránya 3 : 5 : 7.
Mekkora a háromszög legkisebb belső szöge?
Mekkora a háromszög legkisebb belső szöge?
A6. Egy konvex sokszög belső szögeinek összege 1800°.
Hány átló indul a sokszög egy csúcsából?
Hány átló indul a sokszög egy csúcsából?
A7. Mekkorák a paralelogramma szögei, ha az egyik belső szög 23°-kal nagyobb, mint egy másik?
A8. Írj mindegyik nyomtatott nagybetű alatt lévő vonalra legfeljebb egyet az alább felsorolt szavak közül aszerint, hogy
az adott betűben megtalálható-e a megnevezett típusú nevezetes szögpár!
Az egyes nyomtatott nagybetűkben jelöld a két megfelelő szöget a és b betűkkel, és írd fel ezek kapcsolatát a vonal alá!
(Tekintsd a betűk felírásához használt vonalakat a megszokott írásmód szerinti merőlegeseknek vagy párhuzamosoknak!)
A felhasználható szavak: egyállású szögek, csúcsszögek, mellékszögek, váltószögek, pótszögek
A X F H Z K T
Az egyes nyomtatott nagybetűkben jelöld a két megfelelő szöget a és b betűkkel, és írd fel ezek kapcsolatát a vonal alá!
(Tekintsd a betűk felírásához használt vonalakat a megszokott írásmód szerinti merőlegeseknek vagy párhuzamosoknak!)
A felhasználható szavak: egyállású szögek, csúcsszögek, mellékszögek, váltószögek, pótszögek
A X F H Z K T
A9. Egy derékszögű háromszög köré írható körének középpontja 8 cm távolságra van a háromszög magasságpontjától.
Mekkora a háromszög köré írható kör átmérője?
Mekkora a háromszög köré írható kör átmérője?
A10. Egy szabályos sokszögben összesen 65 átló húzható.
Mekkora a sokszög egy belső szögének nagysága?
Mekkora a sokszög egy belső szögének nagysága?
A11. Van-e olyan háromszög, amelyben az oldalak hossza 3,8 cm, 0,29 dm, valamint 64 mm?
Válaszod indokold!
Válaszod indokold!
A12. Mekkora lehet az a két szög, amelyek
a) egymásnak pótszögei, és az egyik a másiknak az ötszöröse;
b) merőleges szárú szögek, és az egyik 23°-kal nagyobb, mint a másik?
a) egymásnak pótszögei, és az egyik a másiknak az ötszöröse;
b) merőleges szárú szögek, és az egyik 23°-kal nagyobb, mint a másik?
