2024. augusztus 31., szombat

50. Statisztika, valószínűségszámítás

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

Bevezető

Az ezredforduló óta nagyon megnőtt a statisztika jelentősége.
Az internet elterjedésével ugyanis rengeteg adat vált elérhetővé,a nagy teljesítményű számítógépek segítségével pedig kezelhetővé.
A világban lévő óriási információmennyiség feldolgozásához, a körülöttünk zajló folyamatok megértéséhez, valamint számos elméleti és gyakorlati probléma kezeléséhez ma már nélkülözhetetlen a statisztika tudománya.
A számszerű információk összegyűjtését, majd azok feldolgozását követően elemzéseket lehet elvégezni, és ezek alapján tudományos igényességgel következtetéseket lehet levonni.
Sok esetben a statisztika által nyert információk biztosítanak kiinduló adatokat a valószínűségszámítás számára.
A statisztika és a valószínűségszámítás kulcsfontosságú szerepet játszanak a tudományos felfedezésekben, az objektív mutatók alapján meghozható döntések és az előrejelzések létrehozásában.

FOGALMAK, TÉTELEK, MÓDSZEREK

D Átlag Az adatsokaság elemeinek az összegét elosztjuk az elemek számával: `bar(x)=(x_1+x_2+...+x_n)/n`
D Módusz Az adatsokaságban a legtöbbször előforduló elem (lehet több módusz is).
D Medián Olyan szám, amelynél az adatok fele kisebb vagy egyenlő.
Az adatsokaság nagyság szerinti felsorolásában páratlan elemszám esetén a középen álló szám, páros elemszám esetén a középen álló két szám átlaga.
D Alsó kvartilis Olyan szám, amelynél az adatoknak (közelítőleg) a negyede kisebb vagy egyenlő.
Páros elemszám esetén a nagyság szerint sorba rendezett adatok alsó felének mediánja.
Páratlan elemszám esetén a mediánt elhagyva az adatok alsó felének mediánja.
D Felső kvartilis Olyan szám, amelynél az adatoknak (közelítőleg) a negyede nagyobb vagy egyenlő.
Páros elemszám esetén a nagyság szerint sorba rendezett adatok felső felének mediánja.
Páratlan elemszám esetén a mediánt elhagyva az adatok felső felének mediánja.
D Terjedelem Az adatsokaság legnagyobb és legkisebb elemének különbsége.
D Félterjedelem Az adatsokaságban a felső kvartilis és az alsó kvartilis különbsége.
D Szórás Az adatsokaságban az adatok szóródását jellemző szám.
Az adatoknak az átlagtól való eltéréseit vesszük, ezek négyzetének átlaga a szórásnégyzet, ennek négyzetgyöke a szórás.
`sigma=sqrt(((a_1-bar(x))^2+...+(x_n-bar(x))^2)/n)` (az adatok: x1, x2, …, xn, az átlaguk xr )
D Relatív gyakoriság Ha egy kísérletet n-szer végeztünk el, és k-szor kaptunk meg egy bizonyos kimenetelt, akkor az adott kimenetel gyakorisága k, relatív gyakorisága k/n .
Diagramok
D Elemi események Egy véletlen kísérlet lehetséges kimenetelei.
Például: Ha dobunk egy fehér és egy fekete dobókockával, akkor egy elemi esemény az, hogy a feketével hatost, a fehérrel egyest dobunk.
D Eseménytér Az elemi események halmaza.
Például: Ha két kockával dobunk, akkor a 36 elemi esemény halmaza.
D Esemény Az eseménytér egy részhalmaza.
Az események között a biztos esemény az, amely biztosan bekövetkezik, a lehetetlen esemény az, amely nem következhet be.
Például: Ha két kockával dobunk, akkor egy esemény például, hogy két dobás összege 7.
D Események szorzata Az A és a B események szorzata az az esemény, amikor az A és a B események közül mindkettő bekövetkezik.
Jele: A ∙ B
D Események összege Az A és a B események összege az az esemény, amikor az A és a B események közül legalább az egyik bekövetkezik.
Jele: A + B
D Komplementer esemény Egy A esemény komplementere az az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor az A esemény nem következik be.
Jele: A
D Egymást kizáró események Az A és B események egymást kizáró események, ha egyszerre nem következhetnek be.
Például: Két kockával dobunk.
Egymást kizáró események, hogy az egyik dobás hatos, illetve a két dobás összege 5.
A valószínűség fontos tulajdonságai Az A esemény valószínűségének jele P(A).
– Az A esemény P(A) valószínűségére 0 ≤ P(A) ≤ 1.
– A biztos esemény valószínűsége 1, a lehetetlen esemény valószínűsége 0.
– Ha A és B egymást kizáró események, akkor P(A + B) = P(A) + P(B).
– A komplementer esemény valószínűsége: P(A) = 1 - P(A).
D A valószínűség klasszikus modellje Ha az elemi események egyformán valószínűek, és számuk véges:
P(A) = az A eseményt adó elemi események száma /összes elemi esemény száma
Geometriai valószínűség Ha az események előfordulása egy geometriai mennyiséggel jellemezhető, akkor az esemény valószínűsége számolható úgy, hogy az adott eseményhez tartozó mennyiség mértékét osztjuk a teljes eseménytérhez tartozó ugyanezen mennyiség mértékével.
D Független események Az A és a B események függetlenek, ha P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B).
Például: Két kockával dobunk. Független események, hogy az egyik dobás hatos, illetve a másik dobás hatos.
D Várható érték A lehetséges kimeneteleknek a valószínűségekkel súlyozott átlaga.
D Visszatevés nélküli mintavétel Olyan mintavétel, amely során, ha egy elemet kiválasztunk, akkor azt nem tesszük vissza, az nem választható ki újra.
Ez történhet úgy is, hogy egyszerre veszünk ki több elemet.
D Visszatevéses mintavétel Olyan mintavétel, amely során minden kiválasztás pontosan ugyanazon elemek közül történik.
Ha kiválasztunk egy elemet, akkor a következő választás előtt azt visszatesszük a többi közé.
T Visszatevéses mintavétel (binomiális eloszlás) Egy kísérletet n-szer megismétlünk, és megfigyelünk egy p valószínűségű eseményt (pl. visszatevéses mintavételt alkalmazunk).
Annak a valószínűsége, hogy ez a p valószínűségű esemény az n kísérletből pontosan k-szor következik be: `P(k)=((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)`
T Visszatevés nélküli mintavétel Adott N darab elemünk, melyek közül M darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal (és N - M darab különbözik ettől).
Visszatevés nélkül kiválasztunk n darab elemet.
Annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott elemek közül pontosan k darab rendelkezik az adott tulajdonsággal: `P(k)=(((M),(k))*((N-M),(n-k)))/(((N),(n)))`

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Egy osztály 20 tanulója írt meg egy dolgozatot.
A dolgozatban elért pontszámok:
16; 20; 24; 28; 28; 32; 36; 37; 38; 39; 41; 42; 43; 44; 46; 46; 47; 48; 48; 50.
a) Készíts dobozdiagramot az adatsokaságról!
b) Sorold hat osztályba az adatokat (16–20; 21–25; …; 46–50), majd az osztályközepekkel számolva határozd meg az adatok szórását!
2. táblázat két úszócsoport létszámát és az egyik távon elért időeredményeik átlagát tartalmazza.
Mennyi az n, ha az összes időeredmény átlaga 73,28 s?
3. Egy játékban két dobókockával dobnak.
Ha a két kockán különböző pontszám látható, akkor a nagyobbik érték számít, ha azonos pontszám, akkor a közös érték számít.
Mennyi egy dobás várható értéke?
4. Az egyik iskolában a magyar irodalom érettségi tételei közül 6 kapcsolódik külföldi és 14 magyar szerzőhöz.
Ha véletlenszerűen kiválasztunk a 20 tétel közül 5-öt, akkor mennyi a valószínűsége, hogy az 5 közül pontosan 3 kapcsolódik magyar szerzőhöz, ha a kihúzott tételeket
a) húzás után nem tesszük vissza;
b) minden húzás után visszatesszük?
5. Egy üzemben meghibásodik egy gép, ezért minden termék 0,015 valószínűséggel selejtes lesz.
Mennyi a valószínűsége, hogy 200 termékből legfeljebb 2 lesz selejtes?

FELADATOK I. RÉSZ

A1. Határozd meg a táblázatban megadott adatsokaság móduszát, mediánját és átlagát!
A2. Ábrázold kördiagramon az adatsokaságot! Határozd meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögeket!
2; 4; 5; 5; 4; 2; 2; 5; 2; 4; 4; 4; 5
A3. Állapítsd meg a dobozdiagram alapján, hogy az adatsokaság
félterjedelme hány százaléka a terjedelemnek!
A4. Határozd meg a táblázatban megadott adatsokaság szórását!
adat 18 18,3 18,8
gyakorisága 5 3 2
A5. Egy csoportos utazáson 45 fő vesz részt, a résztvevők 3 településről jöttek: Pápáról, Zircről és Veszprémből.
A 12 pápai résztvevő átlagéletkora 48 év.
A 25 zirci átlagéletkora 42 év.
A veszprémiek átlagéletkora 52 év.
Mennyi a teljes csoportban az átlagéletkor?
A6. Oszlopdiagramon ábrázoltuk, hogy egy dolgozatra milyen osztályzatok születtek egy osztályban.
Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy dolgozatot, akkor mennyi a valószínűsége, hogy az eredménye legalább hármas?
A7. Négy barát, Kati, Laci, Móni és Nándi véletlenszerű sorrendben leülnek egymás mellé egy padra.
Mennyi a valószínűsége, hogy a két lány nem egymás mellé ül?
A8. Mennyi a valószínűsége, hogy két szabályos dobókockával dobva a dobott számok összege 10?
A9. Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk.
A dobott számokat (a dobás sorrendjében) egymás után írva egy kétjegyű számot kapunk.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kapott szám osztható 3-mal?
A10. Egy szerencsekerék 3 1 valószínűséggel áll meg a NYERT feliratnál, 3 2 valószínűséggel a NEM NYERT feliratnál.
Megpörgetjük 6-szor a szerencsekereket.
Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 2 forgatásnál kapunk NYERT feliratot?
A11. Egy szabályos pénzérmét négyszer egymás után feldobunk. A dobás eredményét az F és I betűkkel rövidítve sorban feljegyezzük (F = fej, I = írás). Legyen az A esemény az, hogy az első dobás fej, a B esemény az, hogy a dobások között több írás van, mint fej. A megfelelő dobássorozatok felsorolásával add meg az A + B és az A ∙ B eseményeket!
A12. Egy zsákban 3 piros és 5 sárga, tapintásra egyforma üveggolyó van.
Véletlenszerűen húzunk egyszerre két golyót.
Mennyi a valószínűsége, hogy
a) mindkét golyó piros;
b) mindkét golyó sárga;
c) egyik golyó sárga, a másik piros?

FELADATOK I. RÉSZ

B1. Egy 12 fős csoportban az átlagéletkor 24 év.
A csoportban lévő 8 férfi átlagéletkora 25,5 év.
Mennyi a csoportban lévő nők átlagéletkora?
B2. A táblázat egy nemzetközi cég éves bevételeit mutatja millió dollárban, földrészek szerinti bontásban.
Ábrázold kördiagramon az adatokat!
Határozd meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek nagyságát!
B3. A 42; a; 30 adatok csökkenő sorrendben követik egymást (30 1 a1 42), és tudjuk, hogy a három adat átlaga 2-vel nagyobb, mint a mediánja.
Határozd meg a értékét!
B4. 11 darab, nem feltétlenül különböző természetes számról a következőket tudjuk: a számok egyetlen módusza 2, mediánja 3, átlaga 4, terjedelme 5.
Adj meg 11 darab ilyen természetes számot!
B5. Egy zsákban 12 piros és 3 kék üveggolyó van.
Néhány zöld színű üveggolyót tettünk a zsákba, így 0,3 lett annak a valószínűsége, hogy ha véletlenszerűen húzunk a zsákból egy üveggolyót, akkor piros golyót húzunk.
Hány darab zöld golyót tettünk a zsákba?
B6. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kétjegyű szám osztható 8-cal?
B7. Klári, Eszter és Hanna megbeszéltek egy találkozót egymással.
Ha véletlenszerű sorrendben érkeznek a találkozó helyszínére, akkor mennyi a valószínűsége, hogy Klári hamarabb érkezik, mint Eszter?
B8. Egy számítógépes játékban 0,3 valószínűséggel sérülést szenved, aki a játéktér egy adott mezőjére lép.
Ha a játék folyamán 8 alkalommal lép valaki arra a mezőre, akkor mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 3 alkalommal szenved sérülést?
B9. Egy szabályos pénzérmét háromszor egymás után feldobunk, és a dobás eredményét az F és I betűkkel rövidítve sorban feljegyezzük (F = fej, I = írás).
Mennyi a valószínűsége, hogy az IFI szót kapjuk?
B10. Az egyik héten az ötöslottóban a következő öt szám nyert: 10; 12; 40; 45 és 48.
Ha véletlenszerűen töltöttük ki a lottószelvényt, akkor mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 2 találatot értünk el?
(Az ötöslottóban 90 szám közül sorsolnak ki 5-öt, tekintet nélkül a sorrendre.)
B11. Egy részvény árfolyama 4200 Ft.
Egy elemző modellje szerint a részvény ára egy hét múlva 0,5 valószínűséggel emelkedni fog 210 Ft-tal, 0,2 valószínűséggel csökkenni fog 400 Ft-tal, és 0,3 valószínűséggel nem változik.
Mennyi a részvény árfolyamának várható értéke egy hét múlva ezen modell szerint?
B12. Két dobókockával egyszer dobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok öszszege prím?

FELADATOK II. RÉSZ

P1. Tanulók egy statisztikai kísérlet során azt vizsgálták, hogy hány szál gyufa van egy-egy gyufásdobozban.
Táblázatba foglalták a kapott adatokat.
Gyufaszálak száma 38 39 40 41 42 43
Gyakoriság 22 33 42 12 13 3
a) Határozd meg a gyufaszálak számának szórását!
b) Ha véletlenszerűen választunk egy gyufásdobozt, akkor mennyi a benne lévő gyufák számának várható értéke?
c) A gyufagyártó cég előírása szerint a csomagolás megfelelő, ha a gyufák számának a 40-től való eltérése a dobozok 98%-ában kisebb, mint 5%.
Megfelel-e ennek az elvárásnak a kísérlet eredménye?
P2. Egy középiskola évfolyamonként három osztályt indít: egy nyelvi, egy matematikai és egy informatikai tagozatot.
Az egyes évfolyamokon az egyes osztályokba járó tanulók számát a táblázat szemlélteti:
9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam
Nyelvi tagozat 36 33 30 28
Matematika tagozat 34 33 29 31
Informatikai tagozat 35 34 34 30
a) Készíts kördiagramot, amely a diákok évfolyamonkénti eloszlását ábrázolja! Egy tizedesjegy pontossággal határozd meg a kördiagramon a középponti szögeket!
b) Mennyi a valószínűsége, hogy két véletlenszerűen kiválasztott diák közül az egyik a 9., a másik a 11. évfolyamra jár?
c) Mennyi a valószínűsége, hogy három véletlenszerűen kiválasztott diák mindegyike nyelvi tagozatra jár?
P3. Egy pénzérmét 12-szer feldobunk, a „fej” dobását F-fel, az „írás” dobását I-vel jelöljük.
Egymás után felírjuk a dobások eredményét.
a) Hányféle betűsort kaphatunk?
b) Mekkora a valószínűsége, hogy csak fejekből áll majd a sorozat?
c) Mekkora a valószínűsége, hogy az első és az utolsó dobás is fej?
d) Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan a dobások fele lesz fej, a másik fele pedig írás?
P4. Egy társasjátékban az ábra szerinti szerencsekerék megpörgetése mutatja meg, hogy előre léphetünk egyet, kettőt, hármat vagy négyet, vagy vissza kell lépnünk egyet, kettőt vagy hármat.
A szerencsekeréken a (+4)-es lépést jelentő körcikk 90°-os, a többi körcikk 45°-os.
a) Ha egyszer megpörgetjük a szerencsekereket, akkor mennyi az eredmény várható értéke?
b) A célig még 10 mezőt kell haladnunk előre (a tizedikkel már célba érünk).
Mekkora a valószínűsége, hogy a harmadik forgatás után beérünk a célba? (A célba nem kell pontosan belépni, túl is haladhatunk rajta.)
P5. Ismert tény, hogy az úgynevezett partidrogok (tudatmódosító szerek) fogyasztása esetén a balesetveszély fokozódik.
Tegyük fel, hogy egy szombat éjszakán az országban 250 ezer fi atal vesz részt valamilyen partin, és ezeknek a fi ataloknak a 15%-a fogyaszt valamilyen partidrogot.
A partiról távozó fi atalok körében 0,0008 valószínűséggel következik be valamilyen közúti baleset, a tudatmódosító szert szedők között ez a valószínűség 0,0034.
Számítsd ki, hogy egy ilyen éjszakát követő hajnalon
a) hány baleset következik be a statisztikai adatok szerint a partiról távozó fiatalok körében;
b) hány tudatmódosító szer hatása alatt álló fi atallal történik közúti baleset;
c) mekkora a valószínűsége annak, hogy egy közúti balesetet szenvedett fi atal tudatmódosító szert szedett!

FELADATOK II. RÉSZ

Q1. Egy népszavazáson arról dönthettek a szavazók, hogy városukban park, bevásárlóközpont vagy hangversenyterem épüljön; a három lehetőség közül mindenki egyet választhatott.
A lakosság 54,6%-a szavazott, a szavazata mindenkinek érvényes volt.
A szavazás eredményének néhány részletét életkori csoportok szerint mutatjuk be:
Korcsoport
A szavazók száma (ezer fő)
Parkra szavazott
Bevásárlóközpontra szavazott
Hangversenyteremre szavazott
18–27 21 27% 57%
28–37 32 48% 15%
38–47 28 15% 53%
48–57 35 25% 25%
58–67 16 24% 50%
68 évtől 45 30% 26%
a) Hány lakosa van ennek a városnak?
b) Melyik terv nyerte meg a népszavazást?
c) Hányan szavaztak az egyes tervekre az 57 évnél idősebbek közül?
Q2. Egy nagyvállalat vezetősége összesítést készített arról, hogy a dolgozói között az egyes korcsoportokon belül mennyi a felsőfokú végzettségű dolgozók aránya (relatív gyakorisága).
Életkor Létszám
A diplomás dolgozók
relatív gyakorisága gyakorisága
20 év alatt 420 0
20–29 3645 0,75
30–39 5280 0,53
40–49 7013 0,32
50–59 4339 0,42
60 évtől 2106 0,95
a) Hányan dolgoznak ennél a vállalatnál?
b) Töltsd ki az üresen maradt rovatokat!
c) Mennyi a dolgozók között a diplomások relatív gyakorisága?
d) Mennyi a diplomások relatív gyakorisága a 30 év alattiak között?
e) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott dolgozó 30 és 49 év közötti diplomás?
f) Ha véletlenszerűen kiválasztunk három dolgozót, akkor mennyi a valószínűsége, hogy ketten 30 és 49 év közöttiek, és egyikük 60 évnél idősebb?
Q3. a) Határozd meg a táblázatba foglalt adatsokaság átlagát és szórását!
b) Készíts dobozdiagramot az adatsokaságról!
c) Ha véletlenszerűen kiválasztunk az adatsokaság elemei közül visszatevés nélkül 8 adatot, akkor mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb két adat kisebb, mint 4,4?
Q4. (Érettségi feladat, 2022) Andrea és Balázs kockarulettet játszanak.
Egy játék abból áll, hogy két szabályos dobókockával egyszerre dobnak.
A dobás előtt a játékszelvényen megadott öt eseményre lehet fogadni úgy, hogy a játékosok minden játék előtt beírják a tétjeiket a játékszelvény megfelelő oszlopába.
A tétként feltett pontokat levonják a játékos pontszámából.
A szelvényen látható az egyes eseményekre a nyereményszorzó is, ami megmutatja, hogy a tétként feltett pontok hányszorosát kapják meg nyereményként, amennyiben az esemény bekövetkezik.
A játékosok 100 ponttal indulnak.
A lenti ábrán Andrea játékszelvényét látjuk.
Az 1. játékban 10-10-10 pontot tett fel három eseményre, és ezek után az 1 és 4 számokat dobták a kockákkal.
Andrea az első téttel nem nyert, de a másik kettővel 3 ∙ 10, illetve 2 ∙ 10 pontot nyert. Összesen 30 pontot tett fel, és 50 pontot nyert, tehát az 1. játék után 120 pontja lett, ennyivel kezdi a 2. játékot.
ESEMÉNY nyereményszorzó
Tétek
1. játék 2. játék 3. játék
A: két páros számot dobunk 4 10
B: az egyik szám páros, a másik páratlan 3 0
C: a számok összege kisebb, mint 6 3 10
D: a számok szorzata páros 2 10
E: dobunk 6-ost 3 0
Összes tét 30
nyeremény 50
pontszám a játék után 120
dobott számok 1 és 4
a) A 2. játékban Andrea ugyanerre a három eseményre fogadott 20-20-20 ponttal, és mindhárom tétjével nyert.
Melyik számokat dobták a 2. játékban, és mennyi lett Andrea pontszáma a 2. játék után?
b) A 3. játékban Andrea az első három eseményre fogadott 10-10-10 ponttal, de egyikkel sem nyert.
Melyik számokat dobhatták a 3. játékban?
c) Balázs az egyik játékban az A, a D és az E eseményre fogadott összesen 70 ponttal, és mindhárom tétjével nyert.
Az E eseményre éppen kétszer annyi tétet tett, mint az A-ra.
Hány ponttal fogadott Balázs az A eseményre, ha öszszesen 200 pont lett a nyereménye? Melyik számokat dobhatták ebben a játékban?
d) Egy másik napon már három, különböző színű szabályos dobókockával dobtak egyszerre.
Számítsd ki annak az eseménynek a valószínűségét, hogy a dobások között előfordul az ötös dobás!
Q5. Egy gépsoron integrált áramköröket gyártanak.
A tapasztalat szerint a gépsoron gyártott áramkörök esetén 0,005 annak a valószínűsége, hogy egy legyártott áramkör hibás. A minőség-ellenőrzés során a nagyon sok alkatrész közül 100 alkalommal választanak ki egy-egy darabot.
a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a 100 alkalom közül egyszer sem találnak selejteset?
b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a 100 alkalom közül legalább egy selejtes darabot találnak?
c) Hány alkalommal kell megismételni a mintavételt, ha azt szeretnénk, hogy annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik darab selejtes, nagyobb legyen, mint 0,5?
dátum: