7. Prizma

Prizma

Milyen képletek jellemzik a prizmát?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Legye az alapél hossza a, magassága m.
 m_hsz = a·√3/2   ≈ a·0,866
 T_hsz = a·m_hsz/2   ≈ a²·0,433
 A = 2·T_hsz +3·a·m   ≈ a²·0,866 +3·a·m
 V = T_hsz·m     ≈ a²·m·0,433

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen esetek lehetségesek?

4 paraméter van: a,m,A,V.
Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 4·3/2 = 6

Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
 1. Adott a,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
 2. Adott a,A
 3. Adott a,V

 4. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
 5. Adott m,V

 6. Adott A,V → hiányos harmadfokú egyenlet!!! (legbonyolultabb eset)

Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.

Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.
A másik esetet is meg lehet közelítőleg oldani függvényvizsgálat segítségével.

Mintafeladatok

1. Egy prizma alapélének hossza 3 cm. A magassága 5cm.
Mekkora a felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 m = 5cm
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 A = a²·0,866 +3·a·m
 V = a²·m·0,433
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 A = 3²·0,866 +3·3·5 = cm²
 V = 3²·5·0,433 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!

---

2. Egy prizma alapélének hossza 3 cm. A felszíne 150cm².
Mekkora a prizma magassága, magassága és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 A = 150cm
  m = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.

Az A képletéből indulunk ki!
A = a²·0,866 +3·a·m | - a²·0,866
A - a²·0,866 = 3·a·m |/3/a
A/3/a - a·0,2887 = m

 m = A/3/a - a·0,2887
 V = a²·m·0,433
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 m = 150/3/3 - 3·0,2887 = cm
 V = 3²··0,433 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

3. Egy prizma alapélének nagysága 3cm. A térfogatának a nagysága 187 cm³.
Mekkora a magasságának a hossza?
Mekkora a prizma felszíne?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3 cm
 V = 187 cm²
  m = ?
  A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 m = V/a²/0,433
 A = a²·0,866 +3·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 m = 187/3²/0,433 = cm
 A = 3²·0,866 +3·3· = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

4. Egy prizma magasságának a nagysága 24 cm. A felszíne 340 cm².
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a prizma térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 m = 24 cm
 A = 340 cm
  a = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
 Másodfokú egyenlet: 0,866·a² +3·m·a -A = 0
 mfa = 0,866
 mfb = 3·m
 mfc = -A
 a = (-mfb + √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)

 V = a²·m·0,433
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 A másodfokú egyenlet megoldása:
 a = cm
 V = ²·24·0,433 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

5. Egy prizma magasságának a nagysága 25 cm. A térfogata 350 cm³.
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a felszíne?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 m = 25 cm
 V = 350 cm³
  a = ?
  A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = √V/m/0,433
 A = a²·0,866 +3·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = √350/25/0,433 = cm
 A = ²·0,866 +3··25 = cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Tesztfeladatok

1. Egy prizma alapélének hossza 3 cm. A magassága 5cm.
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
A = cm²
V = cm³

2. Egy prizma alapélének hossza 3 cm. A felszíne 150cm².
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
V = cm³

3. Egy prizma alapélének nagysága 3cm. A térfogatának a nagysága 187 cm³.
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²

4. Egy prizma magasságának a nagysága 24 cm. A felszíne 340 cm².
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
V = cm³

5. Egy prizma magasságának a nagysága 25 cm. A térfogata 350 cm³.
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
A = cm²

 Prizma:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
Összesen.

6. Téglatest

Téglatest

Milyen képletek jellemzik a téglatestet?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Legye az alapélek hossza a és b magassága c.
 f = √a² + b² +c²
 A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
 V = a·b·c

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen esetek lehetségesek?

6 paraméter van: a,b,c,f,A,V.
Ezek közül 3 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
A képletek szimmetriájából kvázi azonos eseteket is megkülönböztethetünk.

Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
(a,b,c)-ból 3-t választunk:
 I. 1. Adott a,b,c → egyszerű képletbe való behelyettesítés
(a,b,c)-ból 2-t választunk:
 II. 2-4. Adott a,b,f vagy a,c,f vagy b,c,f
 III. 5-7. Adott a,b,A vagy a,c,A vagy b,c,A
 IV. 8-10. Adott a,b,V vagy a,c,V vagy b,c,V
(a,b,c)-ból 1-t választunk:
 V. 11-13. Adott a,f,V vagy b,f,V vagy c,f,V → másodfokúra visszavezethető egyenlet!
 VI. 14-16. Adott a,A,V vagy b,A,V vagy c,A,V → másodfokúra visszavezethető egyenlet!
 VII. 17-19. Adott a,f,A vagy b,f,A vagy c,f,A → sokadfokú egyenlet!
(a,b,c)-ból 0-t választunk:
 VIII. 20. Adott f,A,V → sokadfokú egyenlet!

Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.

Jelen esetben látható, hogy érdemileg 6 esettel érdemes foglalkoznunk.
A másik két esetet is meg lehet közelítőleg oldani függvényvizsgálat segítségével.

Mintafeladatok

1. Egy téglatest alapéleinek hossza 3cm, 4cm és 5cm.
Mekkora a testátlójának a hossza?
Mekkora a téglatest felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 b = 4cm
 c = 5cm
  f = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 f = √a² +b² +c²
 A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
 V = a·b·c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 f = √3² +4² +5² = cm
 A = 2·3·4 +2·3·5 +2·4·5 = cm²
 V = 3·4·5 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!

---

2. Egy téglatest két alapéleinek hossza 3cm, 4cm és a testátlója 10cm.
Mekkora a harmadik oldal hossza?
Mekkora a téglatest felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 b = 4cm
 f = 10cm
  c = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.

Az f képletéből indulunk ki!
f = √√a² +b² +c² |()²
f² = a² + b² + c² | - a²
f² - a² - b² = c² |√

 m = √f² - a²- b²
 A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
 V = a·b·c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 c = √10² - 3²- 4² = cm
 A = 2·3·4 +2·3· +2·4· = cm²
 V = 3·4· = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

3. Egy téglatest két alapélének hossza 3cm és 4cm. A felszíne 500cm².
Mekkora a téglatest harmadik oldala, testátlója és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 b = 4cm
 A = 500cm²
  c = ?
  f = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.

Az A képletéből indulunk ki!
A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c = 2·a·b +(2·a +2·b)·c | - 2·a·b
A - 2·a·b = (2·a +2·b)·c |/(2·a +2·b)
(A - 2·a·b)/(2·a +2·b) = c |/a

 c = (A - 2·a·b)/(2·a +2·b)
 f = √a² +b² +c²
 V = a·b·c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 c = (500 - 2·3·4)/(2·3 +2·4) = cm
 f = √3² +4² +² = cm
 V = 3·4· = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

4. Egy téglatest két alapélének nagysága 3cm és 4cm. A térfogatának a nagysága 500cm³.
Mekkora a harmadik oldal és a testátlójának a hossza?
Mekkora a téglatest felszíne?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3 cm
 b = 4 cm
 V = 500 cm³
  c = ?
  f = ?
  A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 c = V/a/b
 f = √a² +b² +c²
 A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 c = 500/3/4 = cm
 f = √3² +4² +² = cm
 A = 2·3·4 +2·3· +2·4· = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

5. Egy téglatest oldalélének a nagysága 5cm. A testátlója 11cm. A térfogata 210cm³.
Mekkora a másik két oldalélének a hossza?
Mekkora a téglatest felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 5 cm
 f = 11 cm
 V = 210 cm³
  b = ?
  c = ?
  A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Két egyenletből kell kiindulnunk.
A térfogat képletéből kifejezzük c-t, amit visszahelyettesítünk a testátló képletébe.
Beszorozva az oldalhosszal egy másodfokú egyenletet kapunk.

 f² = a² + b² +c²
 V = a·b·c → c = (V/a)·1/b
  ↓
 f² = a² + b² +[(V/a)·1/b]²
 f² = a² + b² +(V/a)²·1/b² | új ismeretlen: x = b²
 f² -a² = x +(V/a)²·1/x |·x
 (f² -a²)x = x² +(V/a)²|-(f² -a²)x
 x² +(a² -f²)x +(V/a)² = 0
  ↓
 mfa = 1
 mfb = a² -f²
 mfc = (V/a)²
 x = (-mfb - √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)
 b = √x

 c = √f² -b² -a²
 A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 A másodfokú egyenlet paraméterei:
  mfb = 5² - 11² = 25 -121 = -96
  mfc = (210/5)² = 1764

 b = (96 + √(-96)² - 4·1764)/2 = cm
 c = √12² -² -5² = cm
 A = 2·5· +2·5· +2·· = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

6. Egy téglatest oldalélének a nagysága 5cm. A felszíne 214 cm², a térfogata 210 cm³.
Mekkora a másik két oldalélének a hossza?
Mekkora a téglatest testátlója és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 5 cm
 A = 214 cm²
 V = 210 cm³
  b = ?
  c = ?
  f = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
 V = a·b·c → c = (V/a)·1/b
  ↓
 A = 2·a·b + 2·a·(V/a)·1/b +2·(V/a) |·b
 A·b = 2·a·b² + 2·a·(V/a) +2·(V/a)·b | nullára redukálás
 2·a·b² +(2·(V/a) -A)·b + 2·V = 0
  ↓
 mfa = 2·a
 mfb = (2·(V/a) -A)
 mfc = 2·V
 b = (-mfb - √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)

 c = (V/a)·1/b
 f = √a² + b²+ c²
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 A másodfokú egyenlet paraméterei:
 mfa = 2·5 = 10
 mfb = (2·(210/5) -214) = -130
 mfc = 2·210 = 420

 b = (130 - √130² - 4·10·420)/(2·10) = cm
 c = (210/5)·1/ = cm
 f = √5² + ²+ ² = cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Tesztfeladatok

1. Egy téglatest oldaléleinek hossza 3cm, 4cm és 5cm.
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
f = cm
A = cm²
V = cm³

2. Egy téglatest két alapéleinek hossza 3cm, 4cm és a testátlója 10cm.
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
c = cm
A = cm²
V = cm³

3. Egy téglatest két alapélének hossza 3cm és 4cm. A felszíne 500cm².
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
c = cm
f = cm
V = cm³

4. Egy téglatest két alapélének nagysága 3cm és 4cm.A térfogatának a nagysága 500cm³.
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
c = cm
f = cm
A = cm²

5. Egy téglatest oldalélének a nagysága 5cm. A testátlója 11cm. A térfogata 210cm³.
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
c = cm
A = cm²

6. Egy téglatest oldalélének a nagysága 5cm. A felszíne 214 cm², a térfogata 210 cm³.
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
c = cm
f = cm

 Téglatest:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Összesen.

5. Négyzetes oszlop

Négyzetes oszlop

Milyen képletek jellemzik a négyzetes oszlopot?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Legye az alapél hossza a, magassága m.
 f = √2·a² + m²
 A = 2·a² +4·a·m
 V = a²·m

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen esetek lehetségesek?

5 paraméter van: a,m,f,A,V.
Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 5·4/2 = 10

Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
 1. Adott a,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
 2. Adott a,f
 3. Adott a,A
 4. Adott a,V

 5. Adott m,f
 6. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
 7. Adott m,V

 8. Adott f,A → teljes negyedfokú egyenlet!!! (legbonyolultabb eset)
 9. Adott f,V → másodfokúra visszavezethető egyenlet!

 10. Adott A,V → hiányos harmadfokú egyenlet!! (bonyolult eset)

Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.

Jelen esetben látható, hogy érdemileg 7 esettel érdemes foglalkoznunk.
A másik két esetet is meg lehet közelítőleg oldani függvényvizsgálat segítségével.

Mintafeladatok

1. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 3 cm.
A magassága 5cm.
Mekkora a testátlójának a hossza?
Mekkora a felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 m = 5cm
  f = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 f = √2·a² + m²
 A = 2·a² +4·a·m
 V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 f = √2·3² + 5² = cm
 A = 2·3² +4·3·5 = cm²
 V = 3²·5 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

2. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 3 cm.
A tetátló hossza 15cm.
Mekkora magasságának a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 f = 15cm
  m = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.

Az f képletéből indulunk ki!
f = √2·a² + m² |()²
f² = 2·a² + m² | - 2·a²
f² - 2·a² = m² |√

 m = √f² - 2·a²
 A = 2·a² +4·a·m
 V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 m = √15² - 2·3² = cm
 A = 2·3² +4·3· = cm²
 V = 3²· = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

3. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 3 cm.
A felszíne 150cm².
Mekkora a négyzetes oszlop magassága, testátlója és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 A = 150cm²
  m = ?
  f = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.

Az A képletéből indulunk ki!
A = 2·a² + 4·a·m | - 2·a²
A - 2·a² = 4·a·m |/4
A/4 - a²/2 = a·m |/a

 m = A/4/a - a/2
 f = √2·a² + m²
 V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 m = 150/4/3 - 3/2 = cm
 f = √2·3² + ² = cm
 V = 3²· = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

4. Egy négyzetes oszlop alapélének nagysága 3 cm.
A térfogatának a nagysága 187 cm³.
Mekkora a magasságának és a testátlójának a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop felszíne?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3 cm
 V = 187 cm³
  m = ?
  f = ?
  A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 m = V/a²
 f = √2·a² + m²
 A = 2·a² + 4·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 m = 187/3² = cm
 f = √2·3² + ² = cm
 A = 2·3² + 4·3· = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

5. Egy négyzetes oszlop magasságának a nagysága 25 cm. A testátlója 35 cm.
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 m = 25 cm
 f = 35 cm
  a = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = √(f² - m²)/2
 A = 2·a² + 4·a·m
 V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = √(35² - 25²)/2 = cm
 A = 2·² + 4··25 = cm
 V = ²·25 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

6. Egy négyzetes oszlop magasságának a nagysága 26 cm. A felszíne 360 cm².
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop testátlója és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 m = 26 cm
 A = 360 cm²
  a = ?
  f = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
 Másodfokú egyenlet: a² +2·m·a - (A/2) = 0
 a = 1
 b = 2·m
 c = -A/2
 a_1,2 = (-b ± √b² - 4·a·c)/(2·a)

 f = √2·a² + m²
 V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 A másodfokú egyenlet megoldása:
 a = cm
 f = √2·² + 26² = cm
 V = ²·26 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

7. Egy négyzetes oszlop magasságának a nagysága 27 cm. A térfogata 370 cm³.
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop testátlója és felszíne?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 m = 27 cm
 V = 370 cm³
  a = ?
  f = ?
  A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = √V/m
 f = √2·a² + m²
 A = 2·a² + 4·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = √370/27 = cm
 f = √2·² + 27² = cm³
 A = 2·² + 4··27 = cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Tesztfeladatok

1. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 5 cm. Magassága 15cm.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
f = cm
A = cm²
V = cm³

2. Egy négyzetes oszlop alapéle 2cm hosszú. A testátlója 12cm.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³

3. Egy négyzetes oszlop alapéle 14cm hosszú. A felszíne 2000cm².
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
f = cm
V = cm³

4. Egy négyzetes oszlop alapélénak nagysága 12cm. A térfogata 2000cm³.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
f = cm
A = cm²

5. Egy négyzetes oszlop magasságának nagysága 12cm. A testátlója 20cm.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
A = cm²
V = cm³

6. Egy négyzetes oszlop magasságának nagysága 12cm. A felszíne 2000cm².
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
f = cm
V = cm³

7. Egy négyzetes oszlop magasságának nagysága 12cm. A térfogata 2000cm³.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
f = cm
A = cm²

 Négyzetes oszlop:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Összesen.

4. Kocka

Kocka

Milyen képletek jellemzik a kockát?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
 e = a·√2 ≈ a·1,4142
 f = a·√3 ≈ a·1,7321
 A = 6·a²
 V = a³

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Mintafeladatok

1. Egy kocka alapélének hossza 3 cm.
Mekkora a lap- és testátlójának a hossza?
Mekkora a kocka felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
  e = ?
  f = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 e = a·√2
 f = a·√3
 A = 6·a²
 V = a³
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 e = 3·1,4142 = cm
 f = 3·1,7321 = cm
 A = 6·3² = cm²
 V = 3³ = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!

---

2. Egy kocka lapátlójának a hossza 10 cm.
Mekkora az alapélének és a testátlójának a hossza?
Mekkora a kocka felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 e = 10cm
  a = ?
  f = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = e/√2
 f = a·√3
 A = 6·a²
 V = a³
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = 10/1,4142 = cm
 f = ·1,7321 = cm
 A = 6·² = cm²
 V = ³ = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

3. Egy kocka testátlójának a hossza 45 cm.
Mekkora az alapélének és a lapátlójának a hossza?
Mekkora a kocka felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 f = 45cm
  a = ?
  e = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = f/√3
 e = a·√2
 A = 6·a²
 V = a³
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = 45/1,7321 = cm
 e = ·1,4142 = cm
 A = 6·² = cm²
 V = ³ = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

4. Egy kocka felszínének a nagysága 250 cm².
Mekkora az alapélének, a lap- és a testátlójának a hossza?
Mekkora a kocka térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 A = 250 cm²
  a = ?
  e = ?
  f = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = √(A/6)
 e = a·√2
 f = a·√3
 V = a³
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = √(250/6) = cm
 e = ·1,4142 = cm
 f = ·1,7321 = cm
 V = ³ = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

5. Egy kocka térfogatának a nagysága 1875 cm³.
Mekkora az alapélének, a lap- és a testátlójának a hossza?
Mekkora a kocka felszíne?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 V = 1875 cm²
  a = ?
  e = ?
  f = ?
  A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = ³√(V)
 e = a·√2
 f = a·√3
 A = 6·a²
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = ³√(1875/6) = cm
 e = ·1,4142 = cm
 f = ·1,7321 = cm
 A = 6·² = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

Tesztfeladatok

1. Egy kocka élének hossza 5 cm.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
e = cm
f = cm
A = cm²
V = cm³

2. Egy kocka lapátlója 2cm hosszú.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
f = cm
A = cm²
V = cm³

3. Egy kocka testátlója 14cm hosszú.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
e = cm
A = cm²
V = cm³

4. Egy kocka felszínének nagysága 120cm².
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
e = cm
f = cm
V = cm³

5. Egy kocka térfogatának nagysága 1225cm³.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
e = cm
f = cm
A = cm²

 Kocka:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
Összesen.