Négyzetes oszlop
Milyen képletek jellemzik a négyzetes oszlopot?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! Legye az alapél hossza a, magassága m.
f = √2·a² + m²
A = 2·a² +4·a·m
V = a²·m
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
5 paraméter van: a,m,f,A,V. Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 5·4/2 = 10
Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
1. Adott a,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott a,f
3. Adott a,A
4. Adott a,V
5. Adott m,f
6. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
7. Adott m,V
8. Adott f,A → teljes negyedfokú egyenlet!!! (legbonyolultabb eset)
9. Adott f,V → másodfokúra visszavezethető egyenlet!
10. Adott A,V → hiányos harmadfokú egyenlet!! (bonyolult eset)
Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 7 esettel érdemes foglalkoznunk.
A másik két esetet is meg lehet közelítőleg oldani függvényvizsgálat segítségével.
Mintafeladatok
1. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 3 cm. A magassága 5cm.
Mekkora a testátlójának a hossza?
Mekkora a felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
m = 5cm
f = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
f = √2·a² + m²
A = 2·a² +4·a·m
V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
f = √2·3² + 5² = 6.56cm
A = 2·3² +4·3·5 = 78.00cm²
V = 3²·5 = 45.00cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
2. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 3 cm.
A tetátló hossza 15cm.
Mekkora magasságának a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
f = 15cm
m = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az f képletéből indulunk ki!
f = √2·a² + m² |()²
f² = 2·a² + m² | - 2·a²
f² - 2·a² = m² |√
m = √f² - 2·a² f = √2·a² + m² |()²
f² = 2·a² + m² | - 2·a²
f² - 2·a² = m² |√
A = 2·a² +4·a·m
V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = √15² - 2·3² = 14.39cm
A = 2·3² +4·3·14.39 = 190.65cm²
V = 3²·14.39 = 129.49cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 3 cm.
A felszíne 150cm².
Mekkora a négyzetes oszlop magassága, testátlója és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
A = 150cm²
m = ?
f = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az A képletéből indulunk ki!
A = 2·a² + 4·a·m | - 2·a²
A - 2·a² = 4·a·m |/4
A/4 - a²/2 = a·m |/a
m = A/4/a - a/2 A = 2·a² + 4·a·m | - 2·a²
A - 2·a² = 4·a·m |/4
A/4 - a²/2 = a·m |/a
f = √2·a² + m²
V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 150/4/3 - 3/2 = 11.00cm
f = √2·3² + 11.00² = 11.79cm
V = 3²·11.00 = 99.00cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy négyzetes oszlop alapélének nagysága 3 cm.
A térfogatának a nagysága 187 cm³.
Mekkora a magasságának és a testátlójának a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3 cm
V = 187 cm³
m = ?
f = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
m = V/a²
f = √2·a² + m²
A = 2·a² + 4·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 187/3² = 20.78cm
f = √2·3² + 20.78² = 21.21cm
A = 2·3² + 4·3·20.78 = 267.33cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy négyzetes oszlop magasságának a nagysága 25 cm. A testátlója 35 cm.
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 25 cm
f = 35 cm
a = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
a = √(f² - m²)/2
A = 2·a² + 4·a·m
V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √(35² - 25²)/2 = 17.32cm
A = 2·17.32² + 4·17.32·25 = 2332.05cm
V = 17.32²·25 = 7500.00cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
6. Egy négyzetes oszlop magasságának a nagysága 26 cm. A felszíne 360 cm².
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop testátlója és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 26 cm
A = 360 cm²
a = ?
f = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
Másodfokú egyenlet: a² +2·m·a - (A/2) = 0
a = 1
b = 2·m
c = -A/2
a1,2 = (-b ± √b² - 4·a·c)/(2·a)
f = √2·a² + m²
V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet megoldása:
a = 3.26cm
f = √2·3.26² + 26² = 26.40cm
V = 3.26²·26 = 275.89cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
7. Egy négyzetes oszlop magasságának a nagysága 27 cm. A térfogata 370 cm³.
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop testátlója és felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 27 cm
V = 370 cm³
a = ?
f = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
a = √V/m
f = √2·a² + m²
A = 2·a² + 4·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √370/27 = 3.70cm
f = √2·3.70² + 27² = 27.50cm³
A = 2·3.70² + 4·3.70·27 = 427.21cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 8 cm.
Magassága 12cm.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
f = cm
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
f = cm
A = cm²
V = cm³
2. Egy négyzetes oszlop alapéle 3cm hosszú.
A testátlója 20cm.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³
3. Egy négyzetes oszlop alapéle 6cm hosszú.
A felszíne 225cm².
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
f = cm
V = cm³
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
f = cm
V = cm³
4. Egy négyzetes oszlop alapélénak nagysága 7cm.
A térfogata 122cm³.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
f = cm
A = cm²
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
f = cm
A = cm²
5. Egy négyzetes oszlop magasságának nagysága 4cm.
A testátlója 40cm.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
A = cm²
V = cm³
6. Egy négyzetes oszlop magasságának nagysága 5cm.
A felszíne 325cm².
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
f = cm
V = cm³
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
f = cm
V = cm³
7. Egy négyzetes oszlop magasságának nagysága 10cm.
A térfogata 244cm³.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
f = cm
A = cm²
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
f = cm
A = cm²
Négyzetes oszlop:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| 6. | ||||
| 7. | ||||
| Összesen. |
