Prizma
Milyen képletek jellemzik a prizmát?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! Legye az alapél hossza a, magassága m.
m_hsz = a·√3/2 ≈ a·0,866
T_hsz = a·m_hsz/2 ≈ a²·0,433
A = 2·T_hsz +3·a·m ≈ a²·0,866 +3·a·m
V = T_hsz·m ≈ a²·m·0,433
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
4 paraméter van: a,m,A,V. Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 4·3/2 = 6
Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
1. Adott a,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott a,A
3. Adott a,V
4. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
5. Adott m,V
6. Adott A,V → hiányos harmadfokú egyenlet!!! (legbonyolultabb eset)
Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.
A másik esetet is meg lehet közelítőleg oldani függvényvizsgálat segítségével.
Mintafeladatok
1. Egy prizma alapélének hossza 3 cm.
A magassága 5cm. Mekkora a felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
m = 5cm
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
A = a²·0,866 +3·a·m
V = a²·m·0,433
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A = 3²·0,866 +3·3·5 = 52.79cm²
V = 3²·5·0,433 = 19.48cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy prizma alapélének hossza 3 cm. A felszíne 150cm².
Mekkora a prizma magassága, magassága és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
A = 150cm
m = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az A képletéből indulunk ki!
A = a²·0,866 +3·a·m | - a²·0,866
A - a²·0,866 = 3·a·m |/3/a
A/3/a - a·0,2887 = m
m = A/3/a - a·0,2887 A = a²·0,866 +3·a·m | - a²·0,866
A - a²·0,866 = 3·a·m |/3/a
A/3/a - a·0,2887 = m
V = a²·m·0,433
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 150/3/3 - 3·0,2887 = 15.80cm
V = 3²·15.80·0,433 = 61.57cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy prizma alapélének nagysága 3cm. A térfogatának a nagysága 187 cm³.
Mekkora a magasságának a hossza?
Mekkora a prizma felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3 cm
V = 187 cm²
m = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
m = V/a²/0,433
A = a²·0,866 +3·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 187/3²/0,433 = 47.99cm
A = 3²·0,866 +3·3·47.99 = 439.66cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy prizma magasságának a nagysága 24 cm. A felszíne 340 cm².
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a prizma térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 24 cm
A = 340 cm
a = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
Másodfokú egyenlet: 0,866·a² +3·m·a -A = 0
mfa = 0,866
mfb = 3·m
mfc = -A
a = (-mfb + √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)
V = a²·m·0,433
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet megoldása:
a = 4.48cm
V = 4.48²·24·0,433 = 208.64cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy prizma magasságának a nagysága 25 cm. A térfogata 350 cm³.
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 25 cm
V = 350 cm³
a = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
a = √V/m/0,433
A = a²·0,866 +3·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √350/25/0,433 = 5.69cm
A = 5.69²·0,866 +3·5.69·25 = 454.46cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy prizma alapélének hossza 7 cm.
A magassága 12cm.
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
A = cm²
V = cm³
2. Egy prizma alapélének hossza 11 cm.
A felszíne 369cm².
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
V = cm³
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
V = cm³
3. Egy prizma alapélének nagysága 5cm.
A térfogatának a nagysága 130 cm³.
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
4. Egy prizma magasságának a nagysága 8 cm.
A felszíne 80 cm².
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
V = cm³
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
V = cm³
5. Egy prizma magasságának a nagysága 12 cm.
A térfogata 629 cm³.
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
A = cm²
Határozzuk meg a prizma többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
A = cm²
Prizma:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| Összesen. |
