Téglatest
Milyen képletek jellemzik a téglatestet?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! Legye az alapélek hossza a és b magassága c.
f = √a² + b² +c²
A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
V = a·b·c
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
6 paraméter van: a,b,c,f,A,V. Ezek közül 3 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
A képletek szimmetriájából kvázi azonos eseteket is megkülönböztethetünk.
Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
(a,b,c)-ból 3-t választunk:
I. 1. Adott a,b,c → egyszerű képletbe való behelyettesítés
(a,b,c)-ból 2-t választunk:
II. 2-4. Adott a,b,f vagy a,c,f vagy b,c,f
III. 5-7. Adott a,b,A vagy a,c,A vagy b,c,A
IV. 8-10. Adott a,b,V vagy a,c,V vagy b,c,V
(a,b,c)-ból 1-t választunk:
V. 11-13. Adott a,f,V vagy b,f,V vagy c,f,V → másodfokúra visszavezethető egyenlet!
VI. 14-16. Adott a,A,V vagy b,A,V vagy c,A,V → másodfokúra visszavezethető egyenlet!
VII. 17-19. Adott a,f,A vagy b,f,A vagy c,f,A → sokadfokú egyenlet!
(a,b,c)-ból 0-t választunk:
VIII. 20. Adott f,A,V → sokadfokú egyenlet!
Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 6 esettel érdemes foglalkoznunk.
A másik két esetet is meg lehet közelítőleg oldani függvényvizsgálat segítségével.
Mintafeladatok
1. Egy téglatest alapéleinek hossza 3cm, 4cm és 5cm. Mekkora a testátlójának a hossza?
Mekkora a téglatest felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
b = 4cm
c = 5cm
f = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
f = √a² +b² +c²
A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
V = a·b·c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
f = √3² +4² +5² = 7.07cm
A = 2·3·4 +2·3·5 +2·4·5 = 94.00cm²
V = 3·4·5 = 60.00cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy téglatest két alapéleinek hossza 3cm, 4cm és a testátlója 10cm.
Mekkora a harmadik oldal hossza?
Mekkora a téglatest felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
b = 4cm
f = 10cm
c = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az f képletéből indulunk ki!
f = √√a² +b² +c² |()²
f² = a² + b² + c² | - a²
f² - a² - b² = c² |√
m = √f² - a²- b² f = √√a² +b² +c² |()²
f² = a² + b² + c² | - a²
f² - a² - b² = c² |√
A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
V = a·b·c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
c = √10² - 3²- 4² = 8.66cm
A = 2·3·4 +2·3·8.66 +2·4·8.66 = 145.24cm²
V = 3·4·8.66 = 103.92cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy téglatest két alapélének hossza 3cm és 4cm. A felszíne 500cm².
Mekkora a téglatest harmadik oldala, testátlója és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
b = 4cm
A = 500cm²
c = ?
f = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az A képletéből indulunk ki!
A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c = 2·a·b +(2·a +2·b)·c | - 2·a·b
A - 2·a·b = (2·a +2·b)·c |/(2·a +2·b)
(A - 2·a·b)/(2·a +2·b) = c |/a
c = (A - 2·a·b)/(2·a +2·b) A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c = 2·a·b +(2·a +2·b)·c | - 2·a·b
A - 2·a·b = (2·a +2·b)·c |/(2·a +2·b)
(A - 2·a·b)/(2·a +2·b) = c |/a
f = √a² +b² +c²
V = a·b·c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
c = (500 - 2·3·4)/(2·3 +2·4) = 34.00cm
f = √3² +4² +34.00² = 34.37cm
V = 3·4·34.00 = 408.00cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy téglatest két alapélének nagysága 3cm és 4cm. A térfogatának a nagysága 500cm³.
Mekkora a harmadik oldal és a testátlójának a hossza?
Mekkora a téglatest felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3 cm
b = 4 cm
V = 500 cm³
c = ?
f = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
c = V/a/b
f = √a² +b² +c²
A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
c = 500/3/4 = 41.67cm
f = √3² +4² +41.67² = 41.97cm
A = 2·3·4 +2·3·41.67 +2·4·41.67 = 607.33cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy téglatest oldalélének a nagysága 5cm. A testátlója 11cm. A térfogata 210cm³.
Mekkora a másik két oldalélének a hossza?
Mekkora a téglatest felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5 cm
f = 11 cm
V = 210 cm³
b = ?
c = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Két egyenletből kell kiindulnunk.
A térfogat képletéből kifejezzük c-t, amit visszahelyettesítünk a testátló képletébe.
Beszorozva az oldalhosszal egy másodfokú egyenletet kapunk.
f² = a² + b² +c²
V = a·b·c → c = (V/a)·1/b
↓
f² = a² + b² +[(V/a)·1/b]²
f² = a² + b² +(V/a)²·1/b² | új ismeretlen: x = b²
f² -a² = x +(V/a)²·1/x |·x
(f² -a²)x = x² +(V/a)²|-(f² -a²)x
x² +(a² -f²)x +(V/a)² = 0
↓
mfa = 1
mfb = a² -f²
mfc = (V/a)²
x = (-mfb - √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)
b = √x
c = √f² -b² -a² V = a·b·c → c = (V/a)·1/b
↓
f² = a² + b² +[(V/a)·1/b]²
f² = a² + b² +(V/a)²·1/b² | új ismeretlen: x = b²
f² -a² = x +(V/a)²·1/x |·x
(f² -a²)x = x² +(V/a)²|-(f² -a²)x
x² +(a² -f²)x +(V/a)² = 0
↓
mfa = 1
mfb = a² -f²
mfc = (V/a)²
x = (-mfb - √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)
b = √x
A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet paraméterei:
mfb = 5² - 11² = 25 -121 = -96
mfc = (210/5)² = 1764
b = (96 + √(-96)² - 4·1764)/2 = 4.98cm
c = √12² -4.98² -5² = 8.44cm
A = 2·5·4.98 +2·5·8.44 +2·4.98·8.44 = 218.16cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
6. Egy téglatest oldalélének a nagysága 5cm. A felszíne 214 cm², a térfogata 210 cm³.
Mekkora a másik két oldalélének a hossza?
Mekkora a téglatest testátlója és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5 cm
A = 214 cm²
V = 210 cm³
b = ?
c = ?
f = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
A = 2·a·b +2·a·c +2·b·c
V = a·b·c → c = (V/a)·1/b
↓
A = 2·a·b + 2·a·(V/a)·1/b +2·(V/a) |·b
A·b = 2·a·b² + 2·a·(V/a) +2·(V/a)·b | nullára redukálás
2·a·b² +(2·(V/a) -A)·b + 2·V = 0
↓
mfa = 2·a
mfb = (2·(V/a) -A)
mfc = 2·V
b = (-mfb - √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)
V = a·b·c → c = (V/a)·1/b
↓
A = 2·a·b + 2·a·(V/a)·1/b +2·(V/a) |·b
A·b = 2·a·b² + 2·a·(V/a) +2·(V/a)·b | nullára redukálás
2·a·b² +(2·(V/a) -A)·b + 2·V = 0
↓
mfa = 2·a
mfb = (2·(V/a) -A)
mfc = 2·V
b = (-mfb - √mfb² - 4·mfa·mfc)/(2·mfa)
c = (V/a)·1/b
f = √a² + b²+ c²
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet paraméterei:
mfa = 2·5 = 10
mfb = (2·(210/5) -214) = -130
mfc = 2·210 = 420
b = (130 - √130² - 4·10·420)/(2·10) = 6.00cm
c = (210/5)·1/6.00 = 7.00cm
f = √5² + 6.00²+ 7.00² = 10.49cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy téglatest oldaléleinek hossza 5cm, 7cm és 10cm.
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
f = cm
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
f = cm
A = cm²
V = cm³
2. Egy téglatest két alapéleinek hossza 4cm, 6cm és a testátlója 16cm.
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
c = cm
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
c = cm
A = cm²
V = cm³
3. Egy téglatest két alapélének hossza 6cm és 11cm. A felszíne 948cm².
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
c = cm
f = cm
V = cm³
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
c = cm
f = cm
V = cm³
4. Egy téglatest két alapélének nagysága 5cm és 12cm.A térfogatának a nagysága 1380cm³.
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
c = cm
f = cm
A = cm²
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
c = cm
f = cm
A = cm²
5. Egy téglatest oldalélének a nagysága 6cm. A testátlója 25cm. A térfogata 1512cm³.
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
c = cm
A = cm²
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
c = cm
A = cm²
6. Egy téglatest oldalélének a nagysága 4cm. A felszíne 540 cm², a térfogata 616 cm³.
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
c = cm
f = cm
Határozzuk meg a téglatest többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
c = cm
f = cm
Téglatest:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| 6. | ||||
| Összesen. |
