23. Összetett testek felszíne, térfogata

Összetett testek felszíne és térfogata

Milyen összetett testeket lehet építeni kiskockákból??

Például ilyent:

Mekkora ennek a testnek a felszíne és térfogata, ha egy kiskocka oldalélének a hossza 2cm?

Felszínszámítás:
1. lépés: Számoljuk meg, hány kiskockából áll a test!
 n = 6
2. lépés: Határozzuk meg a különálló kiskockák összfelszínét!

 T = n·6·a²

 T = 6·6·2² = cm²
3. lépés: Határozzuk meg az érintkező lapok számát és az érintkezési felület nagyságát!
 E = 6

 ET = E·a²

 ET = 6·2² = cm²
4. lépés: Vonjuk ki egymásból a két értéket!

 A = T - 2·ET

 A = - 2· = cm²
Térfogatszámítás:
Határozzuk meg a kiskockák különálló össztérfogatát!

 V = n·a³

  V = 6·2³ = cm³

Hogyan bontsunk fel összetett testeket egyszerű, már ismert testekre?

Vizsgáljunk meg egyet!

A test alkotórészei:
1. csonkakúp:
 paraméterek: r, R, m1, a1, A1 (csak a fedőlap és a palést!), V1
2. henger
 paraméterek: R, m2, A2(csak a palást!), V2
3. kúp
 paraméterek: R, m3, a3, A3(csak a palást!), V3

Mintafeladat

1. Egy szeg esetén:
 r = 3 cm.
 R = 5cm.
 m1 = 2cm.
 m2 = 10cm.
 m3 = 5cm.
 n (darabszám) = 150.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
  a1 = ?
  A1 = ?
  V1 = ?
  A2 = ?
  V2 = ?
  a3 = ?
  A3 = ?
  V3 = ?
  A = ?
  V = ?
  An = ?
  Vn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése.
 a1 = √(R -r)² + m1²
 A1 = R²·π + (r + R)·π·a1
 V1 = m1·(r² + r·R + R²)·π/3
 A2 = 2·r²·π·m2
 V2 = r²·π·m2
 a3 = √r² + m3²
 A3 = r·π·a3
 V3 = r²·π·m3/3
 A = A1 + A2 + A3
 V = V1 + V2 + V3
 An = n·A
 Vn = n·V
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a1 = √(5 -3)² + 2² = cm
 A1 = 5²·3,14 + (3 + 5)·3,14· = cm²
 V1 = 2·(3² + 3·5 + 5²)·3,14/3 = cm³
 A2 = 2·3²·3,14·10 = cm²
 V2 = 3²·3,14·10/3 = cm³
 a3 = √3² + 5² = cm
 A3 = 3·3,14· = cm²
 V3 = 3²·3,14·5/3 = cm³
 A = + + = cm²
 V = + + = cm³
 An = 150· = cm²
 An = m²
 Vn = 150· = cm³
 Vn = m³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Tesztfeladatok

1. Egy kiskocka élének hossza 3 cm.

6 5

Mekkorák a hiányzó paraméterei?
n =
E =
T = cm²
ET = cm²
A = cm²
V = cm³

2. Egy kiskocka élének hossza 3 cm.

7 8

Mekkorák a hiányzó paraméterei?
n =
E =
T = cm²
ET = cm²
A = cm²
V = cm³

3. Egy kiskocka élének hossza 3 cm.

5 4

Mekkorák a hiányzó paraméterei?
n =
E =
T = cm²
ET = cm²
A = cm²
V = cm³

4. Egy facölöp paraméterei:

 r = 3 cm.
 R = 5cm.
 m1 = 2cm.
 m2 = 10cm.
 m3 = 5cm.
 n (darabszám) = 150.

a1 = cm
A1 = cm
V1 = cm
A2 = cm²
V2 = cm³
a3 = cm
A3 = cm²
V3 = cm³

A = cm²
V = cm³
An = cm² = m²
Vn = cm³ = m³

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
Összesen.

22. Gömb

Gömbbel kapcsolatos feladatok

Milyen képletek jellemzik a gömböt?

A gömbfelület azon pontok mértani helye a térben, amelyek egy adott (O-val kelölt) középponttól egyenlő távolságra vannak.
Ezt a távolságot sugárnak nevezzük és r-rel jelöljük.
A gömböt származtathatjuk ehy kör forgatásaként is.


A gömböt nem lehet síkba kiteríteni.
Ennek megfelelően a felszínét és a térfogatát közelítéssel tudjuk meghatározni.
Vágjuk el a gömböt párhuzamos síkokkal!

Az ábra a bele írt alakzatokat szemlélteti. Ezek:
- a tetején és az alján kúpok,
- a többi helyen csonkakúpok.
Ezzel a módszerrel megállapítható, hogy

 A = 4·r²·π
 V = (4/3)·r³·π

Milyen kapcsolata van a gömbnek és a kockának?

A kocka belsejébe lehet írni (rajzolni) olyan gömböt, amely érinti a kocka oldallapjait.
Ezt a gömböt nevezzük beleírható gömbnek és a sugarát jelöljük r-rel!
A r-t a középponton átmenő, az alapra merőleges sík által meghatározott síkmetszetből határozzuk meg.

r = a/2

A kocka köré is írható/rajzolható gömb, amely érinti a csúcsokat.
Ezt a gömböt nevezzük köré írható gömbnek és a sugarát jelöljük R-rel!
A R-t a lapátlót tartlamazó, az alapra merőleges sík által meghatározott síkmetszetből határozzuk meg.

r = f/2 = a·1,7321/2 = a·0,866

A négyzetes oszlop és a téglatest nem eléggé szimmetrikus ahhoz, hogy valami hasonlót értelmezni lehessen esetükben.

Mintafeladatok 1.

1. Egy gömb sugara 3 cm.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 r = 3cm
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése el kell dolgoznunk.
 A = 4·r²·π
 V = (4/3)·r³·π
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 A = 4·3²·3,14 = cm²
 V = (4/3)·3³·3,14 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!

---

2. Egy gömb felszíne 150cm².
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 A = 150cm²
  r = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

A = 4·r²·π |/4/π
A/4/π = r² | √
r = √A/4/π

 V = (4/3)·r³·π
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 r = √150/4/3,14 = cm
 V = (4/3)·³·3,14 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

3. Egy gömb térfogata 150cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 V = 150cm³
  r = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

V = (4/3)·r³·π |·(3/4)/π
(3/4)·V/π = r³ | ³√
r = ³√(3/4)·V/π

 A = 4·r²·π
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 r = ³√(3/4)·150/3,14 = cm
 A = 4·²·3,14 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

4. Egy kocka élének hossza 5cm.
Mekkora a bele és köré írt gömb sugara?
Mekkora a két gömb felszínének aránya és a térfogatának aránya?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 5cm
  r = ?
  A1 = ?
  V1 = ?
  R = ?
  A2 = ?
  V2 = ?
  A1/A2 = ?
  V1/V2 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 r = a/2
 A1 = 4·r²·π
 V1 = (4/3)·r³·π
 R = a·0,866
 A2 = 4·R²·π
 V2 = (4/3)·R³·π
 A1/A2 = (r/R)²
 V1/V2 = (r/R)³
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 r = 5/2 = cm
 A1 = 4·²·3,14 = cm²
 V1 = (4/3)·³·3,14 = cm³
 R = 5·0,866 = cm
 A2 = 4·²·3,14 = cm²
 V1 = (4/3)·³·3,14 = cm³
 A1/A2 = (/)² = %
 V1/V2 = (/)³ = %
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Mekkora olyan gömb írható egy kúpba, amely érinti az alaplapot és az oldalfelületet is?

Az ACP△ ∿ ODP△. (Forgatással a szárak egymásba vihetők)
 `a/(m-x) = r/x` |Keresztbeszorzás
 a·x = r·m -r·x |+r·x
 (a + r)·x = r·m |/(a + r)
 `x = (r*m)/(a+r)`

ahol `a = sqrt(r^2+m^2)`

Gömbhéj = koncentrikus (közös középpontú) gömbök

Legyen a belső gömb sugara r, a külső gömb sugara R.
A felszínt összeadással, a térfogatot kivonással határozzuk meg!

 A = 4·r²·π + 4·R²·π
 A = 4·π·(r²+R²)

 V = (4/3)·R³·π - (4/3)·r³·π
 V = (4/3)·π·(R³ - r³)

Mintafeladatok 2.

5. Egy kúp sugara 3 cm. Magassága 5 cm.
Mekkora sugarú gömb írható ebbe a kúpba?
Mekkora ennek a gömbnek a felszíne és a térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 r = 3cm
 m = 5cm
  a = ?
  x = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése el kell dolgoznunk.
 a = √r² + m²
 x = r·m/(a + r)
 A = 4·x²·π
 V = (4/3)·x³·π
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = √3² + 8² = cm
 x = 3·5/( + 3) = cm
 A = 4·²·3,14 = cm²
 V = (4/3)·³·3,14 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!

---

6. Egy belül üres fémgolyó belső sugara 3cm, a külső sugara 5cm.
Mekkora a tömege, ha a sűrűsége 2.7 g/cm³?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 r = 3cm
 R = 3cm
 ϱ = 2,7 g/cm³
  V = ?
  m = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 V = (4/3)·π·(R³ - r³)
 m = ϱ·V
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 V = (4/3)·3,14·(5³ - 3³) = cm
 m = 2,7· = g
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Tesztfeladatok

1. Egy gömb sugara 3 cm.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
A = cm²
V = cm³

2. Egy gömb felszíne 150cm².
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
r = cm
V = cm³

3. Egy gömb térfogata 150cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
r = cm
A = cm²

4. Egy kocka élének hossza 5cm.
Mekkora a bele és köré írt gömb sugara?
Mekkora a két gömb felszínének aránya és a térfogatának aránya?
r = cm
A1 = cm
V1 = cm
R = cm
A2 = cm²
V2 = cm³

A1/A2 = %
V1/V2 = %

5. Egy kúp sugara 3 cm. Magassága 5 cm.
Mekkora sugarú gömb írható ebbe a kúpba?
Mekkora ennek a gömbnek a felszíne és a térfogata?
a = cm
x = cm
A = cm²
V = cm³

6. Egy belül üres fémgolyó belső sugara 3cm, a külső sugara 5cm.
Mekkora a tömege, ha a sűrűsége 2.7 g/cm³?
V = cm³
m = g

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Összesen.

21. Csonkatestekkel kapcsolatos feladatok

Csonkatestekkel kapcsolatos feladatok

Milyen képletek jellemzik a csonkagúlát?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Legyen az alapélek hossza a,c, az oldalél hossza b, a magassága m.

(a·0,7071 − c·0,7071)² +m² = b²
(a/2 − c/2)² +m² = mo²
(a/2 − c/2)² +m2o² = b²

A = a² +c² +2·(a + c)·mo
V = (a² + a·c + c²)·m/3

α = az oldalélnek az alaplappal alkotott szöge.
sin α = m/b
cos α = (a·0,7071 − c·0,7071)/b
tg α = m/(a·0,7071 − c·0,7071)

β = Az oldallapnak az alaplappal alkotott szöge.
sin β = m/mo
cos β = (a/2 − c/2)/mo
tg β = m/(a/2 − c/2)

γ = Az oldalélnek az alapéllel alkotott szöge.
sin γ = mo/b
cos γ = (a/2 − c/2)/b
tg γ = mo/(a/2 − c/2)

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen esetek lehetségesek?

2 paramétercsoport van: (a,c,m,mo,b,αβγ)(A,V).
Vagyishogy lényegében 5 paraméter az, ami lényegi: a,c,m|mo,A,V.
Ezek közül 3 ismert, a többit ki kell számolni.

Soroljuk fel a fontosabb, egyszerűbb eseteket:
 1. Adott a,c,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
 2. Adott a,c,A
 3. Adott a,c,V

 4. Adott c,m,V → másodfokú egyenlet!
 5. Adott c,mo,A

Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.

Milyen képletek jellemzik a csonkakúpot?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Legyen az alapél hossza R, a fedőlap sugara r, a magassága m.

(R - r)² +m² = a²

A = R²π + r²π + (R + r)·π·a
V = m·π·(r² + r·R + R²)/3

α = az oldallapnak az alaplappal alkotott szöge.
sin α = m/a
cos α = (R − r)/a
tg α = m/(R - r)

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen esetek lehetségesek?

2 paramétercsoport van: (R,r,m,a,α)(A,V).
Vagyishogy lényegében 5 paraméter az, ami lényegi: R,r,m,A,V.
Ezek közül 3 ismert, a többit ki kell számolni.

Soroljuk fel a fontosabb, egyszerűbb eseteket:
 1. Adott R,r,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
 2. Adott R,r,A
 3. Adott R,r,V

 4. Adott R,a,A → másodfokú egyenlet!
 5. Adott R,m,V → másodfokú egyenlet!

Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.

Mintafeladatok

1. Egy csonkakúp alaplajának sugara 5 cm, fedőlapjának a sugara 3 cm. A magassága 8cm.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 R = 5cm
 r = 3cm
 m = 8cm
  a = ?
  α = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése el kell dolgoznunk.
 a = √(R-r)² + m²
 α = tan-1 m/(R-r)
 A = R²π + r²π + (R + r)·π·a
 V = m·π·(r² + r·R + R²)/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = √(5-3)² + 8² = cm
 α = tan-1 (5-3)/8 = °
 A = 5²·3,14 + 3²·3,14 + (5 + 3)·3,14· = cm²
 V = V = 8·3,14·(3² + 3·5 + 5²)/3 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!

---

2. Egy csonkagúla alaplapjának oldaléle 5cm, fedőlapjának oldaléle 3cm. A magassága 8cm.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 5cm
 c = 3cm
 m = 8cm
  b = ?
  mo = ?
  α = ?
  β = ?
  γ = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 b = √(a·0,7071 − c·0,7071)² +m²
 mo = √(a/2 − c/2)² +m²
 tg α = m/(a·0,7071 − c·0,7071)
 tg β = m/(a/2 − c/2)
 tg γ = mo/(a/2 − c/2)
 A = a² +c² +2·(a + c)·mo
 V = (a² + a·c + c²)·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 b = √(5·0,7071 − 3·0,7071)² +8² = cm
 mo = √(5/2 − 3/2)² +8² = cm
 α = tan-1 8/(5·0,7071 − 3·0,7071) = °
 β = tan-1 8/(5/2 − 3/2) = °
 γ = tan-1 /(5/2 − 3/2) = °
 A = 5² +3² +2·(5 + 3)· = cm²
 V = (5² + 5·3 + 3²)·8/3 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Nézzünk meg még egy érdekes esetet!

Ha egy csonkakúpot kettévágunk az alaplap síkjával párhuzamosan a magasság x-ed részénél,
mekkora lesz a két keletkező test felszínének és térfogatának aránya?

Eredeti test:
paraméterek: R, r, m.

Hasonlóság aránya:
 x = m2/m → m2 = x·m
 x = rx/(R - r) → rx = x·(R - r)
 x = a2/a → a2 = x·a

Felső rész:
 r2 = r
 R2 = r + rx = r + (R -r)·x
 m2 = x·m
 a2 = x·a

  A2 = R2²π + r2²π + (R2 + r2)·π·a2
  V2 = m2·π·(r2² + r2·R2 + R2²)/3

Alsó rész:
 r1 = r + rx = r + (R - r)·x
 R1 = R
 m1 = m - m2 = m - x·m
 a1 = a - a2 = a - x·a

  A1 = R1²π + r1²π + (R1 + r1)·π·a1
  V1 = m1·π·(r1² + r1·R1 + R1²)/3

Konkrét feladat:
Egy csonkakúp alaplapjának a sugara 5cm, a fedőlapjának a sugara 3cm. A testmagasság nagysága 8 cm³.
A kúpot felülről mérve az 1/3-ánál elmetszük.
Mekkora keletkezett testek felszínének az aránya és a térfogatának az aránya?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 R = 5 cm
 r = 3 cm
 m = 8 cm
 x = 1/3

  m2 = ?,   R2 = ?,   r2 = ?,   a = ?,   a2 = ?,   A2 = ?,   V2 = ?
  m1 = ?,   R1 = ?,   r1 = ?,   a1 = ?,   A1 = ?,   V1 = ?
  A1/A2 = ? ,   V1/V2 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 r2 = r
 R2 = r + (R -r)·x
 m2 = x·m
 a = √(R -r)² + m²
 a2 = x·a
 A2 = R2²π + r2²π + (R2 + r2)·π·a2
 V2 = m2·π·(r2² + r2·R2 + R2²)/3

 r1 = r + (R -r)·x
 R1 = R
 m1 = m - x·m
 a1 = a - x·a
 A1 = R1²π + r1²π + (R1 + r1)·π·a1
 V1 = m1·π·(r1² + r1·R1 + R1²)/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 r2 = cm
 R2 = 3 + (5 -3)·1/3 = cm
 m2 = 1/3·8 = cm
 a = √(5 -3)² + 8² = cm
 a2 = 1/3· = cm
 A2 = ²·3,14 + ²·3,14 + ( + )·3,14· = cm²
 V2 = ·3,14·(² + · + ²)/3 = cm³

 r1 = 3 + (5 -3)·1/3 = cm
 R1 = cm
 m1 = 8 - 1/3·8 = cm
 a1 = - 1/3· = cm
 A1 = ²3,14 + ²·3,14 + ( + )·3,14· = cm
 V1 = ·3,14·(² + · + ²)/3 = cm

 A1/A2 = %
 V1/V2 = %
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Tesztfeladatok

1. Egy csonkakúp alaplajának sugara 5 cm, fedőlapjának a sugara 3 cm. A magassága 8cm.
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
α = °
A = cm²
V = cm³

2. Egy csonkagúla alaplapjának oldaléle 5cm, fedőlapjának oldaléle 3cm. A magassága 8cm².
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
mo = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm³
V = cm³

3. Egy csonkakúp alaplapjának a sugara 5cm, a fedőlapjának a sugara 3cm. A testmagasság nagysága 8 cm³.
A kúpot felülről mérve az 1/3-ánál elmetszük.
Mekkora keletkezett testek felszínének az aránya és a térfogatának az aránya?
r2 = cm
R2 = cm
m2 = cm
a = cm
a2 = cm
A2 = cm²
V2 = cm³

r1 = cm
R1 = cm
m1 = cm
a1 = cm
A1 = cm²
V1 = cm³

A1/A2 = %
V1/V2 = %

4. Egy csonkakúp alaplapjának a sugara 5cm, a fedőlapjának a sugara 3cm. A testmagasság nagysága 8 cm³.
A kúpot felülről mérve az 1/3-ánál elmetszük.
Mekkora keletkezett testek felszínének az aránya és a térfogatának az aránya?
r2 = cm
R2 = cm
m2 = cm
a = cm
a2 = cm
A2 = cm²
V2 = cm³

r1 = cm
R1 = cm
m1 = cm
a1 = cm
A1 = cm²
V1 = cm³

A1/A2 = %
V1/V2 = %

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
Összesen.

20. Csonkagúla, csonkakúp

Csonkagúla és csonkakúp

Hogyan csonkoljunk?

Ha egy gúlának, vagy egy kúpnak egy sík segítségével levágjuk a tetejét, akkor csonkagúlát, vagy csonkakúpot kapunk.
A csonkolás általába úgy történik, hogy a csonkoló sík párhuzamos az alaplap síkjával. (Párhuzamos csonkolás)
Ha a két sík nem párhuzamos egymással, akkor ferde csonkolásról beszélünk.

Melyek a csonkakúp jellemzői?

Vegyünk egy síkmetszetet:

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!

 (R -r)² +m² = a²

Vizsgáljuk meg a palást hálóját:

Különböztessük meg a magasságokat is:

Jellemzők:
Alaplap:
 R = az alaplap (nagy kör) sugara
 T = az alaplap területe
Fedőlap:
 r = a fedőlap (kis kör) sugara
 t = a fedőlap területe
Oldallap:
 x = kiegészítő (kis) kúp alkotójának a hossza
 x + a = eredeti teljes (nagy) kúp alkotójának a hossza
 a = csonkakúp (maradék test) alkotójának a hossza
Magasság:
 m1 = az eredeti kúp magassága
 m2 = a kiegészítő kúp magassága
 m = m1 - m2 = a maradék csonkakúp magassága
Felszín:
 A = T + t + P
 T = R²·π
 t = r²·π
 P = P1 -P2 = R·π·(x + a) -r·π·x = π·(R·a + R·x -r·x)
Hasonlóság miatt:
 `x/(x +a) = r/R → x = a·r/(R -r)`
Helyettesítsünk be:
 `P = pi*(R*a + R*a*r/(R -r) -r* a*r/(R -r)) = `
 ` = pi*(R*a*(R -r) + R*a*r -r* a*r)/(R -r) = `
 ` = pi*(R^2*a -R*a*r + R*a*r -r^2* a)/(R -r) = `
 ` = pi*(R²*a -r²* a)/(R -r) = `
  = π·a·(R +r)

(A csonkakúp palástját tehát úgy számolhatjuk ki,
mintha az egy téglalap lenne, melynek oldalai a és a kerületek átlaga!)

A csonkakúp felszíne:

 A = R²π + r²π + (R +r)·π·a

Számoljuk ki a térfogatot kivonás segítségével!
 `V = V_1 -V_2`
 `V_1 = T*m_1/3 = T·(m + m_2)/3`
 `V2 = t·m_2/3`
 `V = T·(m + m_2)/3 -(t·m_2)/3` Milyen kapcsolat van m és m2 között?
Hasonló alakzatok területére vonatkozó összefüggés szerint:
 `T/t = (m +m_2)^2/m_2^2 |sqrt()`
 `sqrt(T)/sqrt(t) = 1 + m/m_2 → m_2 = m·sqrt(t)/(sqrt(T) - sqrt(t))`
Visszahelyettesítve:
 `V = (1/3)·(T·m + (T -t)·m2) =`
 `= (1/3)*(T*m + (T -t)*m*sqrt(t)/(sqrt(T) - sqrt(t))) =`
 `= (1/3)*m*(T*(sqrt(T) - sqrt(t)) + color(red)((T -t))*sqrt(t))/(sqrt(T) - sqrt(t)) = `
 `= (1/3)*m*(T*(sqrt(T) - sqrt(t)) + color(red)((sqrt(T) -sqrt(t))*(sqrt(T) +sqrt(t)))*sqrt(t))/(sqrt(T) - sqrt(t)) = `
 `= (1/3)*m*(T + color(red)((sqrt(T) +sqrt(t)))*sqrt(t)) = `
 `= (1/3)*m*(T + sqrt(t)*sqrt(T) +t) `

 `V = (m*(t + sqrt(t)*sqrt(T) +T))/3 (ál talános képl et)`

Csonkakúp esetén:

 `V = (m*pi*(r^2 + r*R +R^2))/3`

Milyen paraméterekkel jellemezhető a csonkagúla?

Jellemzők:
a = az alaplap oldalélének a hossza
c = a fedőlap oldalélének a hossza
b = az oldalél hossza
m = testmagasság
mo = oldallap magassága

Képletek:
1. `color(red)(((a*1.4142)/2 - (c*1.4142)/2)^2 + m^2 = b^2)`
2. `color(blue)((a/2 - c/2)^2 + m^2 = m_o^2)`
3. `color(green)((a/2 - c/2)^2 + m_o^2 = b^2)`

`T=a^2`
`t=c^2`
`P=4*T_(tr)`
`T_(tr)=((a + c)*m_o)/2`
`A = T + t + P`
`A = a^2 + c^2 + 4*((a + c)*m_o)/2`
4. `color(red)(A = a^2 + c^2 + 2*(a + c)*m_o)`
`V=((t+sqrt(t*T)+T)*m)/3`
5. `color(red)(V = ((a^2 + a*c + c^2)*m)/3)`

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Mi a különbség a párhuzamos csonkolás és a ferde csonkolás között?
2. Miért nehéz feladat a ferdén csonkolt testek felszínének és térfogatának meghatározása?
3. Mik a kiegészítő kúp és kiegészítő gúla? Miért van rájuk szükség?
4. Milyen alakzat a csonka kúp szimmetriatengelyre illeszkedő síkmetszete?
5. Hogyan számoljuk ki a csonkagúla felszínét?
6. Hogyan számoljuk ki a csonka alakzatok térfogatát általában?
7. Mi a csonkakúp térfogatképlete?
8. Hányféle síkmetszettel dolgozhatunk csonkagúla esetén?
9. Mi a csonkagúla felszínképlete?
10. Mi a csonkagúla térfogatképlete?