Gömbbel kapcsolatos feladatok
Milyen képletek jellemzik a gömböt?
A gömbfelület azon pontok mértani helye a térben, amelyek egy adott (O-val kelölt) középponttól egyenlő távolságra vannak. Ezt a távolságot sugárnak nevezzük és r-rel jelöljük.
A gömböt származtathatjuk ehy kör forgatásaként is.
A gömböt nem lehet síkba kiteríteni.
Ennek megfelelően a felszínét és a térfogatát közelítéssel tudjuk meghatározni.
Vágjuk el a gömböt párhuzamos síkokkal!
Az ábra a bele írt alakzatokat szemlélteti. Ezek:
- a tetején és az alján kúpok,
- a többi helyen csonkakúpok.
Ezzel a módszerrel megállapítható, hogy
A = 4·r²·π
V = (4/3)·r³·π
V = (4/3)·r³·π
Milyen kapcsolata van a gömbnek és a kockának?
A kocka belsejébe lehet írni (rajzolni) olyan gömböt, amely érinti a kocka oldallapjait. Ezt a gömböt nevezzük beleírható gömbnek és a sugarát jelöljük r-rel!
A r-t a középponton átmenő, az alapra merőleges sík által meghatározott síkmetszetből határozzuk meg.
r = a/2
A kocka köré is írható/rajzolható gömb, amely érinti a csúcsokat. Ezt a gömböt nevezzük köré írható gömbnek és a sugarát jelöljük R-rel!
A R-t a lapátlót tartlamazó, az alapra merőleges sík által meghatározott síkmetszetből határozzuk meg.
r = f/2 = a·1,7321/2 = a·0,866
A négyzetes oszlop és a téglatest nem eléggé szimmetrikus ahhoz, hogy valami hasonlót értelmezni lehessen esetükben.
Mintafeladatok 1.
1. Egy gömb sugara 3 cm. Mekkorák a hiányzó paraméterei?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése el kell dolgoznunk.
A = 4·r²·π
V = (4/3)·r³·π
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A = 4·3²·3,14 = cm²
V = (4/3)·3³·3,14 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy gömb felszíne 150cm².
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
A = 150cm²
r = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
A = 4·r²·π |/4/π
A/4/π = r² | √
r = √A/4/π
V = (4/3)·r³·π A/4/π = r² | √
r = √A/4/π
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
r = √150/4/3,14 = cm
V = (4/3)·³·3,14 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy gömb térfogata 150cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
V = 150cm³
r = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
V = (4/3)·r³·π |·(3/4)/π
(3/4)·V/π = r³ | 3√
r = 3√(3/4)·V/π
A = 4·r²·π (3/4)·V/π = r³ | 3√
r = 3√(3/4)·V/π
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
r = 3√(3/4)·150/3,14 = cm
A = 4·²·3,14 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy kocka élének hossza 5cm.
Mekkora a bele és köré írt gömb sugara?
Mekkora a két gömb felszínének aránya és a térfogatának aránya?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5cm
r = ?
A1 = ?
V1 = ?
R = ?
A2 = ?
V2 = ?
A1/A2 = ?
V1/V2 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
r = a/2
A1 = 4·r²·π
V1 = (4/3)·r³·π
R = a·0,866
A2 = 4·R²·π
V2 = (4/3)·R³·π
A1/A2 = (r/R)²
V1/V2 = (r/R)³
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
r = 5/2 = cm
A1 = 4·²·3,14 = cm²
V1 = (4/3)·³·3,14 = cm³
R = 5·0,866 = cm
A2 = 4·²·3,14 = cm²
V1 = (4/3)·³·3,14 = cm³
A1/A2 = (/)² = %
V1/V2 = (/)³ = %
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Mekkora olyan gömb írható egy kúpba, amely érinti az alaplapot és az oldalfelületet is?
`a/(m-x) = r/x` |Keresztbeszorzás
a·x = r·m -r·x |+r·x
(a + r)·x = r·m |/(a + r)
`x = (r*m)/(a+r)`
ahol `a = sqrt(r^2+m^2)`
Gömbhéj = koncentrikus (közös középpontú) gömbök
Legyen a belső gömb sugara r, a külső gömb sugara R. A felszínt összeadással, a térfogatot kivonással határozzuk meg!
A = 4·r²·π + 4·R²·π
A = 4·π·(r²+R²)
V = (4/3)·R³·π - (4/3)·r³·π
V = (4/3)·π·(R³ - r³)
Mintafeladatok 2.
5. Egy kúp sugara 3 cm. Magassága 5 cm.Mekkora sugarú gömb írható ebbe a kúpba?
Mekkora ennek a gömbnek a felszíne és a térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
m = 5cm
a = ?
x = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése el kell dolgoznunk.
a = √r² + m²
x = r·m/(a + r)
A = 4·x²·π
V = (4/3)·x³·π
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √3² + 8² = cm
x = 3·5/( + 3) = cm
A = 4·²·3,14 = cm²
V = (4/3)·³·3,14 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
6. Egy belül üres fémgolyó belső sugara 3cm, a külső sugara 5cm.
Mekkora a tömege, ha a sűrűsége 2.7 g/cm³?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
R = 3cm
ϱ = 2,7 g/cm³
V = ?
m = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
V = (4/3)·π·(R³ - r³)
m = ϱ·V
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
V = (4/3)·3,14·(5³ - 3³) = cm
m = 2,7· = g
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy gömb sugara 3 cm.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
A = cm²
V = cm³
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
A = cm²
V = cm³
2. Egy gömb felszíne 150cm².
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
r = cm
V = cm³
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
r = cm
V = cm³
3. Egy gömb térfogata 150cm³.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
r = cm
A = cm²
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
r = cm
A = cm²
4. Egy kocka élének hossza 5cm.
Mekkora a bele és köré írt gömb sugara?
Mekkora a két gömb felszínének aránya és a térfogatának aránya?
r = cm
A1 = cm
V1 = cm
R = cm
A2 = cm²
V2 = cm³
A1/A2 = %
V1/V2 = %
Mekkora a bele és köré írt gömb sugara?
Mekkora a két gömb felszínének aránya és a térfogatának aránya?
r = cm
A1 = cm
V1 = cm
R = cm
A2 = cm²
V2 = cm³
A1/A2 = %
V1/V2 = %
5. Egy kúp sugara 3 cm. Magassága 5 cm.
Mekkora sugarú gömb írható ebbe a kúpba?
Mekkora ennek a gömbnek a felszíne és a térfogata?
a = cm
x = cm
A = cm²
V = cm³
Mekkora sugarú gömb írható ebbe a kúpba?
Mekkora ennek a gömbnek a felszíne és a térfogata?
a = cm
x = cm
A = cm²
V = cm³
6. Egy belül üres fémgolyó belső sugara 3cm, a külső sugara 5cm.
Mekkora a tömege, ha a sűrűsége 2.7 g/cm³?
V = cm³
m = g
Mekkora a tömege, ha a sűrűsége 2.7 g/cm³?
V = cm³
m = g
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| 6. | ||||
| Összesen. |
