Csonkatestekkel kapcsolatos feladatok
Milyen képletek jellemzik a csonkagúlát?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! Legyen az alapélek hossza a,c, az oldalél hossza b, a magassága m.
(a·0,7071 − c·0,7071)² +m² = b²
(a/2 − c/2)² +m² = mo²
(a/2 − c/2)² +m2o² = b²
A = a² +c² +2·(a + c)·mo
V = (a² + a·c + c²)·m/3
α = az oldalélnek az alaplappal alkotott szöge.
sin α = m/b
cos α = (a·0,7071 − c·0,7071)/b
tg α = m/(a·0,7071 − c·0,7071)
β = Az oldallapnak az alaplappal alkotott szöge.
sin β = m/mo
cos β = (a/2 − c/2)/mo
tg β = m/(a/2 − c/2)
γ = Az oldalélnek az alapéllel alkotott szöge.
sin γ = mo/b
cos γ = (a/2 − c/2)/b
tg γ = mo/(a/2 − c/2)
(a/2 − c/2)² +m² = mo²
(a/2 − c/2)² +m2o² = b²
A = a² +c² +2·(a + c)·mo
V = (a² + a·c + c²)·m/3
α = az oldalélnek az alaplappal alkotott szöge.
sin α = m/b
cos α = (a·0,7071 − c·0,7071)/b
tg α = m/(a·0,7071 − c·0,7071)
β = Az oldallapnak az alaplappal alkotott szöge.
sin β = m/mo
cos β = (a/2 − c/2)/mo
tg β = m/(a/2 − c/2)
γ = Az oldalélnek az alapéllel alkotott szöge.
sin γ = mo/b
cos γ = (a/2 − c/2)/b
tg γ = mo/(a/2 − c/2)
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
2 paramétercsoport van: (a,c,m,mo,b,αβγ)(A,V). Vagyishogy lényegében 5 paraméter az, ami lényegi: a,c,m|mo,A,V.
Ezek közül 3 ismert, a többit ki kell számolni.
Soroljuk fel a fontosabb, egyszerűbb eseteket:
1. Adott a,c,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott a,c,A
3. Adott a,c,V
4. Adott c,m,V → másodfokú egyenlet!
5. Adott c,mo,A
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.
Milyen képletek jellemzik a csonkakúpot?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! Legyen az alapél hossza R, a fedőlap sugara r, a magassága m.
(R - r)² +m² = a²
A = R²π + r²π + (R + r)·π·a
V = m·π·(r² + r·R + R²)/3
α = az oldallapnak az alaplappal alkotott szöge.
sin α = m/a
cos α = (R − r)/a
tg α = m/(R - r)
A = R²π + r²π + (R + r)·π·a
V = m·π·(r² + r·R + R²)/3
α = az oldallapnak az alaplappal alkotott szöge.
sin α = m/a
cos α = (R − r)/a
tg α = m/(R - r)
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
2 paramétercsoport van: (R,r,m,a,α)(A,V). Vagyishogy lényegében 5 paraméter az, ami lényegi: R,r,m,A,V.
Ezek közül 3 ismert, a többit ki kell számolni.
Soroljuk fel a fontosabb, egyszerűbb eseteket:
1. Adott R,r,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott R,r,A
3. Adott R,r,V
4. Adott R,a,A → másodfokú egyenlet!
5. Adott R,m,V → másodfokú egyenlet!
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.
Mintafeladatok
1. Egy csonkakúp alaplajának sugara 5 cm, fedőlapjának a sugara 3 cm.
A magassága 8cm. Mekkorák a hiányzó paraméterei?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
R = 5cm
r = 3cm
m = 8cm
a = ?
α = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése el kell dolgoznunk.
a = √(R-r)² + m²
α = tan-1 m/(R-r)
A = R²π + r²π + (R + r)·π·a
V = m·π·(r² + r·R + R²)/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a = √(5-3)² + 8² = 8.25cm
α = tan-1 (5-3)/8 = 75.96°
A = 5²·3,14 + 3²·3,14 + (5 + 3)·3,14·8.25 = 314.06cm²
V = V = 8·3,14·(3² + 3·5 + 5²)/3 = 410.50cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy csonkagúla alaplapjának oldaléle 5cm, fedőlapjának oldaléle 3cm. A magassága 8cm.
Mekkorák a hiányzó paraméterei?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5cm
c = 3cm
m = 8cm
b = ?
mo = ?
α = ?
β = ?
γ = ?
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
b = √(a·0,7071 − c·0,7071)² +m²
mo = √(a/2 − c/2)² +m²
tg α = m/(a·0,7071 − c·0,7071)
tg β = m/(a/2 − c/2)
tg γ = mo/(a/2 − c/2)
A = a² +c² +2·(a + c)·mo
V = (a² + a·c + c²)·m/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
b = √(5·0,7071 − 3·0,7071)² +8² = 8.12cm
mo = √(5/2 − 3/2)² +8² = 8.06cm
α = tan-1 8/(5·0,7071 − 3·0,7071) = 82.87°
β = tan-1 8/(5/2 − 3/2) = 82.87°
γ = tan-1 8.06/(5/2 − 3/2) = 82.93°
A = 5² +3² +2·(5 + 3)·8.06 = 163.00cm²
V = (5² + 5·3 + 3²)·8/3 = 130.67cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Nézzünk meg még egy érdekes esetet!
Ha egy csonkakúpot kettévágunk az alaplap síkjával párhuzamosan a magasság x-ed részénél,mekkora lesz a két keletkező test felszínének és térfogatának aránya?
Eredeti test:
paraméterek: R, r, m.
x = m2/m → m2 = x·m
x = rx/(R - r) → rx = x·(R - r)
x = a2/a → a2 = x·a
Felső rész:
r2 = r
R2 = r + rx = r + (R -r)·x
m2 = x·m
a2 = x·a
A2 = R2²π + r2²π + (R2 + r2)·π·a2
V2 = m2·π·(r2² + r2·R2 + R2²)/3
Alsó rész:
r1 = r + rx = r + (R - r)·x
R1 = R
m1 = m - m2 = m - x·m
a1 = a - a2 = a - x·a
A1 = R1²π + r1²π + (R1 + r1)·π·a1
V1 = m1·π·(r1² + r1·R1 + R1²)/3
Konkrét feladat:
Egy csonkakúp alaplapjának a sugara 5cm, a fedőlapjának a sugara 3cm. A testmagasság nagysága 8 cm³.
A kúpot felülről mérve az 1/3-ánál elmetszük.
Mekkora keletkezett testek felszínének az aránya és a térfogatának az aránya?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
R = 5 cm
r = 3 cm
m = 8 cm
x = 1/3
m2 = ?, R2 = ?, r2 = ?, a = ?, a2 = ?, A2 = ?, V2 = ?
m1 = ?, R1 = ?, r1 = ?, a1 = ?, A1 = ?, V1 = ?
A1/A2 = ? , V1/V2 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
r2 = r
R2 = r + (R -r)·x
m2 = x·m
a = √(R -r)² + m²
a2 = x·a
A2 = R2²π + r2²π + (R2 + r2)·π·a2
V2 = m2·π·(r2² + r2·R2 + R2²)/3
r1 = r + (R -r)·x
R1 = R
m1 = m - x·m
a1 = a - x·a
A1 = R1²π + r1²π + (R1 + r1)·π·a1
V1 = m1·π·(r1² + r1·R1 + R1²)/3
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
r2 = 3.00cm
R2 = 3 + (5 -3)·1/3 = 3.67cm
m2 = 1/3·8 = 2.67cm
a = √(5 -3)² + 8² = 8.25cm
a2 = 1/3·8.25 = 2.75cm
A2 = 3.67²·3,14 + 3.00²·3,14 + (3.67 + 3.00)·3,14·2.75 = 128.08cm²
V2 = 2.67·3,14·(3.00² + 3.00·3.67 + 3.67²)/3 = 93.39cm³
r1 = 3 + (5 -3)·1/3 = 3.67cm
R1 = 5.00cm
m1 = 8 - 1/3·8 = 5.33cm
a1 = 8.25 - 1/3·8.25 = 5.50cm
A1 = 5.00²3,14 + 3.67²·3,14 + (5.00 + 3.67)·3,14·5.50 = 270.46cm
V1 = 5.33·3,14·(3.67² + 3.67·5.00 + 5.00²)/3 = 317.11cm
A1/A2 = 47.36%
V1/V2 = 29.45%
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy csonkakúp alaplajának sugara 6 cm, fedőlapjának a sugara 2 cm.
A magassága 10cm.
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
α = °
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
α = °
A = cm²
V = cm³
2. Egy csonkagúla alaplapjának oldaléle 9cm, fedőlapjának oldaléle 2cm.
A magassága 13cm².
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
mo = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm³
V = cm³
Határozzuk meg a kúp többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
b = cm
mo = cm
α = °
β = °
γ = °
A = cm³
V = cm³
3. Egy csonkakúp alaplapjának a sugara 9cm, a fedőlapjának a sugara 4cm.
A testmagasság nagysága 10 cm³.
A kúpot felülről mérve az 1/3-ánál elmetszük.
Mekkora keletkezett testek felszínének az aránya és a térfogatának az aránya?
r2 = cm
R2 = cm
m2 = cm
a = cm
a2 = cm
A2 = cm²
V2 = cm³
r1 = cm
R1 = cm
m1 = cm
a1 = cm
A1 = cm²
V1 = cm³
A1/A2 = %
V1/V2 = %
A kúpot felülről mérve az 1/3-ánál elmetszük.
Mekkora keletkezett testek felszínének az aránya és a térfogatának az aránya?
r2 = cm
R2 = cm
m2 = cm
a = cm
a2 = cm
A2 = cm²
V2 = cm³
r1 = cm
R1 = cm
m1 = cm
a1 = cm
A1 = cm²
V1 = cm³
A1/A2 = %
V1/V2 = %
4. Egy csonkakúp alaplapjának a sugara 7cm, a fedőlapjának a sugara 5cm.
A testmagasság nagysága 11 cm³.
A kúpot felülről mérve az 5/8-ánál elmetszük.
Mekkora keletkezett testek felszínének az aránya és a térfogatának az aránya?
r2 = cm
R2 = cm
m2 = cm
a = cm
a2 = cm
A2 = cm²
V2 = cm³
r1 = cm
R1 = cm
m1 = cm
a1 = cm
A1 = cm²
V1 = cm³
A1/A2 = %
V1/V2 = %
A kúpot felülről mérve az 5/8-ánál elmetszük.
Mekkora keletkezett testek felszínének az aránya és a térfogatának az aránya?
r2 = cm
R2 = cm
m2 = cm
a = cm
a2 = cm
A2 = cm²
V2 = cm³
r1 = cm
R1 = cm
m1 = cm
a1 = cm
A1 = cm²
V1 = cm³
A1/A2 = %
V1/V2 = %
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| Összesen. |
