Csonkagúla és csonkakúp
Hogyan csonkoljunk?
Ha egy gúlának, vagy egy kúpnak egy sík segítségével levágjuk a tetejét, akkor csonkagúlát, vagy csonkakúpot kapunk. A csonkolás általába úgy történik, hogy a csonkoló sík párhuzamos az alaplap síkjával. (Párhuzamos csonkolás)
Ha a két sík nem párhuzamos egymással, akkor ferde csonkolásról beszélünk.
Melyek a csonkakúp jellemzői?
Vegyünk egy síkmetszetet: 
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
(R -r)² +m² = a²
Vizsgáljuk meg a palást hálóját: 
Különböztessük meg a magasságokat is:
Jellemzők:
Alaplap:
R = az alaplap (nagy kör) sugara
T = az alaplap területe
Fedőlap:
r = a fedőlap (kis kör) sugara
t = a fedőlap területe
Oldallap:
x = kiegészítő (kis) kúp alkotójának a hossza
x + a = eredeti teljes (nagy) kúp alkotójának a hossza
a = csonkakúp (maradék test) alkotójának a hossza
Magasság:
m1 = az eredeti kúp magassága
m2 = a kiegészítő kúp magassága
m = m1 - m2 = a maradék csonkakúp magassága
Felszín:
A = T + t + P
T = R²·π
t = r²·π
P = P1 -P2 = R·π·(x + a) -r·π·x = π·(R·a + R·x -r·x)
Hasonlóság miatt:
`x/(x +a) = r/R → x = a·r/(R -r)`
Helyettesítsünk be:
`P = pi*(R*a + R*a*r/(R -r) -r* a*r/(R -r)) = `
` = pi*(R*a*(R -r) + R*a*r -r* a*r)/(R -r) = `
` = pi*(R^2*a -R*a*r + R*a*r -r^2* a)/(R -r) = `
` = pi*(R²*a -r²* a)/(R -r) = `
= π·a·(R +r)
(A csonkakúp palástját tehát úgy számolhatjuk ki,
mintha az egy téglalap lenne, melynek oldalai a és a kerületek átlaga!)
A csonkakúp felszíne:
A = R²π + r²π + (R +r)·π·a
Számoljuk ki a térfogatot kivonás segítségével! `V = V_1 -V_2`
`V_1 = T*m_1/3 = T·(m + m_2)/3`
`V2 = t·m_2/3`
`V = T·(m + m_2)/3 -(t·m_2)/3` Milyen kapcsolat van m és m2 között?
Hasonló alakzatok területére vonatkozó összefüggés szerint:
`T/t = (m +m_2)^2/m_2^2 |sqrt()`
`sqrt(T)/sqrt(t) = 1 + m/m_2 → m_2 = m·sqrt(t)/(sqrt(T) - sqrt(t))`
Visszahelyettesítve:
`V = (1/3)·(T·m + (T -t)·m2) =`
`= (1/3)*(T*m + (T -t)*m*sqrt(t)/(sqrt(T) - sqrt(t))) =`
`= (1/3)*m*(T*(sqrt(T) - sqrt(t)) + color(red)((T -t))*sqrt(t))/(sqrt(T) - sqrt(t)) = `
`= (1/3)*m*(T*(sqrt(T) - sqrt(t)) + color(red)((sqrt(T) -sqrt(t))*(sqrt(T) +sqrt(t)))*sqrt(t))/(sqrt(T) - sqrt(t)) = `
`= (1/3)*m*(T + color(red)((sqrt(T) +sqrt(t)))*sqrt(t)) = `
`= (1/3)*m*(T + sqrt(t)*sqrt(T) +t) `
`V = (m*(t + sqrt(t)*sqrt(T) +T))/3 (ál talános képl et)`
Csonkakúp esetén:
`V = (m*pi*(r^2 + r*R +R^2))/3`
Milyen paraméterekkel jellemezhető a csonkagúla?
a = az alaplap oldalélének a hossza
c = a fedőlap oldalélének a hossza
b = az oldalél hossza
m = testmagasság
mo = oldallap magassága
Képletek:
1. `color(red)(((a*1.4142)/2 - (c*1.4142)/2)^2 + m^2 = b^2)`
2. `color(blue)((a/2 - c/2)^2 + m^2 = m_o^2)`
3. `color(green)((a/2 - c/2)^2 + m_o^2 = b^2)`
`T=a^2`
`t=c^2`
`P=4*T_(tr)`
`T_(tr)=((a + c)*m_o)/2`
`A = T + t + P`
`A = a^2 + c^2 + 4*((a + c)*m_o)/2`
4. `color(red)(A = a^2 + c^2 + 2*(a + c)*m_o)`
`V=((t+sqrt(t*T)+T)*m)/3`
5. `color(red)(V = ((a^2 + a*c + c^2)*m)/3)`
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Mi a különbség a párhuzamos csonkolás és a ferde csonkolás között? 2. Miért nehéz feladat a ferdén csonkolt testek felszínének és térfogatának meghatározása?
3. Mik a kiegészítő kúp és kiegészítő gúla? Miért van rájuk szükség?
4. Milyen alakzat a csonka kúp szimmetriatengelyre illeszkedő síkmetszete?
5. Hogyan számoljuk ki a csonkagúla felszínét?
6. Hogyan számoljuk ki a csonka alakzatok térfogatát általában?
7. Mi a csonkakúp térfogatképlete?
8. Hányféle síkmetszettel dolgozhatunk csonkagúla esetén?
9. Mi a csonkagúla felszínképlete?
10. Mi a csonkagúla térfogatképlete?
