Processing math: 12%

2022. augusztus 1., hétfő

20. Csonkagúla, csonkakúp

Csonkagúla és csonkakúp

Csonkagúla és csonkakúp

Hogyan csonkoljunk?
Ha egy gúlának, vagy egy kúpnak egy sík segítségével levágjuk a tetejét, akkor csonkagúlát, vagy csonkakúpot kapunk.
A csonkolás általába úgy történik, hogy a csonkoló sík párhuzamos az alaplap síkjával. (Párhuzamos csonkolás)
Ha a két sík nem párhuzamos egymással, akkor ferde csonkolásról beszélünk.
összehasonlítás
Melyek a csonkakúp jellemzői?
Vegyünk egy síkmetszetet:
sikmetszet
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt!
 (R -r)² +m² = a²
Vizsgáljuk meg a palást hálóját:
palást
Különböztessük meg a magasságokat is:
magasság
Jellemzők:
Alaplap:
 R = az alaplap (nagy kör) sugara
 T = az alaplap területe
Fedőlap:
 r = a fedőlap (kis kör) sugara
 t = a fedőlap területe
Oldallap:
 x = kiegészítő (kis) kúp alkotójának a hossza
 x + a = eredeti teljes (nagy) kúp alkotójának a hossza
 a = csonkakúp (maradék test) alkotójának a hossza
Magasság:
 m1 = az eredeti kúp magassága
 m2 = a kiegészítő kúp magassága
 m = m1 - m2 = a maradék csonkakúp magassága
Felszín:
 A = T + t + P
 T = R²·π
 t = r²·π
 P = P1 -P2 = R·π·(x + a) -r·π·x = π·(R·a + R·x -r·x)
Hasonlóság miatt:
xx+a=rRx=a·rR-r
Helyettesítsünk be:
P=π(Ra+RarR-r-rarR-r)=
=πRa(R-r)+Rar-rarR-r=
=πR2a-Rar+Rar-r2aR-r=
=πR²
  = π·a·(R +r)

(A csonkakúp palástját tehát úgy számolhatjuk ki,
mintha az egy téglalap lenne, melynek oldalai a és a kerületek átlaga!)

A csonkakúp felszíne:
 A = R²π + r²π + (R +r)·π·a
Számoljuk ki a térfogatot kivonás segítségével!
V = V_1 -V_2
V_1 = T*m_1/3 = T·(m + m_2)/3
V2 = t·m_2/3
V = T·(m + m_2)/3 -(t·m_2)/3 Milyen kapcsolat van m és m2 között?
Hasonló alakzatok területére vonatkozó összefüggés szerint:
T/t = (m +m_2)^2/m_2^2 |sqrt()
sqrt(T)/sqrt(t) = 1 + m/m_2 → m_2 = m·sqrt(t)/(sqrt(T) - sqrt(t))
Visszahelyettesítve:
V = (1/3)·(T·m + (T -t)·m2) =
= (1/3)*(T*m + (T -t)*m*sqrt(t)/(sqrt(T) - sqrt(t))) =
= (1/3)*m*(T*(sqrt(T) - sqrt(t)) + color(red)((T -t))*sqrt(t))/(sqrt(T) - sqrt(t)) =
= (1/3)*m*(T*(sqrt(T) - sqrt(t)) + color(red)((sqrt(T) -sqrt(t))*(sqrt(T) +sqrt(t)))*sqrt(t))/(sqrt(T) - sqrt(t)) =
= (1/3)*m*(T + color(red)((sqrt(T) +sqrt(t)))*sqrt(t)) =
= (1/3)*m*(T + sqrt(t)*sqrt(T) +t)
V = (m*(t + sqrt(t)*sqrt(T) +T))/3 (ál talános képl et)
Csonkakúp esetén:
V = (m*pi*(r^2 + r*R +R^2))/3
Milyen paraméterekkel jellemezhető a csonkagúla?
Jellemzők:
a = az alaplap oldalélének a hossza
c = a fedőlap oldalélének a hossza
b = az oldalél hossza
m = testmagasság
mo = oldallap magassága

Képletek:
1. color(red)(((a*1.4142)/2 - (c*1.4142)/2)^2 + m^2 = b^2)
2. color(blue)((a/2 - c/2)^2 + m^2 = m_o^2)
3. color(green)((a/2 - c/2)^2 + m_o^2 = b^2)

T=a^2
t=c^2
P=4*T_(tr)
T_(tr)=((a + c)*m_o)/2
A = T + t + P
A = a^2 + c^2 + 4*((a + c)*m_o)/2
4. color(red)(A = a^2 + c^2 + 2*(a + c)*m_o)
V=((t+sqrt(t*T)+T)*m)/3
5. color(red)(V = ((a^2 + a*c + c^2)*m)/3)
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Mi a különbség a párhuzamos csonkolás és a ferde csonkolás között?
2. Miért nehéz feladat a ferdén csonkolt testek felszínének és térfogatának meghatározása?
3. Mik a kiegészítő kúp és kiegészítő gúla? Miért van rájuk szükség?
4. Milyen alakzat a csonka kúp szimmetriatengelyre illeszkedő síkmetszete?
5. Hogyan számoljuk ki a csonkagúla felszínét?
6. Hogyan számoljuk ki a csonka alakzatok térfogatát általában?
7. Mi a csonkakúp térfogatképlete?
8. Hányféle síkmetszettel dolgozhatunk csonkagúla esetén?
9. Mi a csonkagúla felszínképlete?
10. Mi a csonkagúla térfogatképlete?