Kamatos kamatszámítás

1. Kamatos kamatszámítás

Elmélet:

Jelölések:
KÉ = kezdőérték
ZÉ = záróérték
% = kamatláb %-ban megadva
 r = ráta, kamatláb tizedes törtben megadva
n = időszakok száma

Képletek: `ZÉ = KÉ·(1 + %/100)^n`
`ZÉ = KÉ·(1 + r)^n`

Kamatos kamatszámítás alapfeladatok:
1.
Beteszünk a bankba 150EFt-ot 3 évre 2,5%-os kamatos kamatra.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

  1.B. Beteszünk a bankba 200EFt-ot 3évre, kamatlábak az egyes években: 2,5%, 2%, 1,5%.
  Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
  1.C. Beteszünk a bankba 200EFt-ot 2 évre, éves kamatláb 8%. Kamatfizetés negyedévente történik.
  Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

2.
Mennyi pénzt tegyünk a bankba, hogy 4 év múlva, 4%-os évi kamatos kamatozás mellett 250EFT-unk legyen?

3.
Hány százalékos kamatos kamatláb mellett gyarapszik 5 év alatt a 200EFt-unk 400EFT-ra?

4.
Hány év alatt lesz a 150EFt-unkból 300EFt-unk évi 5%-os kamatos kamatozás mellett?

---

2. Gyüjtőjáradék

Mértani sorozat, ahol
A = annuitás, azonos összegű befektetés
a_1 = A*(1 + r)
q = 1 + r
`S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`
`color(blue)(ZÉ = A*(1+r)*((1+ r)^n - 1)/(1 + r -1))`

Feladat:
1. 3 éven keresztül minden év elején beteszünk a bankba 500EFt-ot, évi 6%-os kamatos kamatra.
Kamatfizetés év végén történik. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
Táblázat:

Ssz.	Tőke az időszak elején	Kamat	Tőke az időszak végén
1.
2.
3.

3. Törlesztőjáradék

Mértani sorozat, ahol
ZÉ = S_n
a_1 = A
q = 1 + r
`color(red)(A*((1+ r)^n - 1)/(1 + r -1) = KÉ*(1 + r)^n)`

Feladat:
Felveszünk 3 millió forint hitelt 1 éves lejáratra, 12%-os éves kamatos kamatra.
A törlesztés harmadévente, az időszak végén, azonos összegű törlesztőrészletekben történik.
Mekkora a törlesztőrészlet értéke?

Megoldás táblázat nélkül:
KÉ = 3000 000Ft
% = 10/3 = 4% -> r = 0,04
n = 3
`A*(1,04^3 -1)/(0,04) = 3 000 000*1,04^3`
A = 1 081 046Ft

Ellenőrzés táblázat:
Adósságszolgálat = törlesztés + Kamat

Ssz.	Hitel az időszak elején	Törlesztés	Kamat	Adósságszolgálat
1.	3 000 000	1 081 046 - 120 000 = 961 046	3 000 000*0,04 = 120 000	1 081 046
2.	30000000 - 961046 = 2038954	1081046-81558 = 999488	2038954*0.04 81558	1 081 046
3.	2038954-999488 = 1039466	1081046-41579 = 1039467	1039466*0.04 = 41579	1 081 046

Egyéb megoldás:

Házi feladatok

A. Kamatos kamat:
1. Beteszünk a bankba 250EFtot 4 évre 7,5%-os kamatos kamatra. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

2. Mennyi pénz tegyünk a bankba, hogy 5 év múlva 5%-os kamatos kamat mellett 350EFt-unk legyen?

3. Hány százalékos kamatos kamat mellett lesz 6 év alatt 300EFt-ból 650EFt?

4. Hány év alatt lesz a 250EFt-ból 450EFt, évi 8%-os kamatos kamatozás mellett?

B. Gyűjtőjáradék, törlesztőjáradék:
1. Negyedévente beteszünk a bankba az időszak elején 180EFtot, 6 éves lejáratra, évi 16%-os kamatos kamatra. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

2. Harmadévente beteszünk a bankba az időszak elején 210EFt-ot, 7 éves lejáratra, évi 8%-os kamatos kamtra. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

3. 5 éves lejáratra 5millió Ft hitelt veszünk fel, törlesztés félévente azonos összegekben történik. Éves kamatláb 15%. Mekkora a törlesztőrészlet?

4. 3 éves lejáratra 3millió Ft hitelt veszünk fel, törlesztés havonta azonos összegekben történik. Éves kamatláb 18%. Mekkora a törlesztőrészlet?

Mértani sorozatok

A mértani sorozat fogalma:

A sorozat mindig ugyanannyiszorosára nő, vagy ugyanannyiad részére csökken (exponenciálisan nő/csökken)
pl. 1; 2; 4; 8; esetén.

Jellemzők:

q = hányados = a növekedés mértéke
a_n = általános tag
S_n = első n-tag összege:

Képletek:

`a_n = a_1·q^(n-1)`
`S_n = a_1·(q^n - 1)/(q - 1)`

Mintafeladatok:

1. Ha az első tag és a hányados is pozitív:
a1 = 2, q = 3,
A sorozat: 2; 6; 18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = 2*3^4 = 162`
S_5 = ?
 `S_5 = 2*(3^5-1)/(3-1)=242`

2. Ha az első tag negatív a hányados viszont pozitív:
a1 = -2, q = 3,
A sorozat: -2; -6; -18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = -2*3^4 = -162`
S_5 = ?
 `S_5 = -2*(3^5-1)/(3-1)=-242`

3. Ha az első tag pozitív, a hányados viszont negatív:
a1 = 2, q = -3
A sorozat: 2; -6; 18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = 2*(-3)^4 = 162`
S_5 = ?
 `S_5 = 2*((-3)^5-1)/(-3-1)=122`

4. Ha az első tag és a hányados is negatív:
a_1 = -2, q = -3
A sorozat: -2; 6; -18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = -2*(-3)^4 = -162`
S_5 = ?
 `S_5 = -2*((-3)^5-1)/(-3-1)=-122`

Házi feladatok

Mértani sorozatok esetén:
1.
a_1 = 3
q = 2,5
 a_7 = ?
 S_7 = ?

2.
a_1 = -2
q = 1,5
 a_8 = ?
 S_8 = ?

3.
a_1 = 5
q = -7,5
 a_9 = ?
 S_9 = ?

4.
a_1 = -9
q = -4,5
 a_10 = ?
 S_10 = ?

Számtani sorozatok

A számtani sorozat meghatározása:

mindig ugyanannyival nő, vagy csökken (egyenletesen nő/csökken)

Jellemzők:
d = különbség
an = általános tag
Sn = első n-tag összege:

Képletek:

`an = a1 + (n - 1)·d`
`Sn = n·(a1 + an)/2`
`Sn = (2·a1 + (n-1)·d)·n/2`

Órai Feladatok:

1. a_3 = 10, a_5 = 6
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

2. a_4 = 15, a_7 = 6
d = ?, a1 =?, a8= ?, S8 = ?

3. a_2 = 11, a_6 = -9
d = ?, a1 =?, a7 = ?, S7 = ?

4. a_5 = 12, a_7 = 9
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

5. a_6 = 14, a_9 = 9
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

Házi Feladatok:

1. a_4 = 8, a_6 = 4
d = ?, a1 =?, a9 = ?, S9 = ?

2. a_5 = 10, a_8 = 1
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

3. a_3 = 22, a_7 = 2
d = ?, a1 =?, a8 = ?, S8 = ?

4. a_2 = 7, a_4 = 4
d = ?, a1 =?, a6 = ?, S6 = ?

5. a_6 = 8, a_9 = 3
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

Számsorozatok

Elmélet

1. Sorozatok fogalma:

Egyértelmű folytathatóság
A függvények leszűkítése a pozitív egészek, vagy a természetes számok halmazára

2. Sorozatok fajtái

Számtani sorozatok
Mértani sorozatok
Fibonacci-sorozat

3. Jelölések:

a,b, ... sorozatok jele
1,2,3 ... = index, sorszám
a_1 = az a sorozat 1. tagja
a_n = az a sorozat (tetszőleges sorszámú, általános) n. tagja

4. Sorozatok megadása:

1. szöveges körülírással: pl. a √2 tizedes jegyei
2. függvényszerű képlettel
3. rekurzív definícióval:
Ebben az esetben 2 dolgot kell megadni:
- kezdőértékeket,
- előző értékekre hivatkozó képletet.

5. A képzési szabályok:

direkt szabály: a_n és n között teremt kapcsolatot
pl. a_n = 3*n - 2

rekurzív: a_n és a_(n-1), a_(n-2) között teremt kapcsolatot
Fibonacci-sorozat: a_1 = 1, a_2 = 1 és a_n = a_(n-1) + a_(n-2)

Feladatok

1. Határozza meg a következő sorozat első 5 tagját:
a_n = 5·n + 3

2. Határozza meg a következő sorozat képzési szabályát:
1; 3; 5; 7; ...

Térgeometria témazáró (teszt)

Azonosító:

Témazáró térgeometria (gyakorlás)

A. Behelyettesítéses, szöveges feladatok:

A1 Egyszerű feladatok:

1. Egy kocka élhossza 5cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

2. Egy négyzetes oszlop alaplapjának hossza 5cm, magassága 8cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

3. Egy téglatest oldalainak hossza 4cm, 5cm, 6cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

4. Egy szabályos háromszög alapú hasáb alapélének hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

5. Egy gömb sugara 5cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

6. Egy henger sugarának hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

---

A2. Összetettebb feladatok:
1. Egy szabályos hatszög alapú hasáb alapélének hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

2. Egy szabályos nyolcszög alapú hasáb alapélének hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

3. Egy négyzet alapú gúla alapélének hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

4. Egy kúp sugarának hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

5. Egy négyzet alapú csonkagúla alapélének hossza 6cm, fedőlapélének hossza 4cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

6. Egy csonkakúp alaplapjának sugara 6cm, fedőlapjának sugara 4cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

---

B. Sűrűséges, áras feladatok
1. Egy henger alakú test sugara 12cm, hossza 1,2m. Sűrűsége 8,9kg/dm^3.
Mekkora a tömege?

2. Egy vízzel telt téglatest alakú tartály oldalainak hossza: 120cm, 150cm, 200cm. Egységár: 2,5 Ft/m^3.
Mennyibe kerül a tartály feltöltése?

---

C. Szögek meghatározása
1. Egy téglatest oldalai 10cm, 12cm, 15cm. Mekkora szöget zárnak be a testátlói?

2. Egy kúp alaplapjának sugara 5cm. Magassága 8cm. Mekkora a kúp nyílásszöge?

3. Egy gúla alapélének hossza 10cm, magassága 8cm. Mekkora
a) az oldalélnek az alapéllel alkotott szöge?
b) az oldalélnek az alaplappal alkotott szöge?
c) Az oldallapnak és az alaplapnak a szöge?

4. Egy csonkakúp alaplapjának sugara 12cm, fedőlapjának sugara 8cm, magassága 7cm.
Mekkora az alaplapnak az alkotóval alkotott szöge?

---

D. Képletrendezéses feladatok
D1. Egyszerű képletrendezések
1. Egy kocka testátlójának hossza 11cm. Mekkora az alapélének a hossza?

2. Egy kocka felszíne 120cm^2. Mekkora az alapélének hossza?

3. Egy kocka térfogata 150cm^3. Mekkora az alapélének a hossza?

4. Egy henger sugara 10cm, felszíne 120cm^2. Mekkora a magassága?

5. Egy henger magassága 5cm, térfogata 150cm^3. Mekkora a sugara?

6. Egy gömb felszíne 250cm^2. Mekkora a sugara?

7. Egy gömb térfogata 250cm^3. Mekkora a sugara?

---

D2. Összetett képletrendezéses (másodfokú egyenlettel megoldható) feladatok
1. Egy henger magassága 5cm, a felszíne 150cm^2. Mekkora a sugara?

2. Egy kúp alkotájának a nagysága 6 cm. A felszíne 85 cm². Mekkora a sugara?

---

E. Összetett testek felszínének és térfogatának meghatározása
1. Egy test két részből áll: egy hengerből és egy hozzá illeszkedő kúpból.
A henger sugara 5cm, magassága 11cm, a kúp magassága 7cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

2. Egy test két részből áll: egy négyzetes oszlopból és egy hozzá illeszkedő négyzet alapú gúlából.
A négyzetes oszlop alapélének a hossza 5cm, magassága 12cm, a gúla magassága 10cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

Összetett testek

1. Kiskockákból álló testek.
Egy kiskocka mellé teszünk két kiskockát, majd mellé három kiskockát.
Egy kocka oldaléle 3cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

2. Kétösszetevős feladatok
1. Egy test két részből áll: egy hengerből és egy hozzá illeszkedő kúpból.
A henger sugara 5cm, magassága 11cm, a kúp magassága 7cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

Egy test két részből áll: egy négyzetes oszlopból és egy hozzá illeszkedő négyzet alapú gúlából.
A négyzetes oszlop alapélének a hossza 5cm, magassága 12cm, a gúla magassága 10cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

3. Többösszetevős feladatok
1. Kapszula:
Két záró félgömb sugara 2,5mm, hozzá kapcsolódó henger hossza 8mm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

2. Cölöp:
Csonkakúp: r = 1,5cm, R = 2cm, m_csk = 1cm.
Henger: m_h = 5cm.
Kúp: m_k = 3cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

3. Csavar:
Csonkakúp: R = 5,5cm, r = 4cm, m_csk = 3cm.
Henger: m_h = 15cm.
Kúp: m_k = 5cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?