5. Négyzetes oszlop

Négyzetes oszlop

Milyen képletek jellemzik a négyzetes oszlopot?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Legye az alapél hossza a, magassága m.
 f = √2·a² + m²
 A = 2·a² +4·a·m
 V = a²·m

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen esetek lehetségesek?

5 paraméter van: a,m,f,A,V.
Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 5·4/2 = 10

Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
 1. Adott a,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
 2. Adott a,f
 3. Adott a,A
 4. Adott a,V

 5. Adott m,f
 6. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
 7. Adott m,V

 8. Adott f,A → teljes negyedfokú egyenlet!!! (legbonyolultabb eset)
 9. Adott f,V → másodfokúra visszavezethető egyenlet!

 10. Adott A,V → hiányos harmadfokú egyenlet!! (bonyolult eset)

Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.

Jelen esetben látható, hogy érdemileg 7 esettel érdemes foglalkoznunk.
A másik két esetet is meg lehet közelítőleg oldani függvényvizsgálat segítségével.

Mintafeladatok

1. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 3 cm.
A magassága 5cm.
Mekkora a testátlójának a hossza?
Mekkora a felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 m = 5cm
  f = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 f = √2·a² + m²
 A = 2·a² +4·a·m
 V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 f = √2·3² + 5² = cm
 A = 2·3² +4·3·5 = cm²
 V = 3²·5 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

2. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 3 cm.
A tetátló hossza 15cm.
Mekkora magasságának a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 f = 15cm
  m = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.

Az f képletéből indulunk ki!
f = √2·a² + m² |()²
f² = 2·a² + m² | - 2·a²
f² - 2·a² = m² |√

 m = √f² - 2·a²
 A = 2·a² +4·a·m
 V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 m = √15² - 2·3² = cm
 A = 2·3² +4·3· = cm²
 V = 3²· = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

3. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 3 cm.
A felszíne 150cm².
Mekkora a négyzetes oszlop magassága, testátlója és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
 A = 150cm²
  m = ?
  f = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.

Az A képletéből indulunk ki!
A = 2·a² + 4·a·m | - 2·a²
A - 2·a² = 4·a·m |/4
A/4 - a²/2 = a·m |/a

 m = A/4/a - a/2
 f = √2·a² + m²
 V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 m = 150/4/3 - 3/2 = cm
 f = √2·3² + ² = cm
 V = 3²· = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

4. Egy négyzetes oszlop alapélének nagysága 3 cm.
A térfogatának a nagysága 187 cm³.
Mekkora a magasságának és a testátlójának a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop felszíne?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3 cm
 V = 187 cm³
  m = ?
  f = ?
  A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 m = V/a²
 f = √2·a² + m²
 A = 2·a² + 4·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 m = 187/3² = cm
 f = √2·3² + ² = cm
 A = 2·3² + 4·3· = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

5. Egy négyzetes oszlop magasságának a nagysága 25 cm. A testátlója 35 cm.
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 m = 25 cm
 f = 35 cm
  a = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = √(f² - m²)/2
 A = 2·a² + 4·a·m
 V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = √(35² - 25²)/2 = cm
 A = 2·² + 4··25 = cm
 V = ²·25 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

6. Egy négyzetes oszlop magasságának a nagysága 26 cm. A felszíne 360 cm².
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop testátlója és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 m = 26 cm
 A = 360 cm²
  a = ?
  f = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "a" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
 Másodfokú egyenlet: a² +2·m·a - (A/2) = 0
 a = 1
 b = 2·m
 c = -A/2
 a_1,2 = (-b ± √b² - 4·a·c)/(2·a)

 f = √2·a² + m²
 V = a²·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 A másodfokú egyenlet megoldása:
 a = cm
 f = √2·² + 26² = cm
 V = ²·26 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

7. Egy négyzetes oszlop magasságának a nagysága 27 cm. A térfogata 370 cm³.
Mekkora az alapélének a hossza?
Mekkora a négyzetes oszlop testátlója és felszíne?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 m = 27 cm
 V = 370 cm³
  a = ?
  f = ?
  A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = √V/m
 f = √2·a² + m²
 A = 2·a² + 4·a·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = √370/27 = cm
 f = √2·² + 27² = cm³
 A = 2·² + 4··27 = cm
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Tesztfeladatok

1. Egy négyzetes oszlop alapélének hossza 5 cm. Magassága 15cm.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
f = cm
A = cm²
V = cm³

2. Egy négyzetes oszlop alapéle 2cm hosszú. A testátlója 12cm.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
V = cm³

3. Egy négyzetes oszlop alapéle 14cm hosszú. A felszíne 2000cm².
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
f = cm
V = cm³

4. Egy négyzetes oszlop alapélénak nagysága 12cm. A térfogata 2000cm³.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
f = cm
A = cm²

5. Egy négyzetes oszlop magasságának nagysága 12cm. A testátlója 20cm.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
A = cm²
V = cm³

6. Egy négyzetes oszlop magasságának nagysága 12cm. A felszíne 2000cm².
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
f = cm
V = cm³

7. Egy négyzetes oszlop magasságának nagysága 12cm. A térfogata 2000cm³.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
f = cm
A = cm²

 Négyzetes oszlop:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Összesen.

4. Kocka

Kocka

Milyen képletek jellemzik a kockát?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
 e = a·√2 ≈ a·1,4142
 f = a·√3 ≈ a·1,7321
 A = 6·a²
 V = a³

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Mintafeladatok

1. Egy kocka alapélének hossza 3 cm.
Mekkora a lap- és testátlójának a hossza?
Mekkora a kocka felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a = 3cm
  e = ?
  f = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 e = a·√2
 f = a·√3
 A = 6·a²
 V = a³
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 e = 3·1,4142 = cm
 f = 3·1,7321 = cm
 A = 6·3² = cm²
 V = 3³ = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!

---

2. Egy kocka lapátlójának a hossza 10 cm.
Mekkora az alapélének és a testátlójának a hossza?
Mekkora a kocka felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 e = 10cm
  a = ?
  f = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = e/√2
 f = a·√3
 A = 6·a²
 V = a³
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = 10/1,4142 = cm
 f = ·1,7321 = cm
 A = 6·² = cm²
 V = ³ = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

3. Egy kocka testátlójának a hossza 45 cm.
Mekkora az alapélének és a lapátlójának a hossza?
Mekkora a kocka felszíne és térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 f = 45cm
  a = ?
  e = ?
  A = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = f/√3
 e = a·√2
 A = 6·a²
 V = a³
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = 45/1,7321 = cm
 e = ·1,4142 = cm
 A = 6·² = cm²
 V = ³ = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

4. Egy kocka felszínének a nagysága 250 cm².
Mekkora az alapélének, a lap- és a testátlójának a hossza?
Mekkora a kocka térfogata?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 A = 250 cm²
  a = ?
  e = ?
  f = ?
  V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = √(A/6)
 e = a·√2
 f = a·√3
 V = a³
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = √(250/6) = cm
 e = ·1,4142 = cm
 f = ·1,7321 = cm
 V = ³ = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

5. Egy kocka térfogatának a nagysága 1875 cm³.
Mekkora az alapélének, a lap- és a testátlójának a hossza?
Mekkora a kocka felszíne?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 V = 1875 cm²
  a = ?
  e = ?
  f = ?
  A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
 a = ³√(V)
 e = a·√2
 f = a·√3
 A = 6·a²
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a = ³√(1875/6) = cm
 e = ·1,4142 = cm
 f = ·1,7321 = cm
 A = 6·² = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

Tesztfeladatok

1. Egy kocka élének hossza 5 cm.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
e = cm
f = cm
A = cm²
V = cm³

2. Egy kocka lapátlója 2cm hosszú.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
f = cm
A = cm²
V = cm³

3. Egy kocka testátlója 14cm hosszú.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
e = cm
A = cm²
V = cm³

4. Egy kocka felszínének nagysága 120cm².
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
e = cm
f = cm
V = cm³

5. Egy kocka térfogatának nagysága 1225cm³.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a = cm
e = cm
f = cm
A = cm²

 Kocka:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
Összesen.

3. Hasábok ábrázolása és jellemzői

Hasábok ábrázolása és jellemzői

Hogyan határozzuk meg a hasábok lap- és testátlójának a hosszát?

Az átlók hosszának meghatározásához készítsünk ábrát.
Az ábrába rajzoljuk be az átlókat is.
Az ábrán keressünk derékszögű háromszöget.
Írjuk fel rá a Pitagorasz-tételt.

A háromszög alapú hasáboknak nincs testátlójuk.

Mit nevezünk a testek felszínének?

A testeket síklapok, vagy görbült felületek határolják.
A síkbeli alakzatoknak meg tudtuk határozni a területét.

Kétféle test létezik:
- Amelyiket az élek felhasításával síkba ki tudunk teríteni, azaz el tudjuk készíteni a hálóját.
- Amelyiket nem tudunk kiteríteni síkba (ide csak a gömb tartozik a felsoroltak közül).
Geogebra szemléltetés

Azt a számot, amelyik megadja, hogy az egységnyi területű négyzet hányszor fér rá a határoló felületekre FELSZÍNnek nevezzük.
A felszín jele: A (area)
A felszínt a háló területeként a legegyszerűbb kiszámítani.
A felszín mértékegysége: m², cm², dm²
(Az átváltásra ügyelni kell!)

A hasábok felszíne = alapterület·2 + palást területe

Mit nevezünk a testek térfogatának?

A testek zárt térrészek.
Azt additív (összeadódó = egész egyenlő a részek összegével) mennyiséget, amely megmutatja, hogy egy test belsejébe hány egységkocka fér el, TÉRFOGATnak nevezzük.
A térfogat jele: V (volume).
A térfogat mértékegysége: m³, cm³, dm³
(Az átváltásra ügyelni kell!)
1 liter = 1 dm³

A hasábok felszíne = alapterület · magasság

Melyik a legegyszerűbb hasáb? Mi jellemzi?

A hasábok osztályozását célszerű a legegyszerűbb esettől kezdeni:
A legegyszerűbb hasáb: a KOCKA.
A kocka minden oldala azonos hosszúságú.
TEHÁT a kockát egy paraméter jellemzi.
- a = az alap- és az oldalélek hossza.

Határozzuk meg a kocka esetén az e, f, A és V képletét!

ABC△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A lapátló hossza:
 e = a·√2 ≈ a·1,4142

ACE△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A testátló hossza:
 f = a·√3 ≈ a·1,7321

Kocka hálója:

ez alapján a felszíne:
 A = 6·a

Térfogata:
 V = T·m = a²·a = a³

Mi jellemzi a négyzetes oszlopot?

HA a kockát z irányba megnyújtjuk, AKKOR NÉGYZETES OSZLOPot kapunk.
A négyzetes oszlopot már két paraméterrel jellemezhetünk:
- a = alaplap éleinek hossza.
- b vagy m = a négyzetes oszlop magassága.

Határozzuk meg a négyzetes oszlop esetén az e, f, A és V képletét!

ABC△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A lapátló hossza:
 e = a·√2 ≈ a·1,4142

ACE△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A testátló hossza:
 f = √(2·a² + b²)
 vagy f = √(2·a² + m²)

A felszíne:

 A = 2·a² + 4·a·b

Térfogata:
 V = T·m = a²·b
 vagy V = a²·m

Mi jellemzi a téglatestet?

Ha a négyzetes oszlopot y irányba megnyújtjuk, akkor TÉGLATESTet kapunk.
A téglatestet 3 paraméterrel jellemzhetjük.
- a = hosszúság
- b = szélesség
- c = magasság

Határozzuk meg a téglatest esetén az e, f, A és V képletét!

ABC△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A lapátló hossza:
 e = √(a² + b²)

ACE△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A testátló hossza:
 f = √(a² + b² + c²)

A felszíne:

 A = 2·a·b + 2·a·c + 2·b·c

Térfogata:
 V = T·m = a·b·c

Mi jellemzi a prizmát? Hogy néz ki?

A szabályos sokszög alapú hasábot PRIZMÁnak nevezzük.
A prizmának két paramétere van, amely meghatározza.
- a = alapél hossza.
- m = a prizma magassága.

Határozzuk meg a prizma esetén az A és V képletét!

A felszíne:
 A = 2·T_△ + 3·a·m
 T_△ = a·m_△/2
 m_△ = a√3/2 ≈ 0,866

Nem érdemes egy képletet kreálni, hanem alulról felfele haladva érdemes kiszámolni és behelyettesíteni az egyes kifejezések értékeit!

Térfogata:
 V = T_△·m

Mi jellemzi a szabályos hatszög alapú hasábot?

A szabályos hatszög alapú hasáb felbontható a középpontjából kiindulva prizmákra.

Határozzuk meg a szabályos hatszög alapú esetén az A és V képletét!

A felszíne:
 A = 6·2·T_△ + 6·a·m
 T_△ = a·m_△/2
 m_△ = a√3/2 ≈ 0,866

A matematika egyik hasznos módszere: vezessük vissza az összetett problémát egyszerőbb ismert megoldású problémákra!
Nem érdemes egy képletet kreálni, hanem alulról felfele haladva érdemes kiszámolni és behelyettesíteni az egyes kifejezések értékeit!
Nem érdemes a képletben összevonni, mert akkor nem látjuk a gondolati tartalmat!

Térfogata:
 V = 6·T_△·m

Mi jellemzi a szimmetrikus trapéz alapú hasábot?

Előfordulhat még feladatokban: a szimmetrikus trapéz alapú hasáb.
A trapéz hosszabb alapélének hossza = a
A trapéz rövidebb alapélének hossza = c
A trapéz szárának hossza = b
A trapéz magassága = m_tr
A hasáb magassága = m

Látható, hogy itt két azonos betű (m) is szerepel. Ilyenkor a legegyszerűbben indexezéssel tehetünk közöttük különbséget.
Az indexezésnél használjuk az alakzat nevét, vagy annak rövidítését.

Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb esetén az A és V képletét!

Az indexezés grafikus megjelenítése nem mindig problémamentes:
 m_tr = m_tr

A felszíne:
 A = 2·T_tr + a·m + 2·b·m + c·m
 T_tr = (a + c)·m_tr /2

Pitagorasz tétel:
 (a - c)²/4 + m_tr² = b²
 (Erre még szükség lehet!)

Térfogata:
 V = T_tr·m

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Melyik az a hasáb, amelyiknek minden oldallapja négyzet?
2. Hogyan határozzuk meg a kocka átlójának hosszát?
3. Hogyan határozzuk meg egy test felszínének a képletét?
4. Hogyan határozzuk meg hasábok esetén a térfogat képletét?
5. Miben tér el a négyzetes oszlop a kockától?
6. Milyen sajátossága van a téglatest felszínképletének?
7. Mit jelent a téglatest térfogatképletében az a, b és c betű?
8. A háromszög alapú hasáb esetén hogyan határozzuk meg a felszín képletét?
9. Miért nem túl bonyolult a szabályos hatszög alapú hasáb térfogatát meghatározni?
10. A szimmetrikus trapéz alapú hasáb esetén hogyan különböztetjük meg a testmagasságot és az alaplap magasságát?

2. Testek fajtái

Testek fajtái

Mi a TEST?

A TÉRBEN vannak nyitott és zárt alakzatok.
A zárt térrészeket TESTeknek nevezzük.

Milyen testeket használunk a tanulmányaink során?

1. Kérdés: Van-e jól elkülöníthető alsó és felső része?
HA NINCS: Akkor a test egy gömb.
HA VAN:
2. Kérdés: A test felső része síkidom (azaz nem egy pont)?
HA IGEN: Akkor a test egy hasáb vagy egy henger.
HA NEM:
3. Kérdés: A test ép vagy csonkolt (ve van vágva a teteje)?
HA ÉP: Akkor a test egy gúla vagy egy kúp.
HA CSONKOLT: Akkor a test egy csonkagúla vagy csonkakúp.

Milyen részekből állnak ezek a testek?

A legjellegzetesebb eset:

Lapok = határoló síkidomok
- alaplap
- fedőlap
- oldallapok együtt = palást
Élek = Lapok (illetve lapok és gorbült felületek) találkozási helyei.
- Alap és fedőlap élei = alapélek.
- Oldallapok élei, amelyek nem alapélek = oldalélek.
Csúcsok = Az élek kezdő és végpontjai.
Egyebek:
- Körüljáratással való származtatás esetén az oldalsó összetevők = alkotók.
- Az alap és fedőlap szimmetriaközéppontját összekötő egyenes = szimmetriatengely.
- A lapok átellenes pontjait kötik össze = lapátlók (e).
- Az alap és a fedőlap átellenes pontjait kötik össze = testátlók (f).

Mi a különbség az egyenes és a ferde testek között?

Az egyenes testek szimmetriatengelye az alaplap síkjával derékszöget zár be. (merőleges rá)
A ferde testek esetén a szimmetriatengely dölt.
A ferde testekkel nem foglalkozunk. (Hurrá!)
Speciális ferde test a paralelepipedon:

Hogyan származtathatók a testek?

A) Körüljáratással:
HENGERSZERŰ TESTEK esetén:
1. Vegyünk egy alapsíkidomt.
2. Egy tetszőleges pontján keresztül húzzunk egy az alaplap síkjára nem illeszkedő, lehetőleg arra merőleges egyenest. (nevezzük ezt az esgyenest alkotó egyenesnek)
3. Járassuk körül az egyenest az alapsíkidomon. Így egy végtelen, nyitott felületet kapunk.
4. Metszük el ezt a felületet egy olyan síkkal, amelyik párhuzamos az alapsíkidom síkjával.


KÚPSZERŰ TESTEK esetén:
1. Vegyünk egy alapsíkidomt.
2. Egy tetszőleges pontján keresztül húzzunk egy egyenest, amely illeszkedik egy külső (lehetőleg a szimmetriaközéppont felett levő) pontra.
3. Járassuk körül az egyenest az alapsíkidomon. Így egy végtelen, nyitott felületet kapunk.
4. Metszük el ezt a felületet egy olyan síkkal, amelyik párhuzamos az alapsíkidom síkjával.


B) Forgatással:
lásd később.

Hogyan ábrázoljuk a műszaki életben a testeket?

A testeket a műszaki életben a háromsíkos ábrázolással ábrázoljuk.
Ez három vetítősik alkalmazását jelenti:
Minden testnek van
- előlnézete
- oldalnézete
- és alulnézete.

Melyek a forgástestek?

A forgástesteket egy egyszerű alakzatnak (téglalap, derékszögű háromszög, kör) egy speciális helyzetű (oldalára, középpontjára, külső pontjára illeszkedő) tengely körül történő forgatásával kapjuk.
A gömb és a torusz csak így származtatható.

Mikor szabályos egy test?

A szabályos testek lapjai egybevágyú szabályos sokszögek (háromszögek, négyzetek, ötszögek).
Öt darab szabályos test létezik.
- tetraéder: 4 háromszög alkotja. (3+1 lapelrendezés)
- hexaéder: 6 négyzet alkotja. (kocka) (1+4+1 lapelrendezés)
- oktaéder: 8 háromszög alkotja. (kettős piramis) (4+4 lapelrendezés)
- dodekaéder: 12 ötszög alkotja. (1+5+5+1 lapelrendezés)
- ikozaéder: 20 db háromszög alkotja. (5+5*2+5 lapelrendezés)

Milyenek a nem egyszerű testek?

Az egyszerű testek egymást tartalmazhatják:
pl. egy kockába egy érintő gömböt helyezünk.

Az egyszerű testekből összetett testeket is építhetünk hozzáadással vagy elvétellel.

Bármilyen alaplapot felépíthetünk háromszögek segítségével.

Mik a poliéderek?

Poliéder = csak sokszöglapokkal határolt testek.
A hasábok és a gúlák mellett a szabályos testek is poliéderek.
Milyen magyar vonatkozású speciális poliéderek vannak?

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Milyen téralkotókat nevezünk testeknek?
2. Melyek az általunk használt testek?
3. Hogyan származtathatók az általunk használt testek?
4. Mi a különbség az egyenes és a ferde testek között?
5. Hogyan származtathatjuk a csonka testeket?
6. Milyen testeknek van átlójuk?
7. Milyen összefüggés van a csúcsok és az élek között?
8. Hány szabályos test létezik?
9. Melyik általunk használt test tekinthető poliédernek?
10. Hogyan jönnek létre az összetett testek?

1. Tér

A térről általában

Mi a TÉR?

A TÉR egy elvonatkoztatás:
 - zárt és nyitott térrészek összessége. (1. megközelítés)
 - pontok összessége. (2. megközelítés)

Mi jellemzi a teret?

HA térben akarunk tájékozódni, vagyis azt szeretnénk tudni, hogy mi hol van, akkor
A TÉR PONTOKBÓL (virtuális, kiterjedés nélküli összetevőkből) ÁLL!
+ (Tudjuk még, hogy) A TÉR pontjait számok segítségével azonosítani lehet.
 ↓ (Ebből az következik, hogy)
A tér valójában a térbeli koordináta rendszer pontjainak összessége.

(No, de!) A térbeli koordináta rendszer három egymásra merőleges, jobbsodrású koordinátatengelyből áll (x,y,z). (1. ábra)
Bármely pont helyét egyértelműen meg tudjuk határozni ebben a rendszerben a három koordinátájával:
x = abszcissza,
y = ordináta,
z = applikáta.

Ezt a rendszert
- az origója
- az x irányú egységpontja
- az y irányú egységpontja
- a z irányú egységpontja egyértelműen meghatározza.
Ez a négy pont nem illeszkedik egy síkra (nem komplanáris).
(Vagyis ebben az esetben jellemzően 3 távolság segítségével adjuk meg a pont helyzetét.)
Használatos még ugyanakkor:
- hengerkoordináta rendszer: két távolság és egy szög segítségével adjuk meg a pont helyzetét.
- gömbi koordináta rendszer: egy távolság és két szög segítségével adjuk meg a pont helyzetét. (lásd földrajzi helymeghatározás)


Ha a (valódi, azaz kiterjedéssel rendelkező) téralkotókat akarjuk jellemezni, mi milyen alakú, mekkora kiterjedésű, akkor
a koordináta rendszerre nem lesz szükségünk. (Hurrá!)

Hány dimenziós a tér?

A tér matematikában mindig 3 dimenziós.
Minden zárt térbeli alakzatnak van:
- hosszúsága (maximális x irányú kiterjedése)
- szélessége (maximális y irányú kiterjedése)
- magassága (maximális z irányú kiterjedése)
A kiterjedést úgy kapjuk, hogy belefoglaljuk képzeletben az adott testet egy olyan téglalapba, amelynek az élei párhuzamosak a tengelyekkel.


A modern matematika és a modern fizika kiterjesztette a dimenzió fogalmát.
Az egyik legszebb kiterjesztés a fraktáloké, amelyek törtdimenziós alakzatok és főként a káoszelméletben használatosak.
A háromnál több dimenziós alakzatokkal nem foglalkozunk. (Hurrá!)

Mi a kubizmus?

A kubizmus az az avantgard (modernista) festészeti stílusirányzat, amely azt ténylegesen is megjeleníti a a környezet dolgainak a mértani alakzatokra való felbontását.
Leghíresebb képviselője Picasso volt.

Van-e a térnek görbülete?

Euklidész szerint a térnek nincs görbülete:
- a párhuzamos egyenesek nem találkoznak.
- egy háromszög szögeinek összege 180°.

A nem Euklidészi geometriák (Bolyai-Lobacsevszkij-Riemann) szerint a térnek van görbülete:
- a párhuzamosak találkoznak.
- a háromszögek (pl. gömbháromszög) belső szögeinek összege nem 180°.

Mi a nem Euklidészi geometriákkal nem foglalkozunk. (Hurrá!)

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Mikor fogjuk fel a teret ponthalmazként?
2. Miben tér el a térbeli és a síkbeli koordináta rendszer egymástól?
3. Milyen térbeli koordináta rendszereket használnak leggyakrabban?
4. Mit jelent az a szó, hogy kollineáris és mit jelent az, hogy komplanáris?
5. Hogy hívják a -Descartes-féle térbeli koordináta rendszerben a tengelyeket?
6. Mit jelent az, hogy a térbeli testek 3 dimenziósak?
7. Milyen kapcsolat van Picasso és a geometria között?
8. Milyen térbeli alakzatok a testek, nyitottak vagy zártak?
9. Mit mondott Euklidész a tér görbületéről?
10. Kik voltak az Euklideszi geometria mindenhatóságának megkérdőjelezői?