Hasábok ábrázolása és jellemzői
Hogyan határozzuk meg a hasábok lap- és testátlójának a hosszát?
Az átlók hosszának meghatározásához készítsünk ábrát. Az ábrába rajzoljuk be az átlókat is.
Az ábrán keressünk derékszögű háromszöget.
Írjuk fel rá a Pitagorasz-tételt.
A háromszög alapú hasáboknak nincs testátlójuk.
Mit nevezünk a testek felszínének?
A testeket síklapok, vagy görbült felületek határolják. A síkbeli alakzatoknak meg tudtuk határozni a területét.
Kétféle test létezik:
- Amelyiket az élek felhasításával síkba ki tudunk teríteni, azaz el tudjuk készíteni a hálóját.
- Amelyiket nem tudunk kiteríteni síkba (ide csak a gömb tartozik a felsoroltak közül).
Geogebra szemléltetés
Azt a számot, amelyik megadja, hogy az egységnyi területű négyzet hányszor fér rá a határoló felületekre FELSZÍNnek nevezzük.
A felszín jele: A (area)
A felszínt a háló területeként a legegyszerűbb kiszámítani.
A felszín mértékegysége: m2, cm2, dm2
(Az átváltásra ügyelni kell!)
A hasábok felszíne = alapterület·2 + palást területe
Mit nevezünk a testek térfogatának?
A testek zárt térrészek. Azt additív (összeadódó = egész egyenlő a részek összegével) mennyiséget, amely megmutatja, hogy egy test belsejébe hány egységkocka fér el, TÉRFOGATnak nevezzük.
A térfogat jele: V (volume).
A térfogat mértékegysége: m3, cm3, dm3
(Az átváltásra ügyelni kell!)
1 liter = 1 dm3
A hasábok felszíne = alapterület · magasság
Melyik a legegyszerűbb hasáb? Mi jellemzi?
A hasábok osztályozását célszerű a legegyszerűbb esettől kezdeni: A legegyszerűbb hasáb: a KOCKA.
A kocka minden oldala azonos hosszúságú.
TEHÁT a kockát egy paraméter jellemzi.
- a = az alap- és az oldalélek hossza.
Határozzuk meg a kocka esetén az e, f, A és V képletét!
ABC△-re felírva a Pitagorasz tételt: A lapátló hossza:
e = a·√2 ≈ a·1,4142
ACE△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A testátló hossza:
f = a·√3 ≈ a·1,7321
Kocka hálója:
ez alapján a felszíne:
A = 6·a
Térfogata:
V = T·m = a2·a = a³
Mi jellemzi a négyzetes oszlopot?
HA a kockát z irányba megnyújtjuk, AKKOR NÉGYZETES OSZLOPot kapunk. A négyzetes oszlopot már két paraméterrel jellemezhetünk:
- a = alaplap éleinek hossza.
- b vagy m = a négyzetes oszlop magassága.
Határozzuk meg a négyzetes oszlop esetén az e, f, A és V képletét!
ABC△-re felírva a Pitagorasz tételt: A lapátló hossza:
e = a·√2 ≈ a·1,4142
ACE△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A testátló hossza:
f = √(2·a² + b²)
vagy f = √(2·a² + m²)
A felszíne:
A = 2·a² + 4·a·b
Térfogata:
V = T·m = a2·b
vagy V = a2·m
Mi jellemzi a téglatestet?
Ha a négyzetes oszlopot y irányba megnyújtjuk, akkor TÉGLATESTet kapunk. A téglatestet 3 paraméterrel jellemzhetjük.
- a = hosszúság
- b = szélesség
- c = magasság
Határozzuk meg a téglatest esetén az e, f, A és V képletét!
ABC△-re felírva a Pitagorasz tételt: A lapátló hossza:
e = √(a² + b²)
ACE△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A testátló hossza:
f = √(a² + b² + c²)
A felszíne:
A = 2·a·b + 2·a·c + 2·b·c
Térfogata:
V = T·m = a·b·c
Mi jellemzi a prizmát? Hogy néz ki?
A szabályos sokszög alapú hasábot PRIZMÁnak nevezzük. A prizmának két paramétere van, amely meghatározza.
- a = alapél hossza.
- m = a prizma magassága.
Határozzuk meg a prizma esetén az A és V képletét!
A felszíne: A = 2·T△ + 3·a·m
T△ = a·m△/2
m△ = a√3/2 ≈ 0,866
Nem érdemes egy képletet kreálni, hanem alulról felfele haladva érdemes kiszámolni és behelyettesíteni az egyes kifejezések értékeit!
Térfogata:
V = T△·m
Mi jellemzi a szabályos hatszög alapú hasábot?
A szabályos hatszög alapú hasáb felbontható a középpontjából kiindulva prizmákra.
Határozzuk meg a szabályos hatszög alapú esetén az A és V képletét!
A felszíne: A = 6·2·T△ + 6·a·m
T△ = a·m△/2
m△ = a√3/2 ≈ 0,866
A matematika egyik hasznos módszere: vezessük vissza az összetett problémát egyszerőbb ismert megoldású problémákra!
Nem érdemes egy képletet kreálni, hanem alulról felfele haladva érdemes kiszámolni és behelyettesíteni az egyes kifejezések értékeit!
Nem érdemes a képletben összevonni, mert akkor nem látjuk a gondolati tartalmat!
Térfogata:
V = 6·T△·m
Mi jellemzi a szimmetrikus trapéz alapú hasábot?
Előfordulhat még feladatokban: a szimmetrikus trapéz alapú hasáb. A trapéz hosszabb alapélének hossza = a
A trapéz rövidebb alapélének hossza = c
A trapéz szárának hossza = b
A trapéz magassága = mtr
A hasáb magassága = m
Látható, hogy itt két azonos betű (m) is szerepel. Ilyenkor a legegyszerűbben indexezéssel tehetünk közöttük különbséget.
Az indexezésnél használjuk az alakzat nevét, vagy annak rövidítését.
Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb esetén az A és V képletét!
Az indexezés grafikus megjelenítése nem mindig problémamentes: mtr = m_tr
A felszíne:
A = 2·Ttr + a·m + 2·b·m + c·m
Ttr = (a + c)·mtr /2
Pitagorasz tétel:
(a - c)²/4 + mtr² = b²
(Erre még szükség lehet!)
Térfogata:
V = Ttr·m
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Melyik az a hasáb, amelyiknek minden oldallapja négyzet? 2. Hogyan határozzuk meg a kocka átlójának hosszát?
3. Hogyan határozzuk meg egy test felszínének a képletét?
4. Hogyan határozzuk meg hasábok esetén a térfogat képletét?
5. Miben tér el a négyzetes oszlop a kockától?
6. Milyen sajátossága van a téglatest felszínképletének?
7. Mit jelent a téglatest térfogatképletében az a, b és c betű?
8. A háromszög alapú hasáb esetén hogyan határozzuk meg a felszín képletét?
9. Miért nem túl bonyolult a szabályos hatszög alapú hasáb térfogatát meghatározni?
10. A szimmetrikus trapéz alapú hasáb esetén hogyan különböztetjük meg a testmagasságot és az alaplap magasságát?
