A gúla alaplapja valamilyen sokszög.
Ez a sokszög általában négyzet, vagy valamilyen más szabályos sokszög.
Az alaplap síkján kívül van még egy felső csúcspont.
A gúlát oldalról határoló palástot úgy kapjuk, hogy a csúcspontból szakaszokat húzunk az alaplap pontjaiba.
Ez a módszer az úgynevezett körüljáratásos módszer.
Figyeljük meg milyen viszonyban van az egyenes- és ferdegúla felszíne egymással és az egyenes- és ferdegúla térfogata egymással!
Melyek a sokszor használt gúlafajták?
Tetraéder = minden oldala szabályos háromszög (ez egy szabályos test).
Négyzet alapú gúla = jelző nélküli gúla = piramis.
Szabályos hatszög alapú gúla.
Milyen jellemzői vannak a gúlának?
Jellemző pontok:
A, B, C, D = az alaplap csúcspontjai
P = gúla alaplapon kívüli felső csúcspontja
Egyéb pontok:
O = az alaplap átlóinak a felezőpontja, a magasság talppontja
T = az alaplap egyik oldalélének a felezőpontja, az oldalmagasság talppontja
szakaszok, távolságok:
a = az alaplap oldalélének a hossza
b = az oldalél hossza
e = az alaplap átlójának a hossza
m = a gúla magassága
mo = az oldallap magassága
Hány Pitagorasz-tétel áll rendelkezésünkre?
1. OTP△:
képlet:
(a/2)² + m² = mo²
Az oldallapnak az alaplappal alkotott szöge = α.
szögfüggvények:
sin α = m/mo
cos α = (a/2)/mo
tg α = m/(a/2)
2. OCP△:
képlet:
a²/2 + m² = b²
Az oldallapnak az oldaléllel alkotott szöge = β.
szögfüggvények:
sin β = m/b
cos β = 0,7071·a/b
tg β = 1,4142·m/a
3. PTC△:
képlet:
(a/2)² + mo² = m²
Az oldalélnek az alapéllel alkotott szöge = γ.
szögfüggvények:
sin γ = mo/b
cos γ = a·0,5/b
tg γ = 2·mo/a
Hogyan határozzuk meg a gúla felszínét?
A = T + P
A = a² + 2·a·mo
Hogyan lehet meghatározni a gúla térfogatát?
Egy hasáb térfogata háromszorosa a vele azonos alapterületű és magasságú gúla térfogatának. Geogebra szemléltetés.
V = T·m/3
1. Hogyan származtatható a gúla?
2. Általában milyen alakzat a gúla alapja?
3. Milyen viszony van a tetraéderek és a háromszög alapú gúlák között?
4. Hol helyezkedik el a P pont egyenes- és ferdegúla esetén?
5. Milyen hosszjellemzői vannak a gúlának?
6. Hány különböző síkmetszete van a gúlának? Melyek ezek?
7. Milyen képleteket használhatunk a hiányzó távolság és szögértékek kiszámításához?
8. Mi alkotja a gúla felszínét?
9. Milyen összehasonlítást végzünk a gúla térfogatának meghatározásánál?
10. Hogyan lehet szemléltetni a gúla térfogatképletét?
B. Wolframalpha
Használjunk Wolframalpha programot!
solve x^3-65x+200=0
Megoldás:
x = 5
x = 1/2 (-5 - sqrt(185))
x = 1/2 (sqrt(185) - 5)
Wolfram|Alpha Step-by-step solution → Go Pro Now!
Az eredményt nem könnyű leolvasni a képernyőről, ezért határoztassuk meg a függvénynek és az x tengelynek a metszéspontját!
Megoldások:
A = (-9.3,0)
B = (4.3,0)
C = (5,0)
3. megoldás:
Használjunk képletet!
wikipedia
A Wikipédia megoldóképlete: itt található.
A lényege a következő:
Legyen a harmadfokú egyenlet: x³ + p·x + q = 0.
Diszkrimináns: `D = q^2/4 + p^3/27`
`y_1 = root(3)(-q/2+sqrt(D))`
`y_2 = root(3)(-q/2-sqrt(D))`
megoldóképlet:
Ha D ≥ 0, akkor `x = y_1+y_2`
Ha D < 0, akkor
`x_1=2*sqrt(-p/3)*cos(1/3*arccos((-q/2)/(sqrt((-p/3)^3))))`
`x_2=2*sqrt(-p/3)*cos((2*pi)/3+1/3*arccos((-q/2)/(sqrt((-p/3)^3))))`
`x_3=2*sqrt(-p/3)*cos((2*pi)/3-1/3*arccos((-q/2)/(sqrt((-p/3)^3))))`
Jelen esetben:
p = -65
q = 200
`D = 200^2/4 + (-65)^3/27` = -171,2963
Mivel D < 0, ezért
`x_1=2*sqrt(65/3)*cos(1/3*arccos(-0,9915))`
`x_2=2*sqrt(65/3)*cos((2*pi)/3+1/3*arccos(-0,9915))`
`x_3=2*sqrt(65/3)*cos((2*pi)/3-1/3*arccos(-0,9915))`
`x_1=9,3095*cos(1/3*arccos(-0,9915))` Ügyeljünk a radiánra!
`x_2=9,3095*cos((2*pi)/3+1/3*arccos(-0,9915))`
`x_3=9,3095*cos((2*pi)/3-1/3*arccos(-0,9915))`
`x_1=5`
`x_2=-9,3`
`x_3=4,3`
Ennek felhasználásával bármilyen programozási nyelven írhatunk egy egyenletmegoldó programot!
Pl. javascriptben:
class Henger_AV{
constructor(A,V){
this.A = A;
this.V = V;}
p(){return -1*this.A/6.28}
q(){return this.V/3.14}
r(){return hfe.mo()}
m(){return (this.V/(this.r()*this.r()*3.14)).toFixed(2)*1}
}
class Harmadfoku_e{
constructor(p,q){
this.p = p;
this.q = q;}
D(){return this.q**2/4 + this.p**3/27}
y1(){return Math.pow(-this.q/2+Math.sqrt(D),(1/3))}
y2(){return Math.pow(-this.q/2-Math.sqrt(D),(1/3))}
x(){return this.y1()+this.y2()}
x1(){return (2*Math.sqrt(-1*this.p/3)*Math.cos((1/3)*Math.acos((-1*this.q/2)/(Math.sqrt((-1*this.p/3)**3))))).toFixed(2)*1}
x2(){return (2*Math.sqrt(-1*this.p/3)*Math.cos(2*Math.PI/3+(1/3)*Math.acos((-1*this.q/2)/(Math.sqrt((-1*this.p/3)**3))))).toFixed(2)*1}
x3(){return (2*Math.sqrt(-1*this.p/3)*Math.cos(2*Math.PI/3-(1/3)*Math.acos((-1*this.q/2)/(Math.sqrt((-1*this.p/3)**3))))).toFixed(2)*1}
mo(){if(this.D>=0){return this.x()}
else{return this.x1()}
}
}
let henger = new Henger_AV(408.2,628);
let hfe = new Harmadfoku_e(henger.p(),henger.q());
console.log(henger.r());
4. megoldás:
Használjunk függvényelemzést és excell táblázatkezelőt?
A függvénynek lokális szélső értéke van, ha az első deriváltja nulla.
A mi függvényünk: x³-65·x + 200 = 0
Az első derivált függvénye: 3·x² -65 = 0
Oldjuk meg az egyenletet!
`x_1 = -sqrt(65/3)` = -4,6547
f(x1) = (-4,6547)³ -65·(-4,6547) +200 = 401,7
`x_1 = sqrt(65/3)` = 4,6547
f(x1) = 4,6547³ -65·4,6547 +200 = -1,7
(Ezeket az értékeket egy kattintással is megkaphattuk volna a geogebrával!!)
Látható, hogy
A -4,65 és 4,65 között biztosan van gyök, mégpedig a 4,65 közelében.
A 6,45-öt követően is közvetlenül lesz egy gyök.
A -6,45-öt megelőzően is van valahol egy gyök.
excell
Első közelítés:
Készítsünk egy excell táblázatot:
x = [-10, -9, ...,9,10], y = x^3-65*x+200 képlettel
Második közelítésben már használjunk tizedes beosztású eltérést!
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Határozzuk meg a henger hiányzó paramétereit:
A = cm² és V = cm³
r = ?
m = ?
2. Határozzuk meg a henger hiányzó paramétereit:
A = cm² és V = cm³
r = ?
m = ?
3. Határozzuk meg a henger hiányzó paramétereit:
A = cm² és V = cm³
r = ?
m = ?
4. Határozzuk meg a henger hiányzó paramétereit:
A = cm² és V = cm³
r = ?
m = ?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
Legyen az alaplap sugara r, a testmagassága m.
A = 2·r²·π +2·r·π·m
A = 2·r·π(r + m)
V = r²·π·m
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
4 paraméter van: r,m,A,V.
Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 4·3/2 = 6
Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
1. Adott r,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott r,A
3. Adott a,V
4. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
5. Adott m,V
6. Adott A,V → hiányos harmadfokú egyenlet!! (bonyolult eset)
Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.
Mintafeladatok
1. Egy henger sugarának hossza 3 cm. A magassága 5cm.
Mekkora a felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
m = 5cm
π ≈ 3,14
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
A = 2·r·π·(r + m)
V = r²·π·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A = 2·3·3,14·(3 + 5) = cm²
V = 3²·3,14·5 = cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy henger sugarának hossza 3 cm. A felszíne 150cm².
Mekkora magasságának a hossza? Mekkora a henger térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
A = 150cm²
m = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az A második képletéből indulunk ki!
A = 2·r·π(r + m) |/2/r/π
r + m = A/2/r/π |-r
m = A/2/r/π -r
V = r²·π·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 150/2/3/3,14 -3 = cm
V = 3²·3,14· = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy henger sugara 3 cm. A térfogata 150cm³.
Mekkora a henger magassága és felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
V = 150cm³
m = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az V képletéből indulunk ki!
V = r²·π·m | /r²/π
m = V/r²/π
m = V/r²/π
A = 2·r·π(r + m)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 150/3²/3,14 = cm
A = 2·3·3,14(3 + ) = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy henger magasságának a nagysága 5 cm. A felszíne 150 cm².
Mekkora a sugarának a hossza és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 5 cm
A = 150 cm²
r = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "r"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "r" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
Induljunk ki az A első képletéből!
A = 2·r²·π +2·r·π·m |/2/π
A/2/π = r² + m·r |-A/2/π
Másodfokú egyenlet: r² + m·r -A/2/π
a = 1
b = m
c = -A/2/π
r = (-b + √b² - 4·a·c)/(2·a)
V = r²·π·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet megoldása:
a = 1
b = 5
c = -150/2/3,14
r = cm
V = ²·3,14·5 = cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy henger magasságának a nagysága 5 cm. A térfogata 150 cm³.
Mekkora a sugara és felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 5 cm
V = 150 cm³
r = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
r = √V/m/π
A = 2·r·π(r + m)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
r = √150/5/3,14 = cm
A = 2·π·( + 5) = cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy henger sugarának hossza 3 cm. A magassága 5cm.
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
A = cm²
V = cm³
2. Egy henger sugarának hossza 3 cm. A felszíne 150cm².
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
V = cm³
3. Egy henger sugara 3 cm. A térfogata 150cm³.
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
4. Egy henger magasságának a nagysága 5 cm. A felszíne 150 cm².
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
V = cm³
5. Egy henger magasságának a nagysága 5cm. A térfogata 150cm³.
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
A = cm²
A henger olyan test, amelynek az alap- és fedőlapja is kör.
Forgáshengernek is szokták nevezni, mert forgatással is származtatható.
Mi jellemzi a hengert?
A hengert két paraméter segítségével lehet megadni:
- r = az alap- és fedőlap körének sugara
- m = a henger magassága
Hogyan számoljuk ki a henger felszínét?
Első lépés: Terítsük ki síkba! (Határozzuk meg a test hálóját!)
Ennek megfelelően:
A = 2·T + P
T = r²·π
P = K·m = 2·r·πm
A = 2·r²·π + 2·r·πm
A = 2·r·π(r + m)
Hogyan határozzuk meg a henger térfogatát?
V = T·m
T = r²·π
V = r²·πm
A térfogat képlete egy közelítés:
a bele- és a köré írható nagyonsokoldalú szabályos sokszögek térfogatainak határértékeként határozzuk meg.
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Hogyan származtathatjuk a hengert körüljáratással?
2. Hogyan származtathatjuk a hengert forgatással? Mit forgatunk, mi körül?
3. Miért általánosabb módszer az első, mint a második, gondolj a ferdehengerre?
4. Milyen két paraméterrel lehet megadni egy hengert?
5. A henger hálózata milyen síkidomokból áll?
6. Hogyan számolhatjuk ki az alaplap területét?
7. Hogyan számítjuk ki a palást területét?
8. Miért fontos, hogy tudjuk, hogy melyik képletösszetevő mit jelent?
9. Mi a különbség a henger kétféle felszínképlete között?
10. Hogyan számolható ki a henger térfogata?
Egy téglatest esetén hogyan számolhatjuk ki a térelemek szögét?
Érdekes lehet számunkra:
- a testátlónak a lapátlókkal és az oldalélekkel alkotott szöge.
- a testátlónak egymással alkotott szöge.
- a lapátlóknak az oldalélekkel alkotott szögei,
A téglatest három oldalélének a hossza:
a, b és c.
A szögek megadása esetén fel kell tüntetni, hogy melyik síkhoz viszonyítunk.
Az egyértelműség kedvéért használjuk a következő jelöléseket:
- e(a,b) = az a és b oldalegynesek síkjában fekvő lapátló.
- α(a,b) = az a és b oldalegyenesek síkjának és a testátlónak a szöge.
- β(a,b) = az e(a,b) oldalnak a b oldalegyenessel bezárt szöge.
- γ(b,c) = az e(a,b) és e(a,c) által közbezárt szög.
- δ(a) = az a oldal két végpontjából induló testátlók egymással bezárt szöge.
sin δ(a)/2 = a/f
sin δ(b)/2 = b/f
sin δ(c)/2 = c/f
Milyen képleteink vannak négyzetes oszlop esetén?
Négyzetes oszlop esetén: a = b és c = m.
e(a,b) = e1 = a·1.4142
e(a,c) = e(b,c) = e2 = √a² + m²
f = √2·a² + m²
A testátlónak az alaplappal alkotott szöge:
tg α = m/e1
A lapátlók oldalélekkel alkotott szögei:
Alaplapon: β1 = 45°,
oldallapon: tg β2 = m/a
A lapátlók egymással alkotott szöge:
cos γ1 = e1/2/e2
γ2 = 2·(90° - γ1)
A testátlók egymással alkotott szöge:
sin δ/2 = a/f
Mi a helyzet a kockával?
A testátló szöge:
tg α = a/(a·1,4142)
α = 35,26°
A lapátlók oldalakhoz viszonyított szöge:
β = 45°
A lapátlók egymáshoz viszonyított szöge:
γ = 60°
A testátlók egymással alkotott szöge:
sin δ/2 = 1/1.7321 = 0,5773
δ/2 = 35,26°
δ = 70,53°
Mintafeladatok
1. Egy téglatest alapéleinek hossza 3cm, 4cm és 5cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a testátló szögértékeit!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
b = 4cm
c = 5cm
e(a,b) = ?
e(a,c) = ?
e(b,c) = ?
f = ?
α(a,b) = ?
α(a,c) = ?
α(b,c) = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
e(a,b) = √a² + b²
e(a,c) = √a² + c²
e(b,c) = √b² + c²
f = √a² + b² + c²
tg α(a,b) = c/e(a,b)
tg α(a,c) = b/e(a,c)
tg α(b,c) = a/e(b,c)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
e(a,b) = √3² + 4² = cm
e(a,c) = √3² + 5² = cm
e(b,c) = √4² + 5² = cm
f = √3² + 4² + 5² = cm
α(a,b) = tan-1 5/ = °
α(a,c) = tan-1 4/ = °
α(b,c) = tan-1 3/ = °
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy téglatest alapéleinek hossza 4cm, 5cm és 6cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a lapátlók oldalélekkel alkotott szögértékeit!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 4cm
b = 5cm
c = 6cm
e(a,b) = ?
e(a,c) = ?
e(b,c) = ?
f = ?
β(a,b) = ?
β(a,c) = ?
β(b,c) = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
e(a,b) = √a² + b²
e(a,c) = √a² + c²
e(b,c) = √b² + c²
f = √a² + b² + c²
tg β(a,b) = a/b
tg β(a,c) = a/c
tg β(b,c) = b/c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
e(a,b) = √4² + 5² = cm
e(a,c) = √4² + 6² = cm
e(b,c) = √5² + 6² = cm
f = √3² + 4² + 5² = cm
β(a,b) = tan-1 4/5 = °
β(a,c) = tan-1 4/6 = °
β(b,c) = tan-1 5/6 = °
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy téglatest alapéleinek hossza 5cm, 6cm és 7cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a lapátlók egymással alkotott szögértékeit!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5cm
b = 6cm
c = 7cm
e(a,b) = ?
e(a,c) = ?
e(b,c) = ?
γ(a,b) = ?
γ(a,c) = ?
γ(b,c) = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
e(a,b) = √a² + b²
e(a,c) = √a² + c²
e(b,c) = √b² + c²
f = √a² + b² + c²
e(b,c)² = e(a,b)² + e(a,c)² -2·e(a,b)·e(a,c)·cos γ(b,c)
4. Egy téglatest alapéleinek hossza 6cm, 7cm és 8cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a testátlók egymáshoz viszonyított szögértékeit!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 6cm
b = 7cm
c = 8cm
e(a,b) = ?
e(a,c) = ?
e(b,c) = ?
f = ?
δ(a) = ?
δ(b) = ?
δ(c) = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
e(a,b) = √a² + b²
e(a,c) = √a² + c²
e(b,c) = √b² + c²
f = √a² + b² + c²
δ(a) = sin-1 (a/f)
δ(b) = sin-1 (b/f)
δ(c) = sin-1 (c/f)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
e(a,b) = √3² + 4² = cm
e(a,c) = √3² + 5² = cm
e(b,c) = √4² + 5² = cm
f = √3² + 4² + 5² = cm
δ(a) = sin-1 6/ = °
δ(b) = sin-1 7/ = °
δ(c) = sin-1 8/ = °
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy téglatest alapéleinek hossza 3cm, 4cm és 5cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a testátló szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
α(a,b) = °
α(a,c) = °
α(b,c) = °
2. Egy téglatest alapéleinek hossza 4cm, 5cm és 6cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a lapátlók oldalélekkel alkotott szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
β(a,b) = °
β(a,c) = °
β(b,c) = °
3. Egy téglatest alapéleinek hossza 5cm, 6cm és 7cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a lapátlók egymással alkotott szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
γ(a,b) = °
γ(a,c) = °
γ(b,c) = °
4. Egy téglatest alapéleinek hossza 6cm, 7cm és 8cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a testátlók egymáshoz viszonyított szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
δ(a,b) = °
δ(a,c) = °
δ(b,c) = °
