Henger
Milyen képletek jellemzik a hengert?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! Legyen az alaplap sugara r, a testmagassága m.
A = 2·r²·π +2·r·π·m
A = 2·r·π(r + m)
V = r²·π·m
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen esetek lehetségesek?
4 paraméter van: r,m,A,V. Ezek közül 2 ismert, a többit ki kell számolni.
Lehetőségek száma = 4·3/2 = 6
Soroljuk fel a lehetséges eseteket:
1. Adott r,m → egyszerű képletbe való behelyettesítés
2. Adott r,A
3. Adott a,V
4. Adott m,A → másodfokú egyenlet!
5. Adott m,V
6. Adott A,V → hiányos harmadfokú egyenlet!! (bonyolult eset)
Az összes lehetséges eset számbavétele kombinatorikus gondolkodásmódra utal.
Ennek előnye, hogy jó áttekintést nyerhetünk általa arról, mennyire durvul el a feladat, ha más paramétereket választunk kiindulási értékül.
Jelen esetben látható, hogy érdemileg 5 esettel érdemes foglalkoznunk.
Mintafeladatok
1. Egy henger sugarának hossza 3 cm. A magassága 5cm. Mekkora a felszíne és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
m = 5cm
π ≈ 3,14
A = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
A = 2·r·π·(r + m)
V = r²·π·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A = 2·3·3,14·(3 + 5) = 150.80cm²
V = 3²·3,14·5 = 141.37cm³
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy henger sugarának hossza 3 cm. A felszíne 150cm².
Mekkora magasságának a hossza? Mekkora a henger térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
A = 150cm²
m = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az A második képletéből indulunk ki!
A = 2·r·π(r + m) |/2/r/π
r + m = A/2/r/π |-r
m = A/2/r/π -rA = 2·r·π(r + m) |/2/r/π
r + m = A/2/r/π |-r
V = r²·π·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 150/2/3/3,14 -3 = 4.96cm
V = 3²·3,14·4.96 = 140.18cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy henger sugara 3 cm. A térfogata 150cm³.
Mekkora a henger magassága és felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
r = 3cm
V = 150cm³
m = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "m"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az V képletéből indulunk ki!
V = r²·π·m | /r²/π
m = V/r²/π
m = V/r²/πV = r²·π·m | /r²/π
m = V/r²/π
A = 2·r·π(r + m)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
m = 150/3²/3,14 = 5.31cm
A = 2·3·3,14(3 + 5.31) = 156.55cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy henger magasságának a nagysága 5 cm. A felszíne 150 cm².
Mekkora a sugarának a hossza és térfogata?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 5 cm
A = 150 cm²
r = ?
V = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "r"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
Az "r" meghatározása egy másodfokú egyenlet megoldását jelenti!
(Geometriai adatok nem lehetnek negatívak, ezért a negatív gyök nem lehet megoldás)
Induljunk ki az A első képletéből!
A = 2·r²·π +2·r·π·m |/2/π
A/2/π = r² + m·r |-A/2/π
Másodfokú egyenlet: r² + m·r -A/2/π
a = 1
b = m
c = -A/2/π
r = (-b + √b² - 4·a·c)/(2·a)
A = 2·r²·π +2·r·π·m |/2/π
A/2/π = r² + m·r |-A/2/π
Másodfokú egyenlet: r² + m·r -A/2/π
a = 1
b = m
c = -A/2/π
r = (-b + √b² - 4·a·c)/(2·a)
V = r²·π·m
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
A másodfokú egyenlet megoldása:
a = 1
b = 5
c = -150/2/3,14
r = 2.99cm
V = 2.99²·3,14·5 = 140.29cm³
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
5. Egy henger magasságának a nagysága 5 cm. A térfogata 150 cm³.
Mekkora a sugara és felszíne?
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
m = 5 cm
V = 150 cm³
r = ?
A = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jöjjünk rá: Ha már az "a"-t meghatároztuk, akkor a többi képlet nem módosul.
r = √V/m/π
A = 2·r·π(r + m)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
r = √150/5/3,14 = 3.09cm
A = 2·3.09π·(3.09 + 5) = 157.08cm²
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy henger sugarának hossza 4 cm. A magassága 10cm.
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
A = cm²
V = cm³
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
A = cm²
V = cm³
2. Egy henger sugarának hossza 9 cm. A felszíne 1301cm².
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
V = cm³
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
V = cm³
3. Egy henger sugara 11 cm. A térfogata 6462cm³.
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
m = cm
A = cm²
4. Egy henger magasságának a nagysága 13 cm. A felszíne 2124 cm².
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
V = cm³
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
V = cm³
5. Egy henger magasságának a nagysága 14cm. A térfogata 8621cm³.
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
A = cm²
Határozzuk meg a henger többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
r = cm
A = cm²
Henger:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| Összesen. |
