Hengerrel kapcsolatos igen összetett feladatok
Mi a helyzet azzal az esettel, amikor ismerjük a henger felszínét és térfogatát?
Alapképletek: A = 2·r²·π + 2·r·π·m
V = r²·π·m → m = V/r²/π
Helettesítsünk vissza:
A = 2·r²·π + 2·r·π·V/r²/π
A = (2·π)·r² + (2·V)·1/r |·r
A·r = (2·π)·r³ + 2·V |-A·r
(2·π)·r³ - A·r + 2·V = 0 |/(2·π)
r³ + (-A/2/π)·r + (V/π) = 0
EZ BIZONY EGY HIÁNYOS HARMADFOKÚ EGYENLET! HURRÁ!
Nézzünk egy konkrét problémát!
Legyen A = 408,2cm² és V = 628cm³. Mekkora r és m értéke?
A megoldandó hiányos harmadfokú egyenlet: Legyen A = 408,2cm² és V = 628cm³. Mekkora r és m értéke?
r³ + (-408,2/2/3,14)·r + (628/3,14) = 0
r³ -65·r + 200 = 0
cubicequation
Írjuk be:
a = 1
b = 0
c = -65
d = 200
Megoldás:
x1 = -9.30074
x2 = 4.30074
x3 = 5
Ezek közül számunkra csak a pozitív megoldások a megfelelők.
Használjunk másfajta egyenletmegoldó szoftvert (Photomath-ot?)
A. Mathsolver:
megtalálható itt
Írjuk be:
x^3-65x+200 = 0
Megoldás: x=√185-52 ≈ 4.300735254
x=-√185-52 ≈ −9.300735254
x = 5
tiger-algebra
Még lépésenként el is magyarázza az eredményt!
B. Wolframalpha
Használjunk Wolframalpha programot!
solve x^3-65x+200=0
Megoldás:
x = 5
x = 1/2 (-5 - sqrt(185))
x = 1/2 (sqrt(185) - 5)
Wolfram|Alpha Step-by-step solution → Go Pro Now!
Írjuk be:
a = 1
b = 0
c = -65
d = 200
Megoldás:
x1 = -9.30074
x2 = 4.30074
x3 = 5
Ezek közül számunkra csak a pozitív megoldások a megfelelők.
Használjunk másfajta egyenletmegoldó szoftvert (Photomath-ot?)
A. Mathsolver:
megtalálható itt
Írjuk be:
x^3-65x+200 = 0
Megoldás: x=√185-52 ≈ 4.300735254
x=-√185-52 ≈ −9.300735254
x = 5
tiger-algebra
Még lépésenként el is magyarázza az eredményt!
B. Wolframalpha
Használjunk Wolframalpha programot!
solve x^3-65x+200=0
Megoldás:
x = 5
x = 1/2 (-5 - sqrt(185))
x = 1/2 (sqrt(185) - 5)
Wolfram|Alpha Step-by-step solution → Go Pro Now!
2. megoldás:
Használjunk függvényábrázoló programot:
geogebra Használjunk függvényábrázoló programot:
A geogebra számunkra a legmegfelelőbb választás Írjuk be a parancssorra:
y = x^3-65x+200
Az eredményt nem könnyű leolvasni a képernyőről, ezért határoztassuk meg a függvénynek és az x tengelynek a metszéspontját!
Megoldások:
A = (-9.3,0)
B = (4.3,0)
C = (5,0)
3. megoldás:
Használjunk képletet!
wikipedia Használjunk képletet!
A Wikipédia megoldóképlete: itt található.
A lényege a következő:
Legyen a harmadfokú egyenlet: x³ + p·x + q = 0.
Diszkrimináns: D=q24+p327
y1=3√-q2+√D
y2=3√-q2-√D
megoldóképlet:
Ha D ≥ 0, akkor x=y1+y2
Ha D < 0, akkor
x1=2⋅√-p3⋅cos(13⋅arccos(-q2√(-p3)3))
x2=2⋅√-p3⋅cos(2⋅π3+13⋅arccos(-q2√(-p3)3))
x3=2⋅√-p3⋅cos(2⋅π3-13⋅arccos(-q2√(-p3)3))
Jelen esetben:
p = -65
q = 200
D=20024+(-65)327 = -171,2963
Mivel D < 0, ezért
x1=2⋅√653⋅cos(13⋅arccos(-0,9915))
x2=2⋅√653⋅cos(2⋅π3+13⋅arccos(-0,9915))
x3=2⋅√653⋅cos(2⋅π3-13⋅arccos(-0,9915))
x1=9,3095⋅cos(13⋅arccos(-0,9915)) Ügyeljünk a radiánra!
x2=9,3095⋅cos(2⋅π3+13⋅arccos(-0,9915))
x3=9,3095⋅cos(2⋅π3-13⋅arccos(-0,9915))
x1=5
x2=-9,3
x3=4,3
Ennek felhasználásával bármilyen programozási nyelven írhatunk egy egyenletmegoldó programot!
Pl. javascriptben:
class Henger_AV{
constructor(A,V){
this.A = A;
this.V = V;}
p(){return -1*this.A/6.28}
q(){return this.V/3.14}
r(){return hfe.mo()}
m(){return (this.V/(this.r()*this.r()*3.14)).toFixed(2)*1}
} class Harmadfoku_e{
constructor(p,q){
this.p = p;
this.q = q;}
D(){return this.q**2/4 + this.p**3/27}
y1(){return Math.pow(-this.q/2+Math.sqrt(D),(1/3))}
y2(){return Math.pow(-this.q/2-Math.sqrt(D),(1/3))}
x(){return this.y1()+this.y2()}
x1(){return (2*Math.sqrt(-1*this.p/3)*Math.cos((1/3)*Math.acos((-1*this.q/2)/(Math.sqrt((-1*this.p/3)**3))))).toFixed(2)*1}
x2(){return (2*Math.sqrt(-1*this.p/3)*Math.cos(2*Math.PI/3+(1/3)*Math.acos((-1*this.q/2)/(Math.sqrt((-1*this.p/3)**3))))).toFixed(2)*1}
x3(){return (2*Math.sqrt(-1*this.p/3)*Math.cos(2*Math.PI/3-(1/3)*Math.acos((-1*this.q/2)/(Math.sqrt((-1*this.p/3)**3))))).toFixed(2)*1}
mo(){if(this.D>=0){return this.x()}
else{return this.x1()}
}
}
let henger = new Henger_AV(408.2,628);
let hfe = new Harmadfoku_e(henger.p(),henger.q());
console.log(henger.r());
4. megoldás:
Használjunk függvényelemzést és excell táblázatkezelőt?
A függvénynek lokális szélső értéke van, ha az első deriváltja nulla. Használjunk függvényelemzést és excell táblázatkezelőt?
A mi függvényünk: x³-65·x + 200 = 0
Az első derivált függvénye: 3·x² -65 = 0
Oldjuk meg az egyenletet!
x1=-√653 = -4,6547
f(x1) = (-4,6547)³ -65·(-4,6547) +200 = 401,7
x1=√653 = 4,6547
f(x1) = 4,6547³ -65·4,6547 +200 = -1,7
(Ezeket az értékeket egy kattintással is megkaphattuk volna a geogebrával!!)
Látható, hogy
A -4,65 és 4,65 között biztosan van gyök, mégpedig a 4,65 közelében.
A 6,45-öt követően is közvetlenül lesz egy gyök.
A -6,45-öt megelőzően is van valahol egy gyök.
excell
Első közelítés:
Készítsünk egy excell táblázatot:
x = [-10, -9, ...,9,10], y = x^3-65*x+200 képlettel
Második közelítésben már használjunk tizedes beosztású eltérést!
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Határozzuk meg a henger hiányzó paramétereit: A = 503cm² és V = 864cm³
r = ?
m = ?
2. Határozzuk meg a henger hiányzó paramétereit:
A = 2815cm² és V = 11084cm³
r = ?
m = ?
3. Határozzuk meg a henger hiányzó paramétereit:
A = 955cm² és V = 2212cm³
r = ?
m = ?
4. Határozzuk meg a henger hiányzó paramétereit:
A = 1879cm² és V = 5309cm³
r = ?
m = ?
