Átlók szöge
Egy téglatest esetén hogyan számolhatjuk ki a térelemek szögét?
Érdekes lehet számunkra: - a testátlónak a lapátlókkal és az oldalélekkel alkotott szöge.
- a testátlónak egymással alkotott szöge.
- a lapátlóknak az oldalélekkel alkotott szögei,
A téglatest három oldalélének a hossza:
a, b és c.
Az egyértelműség kedvéért használjuk a következő jelöléseket:
- e(a,b) = az a és b oldalegynesek síkjában fekvő lapátló.
- α(a,b) = az a és b oldalegyenesek síkjának és a testátlónak a szöge.
- β(a,b) = az e(a,b) oldalnak a b oldalegyenessel bezárt szöge.
- γ(b,c) = az e(a,b) és e(a,c) által közbezárt szög.
- δ(a) = az a oldal két végpontjából induló testátlók egymással bezárt szöge.
A három lapátló hossza:
e(a,b) = √a² + b²
e(a,c) = √a² + c²
e(b,c) = √b² + c²
A testátló hossza: e(a,c) = √a² + c²
e(b,c) = √b² + c²
f = √a² + b² + c²
A testátló szöge:
tg α(a,b) = c/e(a,b)
tg α(a,c) = b/e(a,c)
tg α(b,c) = a/e(b,c)
A lapátlók szöge: tg α(a,c) = b/e(a,c)
tg α(b,c) = a/e(b,c)
tg β(a,b) = a/b
tg β(a,c) = a/c
tg β(b,c) = b/c
A lapátlók egymáshoz viszonyított szögét koszinusz-tétellel határozzuk meg. tg β(a,c) = a/c
tg β(b,c) = b/c
e(b,c)² = e(a,b)² + e(a,c)² -2·e(a,b)·e(a,c)·cos γ(b,c)
e(a,c)² = e(a,b)² + e(b,c)² -2·e(a,b)·e(b,c)·cos γ(a,c)
e(a,b)² = e(a,c)² + e(b,c)² -2·e(a,c)·e(b,c)·cos γ(a,b)
A testátlók egymáshoz viszonyított szöge: e(a,c)² = e(a,b)² + e(b,c)² -2·e(a,b)·e(b,c)·cos γ(a,c)
e(a,b)² = e(a,c)² + e(b,c)² -2·e(a,c)·e(b,c)·cos γ(a,b)
sin δ(a)/2 = a/f
sin δ(b)/2 = b/f
sin δ(c)/2 = c/f
sin δ(b)/2 = b/f
sin δ(c)/2 = c/f
Milyen képleteink vannak négyzetes oszlop esetén?
Négyzetes oszlop esetén: a = b és c = m. e(a,b) = e1 = a·1.4142
e(a,c) = e(b,c) = e2 = √a² + m²
f = √2·a² + m²
A testátlónak az alaplappal alkotott szöge:
tg α = m/e1
A lapátlók oldalélekkel alkotott szögei:
Alaplapon: β1 = 45°,
oldallapon: tg β2 = m/a
A lapátlók egymással alkotott szöge:
cos γ1 = e1/2/e2
γ2 = 2·(90° - γ1)
A testátlók egymással alkotott szöge:
sin δ/2 = a/f
Mi a helyzet a kockával?
A testátló szöge: tg α = a/(a·1,4142)
α = 35,26°
A lapátlók oldalakhoz viszonyított szöge:
β = 45°
A lapátlók egymáshoz viszonyított szöge:
γ = 60°
A testátlók egymással alkotott szöge:
sin δ/2 = 1/1.7321 = 0,5773
δ/2 = 35,26°
δ = 70,53°
Mintafeladatok
1. Egy téglatest alapéleinek hossza 3cm, 4cm és 5cm. Határozzuk meg az átlók hosszát és a testátló szögértékeit!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 3cm
b = 4cm
c = 5cm
e(a,b) = ?
e(a,c) = ?
e(b,c) = ?
f = ?
α(a,b) = ?
α(a,c) = ?
α(b,c) = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
e(a,b) = √a² + b²
e(a,c) = √a² + c²
e(b,c) = √b² + c²
f = √a² + b² + c²
tg α(a,b) = c/e(a,b)
tg α(a,c) = b/e(a,c)
tg α(b,c) = a/e(b,c)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
e(a,b) = √3² + 4² = 5.00cm
e(a,c) = √3² + 5² = 5.83cm
e(b,c) = √4² + 5² = 6.40cm
f = √3² + 4² + 5² = 7.07cm
α(a,b) = tan-1 5/5.00 = 45.00°
α(a,c) = tan-1 4/5.83 = 34.45°
α(b,c) = tan-1 3/6.40 = 25.10°
A mértékegységről se feldkezzünk meg!
2. Egy téglatest alapéleinek hossza 4cm, 5cm és 6cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a lapátlók oldalélekkel alkotott szögértékeit!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 4cm
b = 5cm
c = 6cm
e(a,b) = ?
e(a,c) = ?
e(b,c) = ?
f = ?
β(a,b) = ?
β(a,c) = ?
β(b,c) = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
e(a,b) = √a² + b²
e(a,c) = √a² + c²
e(b,c) = √b² + c²
f = √a² + b² + c²
tg β(a,b) = a/b
tg β(a,c) = a/c
tg β(b,c) = b/c
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
e(a,b) = √4² + 5² = 6.40cm
e(a,c) = √4² + 6² = 7.21cm
e(b,c) = √5² + 6² = 7.81cm
f = √3² + 4² + 5² = 8.77cm
β(a,b) = tan-1 4/5 = 38.66°
β(a,c) = tan-1 4/6 = 33.69°
β(b,c) = tan-1 5/6 = 39.81°
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
3. Egy téglatest alapéleinek hossza 5cm, 6cm és 7cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a lapátlók egymással alkotott szögértékeit!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 5cm
b = 6cm
c = 7cm
e(a,b) = ?
e(a,c) = ?
e(b,c) = ?
γ(a,b) = ?
γ(a,c) = ?
γ(b,c) = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
e(a,b) = √a² + b²
e(a,c) = √a² + c²
e(b,c) = √b² + c²
f = √a² + b² + c²
e(b,c)² = e(a,b)² + e(a,c)² -2·e(a,b)·e(a,c)·cos γ(b,c)
e(b,c)² = e(a,b)² + e(a,c)² -2·e(a,b)·e(a,c)·cos γ(b,c) |- e(a,b)² - e(a,c)²
e(b,c)² - e(a,b)² - e(a,c)² = -2·e(a,b)·e(a,c)·cos γ(b,c) |·(-1)
e(a,b)² + e(a,c)² - e(b,c)² = 2·e(a,b)·e(a,c)·cos γ(b,c) |/2/e(a,b)/e(a,c)
(e(a,b)² + e(a,c)² - e(b,c)²)/2/e(a,b)/e(a,c) = cos γ(b,c) |cos-1
γ(b,c) = cos-1 (e(a,b)² + e(a,c)² - e(b,c)²)/2/e(a,b)/e(a,c))
γ(a,c) = cos-1 (e(a,b)² + e(b,c)² - e(a,c)²)/2/e(a,b)/e(b,c))
γ(a,b) = cos-1 (e(a,c)² + e(b,c)² - e(a,b)²)/2/e(a,c)/e(b,c))
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás. e(b,c)² - e(a,b)² - e(a,c)² = -2·e(a,b)·e(a,c)·cos γ(b,c) |·(-1)
e(a,b)² + e(a,c)² - e(b,c)² = 2·e(a,b)·e(a,c)·cos γ(b,c) |/2/e(a,b)/e(a,c)
(e(a,b)² + e(a,c)² - e(b,c)²)/2/e(a,b)/e(a,c) = cos γ(b,c) |cos-1
γ(b,c) = cos-1 (e(a,b)² + e(a,c)² - e(b,c)²)/2/e(a,b)/e(a,c))
γ(a,c) = cos-1 (e(a,b)² + e(b,c)² - e(a,c)²)/2/e(a,b)/e(b,c))
γ(a,b) = cos-1 (e(a,c)² + e(b,c)² - e(a,b)²)/2/e(a,c)/e(b,c))
e(a,b) = √5² + 6² = 7.81cm
e(a,c) = √5² + 7² = 8.60cm
e(b,c) = √6² + 7² = 9.22cm
f = √5² + 6² + 7² = 10.49cm
γ(a,b) = cos-1 ((8.60² + 9.22² - 7.81)²)/ 2/8.60/9.22) = 51.84°
γ(a,c) = cos-1 ((7.81² + 9.22² - 8.60²)/ 2/7.81/9.22) = 60.00°
γ(b,c) = cos-1 ((7.81² + 8.60² - 9.22²)/ 2/7.81/8.60) = 68.15°
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
4. Egy téglatest alapéleinek hossza 6cm, 7cm és 8cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a testátlók egymáshoz viszonyított szögértékeit!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a = 6cm
b = 7cm
c = 8cm
e(a,b) = ?
e(a,c) = ?
e(b,c) = ?
f = ?
δ(a) = ?
δ(b) = ?
δ(c) = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
e(a,b) = √a² + b²
e(a,c) = √a² + c²
e(b,c) = √b² + c²
f = √a² + b² + c²
δ(a) = sin-1 (a/f)
δ(b) = sin-1 (b/f)
δ(c) = sin-1 (c/f)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
e(a,b) = √3² + 4² = 9.22cm
e(a,c) = √3² + 5² = 10.00cm
e(b,c) = √4² + 5² = 10.63cm
f = √3² + 4² + 5² = 12.21cm
δ(a) = sin-1 6/12.21 = 29.44°
δ(b) = sin-1 7/12.21 = 34.99°
δ(c) = sin-1 8/12.21 = 40.95°
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
Tesztfeladatok
1. Egy téglatest alapéleinek hossza 9cm, 12cm és 14cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a testátló szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
α(a,b) = °
α(a,c) = °
α(b,c) = °
Határozzuk meg az átlók hosszát és a testátló szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
α(a,b) = °
α(a,c) = °
α(b,c) = °
2. Egy téglatest alapéleinek hossza 14cm, 16cm és 20cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a lapátlók oldalélekkel alkotott szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
β(a,b) = °
β(a,c) = °
β(b,c) = °
Határozzuk meg az átlók hosszát és a lapátlók oldalélekkel alkotott szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
β(a,b) = °
β(a,c) = °
β(b,c) = °
3. Egy téglatest alapéleinek hossza 15cm, 20cm és 24cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a lapátlók egymással alkotott szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
γ(a,b) = °
γ(a,c) = °
γ(b,c) = °
Határozzuk meg az átlók hosszát és a lapátlók egymással alkotott szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
γ(a,b) = °
γ(a,c) = °
γ(b,c) = °
4. Egy téglatest alapéleinek hossza 4cm, 9cm és 14cm.
Határozzuk meg az átlók hosszát és a testátlók egymáshoz viszonyított szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
δ(a,b) = °
δ(a,c) = °
δ(b,c) = °
Határozzuk meg az átlók hosszát és a testátlók egymáshoz viszonyított szögértékeit!
e(a,b) = cm
e(a,c) = cm
e(b,c) = cm
f = cm
δ(a,b) = °
δ(a,c) = °
δ(b,c) = °
Átlók szöge:
NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| Összesen. |
