15. Gúla

Gúla

Mit nevezünk gúlának?

A gúla alaplapja valamilyen sokszög.
Ez a sokszög általában négyzet, vagy valamilyen más szabályos sokszög.
Az alaplap síkján kívül van még egy felső csúcspont.
A gúlát oldalról határoló palástot úgy kapjuk, hogy a csúcspontból szakaszokat húzunk az alaplap pontjaiba.
Ez a módszer az úgynevezett körüljáratásos módszer.

Figyeljük meg milyen viszonyban van az egyenes- és ferdegúla felszíne egymással és az egyenes- és ferdegúla térfogata egymással!

Melyek a sokszor használt gúlafajták?

Tetraéder = minden oldala szabályos háromszög (ez egy szabályos test).

Négyzet alapú gúla = jelző nélküli gúla = piramis.
Szabályos hatszög alapú gúla.

Milyen jellemzői vannak a gúlának?

Jellemző pontok:
A, B, C, D = az alaplap csúcspontjai
P = gúla alaplapon kívüli felső csúcspontja

Egyéb pontok:
O = az alaplap átlóinak a felezőpontja, a magasság talppontja
T = az alaplap egyik oldalélének a felezőpontja, az oldalmagasság talppontja

szakaszok, távolságok:
a = az alaplap oldalélének a hossza
b = az oldalél hossza
e = az alaplap átlójának a hossza
m = a gúla magassága
mo = az oldallap magassága

Hány Pitagorasz-tétel áll rendelkezésünkre?

1. OTP△:

képlet:

(a/2)² + m² = mo²

Az oldallapnak az alaplappal alkotott szöge = α.
szögfüggvények:

sin α = m/mo
cos α = (a/2)/mo
tg α = m/(a/2)

2. OCP△:

képlet:

a²/2 + m² = b²

Az oldallapnak az oldaléllel alkotott szöge = β.
szögfüggvények:

sin β = m/b
cos β = 0,7071·a/b
tg β = 1,4142·m/a

3. PTC△:

képlet:

(a/2)² + mo² = m²

Az oldalélnek az alapéllel alkotott szöge = γ.
szögfüggvények:

sin γ = mo/b
cos γ = a·0,5/b
tg γ = 2·mo/a

Hogyan határozzuk meg a gúla felszínét?

A = T + P

A = a² + 2·a·mo

Hogyan lehet meghatározni a gúla térfogatát?

Egy hasáb térfogata háromszorosa a vele azonos alapterületű és magasságú gúla térfogatának.

Geogebra szemléltetés.
V = T·m/3

V = a²·m/3

Papírmodell-készítés: Legutolsó modell.

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Hogyan származtatható a gúla?
2. Általában milyen alakzat a gúla alapja?
3. Milyen viszony van a tetraéderek és a háromszög alapú gúlák között?
4. Hol helyezkedik el a P pont egyenes- és ferdegúla esetén?
5. Milyen hosszjellemzői vannak a gúlának?
6. Hány különböző síkmetszete van a gúlának? Melyek ezek?
7. Milyen képleteket használhatunk a hiányzó távolság és szögértékek kiszámításához?
8. Mi alkotja a gúla felszínét?
9. Milyen összehasonlítást végzünk a gúla térfogatának meghatározásánál?
10. Hogyan lehet szemléltetni a gúla térfogatképletét?