Kombinatorika
n = a különböző elemek száma
ismétlés nélküli permutáció = lehetséges sorrendek száma
felsorolás: növekvő sorrendben!
elején rögzít, hálulján cserél (oszlopszerűen)
ABC, BAC, CAB,
ACB BCA CBA
dobozmodell: Pn = n·(n - 1)· ...·2·1
képlet: Pn = n! (faktoriális)
ciklikus permutáció:
Pnc = (n - 1)!
n1, n2, ... = az ismétlődő elemek száma
ismétléses permutáció
képlet: Pn1,n2... = n!/(n1!·n2!· ...)
két csoport esetén:
k, n -k elemszámok
képlet: P = n!/(k!·(n - k)!)
n = összes különböző elem
k = kiválasztott elemek száma
ismétlés nélküli kombináció = lehetséges kiválasztások száma
sorrend nem számít!
dobozmodell: Cnk = n!/(k!·(n - k)!)
képlet: Cnk = (n k) = n alatt a k
n = lányok száma
n - 1 = elválasztó jelek száma
k = virágok (virágjelek) száma
n + k - 1 = jelek száma
ismétléses kombináció
képlet: Cnki = (n+k-1 k)
kiválasztás + sorbarendezés:
ismétlés nélküli variáció:
sorrend számít!
doboz modell: Vnk = n·(n -1)·...·(n -k +1)
Képlet: Vnk = n!/(n -k)!
Vnk = (n k)·k!
ismétléses variáció:
Képlet: Vnki = nk
2022. augusztus 21., vasárnap
3. Témakörök vázlata: Kombinatorika
2. Témakörök vázlata: Gráfok
Gráfok
pontok, csúcsok
csúcsok száma = n
fokszám: kiinduló élek száma
fokszámok összege
= élek száma*2
teljes gráf: fokszámok összege = maximális
teljes gráf éleinek száma = n*(n - 1)/2
3 csúcsú → 3 = 2 + 1
4 csúcsú → 6 = 3 + 2 + 1
5 csúcsú → 10 = 4 + 3 + 2 + 1
6 csúcsú → 15 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1
izolált pont: fokszám = 0
üres gráf: fokszámok összege = minimális
+ élek, vonalak
irányítatlan ⇔ irányított
- hurokél
- többszörös (párhuzamos) él
egyszerű gráf = nincs hurok és többszörös él
élsorozatok
vonal = az éleken csak egyszer halad át
Euler-vonal = minden élen áthalad
út = a csúcsokon csak egyszer halad át
összefüggő gráf ⇔ széteső gráf
kör = kezdő- és végpont azonos
Hamilton-kör = minden csúcson áthalad
fagráf = nincs benne kör
gyökérelem
csomópont
levélelem
= gráf
megalkotás fokszámokból
legnagyobb fokszámú → legkisebb fokszámú → ... (kipipálás)
1. Témakörök vázlata: Halmazok
Halmazok
-halmaz (A) ⇔ nem halmaz
-eleme (a ∈ A) ⇔ nem eleme (b ∉ A)
-halmazmegadás:
-elemek felsorolásával {a; ...}
-sorrend nem számít
-minden elem csak egyszer szerepelhet
halmaz elemszáma = számosság = (|A|)
-véges halmaz ⇔ végtelen halmaz
-halmazábrával (Venn-diagrammal)
-közös tulajdonság megadásával A = {egyjegyű prímek}
-képlettel A = {x|x=2k+1, ahol k = 1;2;3;4;5}
-kiolvasása: az A halmaz olyan x számokból áll, amelyekre teljesül, hogy
az x 2k+1 alakú számokból áll, ahol a k értéke 1;2;3;4;5 lehet.
-van eleme (nem üres halmaz) ⇔ nincs eleme (üres halmaz)(∅ {})
-részhalmaza (A, ha A ⊆ B) ⇔ tartalmazó halmaza (B, ha A ⊆ B)
valódi részhalmaza (A, ahol A ⊂ B és ahol A ≠ ∅) ⇔ nem valódi részhalmaza (B-nek nem valódi részhalmaza: B és ∅)
-konkrét|vizsgált halmaz (A)⇔ alaphalmaz (U)
-konkrét|vizsgált halmaz (A) ⇔ kiegészítő (komplementer) halmaz (A)
-faktorhalmaz = összes részhalmazok halmaz (2n elemet tartalmaz)
-számhalmazok ⇔ bizonyos számokból álló véges halmazok
pozitív egészek (Z+)
+ nulla (0)
= természetes számok (N)
+negatív egészek (Z-)
= egészek (áltörtek)
+valódi törtek
=törtek(racionális számok) (Q)
véges tizedes törtek
+végtelen szakaszos tizedes törtek
+végtelen nem szakaszos tizedes törtek (irracionális számok)(Q*)
=valós számok (számegyenes pontjai) (R)
kitekintés:
-algebrai számok (A)
-komplex számok (C)
normál alakú számok
kettes számrendszerbeli számok
-egymást metsző halmazok ⇔ közös elem nélküli (diszjunkt, egymástól elkülönülő) halmazok
-halmazok metszete (A ⋂ B)
-halmazok különbsége (A \ B, B \ A)
-halmazok uniója (A ⋃ B)
3k-szabály: középkezdés, kivonás, kiegészítés
logikai-szita formulák
-véges intervallumok ⇔ végtelen intervallumok:
-zárt ⇔ nyitott ⇔ egyik oldalról nyitott intervallumok
-intervallumok metszete, uniója, különbsége
-síkbeli ponthalmazok ⇔térbeli ponthalmazok
nevezetes alakzatok:
-szakaszfelező merőleges ⇔ szögfelező
kúpszeletek:
-kör ⇔ gömb
-ellipszis, parabola, hiperbola
-egyéb objektumokból álló véges halmazok ⇔ számokból álló véges halmazok
betűkből álló halmazok
tárgyhalmazok
emberhalmazok
- heterogén (nem egyféle elemből felépülő) halmazok ⇔ homogén (egyféle elemből felépülő) halmazok
gráfok:
-pontok
-élek
Kapcsolódási pontok:
- LOGIKAI kijelentések műveletei ⇔ halmazműveletek
- VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS eseményei ⇔ halmazműveletek
HALMAZOK: nincs elemismétlődés + sorrend nem számít
⇕
+KOMBINATORIKA: lehet elemismétlődés + sorrend lehet, hogy számít
+STATISZTIKA: van elemismétlődés + sorrend lehet, hogy számít
= Gondolkodási módszerek
2022. augusztus 19., péntek
3. Logika igaz-hamis teszt
Dönts az alábbi mondatokról! Igazak, hamisak, vagy nem tartoznak a logika tárgykörébe!
NÉV: PONT:Igaz-hamis állítások:
| Ssz. | Állítás | Igaz | Hamis | Nem kijelentés |
? |
| 1. | |||||
| 2. | |||||
| 3. | |||||
| 4. | |||||
| 5. | |||||
| 6. | |||||
| 7. | |||||
| 8. | |||||
| 9. | |||||
| 10. | |||||
| 11. | |||||
| 12. | |||||
| 13. | |||||
| 14. | |||||
| 15. |
2022. augusztus 18., csütörtök
2. Kétváltozós logikai műveletek
Kétváltozós logikai műveletek
Hány különböző kétváltozós kijelentés létezik?
Vegyünk egy halmazábrát! Két egymást metsző halmazkarika az alaphalmazt 4 területre bontja.
Minden területnél fel kell tennünk a kérdést: igaz, vagy hamis a logikai értéke, hogy az elem itt található.
Ennek megfelelően a lehetőségek száma: 24 = 16.
A wikipedia táblázatos formában fel is sorolja a lehetőségeket.
Nekünk csak a megnevezések szükségesek:
1. A
2. ¬A
3. B
4. ¬B
5. I = mindig igaz
6. H = mindig hamis
7. A∧B
8. ¬(A∧B)
9. A∨B
10. ¬(A∨B)
11. A→B
12. ¬(A→B)
13. B→A
14. ¬(B→A)
15. A↔B
16. ¬(A↔B)
Vezessünk be újabb logikai műveleteket!
Halmazelméleti megfelelők mentén haladva: - a részhalmazképzésnek a következtetés, HA ... AKKOR (implikáció, jele: A→B),
- halmazok egyenlőségének az AKKOR ÉS CSAKIS AKKOR (ekvivalencia, jele: A↔B),
- a metszetképzésnek a logikai ÉS (konjunkció, jele: A∧B),
- az unióképzésnek a logikai VAGY (diszjunkció, jele: A∨B) művelete feleltethető meg.
Mit tudunk a logikai ÉS műveletről?
| A | B | A∧B |
| i | i | i |
| i | h | h |
| h | i | h |
| h | h | h |
Állítások:
1. A∧¬A = H
2. ¬(A∧B) = ¬A ∨ ¬B
Mit tudunk a logikai VAGY műveletről?
| A | B | A∨B |
| i | i | i |
| i | h | i |
| h | i | i |
| h | h | h |
Állítások:
1. A∨¬A = I
2. ¬(A∨B) = ¬A ∧ ¬B
Mit tudunk következtetés műveletről?
| A | B | A→B |
| i | i | i |
| i | h | h |
| h | i | i |
| h | h | i |
Állítások:
1. A→B ≠ B→A
2. A∧¬A = H
3. A→B = ¬A ∨ B
Ebből az következik, hogy bármelyik kétváltozóslogikai művelet kifelyezhető NEM, ÉS, VAGY műveletek segítségével.
Mit tudunk az ekvivalencia műveletről?
| A | B | A↔B |
| i | i | i |
| i | h | h |
| h | i | h |
| h | h | i |
Állítások:
1. A↔B = (A→B) ∧ (B→)
Mit tudunk feltételekről és a következményekről?
A következtetés két részből áll: "Ha A, akkor B."
Az A = feltétel.
A B = következmény.
Ha megcseréljük az A-t és a B-t, akkor az állítás megfordításáról beszélünk.
A. eset:
Ha egykövetkeztetés igaz és a megfordítása is igaz, akkor ekvivalenciáról beszélünk.
pl. "Ha egy szám osztható 6-tal, akkor és csakis akkor, ha a szám osztható 2-vel és 3-mal is."
A 6-tal való oszthatóság a 2-vel és 3-mal való oszthatóságnak a szükséges és elégséges feltétele és fordítva.
Mi a helyzet akkor, ha egy következtetés igaz, de a megfordítása már nem igaz?
B. eset:
"Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel is."
Ez az állítás egyenértékű azzal, hogy
"A 6-tal osztható számok szűkebb halmazt alkotnak, mint a 2-vel osztható számok."
A = szűkebb halmaz (részhalmaz),
B = tágabb halmaz (tartalmazó halmaz).
"Ha egy elem beletartozik egy szűkebb részhalmazba, akkor beletartozik egy tágabb tartalmazó halmazba is."
"A 2-vel való oszthatóság a 6-tal való oszthatóság szükséges, de nem elégséges feltétele."
"Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 6-tal szükséges, hogy 2-vel osztható legyen, de nem elégséges, mert vannak olyan 2-vel osztható számok,
amik nem oszthatók 6-tal."
Tehát B (a tágabb halmazhoz való tartozás) az A-nak (a szűkebb halmazhoz való tartozás) szükséges, de nem elégséges feltétele.
"A 6-tal való oszthatóság a 2-vel való oszthatóság elégséges, de nem szükséges feltétele."
"Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 2-vel elegendő azt tudnunk, hogy a szám osztható 6-tal, mert minden 6-tal osztható szám osztható 2-vel is,
de így nem kapjuk meg az összes 6-tal osztható számot, tehát a szükségesség nem teljesül."
Tehát A (a szűkebb halmazhoz való tartozás) a B-nek (a tágabb halmazhoz való tartozás) elégséges, de nem szükséges feltétele.
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Hány egyváltozós és hány kétváltozós művelet létezik? 2. Melyik kétváltozós logikai műveletnek felel meg a részhalmazképzés?
3. A logikai ÉS művelet melyik logikai művelettel áll rokonságban? Megnyilvánul-e ez a jelek szintjén is?
4. Mi a VAGY művelet latin neve?
5. Milyen összefüggés van a következtetés és az ekvivalencia műveletek között?
6. Mi a logikai értéke a "Lenni, vagy nem lenni." kijelentésnek.
7. Miben különbözik a logikai ÉS és a logikai VAGY művelet logikai táblázata?
8. Mikor beszélhetünk szükséges és elégséges feltételről?
9. "Ha egy paralelogramma minden szöge derékszög, akkor az a négyszög téglalap." kijelentésben mi a szükséges feltétel?
10. "Ha egy paralelogramma minden szöge derékszög, akkor az a négyszög téglalap." kijelentésben mi az elégséges feltétel?
Kétváltozós logikai műveletekre vonatkozó feladatok:
1.Két állítást fogalmaztunk meg.A: 320 osztható 40-nel.
B: 320 osztható 50-nel.
Fogalmazd meg az A⋀B; A⋁B állításokat, és állapítsd meg az igazságértéküket!
2.Állapítsd meg az alábbi állítások igazságértékét:
"Egy szorzat negatív, ha van negatív szorzótényezője."
"Két különböző valós szám négyzetösszege pozitív."
"Egy konvex ötszögnek négy átlója van."
"A 2 prímszám vagy a 7 páros szám."
"A 2 prímszám és a 8 páros szám."
"A 6 nem páros vagy a 7 nem páros szám."
3.Tagadjuk az alábbi állításokat!
"Minden kutya ugat."
"A 7 páratlan szám."
"Van örökzöld növény."
"Minden sokszögnek van átlója."
"Bármely valós szám abszolút értéke pozitív."
4. Állapítsuk meg az alábbi kijelentések igazságértékét, majd fordítsuk meg a kijelentéseket,
és határozzuk meg az így kapott kijelentések igazságértékét is!
"Ha egy szám páros, akkor osztható néggyel."
"Ha egy négyszög négyzet, akkor átlói merőlegesek egymásra."
"Ha hat valós szám szorzata pozitív, akkor a tényezők között páros darab negatív előjelű szám van."
"Ha egy tört számlálója nagyobb, mint a nevezője, akkor a tört értéke nagyobb, mint egy."
1. Kijelentések
Kijelentések
Mik a kijelentések?
Azokat a kijelentő mondatokat (állításokat), amelyeknek az igazságtartalma egyértelműen meghatározható kijelentéseknek nvezzük. A logikai érték azt jelenti, hogy a kijelentés igaz, vagy hamis.
A kijelentéseket az ábécé nagy betűivel jelöljük.
Az azonosan (mindig) igaz állításokat I-vel jelöljük.
Az azonosan hamis állításokat H-val jelöljük.
A kijelentések többnyire elemekre és tulajdonságokra vonatkoznak.
Az ilyen jellegű kijelentésekben nagyon gyakran szerepelnek a következő szavak:
- létezik, van (egzisztenciális kvantor: ∃ = fordított E betű = Exist)
- minden (univerzális kvantor: ∀ = fordított A betű = Alles).
1. Kijelentésminta:
A következő mondat kijelentés:
"Létezik olyan prímszám, amelyik páros."
Ez a kijelentés igaz, mert a 2 prímszám és páros is.
A kijelentésmintából jól látszik, hogy a logikai érték megadását általában indoklás követi, amikor példát, vagy ellenpéldát mondunk az állításra.
Az igaz állítások indoklása el szokott maradni.
2. Kijelentésminta:
"Minden prímszám páratlan."
Ez a kijelentés hamis, mert létezik olyan prímszám (a 2), amelyik páros.
Látható, hogy egy állítás hamisságának megállípításához egyetlen ellenpélda is elegendő. Ha nincs ellenpélda, akkor az állítás igaz.
Mit nevezünk tagadásnak?
A tagadás, vagy negáció olyan logikai művelet, amely a NEM szócska használatát jelenti. A negáció jele: ¬.
Egy igaz kijelentés tagadása hamis, egy hamis kijelentés tagadása igaz állítás lesz.
logikai táblázat: az összes lehetséges eset bemutatására szolgál.
| A | ¬A |
| i | h |
| h | i |
Látható, hogy a negáció egyváltozójú logikai művelet.
Hogyan tagadjuk a léteziket és a mindent?
A matematikai logika és a halmazelmélet között szoros kapcsolat van. Ennek megfelelően a halmazok segítségével a logikai kijelentéseket is szemléletessé lehet tenni.
A tagadás a halmazelméletben összefüggésbe hozható
- a halmazképzéssel
- a komplementerképzéssel
- és az üres halmaz fogalmával.
Ha MINDEN elemre teljesül egy tulajdonság, akkor az elemek a halmazon belül vannak.
Tehát NINCS olyan elem, amelyik a halmazon kívül van, vagyis a komplementer halmaz üres.
Ha viszont NEM MINDEN elemre sem teljesül egy tulajdonság, akkor az elemek egy része a halmazon kívül vannak.
Tehát biztosan van olyan elem, amelyik a halmazon kívül van, vagyis a komplementer halmaz nem üres.
Ha azt állítjuk, hogy LÉTEZIK egy elem, amelyre teljesül egy tulajdonság,
akkor az adott tulajdonságú elemeket tartalmazó halmaz biztosan nem üres.
Ha viszont azt állítjuk, hogy NEM LÉTEZIK egy elem, amelyre teljesül egy tulajdonság,
akkor az adott tulajdonságú elemeket tartalmazó halmaz biztosan üres.
A LÉTEZIK tagatásai:
- "nem létezik", "nincs"
- "mindegyik olyan, amelyik NEM ... tulajdonságú". vagy "egyik sem ... tulajdonságú".
pl. "Létezik piros hó." kijelentés tagadásai:
- "Nem létezik piros hó."
- "Nincs piros hó."
- "Minden hó olyan, hogy nem piros színű."
- "Egyik hó sem piros."
A MINDEN tagadásai:
- "nem minden"
- "van|létezik olyan, amelyik NEM ... tulajdonságú".
pl. "Minden háromszög belső szögeinek összege 180°." kijelentés tagadásai:
- "Nem mindegyik háromszögre teljesül, hogy a belső szögeinek összege 180°."
- "Létezik olyan háromszög, amelyeiknek a belső szögeinek az összege nem 180°."
Összefoglava:
A MINDEN egyik tagadása: LÉTEZIK, amelyik NEM.
A LÉTEZIK egyik tagadása: MINDEN-re teljesül(|igaz az), hogy NEM.
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Létezik-e olyan kijelentés, amelyikről nem tudjuk eldönteni, hogy igaz, vagy hamis? Miért? 2. A "talán" szó lehet-e egy kijelentés logikai értéke? Miért?
3. Milyen betűkkel jelöljük a kijelentéseket?
4. Milyen szavakból származik a "létezik", és a "minden" szavak jele?
5. Hány ellenpélda szükséges egy kijelentés hamis voltának megállapításához?
6. Hogyan lehet nyelvileg felismerni a logikai tagadás műveletét?
7. Mit jelent a logikában a kettős tagadás?
8. Mi lesz egy "létezik" szót tartalmazó kijelentés tagadása?
9. Mi lesz egy " minden" szót tartalmazó kijelentés tagadása?
10. Hányváltozós logikai művelet a tagadás?
Tagadásra vonatkozó feladatok:
1. Döntsd el, hogy az alább felsoroltak közül melyik mondat a tagadása a következő állításnak!"Minden érettségi feladat egyszerű."
A: "Minden érettségi feladat bonyolult."
B: "Van olyan érettségi feladat, ami nem egyszerű."
C: "Sok érettségi feladat bonyolult."
D: "Van olyan érettségi feladat, ami egyszerű."
2. Tamás a saját felmérése alapján a következőt állítja:
"Minden háztartásban van televízió."
Az alábbi négy állítás közül melyik tagadása Tamás állításának?
A: "Semelyik háztartásban nincs televízió."
B: "Van olyan háztartás, ahol van televízió."
C: "Van olyan háztartás, ahol nincs televízió."
D: "Nem minden háztartásban van televízió."
3. Tekintsd a következő állítást:
"A városban minden kéményseprő fekete."
Válaszd ki az alábbi állítások közül az összeset, amelyik tagadása az előbbi kijelentésnek!
A: "A városban minden kéményseprő fehér."
B: "A városban nincs fekete kéményseprő."
C: "Van a városban olyan kéményseprő, aki nem fekete."
D: "A városban nem minden kéményseprő fekete."
4.Egy autószalonról szól a következő állítás:
"A szalonban van olyan autó, amelyik kék."
Válaszd ki az összes olyan állítást, amelyik tagadása az előbbi kijelentésnek!
A: "A szalonban van olyan autó, amelyik nem kék."
B: "A szalonban minden autó kék."
C: "A szalonban egyik autó sem kék."
D: "Nincs a szalonban kék autó."
5.Fogalmazd meg a következő állítások tagadását!
"Van olyan társasjáték, amelyhez nem kell dobókocka."
"Van olyan mackó, amelyik szereti a mézet."
"Minden növénynek szüksége van oxigénre."
"Minden madár tud repülni."
2022. augusztus 17., szerda
9. Témazáró feladatok (Sorozatok)
Témazáró feladatsor (Sorozatok)
Azonosító:
1.
Hello1
2.
Hello2
3.
Hello3
4.
Hello4
5.
Hello5
6.
Hello6
Feliratkozás:
Bejegyzések (Atom)