2. Kétváltozós logikai műveletek

Kétváltozós logikai műveletek

Hány különböző kétváltozós kijelentés létezik?

Vegyünk egy halmazábrát!
Két egymást metsző halmazkarika az alaphalmazt 4 területre bontja.
Minden területnél fel kell tennünk a kérdést: igaz, vagy hamis a logikai értéke, hogy az elem itt található.
Ennek megfelelően a lehetőségek száma: 2⁴ = 16.
A wikipedia táblázatos formában fel is sorolja a lehetőségeket.
Nekünk csak a megnevezések szükségesek:
1. A
2. ¬A
3. B
4. ¬B
5. I = mindig igaz
6. H = mindig hamis

7. A∧B
8. ¬(A∧B)
9. A∨B
10. ¬(A∨B)
11. A→B
12. ¬(A→B)
13. B→A
14. ¬(B→A)
15. A↔B
16. ¬(A↔B)

Vezessünk be újabb logikai műveleteket!

Halmazelméleti megfelelők mentén haladva:
- a részhalmazképzésnek a következtetés, HA ... AKKOR (implikáció, jele: A→B),
- halmazok egyenlőségének az AKKOR ÉS CSAKIS AKKOR (ekvivalencia, jele: A↔B),
- a metszetképzésnek a logikai ÉS (konjunkció, jele: A∧B),
- az unióképzésnek a logikai VAGY (diszjunkció, jele: A∨B) művelete feleltethető meg.

Mit tudunk a logikai ÉS műveletről?

A	B	A∧B
i	i	i
i	h	h
h	i	h
h	h	h

A táblázatból látható, hogy a logikai ÉS csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz, egyébként hamis.

Állítások:
1. A∧¬A = H
2. ¬(A∧B) = ¬A ∨ ¬B

Mit tudunk a logikai VAGY műveletről?

A	B	A∨B
i	i	i
i	h	i
h	i	i
h	h	h

A táblázatból látható, hogy a logikai VAGY csak akkor hamis, ha mindkét állítás hamis, egyébként igaz.

Állítások:
1. A∨¬A = I
2. ¬(A∨B) = ¬A ∧ ¬B

Mit tudunk következtetés műveletről?

A	B	A→B
i	i	i
i	h	h
h	i	i
h	h	i

A táblázatból látható, hogy a következtetés csak akkor hamis, ha az első állítás igaz, a második pedig hamis.

Állítások:
1. A→B ≠ B→A
2. A∧¬A = H
3. A→B = ¬A ∨ B
Ebből az következik, hogy bármelyik kétváltozóslogikai művelet kifelyezhető NEM, ÉS, VAGY műveletek segítségével.

Mit tudunk az ekvivalencia műveletről?

A	B	A↔B
i	i	i
i	h	h
h	i	h
h	h	i

A táblázatból látható, hogy az ekvivalencia csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz, vagy mindkét állítás hamis.

Állítások:
1. A↔B = (A→B) ∧ (B→)

Mit tudunk feltételekről és a következményekről?

A következtetés két részből áll:
 "Ha A, akkor B."
Az A = feltétel.
A B = következmény.

Ha megcseréljük az A-t és a B-t, akkor az állítás megfordításáról beszélünk.

A. eset:
Ha egykövetkeztetés igaz és a megfordítása is igaz, akkor ekvivalenciáról beszélünk.
pl. "Ha egy szám osztható 6-tal, akkor és csakis akkor, ha a szám osztható 2-vel és 3-mal is."
A 6-tal való oszthatóság a 2-vel és 3-mal való oszthatóságnak a szükséges és elégséges feltétele és fordítva.

Mi a helyzet akkor, ha egy következtetés igaz, de a megfordítása már nem igaz?

B. eset:
"Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel is."
Ez az állítás egyenértékű azzal, hogy
"A 6-tal osztható számok szűkebb halmazt alkotnak, mint a 2-vel osztható számok."
A = szűkebb halmaz (részhalmaz),
B = tágabb halmaz (tartalmazó halmaz).
"Ha egy elem beletartozik egy szűkebb részhalmazba, akkor beletartozik egy tágabb tartalmazó halmazba is."
"A 2-vel való oszthatóság a 6-tal való oszthatóság szükséges, de nem elégséges feltétele."
"Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 6-tal szükséges, hogy 2-vel osztható legyen, de nem elégséges, mert vannak olyan 2-vel osztható számok,
amik nem oszthatók 6-tal."

Tehát B (a tágabb halmazhoz való tartozás) az A-nak (a szűkebb halmazhoz való tartozás) szükséges, de nem elégséges feltétele.


"A 6-tal való oszthatóság a 2-vel való oszthatóság elégséges, de nem szükséges feltétele."
"Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 2-vel elegendő azt tudnunk, hogy a szám osztható 6-tal, mert minden 6-tal osztható szám osztható 2-vel is,
de így nem kapjuk meg az összes 6-tal osztható számot, tehát a szükségesség nem teljesül."

Tehát A (a szűkebb halmazhoz való tartozás) a B-nek (a tágabb halmazhoz való tartozás) elégséges, de nem szükséges feltétele.

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Hány egyváltozós és hány kétváltozós művelet létezik?
2. Melyik kétváltozós logikai műveletnek felel meg a részhalmazképzés?
3. A logikai ÉS művelet melyik logikai művelettel áll rokonságban? Megnyilvánul-e ez a jelek szintjén is?
4. Mi a VAGY művelet latin neve?
5. Milyen összefüggés van a következtetés és az ekvivalencia műveletek között?
6. Mi a logikai értéke a "Lenni, vagy nem lenni." kijelentésnek.
7. Miben különbözik a logikai ÉS és a logikai VAGY művelet logikai táblázata?
8. Mikor beszélhetünk szükséges és elégséges feltételről?
9. "Ha egy paralelogramma minden szöge derékszög, akkor az a négyszög téglalap." kijelentésben mi a szükséges feltétel?
10. "Ha egy paralelogramma minden szöge derékszög, akkor az a négyszög téglalap." kijelentésben mi az elégséges feltétel?

Kétváltozós logikai műveletekre vonatkozó feladatok:

1.Két állítást fogalmaztunk meg.
 A: 320 osztható 40-nel.
 B: 320 osztható 50-nel.
Fogalmazd meg az A⋀B; A⋁B állításokat, és állapítsd meg az igazságértéküket!

2.Állapítsd meg az alábbi állítások igazságértékét:
 "Egy szorzat negatív, ha van negatív szorzótényezője."
 "Két különböző valós szám négyzetösszege pozitív."
 "Egy konvex ötszögnek négy átlója van."
 "A 2 prímszám vagy a 7 páros szám."
 "A 2 prímszám és a 8 páros szám."
 "A 6 nem páros vagy a 7 nem páros szám."

3.Tagadjuk az alábbi állításokat!
 "Minden kutya ugat."
 "A 7 páratlan szám."
 "Van örökzöld növény."
 "Minden sokszögnek van átlója."
 "Bármely valós szám abszolút értéke pozitív."

4. Állapítsuk meg az alábbi kijelentések igazságértékét, majd fordítsuk meg a kijelentéseket,
és határozzuk meg az így kapott kijelentések igazságértékét is!
 "Ha egy szám páros, akkor osztható néggyel."
 "Ha egy négyszög négyzet, akkor átlói merőlegesek egymásra."
 "Ha hat valós szám szorzata pozitív, akkor a tényezők között páros darab negatív előjelű szám van."
 "Ha egy tört számlálója nagyobb, mint a nevezője, akkor a tört értéke nagyobb, mint egy."