Kijelentések
Mik a kijelentések?
Azokat a kijelentő mondatokat (állításokat), amelyeknek az igazságtartalma egyértelműen meghatározható kijelentéseknek nvezzük. A logikai érték azt jelenti, hogy a kijelentés igaz, vagy hamis.
A kijelentéseket az ábécé nagy betűivel jelöljük.
Az azonosan (mindig) igaz állításokat I-vel jelöljük.
Az azonosan hamis állításokat H-val jelöljük.
A kijelentések többnyire elemekre és tulajdonságokra vonatkoznak.
Az ilyen jellegű kijelentésekben nagyon gyakran szerepelnek a következő szavak:
- létezik, van (egzisztenciális kvantor: ∃ = fordított E betű = Exist)
- minden (univerzális kvantor: ∀ = fordított A betű = Alles).
1. Kijelentésminta:
A következő mondat kijelentés:
"Létezik olyan prímszám, amelyik páros."
Ez a kijelentés igaz, mert a 2 prímszám és páros is.
A kijelentésmintából jól látszik, hogy a logikai érték megadását általában indoklás követi, amikor példát, vagy ellenpéldát mondunk az állításra.
Az igaz állítások indoklása el szokott maradni.
2. Kijelentésminta:
"Minden prímszám páratlan."
Ez a kijelentés hamis, mert létezik olyan prímszám (a 2), amelyik páros.
Látható, hogy egy állítás hamisságának megállípításához egyetlen ellenpélda is elegendő. Ha nincs ellenpélda, akkor az állítás igaz.
Mit nevezünk tagadásnak?
A tagadás, vagy negáció olyan logikai művelet, amely a NEM szócska használatát jelenti. A negáció jele: ¬.
Egy igaz kijelentés tagadása hamis, egy hamis kijelentés tagadása igaz állítás lesz.
logikai táblázat: az összes lehetséges eset bemutatására szolgál.
| A | ¬A |
| i | h |
| h | i |
Látható, hogy a negáció egyváltozójú logikai művelet.
Hogyan tagadjuk a léteziket és a mindent?
A matematikai logika és a halmazelmélet között szoros kapcsolat van. Ennek megfelelően a halmazok segítségével a logikai kijelentéseket is szemléletessé lehet tenni.
A tagadás a halmazelméletben összefüggésbe hozható
- a halmazképzéssel
- a komplementerképzéssel
- és az üres halmaz fogalmával.
Ha MINDEN elemre teljesül egy tulajdonság, akkor az elemek a halmazon belül vannak.
Tehát NINCS olyan elem, amelyik a halmazon kívül van, vagyis a komplementer halmaz üres.
Ha viszont NEM MINDEN elemre sem teljesül egy tulajdonság, akkor az elemek egy része a halmazon kívül vannak.
Tehát biztosan van olyan elem, amelyik a halmazon kívül van, vagyis a komplementer halmaz nem üres.
Ha azt állítjuk, hogy LÉTEZIK egy elem, amelyre teljesül egy tulajdonság,
akkor az adott tulajdonságú elemeket tartalmazó halmaz biztosan nem üres.
Ha viszont azt állítjuk, hogy NEM LÉTEZIK egy elem, amelyre teljesül egy tulajdonság,
akkor az adott tulajdonságú elemeket tartalmazó halmaz biztosan üres.
A LÉTEZIK tagatásai:
- "nem létezik", "nincs"
- "mindegyik olyan, amelyik NEM ... tulajdonságú". vagy "egyik sem ... tulajdonságú".
pl. "Létezik piros hó." kijelentés tagadásai:
- "Nem létezik piros hó."
- "Nincs piros hó."
- "Minden hó olyan, hogy nem piros színű."
- "Egyik hó sem piros."
A MINDEN tagadásai:
- "nem minden"
- "van|létezik olyan, amelyik NEM ... tulajdonságú".
pl. "Minden háromszög belső szögeinek összege 180°." kijelentés tagadásai:
- "Nem mindegyik háromszögre teljesül, hogy a belső szögeinek összege 180°."
- "Létezik olyan háromszög, amelyeiknek a belső szögeinek az összege nem 180°."
Összefoglava:
A MINDEN egyik tagadása: LÉTEZIK, amelyik NEM.
A LÉTEZIK egyik tagadása: MINDEN-re teljesül(|igaz az), hogy NEM.
Gondolattérkép:
Ellenőrző kérdések:
1. Létezik-e olyan kijelentés, amelyikről nem tudjuk eldönteni, hogy igaz, vagy hamis? Miért? 2. A "talán" szó lehet-e egy kijelentés logikai értéke? Miért?
3. Milyen betűkkel jelöljük a kijelentéseket?
4. Milyen szavakból származik a "létezik", és a "minden" szavak jele?
5. Hány ellenpélda szükséges egy kijelentés hamis voltának megállapításához?
6. Hogyan lehet nyelvileg felismerni a logikai tagadás műveletét?
7. Mit jelent a logikában a kettős tagadás?
8. Mi lesz egy "létezik" szót tartalmazó kijelentés tagadása?
9. Mi lesz egy " minden" szót tartalmazó kijelentés tagadása?
10. Hányváltozós logikai művelet a tagadás?
Tagadásra vonatkozó feladatok:
1. Döntsd el, hogy az alább felsoroltak közül melyik mondat a tagadása a következő állításnak!"Minden érettségi feladat egyszerű."
A: "Minden érettségi feladat bonyolult."
B: "Van olyan érettségi feladat, ami nem egyszerű."
C: "Sok érettségi feladat bonyolult."
D: "Van olyan érettségi feladat, ami egyszerű."
2. Tamás a saját felmérése alapján a következőt állítja:
"Minden háztartásban van televízió."
Az alábbi négy állítás közül melyik tagadása Tamás állításának?
A: "Semelyik háztartásban nincs televízió."
B: "Van olyan háztartás, ahol van televízió."
C: "Van olyan háztartás, ahol nincs televízió."
D: "Nem minden háztartásban van televízió."
3. Tekintsd a következő állítást:
"A városban minden kéményseprő fekete."
Válaszd ki az alábbi állítások közül az összeset, amelyik tagadása az előbbi kijelentésnek!
A: "A városban minden kéményseprő fehér."
B: "A városban nincs fekete kéményseprő."
C: "Van a városban olyan kéményseprő, aki nem fekete."
D: "A városban nem minden kéményseprő fekete."
4.Egy autószalonról szól a következő állítás:
"A szalonban van olyan autó, amelyik kék."
Válaszd ki az összes olyan állítást, amelyik tagadása az előbbi kijelentésnek!
A: "A szalonban van olyan autó, amelyik nem kék."
B: "A szalonban minden autó kék."
C: "A szalonban egyik autó sem kék."
D: "Nincs a szalonban kék autó."
5.Fogalmazd meg a következő állítások tagadását!
"Van olyan társasjáték, amelyhez nem kell dobókocka."
"Van olyan mackó, amelyik szereti a mézet."
"Minden növénynek szüksége van oxigénre."
"Minden madár tud repülni."
