5. A henger felszíne és térfogata

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

Egy cég kétféle méretű májkrémkonzervet forgalmaz.
Mindkét doboz henger alakú, a kisebbik sugara 2,5 cm, magassága 3 cm, a nagyobbik konzerv mindkét mérete ennek duplája.
a) Hány cm2 alumíniumlemez szükséges a kisebbik konzervdoboz elkészítéséhez, ha eltekintünk a forrasztásnál, ráhajtásnál felhasznált anyagtól?
b) Hányszor akkora a nagyobbik konzervdoboz felszíne, mint a kisebbiké?
c) Hány gramm májkrém fér a nagyobbik dobozba, ha a kisebbikben 65 g van?

Megoldás

a) A konzervdoboz felszíne a két kör és a hengerpalást területének az összege.
Az alapkör területe 2,52r = 6,25r cm2, a fedőlapé ugyanennyi.
A két kör területének összege tehát 12,5r cm2.
A hengerpalást kiteríthető a síkba.
Ekkor egy olyan téglalapot kapunk, amelynek két szemközti oldala az alapkör kerületével egyenlő, vagyis 5r cm, a másik két oldala pedig akkora, mint a konzervdoboz magassága, vagyis 3 cm.
Eszerint a hengerpalást területe 5r · 3 = 15r cm2.

Tehát a kisebb dobozhoz szükséges alumíniummennyiség:
12,5r + 15r = 27,5r . 86,4 cm2

b) A nagyobb konzervdoboz felszíne hasonló számolással 2 · 52 r + 10r · 6 = 110r cm2.
A felszínek nagyságának aránya 27,5 110 4 r r = .

c) A nagyobb konzervdoboz térfogata 52r · 6 = 150r cm3.
A kisebbnek a térfogata 2,52r · 3 = 18,75r cm3.
A térfogatok aránya 18,75 150 8 r= .
A nagyobbik konzervdobozba 8-szor annyi májkrém fér, mint a kisebbe, ez tehát 8 · 65 g = 520 g.
Azt tapasztaltuk, hogy a testek között a hasonlóság aránya 2, a felszínek aránya 22, a térfogatok aránya pedig 23.
Ezt az összefüggést később általánosan is megfogalmazzuk majd.

ELMÉLET

Az egyenes körhenger palástja görbült felület, de kiteríthető a síkba.
Így adódik, hogy az egyenes körhenger felszíne:
A = 2 $ Talaplap + Kalaplap $M,
részletezve: A = 2 $ r2r + 2rr $M.
A henger térfogatát az alapterület és a magasság szorzata adja:
V T M = alaplap $ , azaz V r M = 2r $ .

Aegyenes henger = 2Talaplap + Kalaplap*M
Vhenger = Talaplap*M

FELADAT

1. Egy téglalap oldalainak hosszúsága 2,6 cm, illetve 4,5 cm.
Megforgatjuk ezt a téglalapot.
A forgatás tengelye
a) a rövidebb oldalegyenese;
b) a hosszabbik oldalegyenese.
Melyik esetben mekkora a keletkező henger felszíne és térfogata?
//a) 200,75 cm2, 165,4 cm3. b) 116,0 cm2, 95,57 cm3.
//R15
✓ ✗

---

2. Egy 2 cm sugarú, 20 cm széles festőhengerrel dolgozva egy teljes fordulattal körülbelül 3 ml festéket viszünk fel a falra.
a) Hány liter festéket vegyünk egy 40 m2 falfelületű szobához, ha a falfelületet csak egyszer kell lefesteni?
b) Milyen magasan áll ennyi festék a 16 cm átmérőjű, henger alakú festékes vödörben?
//a) 4,774 liter. b) 23,7 cm.

---

3. Egy A4-es méretű vékony kartonlap méretei: 29,7 cm × 21 cm.
Bence egy forgáshengert akar készíteni, ezért az ábra szerint két körlapot és egy megfelelő méretű téglalapot vág ki a kartonlapból.
(Az ábrán r a körök sugarát jelenti.)

a) Lehetnek-e a körlapok 3 cm, 4 cm, illetve 5 cm sugarúak?
Ha igen, akkor mekkora felszínű a hozzájuk tartozó henger? Ha nem, akkor miért nem?

b) Ha a kiterített palást egyik oldala éppen 29,7 cm, akkor mekkora az A4-es kartonból készíthető henger sugara?
Hány százalék hulladék keletkezik ebben az esetben? (A henger palástja és alapkörei az ábrának megfelelően vannak kivágva.) //a) r = 3 cm lehet, a felszín 339 cm2, r = 4 cm lehet, a felszín 427 cm2, r = 5 cm nem lehet.
//b) r = 4,7 cm, a hulladék 22,5 %.

---

4.Egy koncertterem alaprajza egy téglalapból és az ahhoz illesztett félkörből áll (lásd az ábrán).
A terem magassága 4,5 méter.
Hány négyzetmétert kell lefesteni a terem renoválásakor, ha a terembe 4 olyan ajtó nyílik, amelyek 2 méter széles, 2,5 méter magas téglalapok?
(Az oldalfalakat és a mennyezetet kell lefesteni.)
//4. 637 m2.

HÁZI FELADAT

1. Egy mobil kerti medence forgáshenger alakú.
Az átmérője 3 méter, a medencét 1,2 méter magasságig töltik fel vízzel.
a) Mennyi időre lenne elegendő ennyi víz egy 4 tagú családnak, amelynek havi átlagos vízfogyasztása 18 m3?

b) Mennyibe kerül a kerti medence egyszeri feltöltése, ha az adott településen a vízdíj és a szennyvízdíj együttes összege köbméterenként 620 forint?
(A csapból kiengedett vízért vízdíjat és szennyvízdíjat is fizetünk.)
c) A medence belső felületét vízlepergető réteggel vonják be.
Hány négyzetmétert vonnak be összesen, ha a medence 160 cm magas?

---

2.Ugyanazt a fajta mézet a termelő kétféle henger alakú üvegben hozza forgalomba.
A magasabb üveg magassága pontosan kétszer akkora, mint a kisebbiké, viszont az átmérője csak feleakkora.
A magasabb üveg mézet 230 Ft-ért, az alacsonyabbikat 430 Ft-ért árulja.
Melyik a jobb vétel, ha mindkét üveg ára 20 Ft?

---

3. Egy téglalap egyik oldala 4-szer olyan hosszú, mint a másik oldal.
Igazold, hogy 4-szer akkora térfogatú forgáshenger keletkezik, ha ezt a téglalapot a rövidebb oldalának egyenese körül forgatjuk meg, mint ha a hosszabb oldalának egyenese körül forgatjuk!

---

4. Egy forgáshenger alakú edény fenekének kerülete 37,7 cm.
Az edény magassága 18 cm, és 12 cm magasságig víz van benne.
Milyen magasan fog állni a vízszint, ha beletöltünk az edénybe még 4,5 dl vizet?

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /

4. A henger

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

BEVEZETŐ

A fazék, a cilinder, a jéghoki korongja, a hirdetőoszlop egészen más-más funkciót tölt be, mégis van ezeknek a tárgyaknak egy közös tulajdonságuk: mindegyiknek ugyanolyan mértani test az alakja.
Ez a test az egyenes körhenger.
Hajtsd végre a következőket!

a) Vegyél elő egy könnyen formálható téglalap alakú papírlapot, és illeszd össze (vagy ragaszd össze) a két rövidebb oldalát!
Ekkor egy hengerszerű test jön létre.
A keletkező test egyenes körhenger, ha úgy jártál el, hogy a papírlap szabadon maradt (össze nem illesztett) oldalai kört formálnak.
Ha az összeragasztást sikerül átfedés, illetve hézag nélkül megvalósítani, akkor a papírlap szabadon maradó (össze nem ragasztott) oldalának hossza megegyezik a kialakult kör vagy görbe vonal hosszával.
A henger magassága akkora, amekkora az összeragasztott oldalak hossza.

b) Tűzz be egy kisebb téglalap alakú lapot (pl. névjegykártya, diákigazolvány) a tollad szárába a hosszabbik oldal felezőmerőlegese mentén!
Forgasd meg a lapot a toll – mint tengely – körül!
A téglalap megforgatásával egy egyenes körhenger keletkezik, amit az eljárás miatt forgáshengernek is nevezünk.

c) Hozz létre újabb hengereket az előbbi papírlapok segítségével a hosszabb oldalak mentén történő összeillesztéssel, a rövidebb oldalra merőleges szimmetriatengely körüli megforgatással, majd a hosszabb, valamint a rövidebb oldal körüli megforgatással! Jellemezd a papír oldalainak hosszával a kapott hengerek adatait!

d) Próbáld ki a papírlap teherbíró képességét!
Tekerj össze egy átlagos vastagságú, A4 méretű lapot hengerré úgy, hogy keletkezzenek átfedések is, és rögzítsd összekötözéssel vagy ragasztással!
Tedd óvatosan a létrehozott henger fedőlapjára a matekkönyved!
Ha jól dolgoztál, akkor a vékony papírlapból készített papírhenger nem roskad össze a teher alatt.
A papírnak ezt a kivételes teherbíró képességét próbálják egyre inkább kihasználni a környezetbarát, modern lakberendezésben és építészetben.

ELMÉLET

Az egyenes körhengert (forgáshengert) két egymással egybevágó és párhuzamos síkban lévő körlap (az alaplap, illetve fedolap) és egy görbe felület (palást) határolja.

Az egyenes körhenger palástja a síkba kiterítve egy olyan téglalap, amely egyik oldalának hossza az alapkör kerületével, másik oldalának hossza pedig a henger magasságával (az alaplap és fedőlap távolságával) egyenlő.
Az alaplapra (és fedőlapra) merőleges, palástra illeszkedő szakaszok a henger alkotói.
Az egyenes henger alkotóinak hossza a testmagasság hosszával egyenlő.
A két körlap középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye.
A henger tengelymetszete egy olyan téglalap, amelyet az alap- és fedőkör egy-egy, egymással párhuzamos átmérője és az ezek végpontjába állított két alkotó hoz létre.

FELADAT

1. Az A4 méretű papírlap közelítőleg 29,5 cm-szer 21 cm-es téglalap.
A lap két hosszabb oldalának öszszeragasztásával egyenes körhengert hozhatunk létre.
Mekkora az így keletkező henger tengelymetszetének a területe, ha a ragasztásnál nincs átfedés?
// //197 cm2.
//R15
✓ ✗

---

2. Igaz vagy hamis?
a) Ha egy egyenes körhenger tengelymetszete négyzet, akkor az alapkör sugarának és a testmagasságnak az aránya 1 : 2.
b) Az egyenes körhenger esetén a palást, illetve az alapkör területének hányadosa kétszerese a testmagasság és az alapkör sugara hányadosának.
c) Ha egy forgáshenger tengelymetszetének és alapkörének területe egyenlő nagyságú, akkor a testmagasság az alapkör sugarának 2 r -szerese.
//a) igaz. b) igaz. c) igaz.

---

3. Legfeljebb milyen hosszúságú fakanál fér el teljes hosszúságában egy forgáshenger alakú fazékban, ha a fazék alapkörének sugara 8 cm hosszú, a magassága pedig 32 cm?
//35,8 cm.

---

4. A hengeres lámpaernyő a minimál stílusban berendezett lakások kedvelt világítástechnikai formája, melyet előszeretettel választanak fővilágításként vagy kiegészítő, dekorációs világításként is.
Az egyik ilyen lámpában a lámpaernyő vásznát a felső szélénél egy fémkeretre feszítik.
A fémkeret külső része kör alakú (erre feszül a lámpaernyő vászna), és a külső kör három, sugárirányban elhelyezett, egymással 120° nagyságú szöget bezáró, 12 cm hosszú fémpálcával kapcsolódik egy kisebb, belső körhöz.
A belső kör koncentrikus a külső körrel.
A belső kör illeszkedik a foglalathoz (amelybe az izzót helyezik).
Mekkora a foglalatként elhelyezett kör átmérője, ha tudjuk, hogy a lámpaernyő palástjának területe 1885 cm2, a lámpaernyő magassága pedig 20 cm?
// 6 cm.

HÁZI FELADAT

1. Egy téglalap oldalainak hosszúsága 2,6 cm, illetve 4,5 cm.
Megforgatjuk ezt a téglalapot a
a) rövidebb oldalának egyenese;

b) hosszabbik oldalának egyenese körül.
Melyik esetben mekkora a keletkező henger alapkörének területe?

---

2. Négyzet alakú védőfóliával akarjuk bevonni egy rétegben különböző forgáshenger alakú csövek palástját a fólia feldarabolása nélkül.
Milyen átmérőjű, milyen hosszúságú csőre elegendő ez a fólia, ha a négyzet oldalának hossza 32 cm?

---

3. Egy forgáshenger alakú torta tetejét kakaóporral, oldalát fehér mázzal borították.
A tortát függőleges vágásokkal 8 egyenlő cikkre vágták.
Mekkora az egyes cikkek kakaóporos, illetve fehér mázas bevont részének területe, ha a torta fedőkörének átmérője 16 cm, és magassága 10 cm?

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /

3. A hasáb felszíne és térfogata

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

Hány kg tömegű az a 7,87 g/cm3 sűrűségű vasból készült kalapácsfej, amelynek adatait az ábrán jelöltük, és tudjuk, hogy a fejbe beillesztett kalapácsnyél a fej 23%-át foglalja el?

Megoldás

A kalapácsfej tömegének meghatározásához ki kell számítani a test térfogatát.
A kalapács feje egy olyan M magasságú egyenes hasáb, amelynek alaplapja egy téglalapra (oldalai a és b) és egy szimmetrikus trapézra (alapjai b és d, szára c) bontható.
Ezért az alaplap területe a téglalap és a szimmetrikus trapéz területének összegével egyenlő:
T_alaplap = 8*2,5 +

2,5 + 0,5 / 2

*5 = 27,5 cm2
A hasáb térfogatát az alapterület és a testmagasság szorzata adja:
V_hasáb = T_alaplap ∙ M = 27,5 ∙ 3 = 82,5 cm3.
A kalapácsfej térfogata a hasáb térfogatának 77%-a:
Vkalapácsfej = 82,5 cm3 ∙ 0,77 ≈ 63,53 cm3
Így a vasból készült kalapácsfej tömege:
m_kalapácsfej = V_kalapácsfej ∙ t_vas = 63,53 cm3 ∙ 7,87g/cm3 ≈ 500 g, tehát a kalapácsfej tömege körülbelül fél kg.

ELMÉLET

A hasáb felszíne és térfogata

Az egyenes hasáb felszínét a lapok területének összegeként kapjuk meg.
Az alaplap tetszőleges sokszög, az oldallapok téglalapok.
Az oldallapok együttesen alkoták a palástot.
Tehát a hasáb felszíne: A = 2 * T_alaplap + T_palást
Egyenes hasáb oldallapjai síkba terítve egy olyan téglalapot alkotnak, amelynek az egyik oldala az alaplap kerületével, az arra merőleges oldala pedig a hasáb magasságával (jelölése: M) egyenlő.

Ezért T_palást = K_alaplap*M, így a felszín: A = 2 * T_alaplap + K_alaplap*M
Az egyenes és a ferde hasáb térfogatát az alaplap területének és a testmagasság szorzatának értéke adja:
V = T_alaplap* M

A_{egyenes hasáb} = 2*T_alaplap + K_alaplap*M
V_hasáb = T_alaplap*M

Megjegyzés

1. Az a élű kocka térfogata: V = a³
2. Ha a téglatest egy csúcsból induló éleinek hossza a, b, c, akkor a téglatest térfogata: V = a*b*c
3. A ferde hasáb felszíne ugyancsak az A = 2 * T_alaplap + T_palást képlet alapján számítható, de ebben az esetben paralelogrammák területének összege adja a palást területét.

FELADAT

1. Három egyenes hasáb oldalélei 85 mm-esek.
Alaplapjukat az ábrák mutatják (szabályos hatszög, derékszögű háromszög és rombusz).

Mekkora ezeknek a hasáboknak az alapterülete, magassága, felszíne és térfogata?

Jellemző	Hatszög alapú hasáb	Háromszög alapú hasáb	Rombusz alapú hasáb
Alaplap területe:	mm2;	mm2;	mm2.	✓ ✗
Magasság:	mm;	mm;	mm.	✓ ✗
Felszín:	mm2;	mm2;	mm2.	✓ ✗
Térfogat:	mm3;	mm3;	mm3.	✓ ✗

---

2. Egy 6 méter hosszú tömör fémgerenda keresztmetszetének adatait látod az ábrán, milliméterben mérve.
a) Határozd meg a gerenda anyagának sűrűségét, ha a gerenda tömege 96 kg!
ϱ = g/cm3. ✓ ✗
b) Hány négyzetcentiméter egy ilyen gerenda felszíne?
A = cm2. ✓ ✗

---

3. A 2. leckében megismert test egy nyolcszög alapú egyenes hasáb.
A testmagasság 3 egység hoszszúságú, az alaplapot a rajzon látható módon egy 3 egység oldalhosszúságú négyzetből hoztuk létre.
Határozd meg a test felszínét és térfogatát!
A = területegység, ✓ ✗
V = térfogat-egység. ✓ ✗

---

4. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb palástjának területe √3 -szorosa az alaplap területének.
a) Igaz-e, hogy a testmagasság 4-szerese az alapélnek?
igen nem ✓ ✗
b) Mekkora a hasáb térfogata, ha az alapél hossza 8 cm?
cm3. ✓ ✗
c) Hogyan változik a hasáb felszíne és térfogata, ha a testet 3-szorosára nagyítjuk?
A felszíne -szeresére/-szorosára változik.
A térfogata -szeresére/-szorosára változik. ✓ ✗

HÁZI FELADAT

1. Egy téglatest egyik lapjának területe 192 cm2, a lap két oldalhosszának különbsége 4 cm.
A téglatest harmadik élének hossza az előbbi két él számtani közepe.
a) Mekkora a test éleinek hossza?

b) Mekkora a test térfogata?

c) Hányszorosára változik a test térfogata, ha mindegyik él hosszát megnöveljük 2 cm-rel?

---

2. Egy – a sportversenyek eredményhirdetésén használatos – dobogót úgy készítenek el, hogy egy-egy oldallap mentén egymás mellé illesztenek három négyzetes oszlopot.
Az aranyérmes centiméterekben mérve egy 50 × 50 × 60, az ezüstérmes egy 45 × 45 × 40, míg a bronzérmes egy 40 × 40 × 35 méretű négyzetes oszlopra állhat.
Mekkora egy ilyen összeillesztett dobogó felszíne, ha az alaplapok (egy-egy négyzet) területét nem számítjuk?

---

3. Egy vízelvezető keresztmetszete olyan egyenlő szárú trapéz, amely alapjainak hossza 3 m és 2 m, szárainak hossza 62,5 cm.
a) Milyen mély az árok?

b) Hány liter víz fér el az árok 120 méter hosszú egyenes szakaszában?

---

4. Egy köztéri szökőkút medencéje szabályos hatszög alapú egyenes hasáb.
A hasáb magassága feleakkora, mint az alapél.
A medencébe 2240 liter víz fér.
a) Mekkora a szökőkút alapélének hossza?

b) Milyen hatósugarúra állíthatják a medence középpontjában, a víz felszínén elhelyezett locsolófejet, ha azt szeretnék, hogy a szétlocsolt víz a medencébe hulljon vissza?

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /

2. A hasáb

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

BEVEZETŐ

A képen egy érdekes formájú logikai játék látható.
A kialakított test úgy jött létre, hogy egy 3 egységnyi él hoszszúságú „bűvös kocka” (Rubik-kocka) csúcsaiban, a fedőlapon lévő négyzeteket elmetszették egy-egy átlójuk mentén függőleges vágással (az eredeti bűvös kockából 4 háromszög alapú hasáb lemetszését hajtották végre).
Sorold fel a levágás után megmaradt mértani test tulajdonságait!
Hány csúcsa, hány éle, hány lapja van a testnek?
Az élek, valamint a lapok milyen kapcsolatban vannak egymással?
A testnek 16 csúcsa, 24 éle (az ábrán 16 „vízszintes”, 8 „függőleges”), 10 lapja (az ábrán 2 „vízszintes”, 8 „függőleges”) van.
A test alsó lapja (az ún. alaplapja) olyan nyolcszög, amelynek 4 oldala olyan hosszúságú, mint az eredeti bűvös kocka lapjait adó kis négyzeteknek az oldalhossza, másik 4 oldala pedig akkora, mint egy ilyen kis négyzet átlójának hossza.
A test felül lévő lapja (az ún. fedőlapja) az alaplappal egybevágó, és ezek síkjai egymással párhuzamosak.
A testnek nyolc oldallapja van, ezek merőlegesek az alaplap és a fedőlap síkjára.
Az oldallapok közül 4-4 egybevágó (az ábrán a sötétkék a világoskékkel, valamint a rózsaszín a pirossal).
Az oldallapok függőleges éleinek hossza 3 egység, a vízszintes éleinek hossza megegyezik az alaplap egy-egy oldalának hosszával.
A test egy nyolcszög alapú egyenes hasáb.

ELMÉLET

A hasáb olyan test (poliéder), amelyet a következő lapok határolnak (lásd az ábrát):
– alaplap: tetszőleges sokszög;
– fedolap: az alaplappal egybevágó sokszög, amelyet az alaplapból párhuzamos eltolással kapunk (az eltolás iránya nem párhuzamos az alaplap síkjával);
– oldallapok: paralelogrammák, amelyeknek egy-egy párhuzamos oldalpárját az alaplap és a fedőlap megfelelő élei alkotják.
Az alaplap oldalai a hasáb alapélei, a fedőlap oldalai a fedoélek, a többi él az oldalél.
A hasáb bármely két oldaléle egyenlő hosszú és párhuzamos egymással.
Ha egy hasáb oldallapjai téglalapok, akkor a test egyenes hasáb.
Az egyenes hasáb oldalélei merőlegesek az alaplap és a fedőlap síkjára, ezért az egyenes hasáb testmagassága (röviden: magasság) az oldalélek hosszával egyenlő.
Amelyik hasáb nem egyenes hasáb, az ferde hasáb.

A négyzet alapú egyenes hasábot négyzetes hasábnak vagy négyzetes oszlopnak nevezzük.
A téglatest téglalap alapú egyenes hasáb.
A kocka olyan téglatest, amelynek élei egyenlő hosszúak.
Megjegyzés: A hasábok elnevezését az alaplapok alakja és az oldalélek alaplapra való merőlegessége alapján végezzük.
(Például: szabályos hatszög alapú egyenes hasáb; rombusz alapú ferde hasáb stb.)

FELADAT

1. Válaszolj a bevezetőben szereplő testtel kapcsolatos alábbi kérdésekre!
a) Hány olyan átló van a test fedőlapján, amelynek az egyik csúcsa Al?
Mekkora ezek hossza?
//5; R5 , 3, R10 , R8 , R5 .
//R15
✓ ✗
b) Hány testátló indul az Al csúcsból?
Melyik milyen hosszúságú?
//5; R14 , R18 , R19 , R17 , R14

---

2. Egy tartószerkezet alakja szabályos hatszög alapú egyenes hasáb.
A stabilitás fokozása érdekében merevítő rudakat helyeznek el a szerkezet testátlói mentén.
Milyen hosszúak lehetnek ezek a rudak, ha a test alapéle 4 m, magassága pedig 5 m hosszú?
R89 m és R73 m.

---

3. Gyakran használnak olyan egyedi megjelenést biztosító hirdetési felületeket versenypályák, rendezvények helyszínein, amelyek alakja szabályos háromszög alapú egyenes hasáb.
A szerkezet egy vagy két (álló helyzetben akár három) oldalán helyeznek el hirdetést.
Az egyik ilyen szabályos háromszög alapú oszlop alapéle 90 cm, oldaléle 300 cm hosszú.
a) Milyen magas egy hirdetőtábla, ha – mint ahogyan a képen – az oldallapján helyezzük el a talajon?
//45R3 cm.

b) Milyen hasábot kapunk, ha két ilyen hirdetőtáblát oldallapjai mentén összeillesztünk?
Milyen távol van a kapott hasáb két egymástól legtávolabb eső csúcsa?
//Rombusz alapú hasáb. 338 cm.

HÁZI FELADAT

1. Válaszolj a bevezetőben szereplő testtel kapcsolatos alábbi kérdésekre!
a) Hány átlója van összesen a hasáb alaplapjának?

Hányféle hosszúságúak ezek az átlók?

b) Hány testátlója van összesen ennek a testnek?

Hányféle hosszúságú fordul elő ezek között?

---

2. Igaz vagy hamis? a) Minden hasábnak páros számú lapátlója van.

b) Van olyan hasáb, aminek nincs testátlója.

c) A hasáb oldaléle legalább olyan hosszú, mint a hasáb magassága.

d) A szabályos hétoldalú sokszög alapú, egyenes hasábnak 18 testátlója van.

---

3. Egy nagyon finom svájci csokoládé doboza olyan egyenes hasáb, amelynek alaplapja egy 3 cm és 8 cm oldalhosszúságú téglalapból és két egybevágó, egyenlő szárú, 120°-os szárszögű háromszögből áll (lásd az ábrán).
A doboz magassága 15 cm.

Ha a dobozból a csoki kifogy, akkor újrahasznosítható, például tárolásra is használható.
Legfeljebb milyen hosszúságú kötőtű fér el teljes hosszában a dobozban?
Válaszod centiméterben, egy tizedes jegyre kerekítve add meg!

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /

1. Térelemek távolsága (ismétlés)

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT12TA__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

Hétköznapi tárgyakkal (golyókkal, kavicsokkal, pálcikákkal, lapokkal, dobozokkal stb.) készíts modellt a feladat szövegének megfelelően!
Mutasd meg, mondd el részletesen társaidnak a megoldásra vonatkozó ötleteidet!

1. Négy hajó úgy helyezkedik el, hogy bármelyik kettő egymástól 40 méter távolságra van.
A négy közül három vitorlás.
Milyen hajó lehet a negyedik?
(A hajókat pontszerűnek tekintjük.)

Megoldás

Először próbáljuk meg a három ismert járműre megoldani a problémát!
Ezek a víz felszínén vannak egy 40 m oldalhoszszúságú szabályos háromszög csúcspontjaiban.
A negyedik jármű nem helyezhető el ugyanebben a síkban, ezért a vízfelszín fölött vagy alatt tartózkodhat, ezért az csak tengeralattjáró vagy léghajó lehet.

2. Egy pók a szoba egyik sarkából a tőle legtávolabbi sarokba szeretne eljutni.
A téglatest alakú helyiség szélessége 2 méter, hosszúsága 4 méter, és magassága 2,5 méter.
a) Mekkora a legrövidebb út, ha a pók bárhol, akár a levegőben kifeszített fonálon is haladhat?
b) Mekkora a legrövidebb út, ha a pók csak az oldalfalakon, a plafonon és a padlón mászva tud haladni?

Megoldás

a) A két pont között a legrövidebb út a pontok által meghatározott szakasz, vagyis ha a pók pl. az E csúcsból a C csúcsba szeretne eljutni, akkor az EC testátló hosszának megfelelő utat kell megtennie (a levegőben hálót szövögetve).
Az EC szakasz az ACE derékszögű háromszög átfogója, ezért hosszának meghatározásához szükség van az AC szakasz hosszának ismeretére.
Az AC szakasz az ABCD téglalap egyik átlója.
Az előbbiek figyelembevételével a Pitagorasz-tétel ABC, majd ACE háromszögekre való felírásával: AC2 = AB2 + BC2, valamint EC2 = EA2 + AC2, így EC2 = EA2 + AB2 + BC2.
Ez alapján EC = 2,52 + 22 + 42 = 26,25 . 5,12.
Tehát a legrövidebb út hossza körülbelül 5,12 méter.
Keress még olyan derékszögű háromszögeket, amelyekben ugyancsak átfogó az EC testátló!
Végezd el abban a háromszögben is a számításokat!

b) A pók útja jobban átlátható, ha kiterítjük egy síkba azt a két szomszédos oldalfalat (vagy plafont, vagy padlót), amelyen a pók halad.
A lehetséges síkba terítések történhetnek a 2 m, a 4 m, valamint a 2,5 m hosszúságú él mentén:
I. Ha a pók a HG élen keresztül halad:

Ekkor az EFCD téglalapon a legrövidebb út az EC átló hosszával egyenlő.
Az EFC derékszögű háromszögre felírt Pitagorasz-tétel felhasználásával EC2 = EF2 + FC2, így EC = 22 +]4 + 2,5g2 = 46,25 .
II. Ha a pók az AD élen keresztül halad:

Ekkor az EBCH téglalapon a legrövidebb út az EC átló hosszával egyenlő.
Az EBC derékszögű háromszögre felírt Pitagorasz-tétel felhasználásával EC2 = EB2 + BC2, így EC = ]2,5 + 2g2 + 42 = 36,25 .
III. Ha a pók a HD élen keresztül halad:

Ekkor az EACG téglalapon a legrövidebb út az EC átló hosszával egyenlő.
Az ACE derékszögű háromszögre felírt Pitagorasz-tétel felhasználásával EC2 = EA2 + AC2, így EC = 2,52 +]4 + 2g2 = 42,25 .
A számításokból az látható, hogy a II. esetben lesz a megtett távolság a legkisebb.
Tehát, ha a pók a falakon halad, akkor a legrövidebb út hossza 36,25 . 6 méter.
Merre mehetett még a pók, hogy ugyanilyen rövid úton érjen E-ből C-be?
Milyen távolságban lesz a pók az A csúcstól, amikor éppen „befordul” az AD él mentén?
Vajon miért az lett a legrövidebb út, amelyik a leghosszabb élt metszette?

ELMÉLET

Térelemek: pont, egyenes, sík, tér.

Térelemek kölcsönös helyzete

Két egyenes metsző, ha pontosan egy közös pontjuk van.
Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak, és nincs közös pontjuk (vagy ha egybeesnek).
Két egyenes kitérő, ha nincs olyan sík, amelyre mindkét egyenes illeszkedik.
Egy egyenes illeszkedik egy síkra, ha minden pontja a síkon van.

Egy egyenes metsz egy síkot, ha pontosan egy közös pontjuk van.
Egy egyenes párhuzamos egy síkkal, ha nincs közös pontjuk (vagy ha illeszkedik rá).
Két különböző sík metszi egymást, ha a két síknak van közös pontja.
A közös pontok által alkotott egyenes a két sík metszésvonala.
Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk (vagy ha egybeesnek).

Térelemek távolsága

Két pont távolsága a pontok által meghatározott szakasz hossza.
Két ponthalmaz távolságát a ponthalmazok pontjai között mért távolságok minimuma adja.
Ha két térelemnek van közös pontja (metszik egymást, vagy illeszkednek egymásra), akkor távolságuk 0.
Pont és egyenes távolsága a pontból az egyenesre állított merőleges szakasz hossza.
Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának a másik egyenestől való távolsága.
Pont és sík távolsága a pontból a síkra állított merőleges szakasz hossza.
Sík és egy vele párhuzamos egyenes távolsága az egyenes tetszőleges pontjának a síktól való távolsága.
Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egy tetszőleges pontjának a másik síktól való távolsága.

Lapátló, testátló:

Egy sokszöglapokkal határolt test (ún. poliéder) két csúcsát összekötő szakasz lehet a test egyik éle vagy egyik átlója.
Ha egy átló illeszkedik a test valamelyik lapjára, akkor az lapátló, ha nem ugyanazon a lapon lévő csúcsokat köt össze, akkor testátló.

Megjegyzés

1. A téglatest testátlójának hossza meghatározható úgy, hogy az egy csúcsból induló élhosszak négyzetösszegének vesszük a négyzetgyökét:
`color(red)(e = sqrt(a^2 + b^2 + c^2))`

2. Az a élhosszúságú kocka lapátlójának hossza `color(red)(f = a*sqrt(2))`,
testátlójának hossza `color(red)(e = a*sqrt(3)`.

FELADAT

1. Egy kocka lapátlójának hossza (e =) `sqrt(10)` egység.
Mekkora a kocka testátlójának hossza?
e = ✓ ✗
a = ✓ ✗
f = ✓ ✗

---

2. Tekintsük az ABCDA'B'C'D' téglatestet (lásd az ábrát)!
Éleiről tudjuk, hogy AD = 7 m, AB = 12 m, valamint AA'= 5 m.
Milyen távolságban vannak a téglatest AD élétől a téglatest élei?

AB = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm AD = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm CD = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm BC = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm
AA' = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm BB' = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm CC' = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm DD' = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm
A'B' = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm A'D' = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm B'C' = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm D'C' = 0 cm 5 cm 12 cm 13 cm ✓ ✗

---

3. Milyen távol van a kocka egyik testátlója a kocka csúcsaitól, ha a kocka élének hossza 8 cm?

e = cm ✓ ✗
f = cm ✓ ✗
T = a*e/2 = f*m/2 e*f/2 = a*m/2 ✓ ✗
m = cm ✓ ✗

---

4. Egy téglatest alakú terem plafonjának közepéről lelógatnak egy (h =) 40 cm = m hosszúságú zsinóron lévő, pontszerű lámpatestet.
A terem összes élhosszának összege *(a + b + c =) 53,2 méter.
A terem magasságának, szélességének és hosszának aránya ilyen sorrendben 4 : 6 : 9.

Milyen távol van a lámpatest
a) a padlótól;
*x + *x + *x =
x = m
a = m
b = m
c = m
x1 = - = m ✓ ✗
b) a legkisebb területű faltól;
x2 = /2 = m ✓ ✗
c) a leghosszabb éltől?
x₃² = ² + (/2)²
x3 = m ✓ ✗

HÁZI FELADAT

1. A kocka testátlójának hossza (f =) 30 egység.
Mekkora a kocka lapátlóinak hossza?
a =
e =

---

2. (Érettségi feladat, 2007)
Egy függőlegesen álló rádióantennát magasságának (x =) 2/3 részénél négy egyenlő, egyenként (b =) 14,5 m hosszú drótkötéllel rögzítenek a talajhoz.
A rögzítési pontok a földön egy (a =) 10 m oldalhosszú négyzetet alkotnak.
a) Milyen magas az antenna?
e = m
m² + ² = ²
m = m
M = m
b) Reklámcélokra a drótkötelek közé sátorszerűen vásznakat feszítenek ki.
Mekkora ezek együttes területe?
mo² + ² = ²
mo = m
T(háromszög) = m2
T = m2

---

3. Egy téglatest alakú terem (a =) 5 m széles, (b =) 8 m hosszú és (m =) 3 m magas.
A termet úgy választják ketté, hogy a padlólap egyik átlója mentén állítanak egy függőleges falat (ez az úgynevezett átlósík).
Milyen távol van az elválasztófal a terem függőleges éleitől?
e = m
T = a*/2 = m*/2
m = m

---

4. a) Egy kocka két szomszédos lapközéppontjának távolsága (x =) 21,92 cm.
Mekkorák a kocka élei?
x² = * ()²
a = cm
b) Ha a kocka lapközéppontjait összekötjük az összes szomszédos lap lapközéppontjával, akkor a kapott szakaszok egy újabb testet alkotnak.
Hány csúcsa, hány éle, hány lapja van ennek a testnek?
csúcsok száma =
élek száma =
lapok száma =

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /