BEVEZETŐ
A kialakított test úgy jött létre, hogy egy 3 egységnyi él hoszszúságú „bűvös kocka” (Rubik-kocka) csúcsaiban, a fedőlapon lévő négyzeteket elmetszették egy-egy átlójuk mentén függőleges vágással (az eredeti bűvös kockából 4 háromszög alapú hasáb lemetszését hajtották végre).
Sorold fel a levágás után megmaradt mértani test tulajdonságait!
Hány csúcsa, hány éle, hány lapja van a testnek?
Az élek, valamint a lapok milyen kapcsolatban vannak egymással?
A testnek 16 csúcsa, 24 éle (az ábrán 16 „vízszintes”, 8 „függőleges”), 10 lapja (az ábrán 2 „vízszintes”, 8 „függőleges”) van.
A test alsó lapja (az ún. alaplapja) olyan nyolcszög, amelynek 4 oldala olyan hosszúságú, mint az eredeti bűvös kocka lapjait adó kis négyzeteknek az oldalhossza, másik 4 oldala pedig akkora, mint egy ilyen kis négyzet átlójának hossza.
A test felül lévő lapja (az ún. fedőlapja) az alaplappal egybevágó, és ezek síkjai egymással párhuzamosak.
A testnek nyolc oldallapja van, ezek merőlegesek az alaplap és a fedőlap síkjára.
Az oldallapok közül 4-4 egybevágó (az ábrán a sötétkék a világoskékkel, valamint a rózsaszín a pirossal).
Az oldallapok függőleges éleinek hossza 3 egység, a vízszintes éleinek hossza megegyezik az alaplap egy-egy oldalának hosszával.
A test egy nyolcszög alapú egyenes hasáb.
ELMÉLET
A hasáb olyan test (poliéder), amelyet a következő lapok határolnak (lásd az ábrát):– alaplap: tetszőleges sokszög;
– fedolap: az alaplappal egybevágó sokszög, amelyet az alaplapból párhuzamos eltolással kapunk (az eltolás iránya nem párhuzamos az alaplap síkjával);
– oldallapok: paralelogrammák, amelyeknek egy-egy párhuzamos oldalpárját az alaplap és a fedőlap megfelelő élei alkotják.
Az alaplap oldalai a hasáb alapélei, a fedőlap oldalai a fedoélek, a többi él az oldalél.
A hasáb bármely két oldaléle egyenlő hosszú és párhuzamos egymással.
Ha egy hasáb oldallapjai téglalapok, akkor a test egyenes hasáb.
Az egyenes hasáb oldalélei merőlegesek az alaplap és a fedőlap síkjára, ezért az egyenes hasáb testmagassága (röviden: magasság) az oldalélek hosszával egyenlő.
Amelyik hasáb nem egyenes hasáb, az ferde hasáb.
A téglatest téglalap alapú egyenes hasáb.
A kocka olyan téglatest, amelynek élei egyenlő hosszúak.
Megjegyzés: A hasábok elnevezését az alaplapok alakja és az oldalélek alaplapra való merőlegessége alapján végezzük.
(Például: szabályos hatszög alapú egyenes hasáb; rombusz alapú ferde hasáb stb.)
FELADAT
1. Válaszolj a bevezetőben szereplő testtel kapcsolatos alábbi kérdésekre!
a) Hány olyan átló van a test fedőlapján, amelynek az egyik csúcsa Al?
Mekkora ezek hossza?
//5; R5 , 3, R10 , R8 , R5 .
//R15
✓ ✗
b) Hány testátló indul az Al csúcsból?
Melyik milyen hosszúságú?
//5; R14 , R18 , R19 , R17 , R14
a) Hány olyan átló van a test fedőlapján, amelynek az egyik csúcsa Al?
Mekkora ezek hossza?
//5; R5 , 3, R10 , R8 , R5 .
//R15
✓ ✗
b) Hány testátló indul az Al csúcsból?
Melyik milyen hosszúságú?
//5; R14 , R18 , R19 , R17 , R14
2. Egy tartószerkezet alakja szabályos hatszög alapú egyenes hasáb.
A stabilitás fokozása érdekében merevítő rudakat helyeznek el a szerkezet testátlói mentén.
Milyen hosszúak lehetnek ezek a rudak, ha a test alapéle 4 m, magassága pedig 5 m hosszú?
R89 m és R73 m.
A stabilitás fokozása érdekében merevítő rudakat helyeznek el a szerkezet testátlói mentén.
Milyen hosszúak lehetnek ezek a rudak, ha a test alapéle 4 m, magassága pedig 5 m hosszú?
R89 m és R73 m.
3. Gyakran használnak olyan egyedi megjelenést biztosító hirdetési felületeket versenypályák, rendezvények helyszínein, amelyek alakja szabályos háromszög alapú egyenes hasáb.
A szerkezet egy vagy két (álló helyzetben akár három) oldalán helyeznek el hirdetést.
Az egyik ilyen szabályos háromszög alapú oszlop alapéle 90 cm, oldaléle 300 cm hosszú.
a) Milyen magas egy hirdetőtábla, ha – mint ahogyan a képen – az oldallapján helyezzük el a talajon?
//45R3 cm.
b) Milyen hasábot kapunk, ha két ilyen hirdetőtáblát oldallapjai mentén összeillesztünk?
Milyen távol van a kapott hasáb két egymástól legtávolabb eső csúcsa?
//Rombusz alapú hasáb. 338 cm.
A szerkezet egy vagy két (álló helyzetben akár három) oldalán helyeznek el hirdetést.
Az egyik ilyen szabályos háromszög alapú oszlop alapéle 90 cm, oldaléle 300 cm hosszú.
a) Milyen magas egy hirdetőtábla, ha – mint ahogyan a képen – az oldallapján helyezzük el a talajon?
//45R3 cm.
Milyen távol van a kapott hasáb két egymástól legtávolabb eső csúcsa?
//Rombusz alapú hasáb. 338 cm.
HÁZI FELADAT
1. Válaszolj a bevezetőben szereplő testtel kapcsolatos alábbi kérdésekre!
a) Hány átlója van összesen a hasáb alaplapjának?
Hányféle hosszúságúak ezek az átlók?
b) Hány testátlója van összesen ennek a testnek?
Hányféle hosszúságú fordul elő ezek között?
a) Hány átlója van összesen a hasáb alaplapjának?
Hányféle hosszúságúak ezek az átlók?
b) Hány testátlója van összesen ennek a testnek?
Hányféle hosszúságú fordul elő ezek között?
2. Igaz vagy hamis?
a) Minden hasábnak páros számú lapátlója van.
b) Van olyan hasáb, aminek nincs testátlója.
c) A hasáb oldaléle legalább olyan hosszú, mint a hasáb magassága.
d) A szabályos hétoldalú sokszög alapú, egyenes hasábnak 18 testátlója van.
b) Van olyan hasáb, aminek nincs testátlója.
c) A hasáb oldaléle legalább olyan hosszú, mint a hasáb magassága.
d) A szabályos hétoldalú sokszög alapú, egyenes hasábnak 18 testátlója van.
3. Egy nagyon finom svájci csokoládé doboza olyan egyenes hasáb, amelynek alaplapja egy 3 cm és 8 cm oldalhosszúságú téglalapból és két egybevágó, egyenlő szárú, 120°-os szárszögű háromszögből áll (lásd az ábrán).
A doboz magassága 15 cm.
Ha a dobozból a csoki kifogy, akkor újrahasznosítható, például tárolásra is használható.
Legfeljebb milyen hosszúságú kötőtű fér el teljes hosszában a dobozban?
Válaszod centiméterben, egy tizedes jegyre kerekítve add meg!
A doboz magassága 15 cm.
Legfeljebb milyen hosszúságú kötőtű fér el teljes hosszában a dobozban?
Válaszod centiméterben, egy tizedes jegyre kerekítve add meg!
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
