8. Bonyolult sorozatos feladatok

Bonyolut sorozatos feladatok

1. Feladat:

Egy számtani sorozat második tagja 5.
Ezen sorozat első, harmadik és tizenegyedik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja.
Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!
Megoldás:
1. a2 = 5
2. a1·a11 = a3²

1. a2 = 5
2. (a2 -d)·(a2 +9d) = (a2 +d)²

(5 - d)·(5 + 9d) = (5 + d)·(5 + d)
25 +40d -9d² = 25 +10d +d²
10d² -30d = 0
d1 = 0 → a1 = 5 -0 = 5; a11 = 5; a3 = 5 → q = 1
d2 = 3 → a1 = 5 -3 = 2; a11 = 5 + 9·3 = 32; a3 = 5 +3 = 8 → q = 4

2. Feladat:

Egy mértani sorozat első három tagjának összege 52.
Ha a harmadik számot tizenhattal csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk.
Határozza meg a mértani sorozatot!
Megoldás:
1. a1 + a2 + a3 = 52
2. a2² =a1·a3
3. a1 +a3 -16 = 2·a2

1. -3. a2 +16 = 52 -2·a2
3·a2 = 36
a2 = 12

1. a1 + a3 = 40
2. 144 = a1·a3

a1 + 144/a3 = 40
a1² -40a1 + 144 = 0
`a_1 = (40 +- sqrt(40^2-4*144))/2 = (40 +-32)/2`
1. eset: a1 = 4; a2 = 12; a3 = 36
2. eset: a1 = 36; a2 = 12; a3 = 4

3. Feladat:

Egy számtani sorozat első, második, illetve hetedik tagja egyúttal mértani sorozatot alkot.
Tudjuk, hogy ezen tagok összege 93. Határozzuk meg a számtani sorozat első hét elemét!
Megoldás:
a1·a7 = a2²
a1 + a2 + a7 = 93

a1·(a1 + 6d) = (a1 + d)²
a1 + a1 + d + a1 + 6d = 93

a1² + 6d·a1 = a1² + 2d·a1 + d²
3a1 + 7d = 93

1. eset: d = 0; a1 = 31
2. eset:
4·a1 = d
3a1 + 7d = 93

31a1 = 93
a1 = 3; d = 12
A sorozat: 3; 15; 27; 39; 51; 63; 75.

4. Feladat:

Egy háromszög oldalai olyan mértani sorozatot alkotnak, melynek hányadosa 4/3.
Határozzuk meg a háromszög legnagyobb szögét!
Megoldás:
a → a1 = a2/q = a2·(3/4)
b → a2 = a2
c → a3 = a2·q = a2·(4/3)

Koszinusz tétel:
c² = a² + b² - 2a·b·cos(γ), ahol γ a legnagyobb szög.

(a2)²·(4/3)² = (a2)²·(3/4)² + (a2)² - 2·a2·(3/4)·a2·cos(γ)
(a2)²·(16/9) = (a2)²·(9/16) + (a2)² - 2·(a2)²·(3/4)·cos(γ)
(a2)²·(16/9) = (a2)²(25/16) - (a2)²·(3/2)·cos(γ)
(a2)²·(31/144) = -(a2)²·(3/2)·cos(γ)
-(31/144)*(2/3)=cos(γ)
-(31/216)=cos(γ) → γ = 98,25°

5. Feladat:

Mennyi annak a hatmillió forintos hitelnek az évenkénti törlesztőrészlete,
melyet tíz éven keresztül tíz egyenlő részletben szeretnénk visszafizetni,
ha a bank a hitelért 10% kamatot számol évente?
1. Megoldás:
Az évjáradék = annuitás azt jelenti, hogy mindig azonos összegű hiteltörlesztés történik.
A törlesztőrészlet összegét a következő képlettel számolhatjuk ki:
`H*(1+r)^n = T*((1+r)^n -1)/(1+r -1)`
`H = T*((1+r)^n-1)/(r*(1+r)^n)`
ahol T = törlesztőrészlet összege
H = a hitel összege
r = a kamatláb értéke tizedestörtben
n = a törlesztési időszak hossza években

Jelen esetben:
H = 6 000 000Ft
n = 10 év
r = 0,1
`6 000 000 = T*(1,1^10-1)/(0,1*1,1^10) = 6,1446*T`
`T = (6 000 000)/(6,1446) = 976 472,4 Ft`

2. megoldás:
Számoljuk ki 6 000 000Ft kamatokkal növelt értékét 10 év múlva!
ZÉ = 6 000 000·1,1¹⁰ = 15 562 454,76 Ft
15 562 454,76 = T +T·1,1 + T·1,1² + ... + T·1,1⁹

7. Kamatos kamatszámítás

Kamatos kamatszámítás

Milyen kamatszámítási módokat ismerünk?

Egyszerű kamatozás esetén az alapösszeg kamatozik.
Kamatos kamatszámításnál a kamatösszeggel növelt összeg kamatozik.

Milyen képletek jellemzik a kamatos kamatszámítást?

Kiindulóképlet:

 1.A. `ZÉ = KÉ*(1+r/100)^n`

ahol KÉ = kezdőérték = T0 = a nulladik időpontban a tőke összege
ZÉ = záróérték = Tn = az n-dik időszak végén a tőke összege
1 = az alapösszeg
r = kamatláb, ráta (%) = értékcsökkenésnél ez az érték negatív
/100 = tizedestört alak
n = az időszakok száma

Ha időszakonként változik a kamatláb, akkor ezt természetesen figyelembe kell venni:

 1.B. `ZÉ = KÉ*(1+r_1/100)^(n_1)*(1+r_2/100)^(n_2)*(1+r_3/100)^(n_3)`

 2. `KÉ = (ZÉ)/(1+r/100)^n`

 3. `r = 100*root(n)((ZT)/(KT))-100`

 4. `n = (lg((ZT)/(KT)))/(lg(1+r/100))`

Milyen kamatszámításhoz hasonló feladatok vannak?

1. Egy tengeri barna alga kezdeti hossza 1 méter. Minden órában a hossza megduplázódik.
Mikor éri el a 10 méter hosszúságot?

2. Egy radioaktív anyag részecskéinek a száma kezdetben 6·10²³ (egy mól).
A részecskék száma 10 percenként megfeleződik. Mennyi lesz a részecskék száma 1 óra múlva?

Ezeknél a feladatoknál az exponenciális változás mértéke van megadva:

5.A. ZÉ = KÉ·2ⁿ vagy
5.B. `ZÉ = (KÉ)/(2^(t/T)) `

ahol t = eltelt idő, T = feleződési idő, t/T feleződések száma.

Mintafeladatok

1. Beteszünk a bankba 100000 Ftot 3 évre, évi 5% kamatos kamatos kamatozásra.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000 Ft
 n = 3 év
 r = 5 %/év
  ZT = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 ZT = KT·(1 + r/100)^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 ZT = 100000·1,05^3 = Ft.
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

2. Mennyi pénzt tegyünk a bankba, hogy 3 év múlva, évi 5% kamatos kamatos kamatozás mellett 100000 Ftunk legyen?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 ZT = 100000
 n = 3év
 r = 5%/év
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 KT = ZT/(1 +r/100)^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 KT = 100000/1,05^3 = Ft.
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

3. Beteszünk a bankba 100000Ftot 3évre kamatos kamatozásra.
Hány százalékos volt a kamatláb, ha az időszak végén 116000Ftunk lesz?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000
 n = 3 év
 ZT = 116000Ft
  r = ?%/év
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 r = 100·ⁿ√ZT/KT -100
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 r = 100·³√116000/100000 -100 = %/év
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

4. Beteszünk a bankba 100000Ftot évi 5%-os kamatos kamatozásra.
Mennyi ideig kamatozott, ha az időszak végén 116000Ftunk lesz?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000Ft
 r = 5%/év
 ZT = 116000Ft
  n = ?év
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 n = lg(ZT/KT)/lg(1 + r/100)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = lg(116000/100000)/lg(1,05) = év
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

5. Egy gép vásárláskori értéke 4500000Ft.
Mennyit ér ez a gép 7 év múlva, ha az éves értékcsökkenés mértéke 18%/év?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KÉ = 4500000 Ft
 n = 7 év
 r = -8%
  ZÉ = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 ZÉ = KÉ·(1 -r/100)^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 ZÉ = 45000·0,92^7 = Ft
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

6. Egy tengeri barna alga kezdeti hossza 1 méter. Minden órában a hossza megduplázódik.
Mikor éri el a 10 méter hosszúságot?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KÉ = 1m
 ZÉ = 10m
  n = ? óra
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 n = lg(ZT/KT)/lg(2)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = lg(10/1)/lg(2) = óra
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

7. Egy radioaktív anyag részecskéinek a száma kezdetben 6·10²³ (egy mól).
A részecskék száma 10 percenként megfeleződik. Mennyi lesz a részecskék száma 1 óra múlva?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KÉ = 6*10^23
 t = 1h = 60min
 T = 10min
  n = ? óra
  ZÉ = ? óra
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 n = t/T
 ZÉ = KÉ/2^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = 60/10 =
 ZÉ = 6*10^23/2^ =
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

8. Beteszünk a bankba 100000 Ftot kamatos kamatozásra.
3 évig évi 5%-t majd 2 évig évi 4%-t kamatozik.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000Ft
 n1 = 3év
 r1 = 5%
 n2 = 2év
 r2 = 4%
  ZT = ? Ft
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 ZT = KT·(1 +r1/100)^n1·(1 +r2/100)^n2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 ZT = 100000·1,05^3·1,04^2 = Ft
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Tesztfeladatok

1. Beteszünk a bankba 100000 Ftot 3 évre, évi 5% kamatos kamatos kamatozásra.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
ZT = Ft

2. Mennyi pénzt tegyünk a bankba, hogy 3 év múlva,
évi 5% kamatos kamatos kamatozás mellett 100000 Ftunk legyen?
KT = Ft

3. Beteszünk a bankba 100000Ftot 3évre kamatos kamatozásra.
Hány százalékos volt a kamatláb, ha az időszak végén 116000Ftunk lesz?
r = %/év

4. Beteszünk a bankba 100000Ftot évi 5%-os kamatos kamatozásra.
Mennyi ideig kamatozott, ha az időszak végén 116000Ftunk lesz?
n = év

5. Egy gép vásárláskori értéke 4500000Ft.
Mennyit ér ez a gép 7 év múlva, ha az éves értékcsökkenés mértéke 18%/év?
ZÉ = Ft

6. Egy tengeri barna alga kezdeti hossza 1 méter.
Minden órában a hossza megduplázódik.
Mikor éri el a 10 méter hosszúságot?
n = óra

7. Egy radioaktív anyag részecskéinek a száma kezdetben 6·10²³.
A részecskék száma 10 percenként megfeleződik.
Mennyi lesz a részecskék száma 1 óra múlva?
n =
ZÉ = ·10^

8. Beteszünk a bankba 100000 Ftot kamatos kamatozásra.
3 évig évi 5%-t majd 2 évig évi 4%-t kamatozik.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
ZÉ = Ft

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Összesen.

6. Mértani sorozat

Mértani sorozat

Mitől mértani egy számsorozat?

Ha egy számsorozat mindig ugyanannyi szorosára nő, vagy ugyanannyiad részére csökken, akkor mértani sorozatról beszélünk.
A mértani sorozat egymást követő tagjainak hányadosa (qutiense = kvóciense) állandó.

q = hányados = an/an-1

A mértani sorozat esetén három egymást követő tag esetén a középső tag egyenlő a másik két tag mértani átlagával.
`a_n = sqrt(a_(n-1)*a_(n+1))`
Ha a középső tagot x-el jelöljük, akkor a másik két tag: x/q és x·q
Hiszen: `x = sqrt(x*q*x/q) = sqrt(x^2) = x`

Mi jellemzi a mértani sorozatot?

Az általános tagot a következő képlettel határozzuk meg:

`a_n = a_1*q^(n-1)`

Az első n tag összegképlete:

`S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`

Ügyeljünk a q kitevőjére!
Ez a képlet csak akkor érvényes, ha a q ≠ 1.

Ha q = 1, akkor Sn = n·a1

Milyen lehetséges feladatok vannak?

Paraméterek: a1,d,n,an,Sn
Ezek közül kell 3-at adotnak tekinteni.
Ez összesen 10 féle lehetőséget jelent.
És ez még kiegészül egy lehetséges esettel:
 k,n,ak,an → kétismeretlenes egyenletrendszer

Számunkra most csak a q értéke a fontos, ez lehet:

• pozitív egész szám = exponenciálisan növekvő számsorozat.
• pozitív 1-nél kisebb tört = exponenciálisan csökkenő számsorozat.
• negatív egész szám = váltakozó előjelű, exponenciálisan növekvő számsorozat.
• negatív egynél kisebb tört = váltakozó előjelű, exponenciálisan csökkenő számsorozat.

Mintafeladatok

1. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3
 q = 2
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3
 q = 2
 n = 15
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n - 1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3·2^(15 - 1) =
 Sn = 3·(2^15 - 1)/(2 - 1)=

---

2. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3
 q = -2
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3
 q = -2
 n = 15
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n - 1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3·(-2)^(15 - 1) =
 Sn = 3·((-2)^15 - 1)/(-2 - 1)=

---

3. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n - 1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3000·(1/3)^(5 - 1) =
 Sn = 3000·((1/3)^5 - 1)/(1/3 - 1)=

---

4. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3000
 q = -1/3
 n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n-1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3000·(-1/3)^(15-1) =
 Sn = 3000·((-1/3)^15 - 1)/((-1/3) - 1)=

---

5. Egy mértani sorozat esetén:
 ak = 25
 an = 155000
 k = 5
 n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 ak = 25
 an = 155000
 k = 5
 n = 10
  q = ?
  a1 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
 2. `a_k = a_1*q^(k-1)`
 1./2. `a_n/a_k = q^(n - k)`
 `q = root(n-k)(a_n/a_k)`

 `a_n = a_1*q^(n-1)` |`/q^(n-1)`
 `a_1 = a_n/q^(n-1)`

3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 `q = root(10-5)(155000/25)` =
 a1 = 155000/^(10 - 1) =

---

Tesztfeladatok

1. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3
 q = 2
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

2. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3
 q = -2
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

3. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

4. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3000
 q = -1/3
 n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

5. Egy mértani sorozat esetén:
 ak = 25
 an = 155000
 k = 5
 n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
q =
a1 =

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
Összesen.

5. Számtani sorozatos feladatok 2.

Számtani sorozatokkal kapcsolatos feladatok 2.

Milyen képletek jellemzik a számtani sorozatok?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
 `a_n = a_1 + (n-1)*d`
 `S_n = n*(a1 + an)/2`
 `S_n = ((2*a_1+(n-1)*d)*n)/2`

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen lehetséges feladatok vannak?

Paraméterek: a1,d,n,an,Sn
Ezek közül kell 3-at adotnak tekinteni.
Ez összesen 10 féle lehetőséget jelent.
Ez lehet:
 a1,d,n = alapesetben
 a1,d,an
 a1,d,Sn → másodfokú egyenlet
 a1,n,an
 a1,n,Sn
 a1,an,Sn

---

 d,n,an
 d,n,Sn
 d,an,Sn

---

 n,an,Sn → másodfokú egyenlet
És ez még kiegészül egy lehetséges esettel:
 k,n,ak,an → kétismeretlenes egyenletrendszer

Mintafeladatok

7. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 2
 a10 = 29
 (n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 d = 2
 a10 = 29
  a1 = ?
  S10 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 an = a1 + (n -1)·d |-(n -1)·d
 a1 = an -(n -1)·d

 Sn = n·(a1 +an)/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a1 = 29 -(10 -1)·2 =
 Sn = 10·( +29)/2 =

---

8. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 3
 S10 = 155
 (n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 d = 3
 S10 = 155
  a1 = ?
  a10 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 Sn = n·(2·a1 + (n-1)·d)/2 |·2/n
 2·Sn/n = 2·a1 + (n-1)·d |-(n-1)·d
 2·a1 = 2·Sn/n -(n-1)·d |/2
 a1 = Sn/n -(n-1)·d/2

 an = a1 + (n -1)·d
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a1 = 155/10 -(10-1)·3/2 =
 an = + (10 -1)·3 =

---

9. Egy számtani sorozat esetén:
 a10 = 29
 S10 = 155
 (n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a10 = 29
 S10 = 155
  a1 = ?
  d = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 Sn = n·(a1 +an)/2 |·2/n
 Sn·2/n = a1 + an |-an
 a1 = Sn·2/n -an

 an = a1 + (n -1)·d |-a1
 an -a1 = (n -1)·d |/(n -1)
 d = (an -a1)/(n -1)

3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a1 = 155·2/10 -29 =
 d = (29 -)/(10 -1) =

---

10. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 3
 an = 29
 Sn = 155
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 d = 3
 an = 29
 Sn = 155
  n = ?
  a1 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 an = a1 +(n-1)·d |-(n-1)·d
 a1 = an -(n-1)·d

 Sn = n·(2·an -2·(n-1)·d + (n-1)·d)/2 |·2
 Sn·2 = 2·an;·n -2·d·n² +2·d·n - d·n + d·n² | -Sn·2
 -d·n² +(2·an +d)·n -Sn·2
  amf = -d
  bmf = 2·an +d
  cmf = -Sn·2

  `n = (-bmf + sqrt(bmf^2 -4*amf*f))/(2*amf)`

 an = a1 +(n-1)·d | -(n-1)·d
 a1 = an -(n-1)·d

3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 amf =
 bmf = 2·29 +3 =
 cmf = -155·2 =
 n =
 a1 = 29 -(-1)·3 =
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

11. Egy számtani sorozat esetén:
 a10 = 29
 a20 = 49
 (k = 10)
 (n = 20)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a10 = 29
 a20 = 49
  d = ?
  a1 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 1. ak = a1 + (k -1)·d
 2. an = a1 + (n -1)·d
 2. -1. an - ak = (n - k)·d |/(n -k)
 d = (an - ak)/(n -k)

 an = a1 +(n-1)·d | -(n-1)·d
 a1 = an -(n-1)·d

3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 d = (49 - 29)/(20 -10) =
 a1 = 49 -(20 -1)· =

---

Tesztfeladatok

7. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 2
 an = 29
 n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
Sn =

8. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 3
 Sn = 155
 n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
an =

9. Egy számtani sorozat esetén:
 an = 29
 Sn = 155
 n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
d =

10. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 3
 an = 29
 Sn = 155
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Másodfokú egyenlet együtthatói:
a =
b =
c =
n =
a1 =

11. Egy számtani sorozat esetén:
 ak = 29
 an = 49
 k = 10
 n = 20
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
d =
a1 =

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
7.
8.
9.
10.
11.
Összesen.

4. Számtani sorozatos feladatok 1.

Számtani sorozatokkal kapcsolatos feladatok

Milyen képletek jellemzik a számtani sorozatok?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
 `a_n = a_1 + (n-1)*d`
 `S_n = n*(a1 + an)/2`
 `S_n = ((2*a_1+(n-1)*d)*n)/2`

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen lehetséges feladatok vannak?

Paraméterek: a1,d,n,an,Sn
Ezek közül kell 3-at adotnak tekinteni.
Ez összesen 10 féle lehetőséget jelent.
Ez lehet:
 a1,d,n = alapesetben
 a1,d,an
 a1,d,Sn → másodfokú egyenlet
 a1,n,an
 a1,n,Sn
 a1,an,Sn

---

 d,n,an
 d,n,Sn
 d,an,Sn

---

 n,an,Sn → másodfokú egyenlet
És ez még kiegészül egy lehetséges esettel:
 k,n,ak,an → kétismeretlenes egyenletrendszer

Mintafeladatok

1. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 3
 d = -4
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3
 d = -4
 n = 15
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1 + (n-1)·d
 Sn = n·(a1 + an)/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3 + (15 -1)·(-4) =
 Sn = n·(3 + )/2 =

---

2. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 3
 d = 4
 an = 151
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3
 d = 4
 an = 151
  n = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 an = a1 + (n-1)·d | -a1
 an - a1 = (n-1)·d |/d +1
 n = (an -a1)/d +1

 Sn = n·(a1 + an)/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = (151 -3)/4 +1 =
 Sn = ·(3 + 151)/2 =

---

3. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 3
 d = 4
 Sn = 2926
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3
 d = 4
 Sn = 2926
  n = ?
  an = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 Sn = n·(2·a1 + (n-1)·d)/2 |·2
 2·Sn = 2·a1·n + d·n² -d·n
 d·n² +(2·a1 -d)·n -2·Sn = 0
  amf = d
  bmf = 2·a1 -d
  f = -2·Sn
 `n = (-bmf + sqrt(bmf^2 -4*amf*f))/(2*amf)`

 an = a1 + (n-1)·d
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 amf =
 bmf =2·3 -4 =
 f = -2·2926 =
 n =
 an = 3 + ( -1)·4 =

---

4. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 2
 a10 = 29
 (n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 2
 a10 = 29
  d = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 an = a1 + (n-1)·d |-a1
 an -a1 = (n-1)·d |/(n -1)
 d = (an -a1)/(n -1)

 Sn = n·(a1 + an)/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 d = (29 -2)/(10 -1) =
 Sn = 10·(2 + 29)/2 =

---

5. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 2
 S10 = 155
 (n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 2
 S10 = 155
  d = ?
  a10 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 Sn = n·(2·a1 + (n-1)·d)/2 |·2
 2·Sn = n·2·a1 +(n² -n)·d |-n·2·a1
 (n² -n)·d = 2·Sn -n·2·a1 |/(n² -n)
 d = (2·Sn -n·2·a1)/(n² -n)

 an = a1 + (n-1)·d
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 d = (2·155 -10·2·2)/(10² -10) =
 an = 2 + (10 -1)· =

---

6. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 2
 an = 29
 Sn = 155
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 2
 an = 29
 Sn = 155
  n = ?
  d = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 Sn = n·(a1 + an)/2 |·2/(a1 + an)
 n = Sn·2/(a1 + an)

 an = a1 +(n -1)·d |-a1
 an - a1 = (n -1)·d |/(n -1)
 d = (an - a1)/(n -1)

3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = 155·2/(2 + 29) =
 d = (29 - 2)/(-1) =

---

Tesztfeladatok

1. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 3
 d = -4
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

2. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 3
 d = 4
 an = 151
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
n =
Sn =

3. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 3
 d = 4
 Sn = 2926
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Másodfokú egyenlet együtthatói:
a =
b =
c =
n =
an =

4. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 2
 an = 29
 n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
d =
Sn =

5. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 2
 Sn = 155
 n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
d =
an =

6. Egy számtani sorozat esetén:
 a1 = 2
 an = 29
 Sn = 155
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
n =
d =

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Összesen.