8. Bonyolult sorozatos feladatok

Bonyolut sorozatos feladatok

1. Feladat:

Egy számtani sorozat második tagja 5.
Ezen sorozat első, harmadik és tizenegyedik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja.
Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!
Megoldás:
1. a2 = 5
2. a1·a11 = a3²

1. a2 = 5
2. (a2 -d)·(a2 +9d) = (a2 +d)²

(5 - d)·(5 + 9d) = (5 + d)·(5 + d)
25 +40d -9d² = 25 +10d +d²
10d² -30d = 0
d1 = 0 → a1 = 5 -0 = 5; a11 = 5; a3 = 5 → q = 1
d2 = 3 → a1 = 5 -3 = 2; a11 = 5 + 9·3 = 32; a3 = 5 +3 = 8 → q = 4

2. Feladat:

Egy mértani sorozat első három tagjának összege 52.
Ha a harmadik számot tizenhattal csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk.
Határozza meg a mértani sorozatot!
Megoldás:
1. a1 + a2 + a3 = 52
2. a2² =a1·a3
3. a1 +a3 -16 = 2·a2

1. -3. a2 +16 = 52 -2·a2
3·a2 = 36
a2 = 12

1. a1 + a3 = 40
2. 144 = a1·a3

a1 + 144/a3 = 40
a1² -40a1 + 144 = 0
`a_1 = (40 +- sqrt(40^2-4*144))/2 = (40 +-32)/2`
1. eset: a1 = 4; a2 = 12; a3 = 36
2. eset: a1 = 36; a2 = 12; a3 = 4

3. Feladat:

Egy számtani sorozat első, második, illetve hetedik tagja egyúttal mértani sorozatot alkot.
Tudjuk, hogy ezen tagok összege 93. Határozzuk meg a számtani sorozat első hét elemét!
Megoldás:
a1·a7 = a2²
a1 + a2 + a7 = 93

a1·(a1 + 6d) = (a1 + d)²
a1 + a1 + d + a1 + 6d = 93

a1² + 6d·a1 = a1² + 2d·a1 + d²
3a1 + 7d = 93

1. eset: d = 0; a1 = 31
2. eset:
4·a1 = d
3a1 + 7d = 93

31a1 = 93
a1 = 3; d = 12
A sorozat: 3; 15; 27; 39; 51; 63; 75.

4. Feladat:

Egy háromszög oldalai olyan mértani sorozatot alkotnak, melynek hányadosa 4/3.
Határozzuk meg a háromszög legnagyobb szögét!
Megoldás:
a → a1 = a2/q = a2·(3/4)
b → a2 = a2
c → a3 = a2·q = a2·(4/3)

Koszinusz tétel:
c² = a² + b² - 2a·b·cos(γ), ahol γ a legnagyobb szög.

(a2)²·(4/3)² = (a2)²·(3/4)² + (a2)² - 2·a2·(3/4)·a2·cos(γ)
(a2)²·(16/9) = (a2)²·(9/16) + (a2)² - 2·(a2)²·(3/4)·cos(γ)
(a2)²·(16/9) = (a2)²(25/16) - (a2)²·(3/2)·cos(γ)
(a2)²·(31/144) = -(a2)²·(3/2)·cos(γ)
-(31/144)*(2/3)=cos(γ)
-(31/216)=cos(γ) → γ = 98,25°

5. Feladat:

Mennyi annak a hatmillió forintos hitelnek az évenkénti törlesztőrészlete,
melyet tíz éven keresztül tíz egyenlő részletben szeretnénk visszafizetni,
ha a bank a hitelért 10% kamatot számol évente?
1. Megoldás:
Az évjáradék = annuitás azt jelenti, hogy mindig azonos összegű hiteltörlesztés történik.
A törlesztőrészlet összegét a következő képlettel számolhatjuk ki:
`H*(1+r)^n = T*((1+r)^n -1)/(1+r -1)`
`H = T*((1+r)^n-1)/(r*(1+r)^n)`
ahol T = törlesztőrészlet összege
H = a hitel összege
r = a kamatláb értéke tizedestörtben
n = a törlesztési időszak hossza években

Jelen esetben:
H = 6 000 000Ft
n = 10 év
r = 0,1
`6 000 000 = T*(1,1^10-1)/(0,1*1,1^10) = 6,1446*T`
`T = (6 000 000)/(6,1446) = 976 472,4 Ft`

2. megoldás:
Számoljuk ki 6 000 000Ft kamatokkal növelt értékét 10 év múlva!
ZÉ = 6 000 000·1,1¹⁰ = 15 562 454,76 Ft
15 562 454,76 = T +T·1,1 + T·1,1² + ... + T·1,1⁹