7. Kamatos kamatszámítás

Kamatos kamatszámítás

Milyen kamatszámítási módokat ismerünk?

Egyszerű kamatozás esetén az alapösszeg kamatozik.
Kamatos kamatszámításnál a kamatösszeggel növelt összeg kamatozik.

Milyen képletek jellemzik a kamatos kamatszámítást?

Kiindulóképlet:

 1.A. `ZÉ = KÉ*(1+r/100)^n`

ahol KÉ = kezdőérték = T0 = a nulladik időpontban a tőke összege
ZÉ = záróérték = Tn = az n-dik időszak végén a tőke összege
1 = az alapösszeg
r = kamatláb, ráta (%) = értékcsökkenésnél ez az érték negatív
/100 = tizedestört alak
n = az időszakok száma

Ha időszakonként változik a kamatláb, akkor ezt természetesen figyelembe kell venni:

 1.B. `ZÉ = KÉ*(1+r_1/100)^(n_1)*(1+r_2/100)^(n_2)*(1+r_3/100)^(n_3)`

 2. `KÉ = (ZÉ)/(1+r/100)^n`

 3. `r = 100*root(n)((ZT)/(KT))-100`

 4. `n = (lg((ZT)/(KT)))/(lg(1+r/100))`

Milyen kamatszámításhoz hasonló feladatok vannak?

1. Egy tengeri barna alga kezdeti hossza 1 méter. Minden órában a hossza megduplázódik.
Mikor éri el a 10 méter hosszúságot?

2. Egy radioaktív anyag részecskéinek a száma kezdetben 6·10²³ (egy mól).
A részecskék száma 10 percenként megfeleződik. Mennyi lesz a részecskék száma 1 óra múlva?

Ezeknél a feladatoknál az exponenciális változás mértéke van megadva:

5.A. ZÉ = KÉ·2ⁿ vagy
5.B. `ZÉ = (KÉ)/(2^(t/T))`

ahol t = eltelt idő, T = feleződési idő, t/T feleződések száma.

Mintafeladatok

1. Beteszünk a bankba 100000 Ftot 3 évre, évi 5% kamatos kamatos kamatozásra.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000 Ft
 n = 3 év
 r = 5 %/év
  ZT = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 ZT = KT·(1 + r/100)^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 ZT = 100000·1,05^3 = 115762.50 Ft.
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

2. Mennyi pénzt tegyünk a bankba, hogy 3 év múlva, évi 5% kamatos kamatos kamatozás mellett 100000 Ftunk legyen?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 ZT = 100000
 n = 3év
 r = 5%/év
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 KT = ZT/(1 +r/100)^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 KT = 100000/1,05^3 = 86383.76Ft.
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

3. Beteszünk a bankba 100000Ftot 3évre kamatos kamatozásra.
Hány százalékos volt a kamatláb, ha az időszak végén 116000Ftunk lesz?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000
 n = 3 év
 ZT = 116000Ft
  r = ?%/év
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 r = 100·ⁿ√ZT/KT -100
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 r = 100·³√116000/100000 -100 = 5.07%/év
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

4. Beteszünk a bankba 100000Ftot évi 5%-os kamatos kamatozásra.
Mennyi ideig kamatozott, ha az időszak végén 116000Ftunk lesz?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000Ft
 r = 5%/év
 ZT = 116000Ft
  n = ?év
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 n = lg(ZT/KT)/lg(1 + r/100)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = lg(116000/100000)/lg(1,05) = 3.04év
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

5. Egy gép vásárláskori értéke 4500000Ft.
Mennyit ér ez a gép 7 év múlva, ha az éves értékcsökkenés mértéke 18%/év?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KÉ = 4500000 Ft
 n = 7 év
 r = -8%
  ZÉ = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 ZÉ = KÉ·(1 -r/100)^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 ZÉ = 45000·0,92^7 = 2510309.71Ft
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

6. Egy tengeri barna alga kezdeti hossza 1 méter. Minden órában a hossza megduplázódik.
Mikor éri el a 10 méter hosszúságot?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KÉ = 1m
 ZÉ = 10m
  n = ? óra
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 n = lg(ZT/KT)/lg(2)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = lg(10/1)/lg(2) = 3.32 óra
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

7. Egy radioaktív anyag részecskéinek a száma kezdetben 6·10²³ (egy mól).
A részecskék száma 10 percenként megfeleződik. Mennyi lesz a részecskék száma 1 óra múlva?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KÉ = 6*10^23
 t = 1h = 60min
 T = 10min
  n = ? óra
  ZÉ = ? óra
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 n = t/T
 ZÉ = KÉ/2^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = 60/10 = 6.00
 ZÉ = 6*10^23/2^6.00 = 9.3750*10^21
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

8. Beteszünk a bankba 100000 Ftot kamatos kamatozásra.
3 évig évi 5%-t majd 2 évig évi 4%-t kamatozik.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000Ft
 n1 = 3év
 r1 = 5%
 n2 = 2év
 r2 = 4%
  ZT = ? Ft
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 ZT = KT·(1 +r1/100)^n1·(1 +r2/100)^n2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 ZT = 100000·1,05^3·1,04^2 = 125208.72 Ft
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Tesztfeladatok

1. Beteszünk a bankba 151000 Ftot 3 évre, évi 1.5% kamatos kamatos kamatozásra.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
ZT = Ft

2. Mennyi pénzt tegyünk a bankba, hogy 5 év múlva,
évi 2% kamatos kamatos kamatozás mellett 130000 Ftunk legyen?
KT = Ft

3. Beteszünk a bankba 100000Ftot 5évre kamatos kamatozásra.
Hány százalékos volt a kamatláb, ha az időszak végén 123000Ftunk lesz?
r = %/év

4. Beteszünk a bankba 115000Ftot évi 4%-os kamatos kamatozásra.
Mennyi ideig kamatozott, ha az időszak végén 121000Ftunk lesz?
n = év

5. Egy gép vásárláskori értéke 4645000Ft.
Mennyit ér ez a gép 5 év múlva, ha az éves értékcsökkenés mértéke 17.5%/év?
ZÉ = Ft

6. Egy tengeri barna alga kezdeti hossza 2 méter.
Minden órában a hossza megduplázódik.
Mikor éri el a 13 méter hosszúságot?
n = óra

7. Egy radioaktív anyag részecskéinek a száma kezdetben 8·10²².
A részecskék száma 50 percenként megfeleződik.
Mennyi lesz a részecskék száma 14 óra múlva?
n =
ZÉ = ·10^

8. Beteszünk a bankba 157000 Ftot kamatos kamatozásra.
5 évig évi 4%-t majd 2 évig évi 3%-t kamatozik.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
ZÉ = Ft

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Összesen.