Számtani sorozatokkal kapcsolatos feladatok 2.
Milyen képletek jellemzik a számtani sorozatok?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! an=a1+(n-1)⋅d
Sn=n⋅a1+an2
Sn=(2⋅a1+(n-1)⋅d)⋅n2
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen lehetséges feladatok vannak?
Paraméterek: a1,d,n,an,Sn Ezek közül kell 3-at adotnak tekinteni.
Ez összesen 10 féle lehetőséget jelent.
Ez lehet:
a1,d,n = alapesetben
a1,d,an
a1,d,Sn → másodfokú egyenlet
a1,n,an
a1,n,Sn
a1,an,Sn
d,n,an
d,n,Sn
d,an,Sn
n,an,Sn → másodfokú egyenlet
És ez még kiegészül egy lehetséges esettel:
k,n,ak,an → kétismeretlenes egyenletrendszer
Mintafeladatok
7. Egy számtani sorozat esetén: d = 2
a10 = 29
(n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
d = 2
a10 = 29
a1 = ?
S10 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
an = a1 + (n -1)·d |-(n -1)·d
a1 = an -(n -1)·d
Sn = n·(a1 +an)/2 a1 = an -(n -1)·d
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a1 = 29 -(10 -1)·2 = 11
Sn = 10·(11 +29)/2 = 200
8. Egy számtani sorozat esetén:
d = 3
S10 = 155
(n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
d = 3
S10 = 155
a1 = ?
a10 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Sn = n·(2·a1 + (n-1)·d)/2 |·2/n
2·Sn/n = 2·a1 + (n-1)·d |-(n-1)·d
2·a1 = 2·Sn/n -(n-1)·d |/2
a1 = Sn/n -(n-1)·d/2
an = a1 + (n -1)·d 2·Sn/n = 2·a1 + (n-1)·d |-(n-1)·d
2·a1 = 2·Sn/n -(n-1)·d |/2
a1 = Sn/n -(n-1)·d/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
a1 = 155/10 -(10-1)·3/2 = 2
an = 2 + (10 -1)·3 = 29
9. Egy számtani sorozat esetén:
a10 = 29
S10 = 155
(n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a10 = 29
S10 = 155
a1 = ?
d = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Sn = n·(a1 +an)/2 |·2/n
Sn·2/n = a1 + an |-an
a1 = Sn·2/n -an
an = a1 + (n -1)·d |-a1
an -a1 = (n -1)·d |/(n -1)
d = (an -a1)/(n -1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás. Sn·2/n = a1 + an |-an
a1 = Sn·2/n -an
an = a1 + (n -1)·d |-a1
an -a1 = (n -1)·d |/(n -1)
d = (an -a1)/(n -1)
a1 = 155·2/10 -29 = 2
d = (29 -2)/(10 -1) = 3
10. Egy számtani sorozat esetén:
d = 3
an = 29
Sn = 155
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
d = 3
an = 29
Sn = 155
n = ?
a1 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
an = a1 +(n-1)·d |-(n-1)·d
a1 = an -(n-1)·d
Sn = n·(2·an -2·(n-1)·d + (n-1)·d)/2 |·2
Sn·2 = 2·an;·n -2·d·n² +2·d·n - d·n + d·n² | -Sn·2
-d·n² +(2·an +d)·n -Sn·2
amf = -d
bmf = 2·an +d
cmf = -Sn·2
n=-bmf+√bmf2-4⋅amf⋅f2⋅amf
an = a1 +(n-1)·d | -(n-1)·d
a1 = an -(n-1)·d
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás. a1 = an -(n-1)·d
Sn = n·(2·an -2·(n-1)·d + (n-1)·d)/2 |·2
Sn·2 = 2·an;·n -2·d·n² +2·d·n - d·n + d·n² | -Sn·2
-d·n² +(2·an +d)·n -Sn·2
amf = -d
bmf = 2·an +d
cmf = -Sn·2
n=-bmf+√bmf2-4⋅amf⋅f2⋅amf
an = a1 +(n-1)·d | -(n-1)·d
a1 = an -(n-1)·d
amf = -3
bmf = 2·29 +3 = 61
cmf = -155·2 = -310
n = 10
a1 = 29 -(10-1)·3 = 2
A mértékegységről se feledkezzünk meg!
11. Egy számtani sorozat esetén:
a10 = 29
a20 = 49
(k = 10)
(n = 20)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a10 = 29
a20 = 49
d = ?
a1 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
1. ak = a1 + (k -1)·d
2. an = a1 + (n -1)·d
2. -1. an - ak = (n - k)·d |/(n -k)
d = (an - ak)/(n -k)
an = a1 +(n-1)·d | -(n-1)·d
a1 = an -(n-1)·d
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás. 2. an = a1 + (n -1)·d
2. -1. an - ak = (n - k)·d |/(n -k)
d = (an - ak)/(n -k)
an = a1 +(n-1)·d | -(n-1)·d
a1 = an -(n-1)·d
d = (49 - 29)/(20 -10) = 2
a1 = 49 -(20 -1)·2 = 11
Tesztfeladatok
7. Egy számtani sorozat esetén:
d = 8
an = 528
n = 65
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
Sn =
d = 8
an = 528
n = 65
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
Sn =
8. Egy számtani sorozat esetén:
d = 6
Sn = 4255
n = 37
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
an =
d = 6
Sn = 4255
n = 37
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
an =
9. Egy számtani sorozat esetén:
an = 467
Sn = 6650
n = 28
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
d =
an = 467
Sn = 6650
n = 28
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
d =
10. Egy számtani sorozat esetén:
d = 9
an = 95
Sn = 550
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Másodfokú egyenlet együtthatói:
a =
b =
c =
n =
a1 =
d = 9
an = 95
Sn = 550
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Másodfokú egyenlet együtthatói:
a =
b =
c =
n =
a1 =
11. Egy számtani sorozat esetén:
ak = 482
an = 802
k = 30
n = 50
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
d =
a1 =
ak = 482
an = 802
k = 30
n = 50
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
d =
a1 =
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
7. | ||||
8. | ||||
9. | ||||
10. | ||||
11. | ||||
Összesen. |