5. Számtani sorozatos feladatok 2.

Számtani sorozatokkal kapcsolatos feladatok 2.

Milyen képletek jellemzik a számtani sorozatok?

Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak!
 `a_n = a_1 + (n-1)*d`
 `S_n = n*(a1 + an)/2`
 `S_n = ((2*a_1+(n-1)*d)*n)/2`

Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!

Milyen lehetséges feladatok vannak?

Paraméterek: a1,d,n,an,Sn
Ezek közül kell 3-at adotnak tekinteni.
Ez összesen 10 féle lehetőséget jelent.
Ez lehet:
 a1,d,n = alapesetben
 a1,d,an
 a1,d,Sn → másodfokú egyenlet
 a1,n,an
 a1,n,Sn
 a1,an,Sn

---

 d,n,an
 d,n,Sn
 d,an,Sn

---

 n,an,Sn → másodfokú egyenlet
És ez még kiegészül egy lehetséges esettel:
 k,n,ak,an → kétismeretlenes egyenletrendszer

Mintafeladatok

7. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 2
 a10 = 29
 (n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 d = 2
 a10 = 29
  a1 = ?
  S10 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 an = a1 + (n -1)·d |-(n -1)·d
 a1 = an -(n -1)·d

 Sn = n·(a1 +an)/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a1 = 29 -(10 -1)·2 = 11
 Sn = 10·(11 +29)/2 = 200

---

8. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 3
 S10 = 155
 (n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 d = 3
 S10 = 155
  a1 = ?
  a10 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 Sn = n·(2·a1 + (n-1)·d)/2 |·2/n
 2·Sn/n = 2·a1 + (n-1)·d |-(n-1)·d
 2·a1 = 2·Sn/n -(n-1)·d |/2
 a1 = Sn/n -(n-1)·d/2

 an = a1 + (n -1)·d
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a1 = 155/10 -(10-1)·3/2 = 2
 an = 2 + (10 -1)·3 = 29

---

9. Egy számtani sorozat esetén:
 a10 = 29
 S10 = 155
 (n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a10 = 29
 S10 = 155
  a1 = ?
  d = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 Sn = n·(a1 +an)/2 |·2/n
 Sn·2/n = a1 + an |-an
 a1 = Sn·2/n -an

 an = a1 + (n -1)·d |-a1
 an -a1 = (n -1)·d |/(n -1)
 d = (an -a1)/(n -1)

3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 a1 = 155·2/10 -29 = 2
 d = (29 -2)/(10 -1) = 3

---

10. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 3
 an = 29
 Sn = 155
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 d = 3
 an = 29
 Sn = 155
  n = ?
  a1 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 an = a1 +(n-1)·d |-(n-1)·d
 a1 = an -(n-1)·d

 Sn = n·(2·an -2·(n-1)·d + (n-1)·d)/2 |·2
 Sn·2 = 2·an;·n -2·d·n² +2·d·n - d·n + d·n² | -Sn·2
 -d·n² +(2·an +d)·n -Sn·2
  amf = -d
  bmf = 2·an +d
  cmf = -Sn·2

  `n = (-bmf + sqrt(bmf^2 -4*amf*f))/(2*amf)`

 an = a1 +(n-1)·d | -(n-1)·d
 a1 = an -(n-1)·d

3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 amf = -3
 bmf = 2·29 +3 = 61
 cmf = -155·2 = -310
 n = 10
 a1 = 29 -(10-1)·3 = 2
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

11. Egy számtani sorozat esetén:
 a10 = 29
 a20 = 49
 (k = 10)
 (n = 20)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a10 = 29
 a20 = 49
  d = ?
  a1 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 1. ak = a1 + (k -1)·d
 2. an = a1 + (n -1)·d
 2. -1. an - ak = (n - k)·d |/(n -k)
 d = (an - ak)/(n -k)

 an = a1 +(n-1)·d | -(n-1)·d
 a1 = an -(n-1)·d

3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 d = (49 - 29)/(20 -10) = 2
 a1 = 49 -(20 -1)·2 = 11

---

Tesztfeladatok

7. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 8
 an = 538
 n = 66
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
Sn =

8. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 9
 Sn = 2820
 n = 24
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
an =

9. Egy számtani sorozat esetén:
 an = 118
 Sn = 1782
 n = 27
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
a1 =
d =

10. Egy számtani sorozat esetén:
 d = 17
 an = 674
 Sn = 13689
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Másodfokú egyenlet együtthatói:
a =
b =
c =
n =
a1 =

11. Egy számtani sorozat esetén:
 ak = 405
 an = 565
 k = 39
 n = 55
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
d =
a1 =

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
7.
8.
9.
10.
11.
Összesen.