Számtani sorozatokkal kapcsolatos feladatok
Milyen képletek jellemzik a számtani sorozatok?
Készítsünk egy kis emlékeztetőt (puskát) magunknak! an=a1+(n-1)⋅d
Sn=n⋅a1+an2
Sn=(2⋅a1+(n-1)⋅d)⋅n2
Számoljunk a pontos értékekkel!
A végeredmény közlésénél viszont kerekítsünk 2 tizedes jegyre!
Milyen lehetséges feladatok vannak?
Paraméterek: a1,d,n,an,Sn Ezek közül kell 3-at adotnak tekinteni.
Ez összesen 10 féle lehetőséget jelent.
Ez lehet:
a1,d,n = alapesetben
a1,d,an
a1,d,Sn → másodfokú egyenlet
a1,n,an
a1,n,Sn
a1,an,Sn
d,n,an
d,n,Sn
d,an,Sn
n,an,Sn → másodfokú egyenlet
És ez még kiegészül egy lehetséges esettel:
k,n,ak,an → kétismeretlenes egyenletrendszer
Mintafeladatok
1. Egy számtani sorozat esetén: a1 = 3
d = -4
n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a1 = 3
d = -4
n = 15
an = ?
Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
an = a1 + (n-1)·d
Sn = n·(a1 + an)/2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
an = 3 + (15 -1)·(-4) = -53
Sn = n·(3 + -53)/2 = -375
2. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 3
d = 4
an = 151
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a1 = 3
d = 4
an = 151
n = ?
Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
an = a1 + (n-1)·d | -a1
an - a1 = (n-1)·d |/d +1
n = (an -a1)/d +1
Sn = n·(a1 + an)/2 an - a1 = (n-1)·d |/d +1
n = (an -a1)/d +1
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
n = (151 -3)/4 +1 = 38
Sn = 38·(3 + 151)/2 = 2926
3. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 3
d = 4
Sn = 2926
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a1 = 3
d = 4
Sn = 2926
n = ?
an = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Sn = n·(2·a1 + (n-1)·d)/2 |·2
2·Sn = 2·a1·n + d·n² -d·n
d·n² +(2·a1 -d)·n -2·Sn = 0
amf = d
bmf = 2·a1 -d
f = -2·Sn
n=-bmf+√bmf2-4⋅amf⋅f2⋅amf
an = a1 + (n-1)·d 2·Sn = 2·a1·n + d·n² -d·n
d·n² +(2·a1 -d)·n -2·Sn = 0
amf = d
bmf = 2·a1 -d
f = -2·Sn
n=-bmf+√bmf2-4⋅amf⋅f2⋅amf
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
amf = 4
bmf =2·3 -4 = 2
f = -2·2926 = -5852
n = 38
an = 3 + (38 -1)·4 = 151
4. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 2
a10 = 29
(n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a1 = 2
a10 = 29
d = ?
Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
an = a1 + (n-1)·d |-a1
an -a1 = (n-1)·d |/(n -1)
d = (an -a1)/(n -1)
Sn = n·(a1 + an)/2 an -a1 = (n-1)·d |/(n -1)
d = (an -a1)/(n -1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
d = (29 -2)/(10 -1) = 3
Sn = 10·(2 + 29)/2 = 155
5. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 2
S10 = 155
(n = 10)
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a1 = 2
S10 = 155
d = ?
a10 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Sn = n·(2·a1 + (n-1)·d)/2 |·2
2·Sn = n·2·a1 +(n² -n)·d |-n·2·a1
(n² -n)·d = 2·Sn -n·2·a1 |/(n² -n)
d = (2·Sn -n·2·a1)/(n² -n)
an = a1 + (n-1)·d 2·Sn = n·2·a1 +(n² -n)·d |-n·2·a1
(n² -n)·d = 2·Sn -n·2·a1 |/(n² -n)
d = (2·Sn -n·2·a1)/(n² -n)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
d = (2·155 -10·2·2)/(10² -10) = 3
an = 2 + (10 -1)·3 = 29
6. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 2
an = 29
Sn = 155
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a1 = 2
an = 29
Sn = 155
n = ?
d = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Sn = n·(a1 + an)/2 |·2/(a1 + an)
n = Sn·2/(a1 + an)
an = a1 +(n -1)·d |-a1
an - a1 = (n -1)·d |/(n -1)
d = (an - a1)/(n -1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás. n = Sn·2/(a1 + an)
an = a1 +(n -1)·d |-a1
an - a1 = (n -1)·d |/(n -1)
d = (an - a1)/(n -1)
n = 155·2/(2 + 29) = 10
d = (29 - 2)/(10-1) = 3
Tesztfeladatok
1. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 13
d = -3
n = 20
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =
a1 = 13
d = -3
n = 20
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =
2. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 20
d = 6
an = 206
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
n =
Sn =
a1 = 20
d = 6
an = 206
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
n =
Sn =
3. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 22
d = 6
Sn = 13104
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Másodfokú egyenlet együtthatói:
a =
b =
c =
n =
an =
a1 = 22
d = 6
Sn = 13104
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Másodfokú egyenlet együtthatói:
a =
b =
c =
n =
an =
4. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 28
an = 72
n = 23
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
d =
Sn =
a1 = 28
an = 72
n = 23
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
d =
Sn =
5. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 4
Sn = 7564
n = 61
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
d =
an =
a1 = 4
Sn = 7564
n = 61
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
d =
an =
6. Egy számtani sorozat esetén:
a1 = 31
an = 255
Sn = 4147
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
n =
d =
a1 = 31
an = 255
Sn = 4147
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
n =
d =
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| 6. | ||||
| Összesen. |
