6. Mértani sorozat

Mértani sorozat

Mitől mértani egy számsorozat?

Ha egy számsorozat mindig ugyanannyi szorosára nő, vagy ugyanannyiad részére csökken, akkor mértani sorozatról beszélünk.
A mértani sorozat egymást követő tagjainak hányadosa (qutiense = kvóciense) állandó.

q = hányados = an/an-1

A mértani sorozat esetén három egymást követő tag esetén a középső tag egyenlő a másik két tag mértani átlagával.
`a_n = sqrt(a_(n-1)*a_(n+1))`
Ha a középső tagot x-el jelöljük, akkor a másik két tag: x/q és x·q
Hiszen: `x = sqrt(x*q*x/q) = sqrt(x^2) = x`

Mi jellemzi a mértani sorozatot?

Az általános tagot a következő képlettel határozzuk meg:

`a_n = a_1*q^(n-1)`

Az első n tag összegképlete:

`S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`

Ügyeljünk a q kitevőjére!
Ez a képlet csak akkor érvényes, ha a q ≠ 1.

Ha q = 1, akkor Sn = n·a1

Milyen lehetséges feladatok vannak?

Paraméterek: a1,d,n,an,Sn
Ezek közül kell 3-at adotnak tekinteni.
Ez összesen 10 féle lehetőséget jelent.
És ez még kiegészül egy lehetséges esettel:
 k,n,ak,an → kétismeretlenes egyenletrendszer

Számunkra most csak a q értéke a fontos, ez lehet:

• pozitív egész szám = exponenciálisan növekvő számsorozat.
• pozitív 1-nél kisebb tört = exponenciálisan csökkenő számsorozat.
• negatív egész szám = váltakozó előjelű, exponenciálisan növekvő számsorozat.
• negatív egynél kisebb tört = váltakozó előjelű, exponenciálisan csökkenő számsorozat.

Mintafeladatok

1. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3
 q = 2
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3
 q = 2
 n = 15
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n - 1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3·2^(15 - 1) = 49152
 Sn = 3·(2^15 - 1)/(2 - 1)= 98301

---

2. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3
 q = -2
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3
 q = -2
 n = 15
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n - 1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3·(-2)^(15 - 1) = 49152
 Sn = 3·((-2)^15 - 1)/(-2 - 1)= 32769

---

3. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n - 1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3000·(1/3)^(5 - 1) = 37.0370
 Sn = 3000·((1/3)^5 - 1)/(1/3 - 1)= 4481.4815

---

4. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3000
 q = -1/3
 n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n-1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3000·(-1/3)^(15-1) = 37.0370
 Sn = 3000·((-1/3)^15 - 1)/((-1/3) - 1)= 2259.2593

---

5. Egy mértani sorozat esetén:
 ak = 25
 an = 155000
 k = 5
 n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 ak = 25
 an = 155000
 k = 5
 n = 10
  q = ?
  a1 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
 2. `a_k = a_1*q^(k-1)`
 1./2. `a_n/a_k = q^(n - k)`
 `q = root(n-k)(a_n/a_k)`

 `a_n = a_1*q^(n-1)` |`/q^(n-1)`
 `a_1 = a_n/q^(n-1)`

3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 `q = root(10-5)(155000/25)` = 5.7343
 a1 = 155000/^(10 - 1) = 0.0231

---

Tesztfeladatok

1. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 12
 q = 2
 n = 9
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

2. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 12
 q = -3
 n = 8
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

3. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 1374
 q = 3/8
 n = 7
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

4. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 8778
 q = -3/8
 n = 9
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

5. Egy mértani sorozat esetén:
 ak = 83
 an = 1440
 k = 7
 n = 13
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
q =
a1 =

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
Összesen.