Mértani sorozat
Mitől mértani egy számsorozat?
Ha egy számsorozat mindig ugyanannyi szorosára nő, vagy ugyanannyiad részére csökken, akkor mértani sorozatról beszélünk. A mértani sorozat egymást követő tagjainak hányadosa (qutiense = kvóciense) állandó.
q = hányados = an/an-1
A mértani sorozat esetén három egymást követő tag esetén a középső tag egyenlő a másik két tag mértani átlagával.
`a_n = sqrt(a_(n-1)*a_(n+1))`
Ha a középső tagot x-el jelöljük, akkor a másik két tag: x/q és x·q
Hiszen: `x = sqrt(x*q*x/q) = sqrt(x^2) = x`
Mi jellemzi a mértani sorozatot?
Az általános tagot a következő képlettel határozzuk meg:
`a_n = a_1*q^(n-1)`
Az első n tag összegképlete:
`S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`
Ügyeljünk a q kitevőjére! Ez a képlet csak akkor érvényes, ha a q ≠ 1.
Ha q = 1, akkor Sn = n·a1
Milyen lehetséges feladatok vannak?
Paraméterek: a1,d,n,an,Sn Ezek közül kell 3-at adotnak tekinteni.
Ez összesen 10 féle lehetőséget jelent.
És ez még kiegészül egy lehetséges esettel:
k,n,ak,an → kétismeretlenes egyenletrendszer
Számunkra most csak a q értéke a fontos, ez lehet:
- pozitív egész szám = exponenciálisan növekvő számsorozat.
- pozitív 1-nél kisebb tört = exponenciálisan csökkenő számsorozat.
- negatív egész szám = váltakozó előjelű, exponenciálisan növekvő számsorozat.
- negatív egynél kisebb tört = váltakozó előjelű, exponenciálisan csökkenő számsorozat.
Mintafeladatok
1. Egy mértani sorozat esetén: a1 = 3
q = 2
n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a1 = 3
q = 2
n = 15
an = ?
Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
an = a1·q^(n - 1)
Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
an = 3·2^(15 - 1) =
Sn = 3·(2^15 - 1)/(2 - 1)=
2. Egy mértani sorozat esetén:
a1 = 3
q = -2
n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a1 = 3
q = -2
n = 15
an = ?
Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
an = a1·q^(n - 1)
Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
an = 3·(-2)^(15 - 1) =
Sn = 3·((-2)^15 - 1)/(-2 - 1)=
3. Egy mértani sorozat esetén:
a1 = 3000
q = 1/3
n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a1 = 3000
q = 1/3
n = 5
an = ?
Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
an = a1·q^(n - 1)
Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
an = 3000·(1/3)^(5 - 1) =
Sn = 3000·((1/3)^5 - 1)/(1/3 - 1)=
4. Egy mértani sorozat esetén:
a1 = 3000
q = -1/3
n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
a1 = 3000
q = 1/3
n = 5
an = ?
Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
an = a1·q^(n-1)
Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
an = 3000·(-1/3)^(15-1) =
Sn = 3000·((-1/3)^15 - 1)/((-1/3) - 1)=
5. Egy mértani sorozat esetén:
ak = 25
an = 155000
k = 5
n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
ak = 25
an = 155000
k = 5
n = 10
q = ?
a1 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
2. `a_k = a_1*q^(k-1)`
1./2. `a_n/a_k = q^(n - k)`
`q = root(n-k)(a_n/a_k)`
`a_n = a_1*q^(n-1)` |`/q^(n-1)`
`a_1 = a_n/q^(n-1)`
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás. 2. `a_k = a_1*q^(k-1)`
1./2. `a_n/a_k = q^(n - k)`
`q = root(n-k)(a_n/a_k)`
`a_n = a_1*q^(n-1)` |`/q^(n-1)`
`a_1 = a_n/q^(n-1)`
`q = root(10-5)(155000/25)` =
a1 = 155000/^(10 - 1) =
Tesztfeladatok
1. Egy mértani sorozat esetén:
a1 = 3
q = 2
n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =
a1 = 3
q = 2
n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =
2. Egy mértani sorozat esetén:
a1 = 3
q = -2
n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =
a1 = 3
q = -2
n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =
3. Egy mértani sorozat esetén:
a1 = 3000
q = 1/3
n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =
a1 = 3000
q = 1/3
n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =
4. Egy mértani sorozat esetén:
a1 = 3000
q = -1/3
n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =
a1 = 3000
q = -1/3
n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =
5. Egy mértani sorozat esetén:
ak = 25
an = 155000
k = 5
n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
q =
a1 =
ak = 25
an = 155000
k = 5
n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
q =
a1 =
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:
| Ssz. | Max | Pont | Param | Be |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| Összesen. |
