3. Hasábok ábrázolása és jellemzői

Hasábok ábrázolása és jellemzői

Hogyan határozzuk meg a hasábok lap- és testátlójának a hosszát?

Az átlók hosszának meghatározásához készítsünk ábrát.
Az ábrába rajzoljuk be az átlókat is.
Az ábrán keressünk derékszögű háromszöget.
Írjuk fel rá a Pitagorasz-tételt.

A háromszög alapú hasáboknak nincs testátlójuk.

Mit nevezünk a testek felszínének?

A testeket síklapok, vagy görbült felületek határolják.
A síkbeli alakzatoknak meg tudtuk határozni a területét.

Kétféle test létezik:
- Amelyiket az élek felhasításával síkba ki tudunk teríteni, azaz el tudjuk készíteni a hálóját.
- Amelyiket nem tudunk kiteríteni síkba (ide csak a gömb tartozik a felsoroltak közül).
Geogebra szemléltetés

Azt a számot, amelyik megadja, hogy az egységnyi területű négyzet hányszor fér rá a határoló felületekre FELSZÍNnek nevezzük.
A felszín jele: A (area)
A felszínt a háló területeként a legegyszerűbb kiszámítani.
A felszín mértékegysége: m², cm², dm²
(Az átváltásra ügyelni kell!)

A hasábok felszíne = alapterület·2 + palást területe

Mit nevezünk a testek térfogatának?

A testek zárt térrészek.
Azt additív (összeadódó = egész egyenlő a részek összegével) mennyiséget, amely megmutatja, hogy egy test belsejébe hány egységkocka fér el, TÉRFOGATnak nevezzük.
A térfogat jele: V (volume).
A térfogat mértékegysége: m³, cm³, dm³
(Az átváltásra ügyelni kell!)
1 liter = 1 dm³

A hasábok felszíne = alapterület · magasság

Melyik a legegyszerűbb hasáb? Mi jellemzi?

A hasábok osztályozását célszerű a legegyszerűbb esettől kezdeni:
A legegyszerűbb hasáb: a KOCKA.
A kocka minden oldala azonos hosszúságú.
TEHÁT a kockát egy paraméter jellemzi.
- a = az alap- és az oldalélek hossza.

Határozzuk meg a kocka esetén az e, f, A és V képletét!

ABC△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A lapátló hossza:
 e = a·√2 ≈ a·1,4142

ACE△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A testátló hossza:
 f = a·√3 ≈ a·1,7321

Kocka hálója:

ez alapján a felszíne:
 A = 6·a

Térfogata:
 V = T·m = a²·a = a³

Mi jellemzi a négyzetes oszlopot?

HA a kockát z irányba megnyújtjuk, AKKOR NÉGYZETES OSZLOPot kapunk.
A négyzetes oszlopot már két paraméterrel jellemezhetünk:
- a = alaplap éleinek hossza.
- b vagy m = a négyzetes oszlop magassága.

Határozzuk meg a négyzetes oszlop esetén az e, f, A és V képletét!

ABC△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A lapátló hossza:
 e = a·√2 ≈ a·1,4142

ACE△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A testátló hossza:
 f = √(2·a² + b²)
 vagy f = √(2·a² + m²)

A felszíne:

 A = 2·a² + 4·a·b

Térfogata:
 V = T·m = a²·b
 vagy V = a²·m

Mi jellemzi a téglatestet?

Ha a négyzetes oszlopot y irányba megnyújtjuk, akkor TÉGLATESTet kapunk.
A téglatestet 3 paraméterrel jellemzhetjük.
- a = hosszúság
- b = szélesség
- c = magasság

Határozzuk meg a téglatest esetén az e, f, A és V képletét!

ABC△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A lapátló hossza:
 e = √(a² + b²)

ACE△-re felírva a Pitagorasz tételt:
A testátló hossza:
 f = √(a² + b² + c²)

A felszíne:

 A = 2·a·b + 2·a·c + 2·b·c

Térfogata:
 V = T·m = a·b·c

Mi jellemzi a prizmát? Hogy néz ki?

A szabályos sokszög alapú hasábot PRIZMÁnak nevezzük.
A prizmának két paramétere van, amely meghatározza.
- a = alapél hossza.
- m = a prizma magassága.

Határozzuk meg a prizma esetén az A és V képletét!

A felszíne:
 A = 2·T_△ + 3·a·m
 T_△ = a·m_△/2
 m_△ = a√3/2 ≈ 0,866

Nem érdemes egy képletet kreálni, hanem alulról felfele haladva érdemes kiszámolni és behelyettesíteni az egyes kifejezések értékeit!

Térfogata:
 V = T_△·m

Mi jellemzi a szabályos hatszög alapú hasábot?

A szabályos hatszög alapú hasáb felbontható a középpontjából kiindulva prizmákra.

Határozzuk meg a szabályos hatszög alapú esetén az A és V képletét!

A felszíne:
 A = 6·2·T_△ + 6·a·m
 T_△ = a·m_△/2
 m_△ = a√3/2 ≈ 0,866

A matematika egyik hasznos módszere: vezessük vissza az összetett problémát egyszerőbb ismert megoldású problémákra!
Nem érdemes egy képletet kreálni, hanem alulról felfele haladva érdemes kiszámolni és behelyettesíteni az egyes kifejezések értékeit!
Nem érdemes a képletben összevonni, mert akkor nem látjuk a gondolati tartalmat!

Térfogata:
 V = 6·T_△·m

Mi jellemzi a szimmetrikus trapéz alapú hasábot?

Előfordulhat még feladatokban: a szimmetrikus trapéz alapú hasáb.
A trapéz hosszabb alapélének hossza = a
A trapéz rövidebb alapélének hossza = c
A trapéz szárának hossza = b
A trapéz magassága = m_tr
A hasáb magassága = m

Látható, hogy itt két azonos betű (m) is szerepel. Ilyenkor a legegyszerűbben indexezéssel tehetünk közöttük különbséget.
Az indexezésnél használjuk az alakzat nevét, vagy annak rövidítését.

Határozzuk meg a szimmetrikus trapéz alapú hasáb esetén az A és V képletét!

Az indexezés grafikus megjelenítése nem mindig problémamentes:
 m_tr = m_tr

A felszíne:
 A = 2·T_tr + a·m + 2·b·m + c·m
 T_tr = (a + c)·m_tr /2

Pitagorasz tétel:
 (a - c)²/4 + m_tr² = b²
 (Erre még szükség lehet!)

Térfogata:
 V = T_tr·m

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Melyik az a hasáb, amelyiknek minden oldallapja négyzet?
2. Hogyan határozzuk meg a kocka átlójának hosszát?
3. Hogyan határozzuk meg egy test felszínének a képletét?
4. Hogyan határozzuk meg hasábok esetén a térfogat képletét?
5. Miben tér el a négyzetes oszlop a kockától?
6. Milyen sajátossága van a téglatest felszínképletének?
7. Mit jelent a téglatest térfogatképletében az a, b és c betű?
8. A háromszög alapú hasáb esetén hogyan határozzuk meg a felszín képletét?
9. Miért nem túl bonyolult a szabályos hatszög alapú hasáb térfogatát meghatározni?
10. A szimmetrikus trapéz alapú hasáb esetén hogyan különböztetjük meg a testmagasságot és az alaplap magasságát?

2. Testek fajtái

Testek fajtái

Mi a TEST?

A TÉRBEN vannak nyitott és zárt alakzatok.
A zárt térrészeket TESTeknek nevezzük.

Milyen testeket használunk a tanulmányaink során?

1. Kérdés: Van-e jól elkülöníthető alsó és felső része?
HA NINCS: Akkor a test egy gömb.
HA VAN:
2. Kérdés: A test felső része síkidom (azaz nem egy pont)?
HA IGEN: Akkor a test egy hasáb vagy egy henger.
HA NEM:
3. Kérdés: A test ép vagy csonkolt (ve van vágva a teteje)?
HA ÉP: Akkor a test egy gúla vagy egy kúp.
HA CSONKOLT: Akkor a test egy csonkagúla vagy csonkakúp.

Milyen részekből állnak ezek a testek?

A legjellegzetesebb eset:

Lapok = határoló síkidomok
- alaplap
- fedőlap
- oldallapok együtt = palást
Élek = Lapok (illetve lapok és gorbült felületek) találkozási helyei.
- Alap és fedőlap élei = alapélek.
- Oldallapok élei, amelyek nem alapélek = oldalélek.
Csúcsok = Az élek kezdő és végpontjai.
Egyebek:
- Körüljáratással való származtatás esetén az oldalsó összetevők = alkotók.
- Az alap és fedőlap szimmetriaközéppontját összekötő egyenes = szimmetriatengely.
- A lapok átellenes pontjait kötik össze = lapátlók (e).
- Az alap és a fedőlap átellenes pontjait kötik össze = testátlók (f).

Mi a különbség az egyenes és a ferde testek között?

Az egyenes testek szimmetriatengelye az alaplap síkjával derékszöget zár be. (merőleges rá)
A ferde testek esetén a szimmetriatengely dölt.
A ferde testekkel nem foglalkozunk. (Hurrá!)
Speciális ferde test a paralelepipedon:

Hogyan származtathatók a testek?

A) Körüljáratással:
HENGERSZERŰ TESTEK esetén:
1. Vegyünk egy alapsíkidomt.
2. Egy tetszőleges pontján keresztül húzzunk egy az alaplap síkjára nem illeszkedő, lehetőleg arra merőleges egyenest. (nevezzük ezt az esgyenest alkotó egyenesnek)
3. Járassuk körül az egyenest az alapsíkidomon. Így egy végtelen, nyitott felületet kapunk.
4. Metszük el ezt a felületet egy olyan síkkal, amelyik párhuzamos az alapsíkidom síkjával.


KÚPSZERŰ TESTEK esetén:
1. Vegyünk egy alapsíkidomt.
2. Egy tetszőleges pontján keresztül húzzunk egy egyenest, amely illeszkedik egy külső (lehetőleg a szimmetriaközéppont felett levő) pontra.
3. Járassuk körül az egyenest az alapsíkidomon. Így egy végtelen, nyitott felületet kapunk.
4. Metszük el ezt a felületet egy olyan síkkal, amelyik párhuzamos az alapsíkidom síkjával.


B) Forgatással:
lásd később.

Hogyan ábrázoljuk a műszaki életben a testeket?

A testeket a műszaki életben a háromsíkos ábrázolással ábrázoljuk.
Ez három vetítősik alkalmazását jelenti:
Minden testnek van
- előlnézete
- oldalnézete
- és alulnézete.

Melyek a forgástestek?

A forgástesteket egy egyszerű alakzatnak (téglalap, derékszögű háromszög, kör) egy speciális helyzetű (oldalára, középpontjára, külső pontjára illeszkedő) tengely körül történő forgatásával kapjuk.
A gömb és a torusz csak így származtatható.

Mikor szabályos egy test?

A szabályos testek lapjai egybevágyú szabályos sokszögek (háromszögek, négyzetek, ötszögek).
Öt darab szabályos test létezik.
- tetraéder: 4 háromszög alkotja. (3+1 lapelrendezés)
- hexaéder: 6 négyzet alkotja. (kocka) (1+4+1 lapelrendezés)
- oktaéder: 8 háromszög alkotja. (kettős piramis) (4+4 lapelrendezés)
- dodekaéder: 12 ötszög alkotja. (1+5+5+1 lapelrendezés)
- ikozaéder: 20 db háromszög alkotja. (5+5*2+5 lapelrendezés)

Milyenek a nem egyszerű testek?

Az egyszerű testek egymást tartalmazhatják:
pl. egy kockába egy érintő gömböt helyezünk.

Az egyszerű testekből összetett testeket is építhetünk hozzáadással vagy elvétellel.

Bármilyen alaplapot felépíthetünk háromszögek segítségével.

Mik a poliéderek?

Poliéder = csak sokszöglapokkal határolt testek.
A hasábok és a gúlák mellett a szabályos testek is poliéderek.
Milyen magyar vonatkozású speciális poliéderek vannak?

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Milyen téralkotókat nevezünk testeknek?
2. Melyek az általunk használt testek?
3. Hogyan származtathatók az általunk használt testek?
4. Mi a különbség az egyenes és a ferde testek között?
5. Hogyan származtathatjuk a csonka testeket?
6. Milyen testeknek van átlójuk?
7. Milyen összefüggés van a csúcsok és az élek között?
8. Hány szabályos test létezik?
9. Melyik általunk használt test tekinthető poliédernek?
10. Hogyan jönnek létre az összetett testek?

1. Tér

A térről általában

Mi a TÉR?

A TÉR egy elvonatkoztatás:
 - zárt és nyitott térrészek összessége. (1. megközelítés)
 - pontok összessége. (2. megközelítés)

Mi jellemzi a teret?

HA térben akarunk tájékozódni, vagyis azt szeretnénk tudni, hogy mi hol van, akkor
A TÉR PONTOKBÓL (virtuális, kiterjedés nélküli összetevőkből) ÁLL!
+ (Tudjuk még, hogy) A TÉR pontjait számok segítségével azonosítani lehet.
 ↓ (Ebből az következik, hogy)
A tér valójában a térbeli koordináta rendszer pontjainak összessége.

(No, de!) A térbeli koordináta rendszer három egymásra merőleges, jobbsodrású koordinátatengelyből áll (x,y,z). (1. ábra)
Bármely pont helyét egyértelműen meg tudjuk határozni ebben a rendszerben a három koordinátájával:
x = abszcissza,
y = ordináta,
z = applikáta.

Ezt a rendszert
- az origója
- az x irányú egységpontja
- az y irányú egységpontja
- a z irányú egységpontja egyértelműen meghatározza.
Ez a négy pont nem illeszkedik egy síkra (nem komplanáris).
(Vagyis ebben az esetben jellemzően 3 távolság segítségével adjuk meg a pont helyzetét.)
Használatos még ugyanakkor:
- hengerkoordináta rendszer: két távolság és egy szög segítségével adjuk meg a pont helyzetét.
- gömbi koordináta rendszer: egy távolság és két szög segítségével adjuk meg a pont helyzetét. (lásd földrajzi helymeghatározás)


Ha a (valódi, azaz kiterjedéssel rendelkező) téralkotókat akarjuk jellemezni, mi milyen alakú, mekkora kiterjedésű, akkor
a koordináta rendszerre nem lesz szükségünk. (Hurrá!)

Hány dimenziós a tér?

A tér matematikában mindig 3 dimenziós.
Minden zárt térbeli alakzatnak van:
- hosszúsága (maximális x irányú kiterjedése)
- szélessége (maximális y irányú kiterjedése)
- magassága (maximális z irányú kiterjedése)
A kiterjedést úgy kapjuk, hogy belefoglaljuk képzeletben az adott testet egy olyan téglalapba, amelynek az élei párhuzamosak a tengelyekkel.


A modern matematika és a modern fizika kiterjesztette a dimenzió fogalmát.
Az egyik legszebb kiterjesztés a fraktáloké, amelyek törtdimenziós alakzatok és főként a káoszelméletben használatosak.
A háromnál több dimenziós alakzatokkal nem foglalkozunk. (Hurrá!)

Mi a kubizmus?

A kubizmus az az avantgard (modernista) festészeti stílusirányzat, amely azt ténylegesen is megjeleníti a a környezet dolgainak a mértani alakzatokra való felbontását.
Leghíresebb képviselője Picasso volt.

Van-e a térnek görbülete?

Euklidész szerint a térnek nincs görbülete:
- a párhuzamos egyenesek nem találkoznak.
- egy háromszög szögeinek összege 180°.

A nem Euklidészi geometriák (Bolyai-Lobacsevszkij-Riemann) szerint a térnek van görbülete:
- a párhuzamosak találkoznak.
- a háromszögek (pl. gömbháromszög) belső szögeinek összege nem 180°.

Mi a nem Euklidészi geometriákkal nem foglalkozunk. (Hurrá!)

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Mikor fogjuk fel a teret ponthalmazként?
2. Miben tér el a térbeli és a síkbeli koordináta rendszer egymástól?
3. Milyen térbeli koordináta rendszereket használnak leggyakrabban?
4. Mit jelent az a szó, hogy kollineáris és mit jelent az, hogy komplanáris?
5. Hogy hívják a -Descartes-féle térbeli koordináta rendszerben a tengelyeket?
6. Mit jelent az, hogy a térbeli testek 3 dimenziósak?
7. Milyen kapcsolat van Picasso és a geometria között?
8. Milyen térbeli alakzatok a testek, nyitottak vagy zártak?
9. Mit mondott Euklidész a tér görbületéről?
10. Kik voltak az Euklideszi geometria mindenhatóságának megkérdőjelezői?

1. Halmazok 2. (feladatok)

Halmazok 2.

ADATBEVITELI SZABÁLYOK:
- A halmaz elemeit nagyság szerint növekvő sorrendben (vagy abc szerinti sorrendben) kell beírni!
- Szóköz nélkül!
- Pontosvesszővel elválasztva!

1. fordított feladatok

1.12.10.2.

Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A ∪ B = {1;2;3;4;5;6}, A \ B = {1;4} és A ∩ B = {2;5}.
Sorolja fel az A és a B halmaz elemeit!

A = {}

 2 pont 

B = {}

 2 pont 

2.2006.02.12.

Az A és a B halmazokról a következőket tudjuk: A ∩ B = {1; 2},
A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7},
A \ B = {5; 7}.
Adja meg az A és a B halmaz elemeit!

A = {}

 2 pont 

B = {}

 2 pont 

3.13.05.1.

Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A ∪ B = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} és B \ A = {1;2;4;7}.
Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt!

A = {}

 2 pont 

 (logikai)

4.2016.06.2.

Döntse el, hogy igazak-e az alábbi állítások minden A és B halmaz esetén!

1. állítás: Ha c ∈ (A U B) , akkor c ∈ A. Igaz Hamis

 1 pont 

2. állítás: Ha d ∈ (B ∩ A) , akkor d ∈ B. Igaz Hamis

 1 pont 

3. állítás: Ha e ∈ (A \ B) , akkor e ∈ A. Igaz Hamis

 1 pont 

2. halmazműveletek (három halmaz):

5.2017.06.11.

Legyen A = {a; b; c; d; e; f}, B = {d; e; f; g; h}, C = {c; d; e; f; g}.
Elemei felsorolásával adja meg az A ∩ B ∩ C és az (A U B) \ C halmazt!

C \ A = {}

 2 pont 

(A ∪ B) ∩ C = {}

 2 pont 

6.2019.05.4.

Adottak a következő halmazok:
A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19};
B = {1; 4; 7; 10; 13; 16; 19};
C = {1; 2; 3; 5; 8; 13}.
Elemei felsorolásával adja meg a C \ A és az (A ∪ B) ∩ C halmazt!

C \ A = {}

 2 pont 

(A ∪ B) ∩ C = {}

 2 pont 

7.15.06.1.

Adott az A, a B és a C halmaz az elemeivel:
A = {1; 2; 3; 4; 5},
B = {3; 4; 5; 6; 7},
C = {6; 7; 8; 9; 10}.
Adja meg az A ∩ B , B ∪ C és A \ B halmazokat elemeik felsorolásával!

A ∩ B = {}

 2 pont 

B U C = {}

 2 pont 

A \ B = {}

 2 pont 

3. számhalmazok:

8.11.10.4.

Jelölje N a természetes számok halmazát, Z az egész számok halmazát és ∅ az üres halmazt!
Adja meg az alábbi halmazműveletek eredményét!

(∅ bevitele: O = nagy ó)

a) N ∩ Z =

 1 pont 

b) Z ∪ ∅ =

 1 pont 

c) ∅ \ N =

 1 pont 

4. intervallumok:

9.08.05.1.

Adja meg a ]-3/8;-1/8[ nyílt intervallum két különböző elemét!

(Elemeket pontosvesszővel elválasztva, szóköz nélkül, tizedetört alakban kell bevinni!)

 2 pont 

 (műveletek)

10.2018.10.7.

Legyen az A halmaz a [-7; 8] zárt intervallum, a B halmaz a [2; 12] zárt intervallum.
Határozza meg az A ∩ B halmazt!

A ∩ B =

 2 pont 

11.09.05.9.

Az A és a B halmazok a számegyenes intervallumai: A = [−1,5 ; 12], B = [3 ; 20].
Adja meg az A ∪ B és a B ∩ A halmazokat!

A U B =

 2 pont 

B ∩ A =

 2 pont 

12.04.9.

Adott két intervallum: ]–1; 3[ és [0; 4].
Adja meg a metszetintervallumot!

A két intervallum metszete =

 2 pont 

NÉV:

---

5. számosság:

 (egymásba ágyazott halmazok)

13.2006.10.9.

Egy iskola teljes tanulói létszáma 518 fő. Ők alkotják az A halmazt.
Az iskola 12. c osztályának 27 tanulója alkotja a B halmazt.
Mennyi az A ∩ B halmaz számossága?

A∩B halmaz számossága =

 2 pont 

(egymást metsző halmazok) (metszetszámosság)

14.2006.05.11.

Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az angol és a német nyelv valamelyikét.
Hatan beszélnek közülük németül, nyolcan angolul. Hányan beszélik mindkét nyelvet?
Válaszát indokolja számítással, vagy szemléltesse Venn-diagrammal!

Mindkét nyelvet fő beszéli.

 2 pont 

15.2017.05.1.

Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből.
23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből.
Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz érettségi vizsgát?

Mindkét nyelvből fő érettségizik.

 2 pont 

16.2014.05.5.

Egy osztályban 25-en tanulnak angolul, 17-en tanulnak németül.
E két nyelv közül legalább az egyiket mindenki tanulja.
Hányan tanulják mindkét nyelvet, ha az osztály létszáma 30?

Mindkét nyelvet fő tanulja.

 2 pont 

17.2017.06.2.

Egy tavaszi felmérés során olyan diákokat kérdeztek meg terveikről, akik a nyári szünetben a LESZ vagy a FOLYÓ fesztivál közül legalább az egyiken részt szeretnének venni.
A 29 megkérdezett diák közül 23 szívesen menne a LESZ fesztiválra, 19-en pedig részt vennének a FOLYÓ fesztiválon.
Hányan vannak a megkérdezettek között olyanok, akik mindkét fesztiválon részt vennének?

Mindkét fesztiválra fő menne el.

 2 pont 

18.08.05.12.

Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal.
Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít.
Hány fordító dolgozik mindkét nyelven?
Válaszát indokolja!

A mindkét nyelven fordítók száma: fő

 2 pont 

19.2016.06.12.

Egy 1000 fős felmérés során kiderült, hogy a megkérdezettek közül 470 embernek van életbiztosítása,
520 embernek van lakásbiztosítása, 240 embernek pedig sem életbiztosítása, sem lakásbiztosítása nincs.
A megkérdezettek között hány olyan ember van, akinek életbiztosítása is és lakásbiztosítása is van?
Válaszát indokolja!

olyan megkérdezett ember van, akinek van mindkét biztosítása.

 2 pont 

20.2018.10.1.

Egy 25 fős osztály minden tanulója tesz érettségi vizsgát angol nyelvből vagy informatikából.
21 tanuló választotta az angol nyelvet, 8 diák választotta az informatikát.
Hány olyan tanuló van, aki angolból érettségizik, de informatikából nem?

Megoldás: fő.

 2 pont 

21.08.06.3.

Egy osztály tanulói valamennyien vettek színházjegyet.
Kétféle előadásra rendeltek jegyeket: az elsőre 18-at, a másodikra 24-et.
16 tanuló csak a második előadásra rendelt jegyet.

a) Hány tanuló rendelt jegyet mindkét előadásra?

 2 pont 

b) Hány tanuló akart csak az első előadásra elmenni?

 2 pont 

c) Mennyi az osztály létszáma?

 2 pont 

22.03.5.8.

Júniusban a 30 napból 12 olyan nap volt, amikor 3 mm-nél több, és 25 olyan, amikor 7 mm-nél kevesebb csapadék esett.

a) Hány olyan nap volt, amelyen 7 mm vagy annál több csapadék esett?
Megoldás: nap

 2 pont 

b) Hány olyan nap volt, amikor 3 mm-nél több, de 7 mm-nél kevesebb csapadék esett?
Megoldás: nap

 2 pont 

NÉV:

---

1. Halmazok 1. (feladatok)

Halmazok 1.

ADATBEVITELI SZABÁLYOK:
- A halmaz elemeit nagyság szerint növekvő sorrendben (vagy abc szerinti sorrendben) kell beírni!
- Szóköz nélkül!
- Pontosvesszővel elválasztva!

1. halmazmegadás:

1.2006.10.1.

Sorolja fel a H halmaz elemeit, ha H = {kétjegyű négyzetszámok}.

H = {}

 2 pont 

2. részhalmazok:

2.08.10.3.

Sorolja fel az A = {1;10;100} halmaz összes kételemű részhalmazát!

A keresett részhalmazok:
A₁ = {};

 1 pont 

A₂ = {};

 1 pont 

A₃ = {}.

 1 pont 

3.2018.05.2.

Írja fel a {2; 3; 4} halmaznak azokat a részhalmazait, melyeknek a 2 eleme és a 4 nem eleme!

A keresett részhalmazok:
A₁ = {};

 1 pont 

A₂ = {};

 1 pont 

4.2018.06.2.

Hány kételemű részhalmaza van az A = {P; Q; R; S} halmaznak?

A kételemű részhalmazok száma =

 2 pont 

5.09.06.1.

Írja fel az A = {3; 6; 15; 28} halmaz minden olyan részhalmazát, amelynek csak páros számok az elemei!

A keresett részhalmazok:
A₁ = {};

 1 pont 

A₂ = {};

 1 pont 

A₃ = {}.

 1 pont 

6.15.10.6.

Hány kételemű részhalmaza van a {2; 3; 5; 7; 11} halmaznak?

A kételemű részhalmazok száma =

 2 pont 

3. metszet, unió, különbség:

 két halmaz:
 (felsorolásos)

7.2010.10.1.

Adott az A és B halmaz: A = {a; b; c; d}, B = {a; b; d; e; f}.
Adja meg elemeik felsorolásával az A ∩ B és A ∪ B halmazokat!

A ∩ B = {}

 2 pont 

A U B = {}

 2 pont 

8.2016.05.1.

Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}.
Elemeik felsorolásával adja meg a G ∩ H és a H \ G halmazokat!

G ∩ H = {}

 2 pont 

H \ G = {}

 2 pont 

(közös tulajdonságos)

9.09.06.11.

A H halmaz elemei legyenek a KATALINKA szó betűi, a G halmaz elemei pedig a BICEBÓCA szó betűi.
Írja fel a H U G halmaz elemeit!

H U G = {}

 2 pont 

10.13.10.1.

Az A halmaz elemei a (−5)-nél nagyobb, de 2-nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza.
Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt!

A \ B = {}

 2 pont 

NÉV:

---

4. számosság:

(egymásba ágyazott halmazok)
(számelméletei)

11.2017.10.2.

Az A halmaz elemei a 12 pozitív osztói.
A B halmaz elemei a 15-nél kisebb (pozitív) prímszámok.
Adja meg elemei felsorolásával az A, a B és az A \ B halmazt!

A = {}

 2 pont 

B = {}

 2 pont 

A \ B = {}

 2 pont 

12.09.10.2.

Legyen az A halmaz a 10-nél kisebb pozitív prímszámok halmaza, B pedig a hattal osztható, harmincnál nem nagyobb pozitív egészek halmaza.
Sorolja fel az A, a B és az A ∪ B halmazok elemeit!

Az A halmaz elemei: {}

 2 pont 

A B halmaz elemei: {}

 2 pont 

Az A U B halmaz elemei: {}

 2 pont 

13.15.10.5.

Az A halmaz elemei a 28 pozitív osztói, a B halmaz elemei a 49 pozitív osztói.
Adja meg az A∩ B és a B \ A halmazokat elemeik felsorolásával!
Megoldását részletezze!

A = {};

 2 pont 

B = {}

 2 pont 

B ∩ A = {}

 2 pont 

B \ A = {}

 2 pont 

14.11.06.12.

Tekintsük a következő két halmazt: A={36 pozitív osztói}; B={16-nak azon osztói, amelyek négyzetszámok}.
Elemeik felsorolásával adja meg a következő halmazokat: A; B; A ∩ B ; A \ B.

A = {}

 2 pont 

B = {}

 2 pont 

A ∩ B = {}

 2 pont 

A \ B = {}

 2 pont 

15.2014.05.1.

Legyen A halmaz a 8-nál nem nagyobb pozitív egész számok halmaza, B pedig a 3-mal osztható egyjegyű pozitív egész számok halmaza.
Elemeinek felsorolásával adja meg az A, a B, az A ∩ B és az A \ B halmazt!

A = {}

 2 pont 

B = {}

 2 pont 

A ∩ B = {}

 2 pont 

A \ B = {}

 2 pont 

16.07.10.1.

Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok.
Sorolja fel az A∩B halmaz elemeit!

A ∩ B = {}

 2 pont 

17.2006.06.1.

Az A halmaz elemei a 10-nél nem kisebb és a 20-nál nem nagyobb páros számok, a B halmaz elemei a néggyel osztható pozitív számok.
Adja meg az A ∩ B halmaz elemeit!

A ∩ B = {}

 2 pont 

18.11.05.7.

Az A halmaz az 5-re végződő kétjegyű pozitív egészek halmaza, a B halmaz pedig a kilenccel osztható kétjegyű pozitív egészek halmaza.
Adja meg elemeik felsorolásával az alábbi halmazokat:
A ; B ; A ∩ B ; A \ B

A = {}

 2 pont 

B = {}

 2 pont 

A ∩ B = {}

 2 pont 

A \ B = {}

 2 pont 

5. fordított feladatok:

19.12.06.6.

Két halmazról, A-ról és B-ről tudjuk, hogy
A ∪ B = {x; y; z; u; v; w},
A \ B = {z; u},
B \ A = {v; w}.
Készítsen halmazábrát, és adja meg elemeinek felsorolásával az A∩B halmazt!

A ∩ B = {}

 2 pont 

NÉV:

---

1. Halmazok (jelölések)

1. Számhalmazok =

N = természetes számok

Z = egész számok

Q = racionális számok

R = valós számok

2. Részhalmaz = Az adott halmaznál szűkebb halmaz.

Jelölése: A ⊂ B (A fekvő U a nagyobb halmaz felé mutat.)

3. Unió = Összes elem.

Jelölése: A U B

4. Metszet = közös rész

Jelölése: A ∩ B

5. Különbség = csak az első halmaz elemei

Jelölése: A \ B

6. Intervallum =  a számegyenes egy része

Jelölése:

[1;3] = zárt intervallum

]1;3[ = nyitott intervallum

7. Számosság = Hány eleme van a halmaznak

Jelölése: |A| = 4, az A halmaznak 4 eleme van.

8. Üres halmaz = egyetlen eleme sincs.

Jelölése: {}

9. Halmazelemek felsorolása = halmazmegadási mód

A = {1;2;3} = sorrend nem számít, minden elem csak egyszer szerepel.

10. Eleme =az adott elem beletartozik a halmazba

Jelölés: 1 ∈ A

Teszt: