3. Logika igaz-hamis teszt

Dönts az alábbi mondatokról! Igazak, hamisak, vagy nem tartoznak a logika tárgykörébe!

NÉV: PONT:
Igaz-hamis állítások:

Ssz.	Állítás	Igaz	Hamis	Nem kijelentés	?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

2. Kétváltozós logikai műveletek

Kétváltozós logikai műveletek

Hány különböző kétváltozós kijelentés létezik?

Vegyünk egy halmazábrát!
Két egymást metsző halmazkarika az alaphalmazt 4 területre bontja.
Minden területnél fel kell tennünk a kérdést: igaz, vagy hamis a logikai értéke, hogy az elem itt található.
Ennek megfelelően a lehetőségek száma: 2⁴ = 16.
A wikipedia táblázatos formában fel is sorolja a lehetőségeket.
Nekünk csak a megnevezések szükségesek:
1. A
2. ¬A
3. B
4. ¬B
5. I = mindig igaz
6. H = mindig hamis

7. A∧B
8. ¬(A∧B)
9. A∨B
10. ¬(A∨B)
11. A→B
12. ¬(A→B)
13. B→A
14. ¬(B→A)
15. A↔B
16. ¬(A↔B)

Vezessünk be újabb logikai műveleteket!

Halmazelméleti megfelelők mentén haladva:
- a részhalmazképzésnek a következtetés, HA ... AKKOR (implikáció, jele: A→B),
- halmazok egyenlőségének az AKKOR ÉS CSAKIS AKKOR (ekvivalencia, jele: A↔B),
- a metszetképzésnek a logikai ÉS (konjunkció, jele: A∧B),
- az unióképzésnek a logikai VAGY (diszjunkció, jele: A∨B) művelete feleltethető meg.

Mit tudunk a logikai ÉS műveletről?

A	B	A∧B
i	i	i
i	h	h
h	i	h
h	h	h

A táblázatból látható, hogy a logikai ÉS csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz, egyébként hamis.

Állítások:
1. A∧¬A = H
2. ¬(A∧B) = ¬A ∨ ¬B

Mit tudunk a logikai VAGY műveletről?

A	B	A∨B
i	i	i
i	h	i
h	i	i
h	h	h

A táblázatból látható, hogy a logikai VAGY csak akkor hamis, ha mindkét állítás hamis, egyébként igaz.

Állítások:
1. A∨¬A = I
2. ¬(A∨B) = ¬A ∧ ¬B

Mit tudunk következtetés műveletről?

A	B	A→B
i	i	i
i	h	h
h	i	i
h	h	i

A táblázatból látható, hogy a következtetés csak akkor hamis, ha az első állítás igaz, a második pedig hamis.

Állítások:
1. A→B ≠ B→A
2. A∧¬A = H
3. A→B = ¬A ∨ B
Ebből az következik, hogy bármelyik kétváltozóslogikai művelet kifelyezhető NEM, ÉS, VAGY műveletek segítségével.

Mit tudunk az ekvivalencia műveletről?

A	B	A↔B
i	i	i
i	h	h
h	i	h
h	h	i

A táblázatból látható, hogy az ekvivalencia csak akkor igaz, ha mindkét állítás igaz, vagy mindkét állítás hamis.

Állítások:
1. A↔B = (A→B) ∧ (B→)

Mit tudunk feltételekről és a következményekről?

A következtetés két részből áll:
 "Ha A, akkor B."
Az A = feltétel.
A B = következmény.

Ha megcseréljük az A-t és a B-t, akkor az állítás megfordításáról beszélünk.

A. eset:
Ha egykövetkeztetés igaz és a megfordítása is igaz, akkor ekvivalenciáról beszélünk.
pl. "Ha egy szám osztható 6-tal, akkor és csakis akkor, ha a szám osztható 2-vel és 3-mal is."
A 6-tal való oszthatóság a 2-vel és 3-mal való oszthatóságnak a szükséges és elégséges feltétele és fordítva.

Mi a helyzet akkor, ha egy következtetés igaz, de a megfordítása már nem igaz?

B. eset:
"Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel is."
Ez az állítás egyenértékű azzal, hogy
"A 6-tal osztható számok szűkebb halmazt alkotnak, mint a 2-vel osztható számok."
A = szűkebb halmaz (részhalmaz),
B = tágabb halmaz (tartalmazó halmaz).
"Ha egy elem beletartozik egy szűkebb részhalmazba, akkor beletartozik egy tágabb tartalmazó halmazba is."
"A 2-vel való oszthatóság a 6-tal való oszthatóság szükséges, de nem elégséges feltétele."
"Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 6-tal szükséges, hogy 2-vel osztható legyen, de nem elégséges, mert vannak olyan 2-vel osztható számok,
amik nem oszthatók 6-tal."

Tehát B (a tágabb halmazhoz való tartozás) az A-nak (a szűkebb halmazhoz való tartozás) szükséges, de nem elégséges feltétele.


"A 6-tal való oszthatóság a 2-vel való oszthatóság elégséges, de nem szükséges feltétele."
"Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 2-vel elegendő azt tudnunk, hogy a szám osztható 6-tal, mert minden 6-tal osztható szám osztható 2-vel is,
de így nem kapjuk meg az összes 6-tal osztható számot, tehát a szükségesség nem teljesül."

Tehát A (a szűkebb halmazhoz való tartozás) a B-nek (a tágabb halmazhoz való tartozás) elégséges, de nem szükséges feltétele.

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Hány egyváltozós és hány kétváltozós művelet létezik?
2. Melyik kétváltozós logikai műveletnek felel meg a részhalmazképzés?
3. A logikai ÉS művelet melyik logikai művelettel áll rokonságban? Megnyilvánul-e ez a jelek szintjén is?
4. Mi a VAGY művelet latin neve?
5. Milyen összefüggés van a következtetés és az ekvivalencia műveletek között?
6. Mi a logikai értéke a "Lenni, vagy nem lenni." kijelentésnek.
7. Miben különbözik a logikai ÉS és a logikai VAGY művelet logikai táblázata?
8. Mikor beszélhetünk szükséges és elégséges feltételről?
9. "Ha egy paralelogramma minden szöge derékszög, akkor az a négyszög téglalap." kijelentésben mi a szükséges feltétel?
10. "Ha egy paralelogramma minden szöge derékszög, akkor az a négyszög téglalap." kijelentésben mi az elégséges feltétel?

Kétváltozós logikai műveletekre vonatkozó feladatok:

1.Két állítást fogalmaztunk meg.
 A: 320 osztható 40-nel.
 B: 320 osztható 50-nel.
Fogalmazd meg az A⋀B; A⋁B állításokat, és állapítsd meg az igazságértéküket!

2.Állapítsd meg az alábbi állítások igazságértékét:
 "Egy szorzat negatív, ha van negatív szorzótényezője."
 "Két különböző valós szám négyzetösszege pozitív."
 "Egy konvex ötszögnek négy átlója van."
 "A 2 prímszám vagy a 7 páros szám."
 "A 2 prímszám és a 8 páros szám."
 "A 6 nem páros vagy a 7 nem páros szám."

3.Tagadjuk az alábbi állításokat!
 "Minden kutya ugat."
 "A 7 páratlan szám."
 "Van örökzöld növény."
 "Minden sokszögnek van átlója."
 "Bármely valós szám abszolút értéke pozitív."

4. Állapítsuk meg az alábbi kijelentések igazságértékét, majd fordítsuk meg a kijelentéseket,
és határozzuk meg az így kapott kijelentések igazságértékét is!
 "Ha egy szám páros, akkor osztható néggyel."
 "Ha egy négyszög négyzet, akkor átlói merőlegesek egymásra."
 "Ha hat valós szám szorzata pozitív, akkor a tényezők között páros darab negatív előjelű szám van."
 "Ha egy tört számlálója nagyobb, mint a nevezője, akkor a tört értéke nagyobb, mint egy."

1. Kijelentések

Kijelentések

Mik a kijelentések?

Azokat a kijelentő mondatokat (állításokat), amelyeknek az igazságtartalma egyértelműen meghatározható kijelentéseknek nvezzük.
A logikai érték azt jelenti, hogy a kijelentés igaz, vagy hamis.

A kijelentéseket az ábécé nagy betűivel jelöljük.

Az azonosan (mindig) igaz állításokat I-vel jelöljük.
Az azonosan hamis állításokat H-val jelöljük.

A kijelentések többnyire elemekre és tulajdonságokra vonatkoznak.

Az ilyen jellegű kijelentésekben nagyon gyakran szerepelnek a következő szavak:
- létezik, van (egzisztenciális kvantor: ∃ = fordított E betű = Exist)
- minden (univerzális kvantor: ∀ = fordított A betű = Alles).

1. Kijelentésminta:
A következő mondat kijelentés:
 "Létezik olyan prímszám, amelyik páros."
Ez a kijelentés igaz, mert a 2 prímszám és páros is.

A kijelentésmintából jól látszik, hogy a logikai érték megadását általában indoklás követi, amikor példát, vagy ellenpéldát mondunk az állításra.
Az igaz állítások indoklása el szokott maradni.

2. Kijelentésminta:
 "Minden prímszám páratlan."
Ez a kijelentés hamis, mert létezik olyan prímszám (a 2), amelyik páros.

Látható, hogy egy állítás hamisságának megállípításához egyetlen ellenpélda is elegendő. Ha nincs ellenpélda, akkor az állítás igaz.

Mit nevezünk tagadásnak?

A tagadás, vagy negáció olyan logikai művelet, amely a NEM szócska használatát jelenti.
A negáció jele: ¬.
Egy igaz kijelentés tagadása hamis, egy hamis kijelentés tagadása igaz állítás lesz.

logikai táblázat: az összes lehetséges eset bemutatására szolgál.

A	¬A
i	h
h	i

A negáció dupla alkalmazása identitást eredményez: ¬(¬A) = A.

Látható, hogy a negáció egyváltozójú logikai művelet.

Hogyan tagadjuk a léteziket és a mindent?

A matematikai logika és a halmazelmélet között szoros kapcsolat van.
Ennek megfelelően a halmazok segítségével a logikai kijelentéseket is szemléletessé lehet tenni.
A tagadás a halmazelméletben összefüggésbe hozható
- a halmazképzéssel
- a komplementerképzéssel
- és az üres halmaz fogalmával.

Ha MINDEN elemre teljesül egy tulajdonság, akkor az elemek a halmazon belül vannak.
Tehát NINCS olyan elem, amelyik a halmazon kívül van, vagyis a komplementer halmaz üres.
Ha viszont NEM MINDEN elemre sem teljesül egy tulajdonság, akkor az elemek egy része a halmazon kívül vannak.
Tehát biztosan van olyan elem, amelyik a halmazon kívül van, vagyis a komplementer halmaz nem üres.

Ha azt állítjuk, hogy LÉTEZIK egy elem, amelyre teljesül egy tulajdonság,
akkor az adott tulajdonságú elemeket tartalmazó halmaz biztosan nem üres.
Ha viszont azt állítjuk, hogy NEM LÉTEZIK egy elem, amelyre teljesül egy tulajdonság,
akkor az adott tulajdonságú elemeket tartalmazó halmaz biztosan üres.

A LÉTEZIK tagatásai:
- "nem létezik", "nincs"
- "mindegyik olyan, amelyik NEM ... tulajdonságú". vagy "egyik sem ... tulajdonságú".
pl. "Létezik piros hó." kijelentés tagadásai:
- "Nem létezik piros hó."
- "Nincs piros hó."
- "Minden hó olyan, hogy nem piros színű."
- "Egyik hó sem piros."

A MINDEN tagadásai:
- "nem minden"
- "van|létezik olyan, amelyik NEM ... tulajdonságú".
pl. "Minden háromszög belső szögeinek összege 180°." kijelentés tagadásai:
- "Nem mindegyik háromszögre teljesül, hogy a belső szögeinek összege 180°."
- "Létezik olyan háromszög, amelyeiknek a belső szögeinek az összege nem 180°."

Összefoglava:
 A MINDEN egyik tagadása: LÉTEZIK, amelyik NEM.
 A LÉTEZIK egyik tagadása: MINDEN-re teljesül(|igaz az), hogy NEM.

Gondolattérkép:

Ellenőrző kérdések:

1. Létezik-e olyan kijelentés, amelyikről nem tudjuk eldönteni, hogy igaz, vagy hamis? Miért?
2. A "talán" szó lehet-e egy kijelentés logikai értéke? Miért?
3. Milyen betűkkel jelöljük a kijelentéseket?
4. Milyen szavakból származik a "létezik", és a "minden" szavak jele?
5. Hány ellenpélda szükséges egy kijelentés hamis voltának megállapításához?
6. Hogyan lehet nyelvileg felismerni a logikai tagadás műveletét?
7. Mit jelent a logikában a kettős tagadás?
8. Mi lesz egy "létezik" szót tartalmazó kijelentés tagadása?
9. Mi lesz egy " minden" szót tartalmazó kijelentés tagadása?
10. Hányváltozós logikai művelet a tagadás?

Tagadásra vonatkozó feladatok:

1. Döntsd el, hogy az alább felsoroltak közül melyik mondat a tagadása a következő állításnak!
 "Minden érettségi feladat egyszerű."
A: "Minden érettségi feladat bonyolult."
B: "Van olyan érettségi feladat, ami nem egyszerű."
C: "Sok érettségi feladat bonyolult."
D: "Van olyan érettségi feladat, ami egyszerű."

2. Tamás a saját felmérése alapján a következőt állítja:
 "Minden háztartásban van televízió."
Az alábbi négy állítás közül melyik tagadása Tamás állításának?
A: "Semelyik háztartásban nincs televízió."
B: "Van olyan háztartás, ahol van televízió."
C: "Van olyan háztartás, ahol nincs televízió."
D: "Nem minden háztartásban van televízió."

3. Tekintsd a következő állítást:
 "A városban minden kéményseprő fekete."
Válaszd ki az alábbi állítások közül az összeset, amelyik tagadása az előbbi kijelentésnek!
A: "A városban minden kéményseprő fehér."
B: "A városban nincs fekete kéményseprő."
C: "Van a városban olyan kéményseprő, aki nem fekete."
D: "A városban nem minden kéményseprő fekete."

4.Egy autószalonról szól a következő állítás:
 "A szalonban van olyan autó, amelyik kék."
Válaszd ki az összes olyan állítást, amelyik tagadása az előbbi kijelentésnek!
A: "A szalonban van olyan autó, amelyik nem kék."
B: "A szalonban minden autó kék."
C: "A szalonban egyik autó sem kék."
D: "Nincs a szalonban kék autó."

5.Fogalmazd meg a következő állítások tagadását!
"Van olyan társasjáték, amelyhez nem kell dobókocka."
"Van olyan mackó, amelyik szereti a mézet."
"Minden növénynek szüksége van oxigénre."
"Minden madár tud repülni."

9. Témazáró feladatok (Sorozatok)

Témazáró feladatsor (Sorozatok)

Azonosító:

1.

Hello1

2.

Hello2

3.

Hello3

4.

Hello4

5.

Hello5

6.

Hello6

8. Bonyolult sorozatos feladatok

Bonyolut sorozatos feladatok

1. Feladat:

Egy számtani sorozat második tagja 5.
Ezen sorozat első, harmadik és tizenegyedik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja.
Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!
Megoldás:
1. a2 = 5
2. a1·a11 = a3²

1. a2 = 5
2. (a2 -d)·(a2 +9d) = (a2 +d)²

(5 - d)·(5 + 9d) = (5 + d)·(5 + d)
25 +40d -9d² = 25 +10d +d²
10d² -30d = 0
d1 = 0 → a1 = 5 -0 = 5; a11 = 5; a3 = 5 → q = 1
d2 = 3 → a1 = 5 -3 = 2; a11 = 5 + 9·3 = 32; a3 = 5 +3 = 8 → q = 4

2. Feladat:

Egy mértani sorozat első három tagjának összege 52.
Ha a harmadik számot tizenhattal csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk.
Határozza meg a mértani sorozatot!
Megoldás:
1. a1 + a2 + a3 = 52
2. a2² =a1·a3
3. a1 +a3 -16 = 2·a2

1. -3. a2 +16 = 52 -2·a2
3·a2 = 36
a2 = 12

1. a1 + a3 = 40
2. 144 = a1·a3

a1 + 144/a3 = 40
a1² -40a1 + 144 = 0
`a_1 = (40 +- sqrt(40^2-4*144))/2 = (40 +-32)/2`
1. eset: a1 = 4; a2 = 12; a3 = 36
2. eset: a1 = 36; a2 = 12; a3 = 4

3. Feladat:

Egy számtani sorozat első, második, illetve hetedik tagja egyúttal mértani sorozatot alkot.
Tudjuk, hogy ezen tagok összege 93. Határozzuk meg a számtani sorozat első hét elemét!
Megoldás:
a1·a7 = a2²
a1 + a2 + a7 = 93

a1·(a1 + 6d) = (a1 + d)²
a1 + a1 + d + a1 + 6d = 93

a1² + 6d·a1 = a1² + 2d·a1 + d²
3a1 + 7d = 93

1. eset: d = 0; a1 = 31
2. eset:
4·a1 = d
3a1 + 7d = 93

31a1 = 93
a1 = 3; d = 12
A sorozat: 3; 15; 27; 39; 51; 63; 75.

4. Feladat:

Egy háromszög oldalai olyan mértani sorozatot alkotnak, melynek hányadosa 4/3.
Határozzuk meg a háromszög legnagyobb szögét!
Megoldás:
a → a1 = a2/q = a2·(3/4)
b → a2 = a2
c → a3 = a2·q = a2·(4/3)

Koszinusz tétel:
c² = a² + b² - 2a·b·cos(γ), ahol γ a legnagyobb szög.

(a2)²·(4/3)² = (a2)²·(3/4)² + (a2)² - 2·a2·(3/4)·a2·cos(γ)
(a2)²·(16/9) = (a2)²·(9/16) + (a2)² - 2·(a2)²·(3/4)·cos(γ)
(a2)²·(16/9) = (a2)²(25/16) - (a2)²·(3/2)·cos(γ)
(a2)²·(31/144) = -(a2)²·(3/2)·cos(γ)
-(31/144)*(2/3)=cos(γ)
-(31/216)=cos(γ) → γ = 98,25°

5. Feladat:

Mennyi annak a hatmillió forintos hitelnek az évenkénti törlesztőrészlete,
melyet tíz éven keresztül tíz egyenlő részletben szeretnénk visszafizetni,
ha a bank a hitelért 10% kamatot számol évente?
1. Megoldás:
Az évjáradék = annuitás azt jelenti, hogy mindig azonos összegű hiteltörlesztés történik.
A törlesztőrészlet összegét a következő képlettel számolhatjuk ki:
`H*(1+r)^n = T*((1+r)^n -1)/(1+r -1)`
`H = T*((1+r)^n-1)/(r*(1+r)^n)`
ahol T = törlesztőrészlet összege
H = a hitel összege
r = a kamatláb értéke tizedestörtben
n = a törlesztési időszak hossza években

Jelen esetben:
H = 6 000 000Ft
n = 10 év
r = 0,1
`6 000 000 = T*(1,1^10-1)/(0,1*1,1^10) = 6,1446*T`
`T = (6 000 000)/(6,1446) = 976 472,4 Ft`

2. megoldás:
Számoljuk ki 6 000 000Ft kamatokkal növelt értékét 10 év múlva!
ZÉ = 6 000 000·1,1¹⁰ = 15 562 454,76 Ft
15 562 454,76 = T +T·1,1 + T·1,1² + ... + T·1,1⁹

7. Kamatos kamatszámítás

Kamatos kamatszámítás

Milyen kamatszámítási módokat ismerünk?

Egyszerű kamatozás esetén az alapösszeg kamatozik.
Kamatos kamatszámításnál a kamatösszeggel növelt összeg kamatozik.

Milyen képletek jellemzik a kamatos kamatszámítást?

Kiindulóképlet:

 1.A. `ZÉ = KÉ*(1+r/100)^n`

ahol KÉ = kezdőérték = T0 = a nulladik időpontban a tőke összege
ZÉ = záróérték = Tn = az n-dik időszak végén a tőke összege
1 = az alapösszeg
r = kamatláb, ráta (%) = értékcsökkenésnél ez az érték negatív
/100 = tizedestört alak
n = az időszakok száma

Ha időszakonként változik a kamatláb, akkor ezt természetesen figyelembe kell venni:

 1.B. `ZÉ = KÉ*(1+r_1/100)^(n_1)*(1+r_2/100)^(n_2)*(1+r_3/100)^(n_3)`

 2. `KÉ = (ZÉ)/(1+r/100)^n`

 3. `r = 100*root(n)((ZT)/(KT))-100`

 4. `n = (lg((ZT)/(KT)))/(lg(1+r/100))`

Milyen kamatszámításhoz hasonló feladatok vannak?

1. Egy tengeri barna alga kezdeti hossza 1 méter. Minden órában a hossza megduplázódik.
Mikor éri el a 10 méter hosszúságot?

2. Egy radioaktív anyag részecskéinek a száma kezdetben 6·10²³ (egy mól).
A részecskék száma 10 percenként megfeleződik. Mennyi lesz a részecskék száma 1 óra múlva?

Ezeknél a feladatoknál az exponenciális változás mértéke van megadva:

5.A. ZÉ = KÉ·2ⁿ vagy
5.B. `ZÉ = (KÉ)/(2^(t/T)) `

ahol t = eltelt idő, T = feleződési idő, t/T feleződések száma.

Mintafeladatok

1. Beteszünk a bankba 100000 Ftot 3 évre, évi 5% kamatos kamatos kamatozásra.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000 Ft
 n = 3 év
 r = 5 %/év
  ZT = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 ZT = KT·(1 + r/100)^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 ZT = 100000·1,05^3 = Ft.
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

2. Mennyi pénzt tegyünk a bankba, hogy 3 év múlva, évi 5% kamatos kamatos kamatozás mellett 100000 Ftunk legyen?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 ZT = 100000
 n = 3év
 r = 5%/év
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 KT = ZT/(1 +r/100)^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 KT = 100000/1,05^3 = Ft.
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

3. Beteszünk a bankba 100000Ftot 3évre kamatos kamatozásra.
Hány százalékos volt a kamatláb, ha az időszak végén 116000Ftunk lesz?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000
 n = 3 év
 ZT = 116000Ft
  r = ?%/év
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 r = 100·ⁿ√ZT/KT -100
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 r = 100·³√116000/100000 -100 = %/év
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

4. Beteszünk a bankba 100000Ftot évi 5%-os kamatos kamatozásra.
Mennyi ideig kamatozott, ha az időszak végén 116000Ftunk lesz?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000Ft
 r = 5%/év
 ZT = 116000Ft
  n = ?év
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 n = lg(ZT/KT)/lg(1 + r/100)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = lg(116000/100000)/lg(1,05) = év
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

5. Egy gép vásárláskori értéke 4500000Ft.
Mennyit ér ez a gép 7 év múlva, ha az éves értékcsökkenés mértéke 18%/év?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KÉ = 4500000 Ft
 n = 7 év
 r = -8%
  ZÉ = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 ZÉ = KÉ·(1 -r/100)^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 ZÉ = 45000·0,92^7 = Ft
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

6. Egy tengeri barna alga kezdeti hossza 1 méter. Minden órában a hossza megduplázódik.
Mikor éri el a 10 méter hosszúságot?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KÉ = 1m
 ZÉ = 10m
  n = ? óra
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 n = lg(ZT/KT)/lg(2)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = lg(10/1)/lg(2) = óra
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

7. Egy radioaktív anyag részecskéinek a száma kezdetben 6·10²³ (egy mól).
A részecskék száma 10 percenként megfeleződik. Mennyi lesz a részecskék száma 1 óra múlva?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KÉ = 6*10^23
 t = 1h = 60min
 T = 10min
  n = ? óra
  ZÉ = ? óra
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 n = t/T
 ZÉ = KÉ/2^n
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 n = 60/10 =
 ZÉ = 6*10^23/2^ =
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

8. Beteszünk a bankba 100000 Ftot kamatos kamatozásra.
3 évig évi 5%-t majd 2 évig évi 4%-t kamatozik.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 KT = 100000Ft
 n1 = 3év
 r1 = 5%
 n2 = 2év
 r2 = 4%
  ZT = ? Ft
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
 ZT = KT·(1 +r1/100)^n1·(1 +r2/100)^n2
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 ZT = 100000·1,05^3·1,04^2 = Ft
A mértékegységről se feledkezzünk meg!

---

Tesztfeladatok

1. Beteszünk a bankba 100000 Ftot 3 évre, évi 5% kamatos kamatos kamatozásra.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
ZT = Ft

2. Mennyi pénzt tegyünk a bankba, hogy 3 év múlva,
évi 5% kamatos kamatos kamatozás mellett 100000 Ftunk legyen?
KT = Ft

3. Beteszünk a bankba 100000Ftot 3évre kamatos kamatozásra.
Hány százalékos volt a kamatláb, ha az időszak végén 116000Ftunk lesz?
r = %/év

4. Beteszünk a bankba 100000Ftot évi 5%-os kamatos kamatozásra.
Mennyi ideig kamatozott, ha az időszak végén 116000Ftunk lesz?
n = év

5. Egy gép vásárláskori értéke 4500000Ft.
Mennyit ér ez a gép 7 év múlva, ha az éves értékcsökkenés mértéke 18%/év?
ZÉ = Ft

6. Egy tengeri barna alga kezdeti hossza 1 méter.
Minden órában a hossza megduplázódik.
Mikor éri el a 10 méter hosszúságot?
n = óra

7. Egy radioaktív anyag részecskéinek a száma kezdetben 6·10²³.
A részecskék száma 10 percenként megfeleződik.
Mennyi lesz a részecskék száma 1 óra múlva?
n =
ZÉ = ·10^

8. Beteszünk a bankba 100000 Ftot kamatos kamatozásra.
3 évig évi 5%-t majd 2 évig évi 4%-t kamatozik.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
ZÉ = Ft

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Összesen.

6. Mértani sorozat

Mértani sorozat

Mitől mértani egy számsorozat?

Ha egy számsorozat mindig ugyanannyi szorosára nő, vagy ugyanannyiad részére csökken, akkor mértani sorozatról beszélünk.
A mértani sorozat egymást követő tagjainak hányadosa (qutiense = kvóciense) állandó.

q = hányados = an/an-1

A mértani sorozat esetén három egymást követő tag esetén a középső tag egyenlő a másik két tag mértani átlagával.
`a_n = sqrt(a_(n-1)*a_(n+1))`
Ha a középső tagot x-el jelöljük, akkor a másik két tag: x/q és x·q
Hiszen: `x = sqrt(x*q*x/q) = sqrt(x^2) = x`

Mi jellemzi a mértani sorozatot?

Az általános tagot a következő képlettel határozzuk meg:

`a_n = a_1*q^(n-1)`

Az első n tag összegképlete:

`S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`

Ügyeljünk a q kitevőjére!
Ez a képlet csak akkor érvényes, ha a q ≠ 1.

Ha q = 1, akkor Sn = n·a1

Milyen lehetséges feladatok vannak?

Paraméterek: a1,d,n,an,Sn
Ezek közül kell 3-at adotnak tekinteni.
Ez összesen 10 féle lehetőséget jelent.
És ez még kiegészül egy lehetséges esettel:
 k,n,ak,an → kétismeretlenes egyenletrendszer

Számunkra most csak a q értéke a fontos, ez lehet:

• pozitív egész szám = exponenciálisan növekvő számsorozat.
• pozitív 1-nél kisebb tört = exponenciálisan csökkenő számsorozat.
• negatív egész szám = váltakozó előjelű, exponenciálisan növekvő számsorozat.
• negatív egynél kisebb tört = váltakozó előjelű, exponenciálisan csökkenő számsorozat.

Mintafeladatok

1. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3
 q = 2
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3
 q = 2
 n = 15
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n - 1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3·2^(15 - 1) =
 Sn = 3·(2^15 - 1)/(2 - 1)=

---

2. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3
 q = -2
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3
 q = -2
 n = 15
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n - 1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3·(-2)^(15 - 1) =
 Sn = 3·((-2)^15 - 1)/(-2 - 1)=

---

3. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n - 1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3000·(1/3)^(5 - 1) =
 Sn = 3000·((1/3)^5 - 1)/(1/3 - 1)=

---

4. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3000
 q = -1/3
 n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
  an = ?
  Sn = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.
Jelen esetben az alapképletekkel kell dolgoznunk.
 an = a1·q^(n-1)
 Sn = a1·(q^n - 1)/(q - 1)
3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 an = 3000·(-1/3)^(15-1) =
 Sn = 3000·((-1/3)^15 - 1)/((-1/3) - 1)=

---

5. Egy mértani sorozat esetén:
 ak = 25
 an = 155000
 k = 5
 n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!

Megoldás:
1. Lépés: formalizálás: jelölések bevezetése.
 ak = 25
 an = 155000
 k = 5
 n = 10
  q = ?
  a1 = ?
2. Lépés: képletek kigyűjtése és átrendezése.

 1. `a_n = a_1*q^(n-1)`
 2. `a_k = a_1*q^(k-1)`
 1./2. `a_n/a_k = q^(n - k)`
 `q = root(n-k)(a_n/a_k)`

 `a_n = a_1*q^(n-1)` |`/q^(n-1)`
 `a_1 = a_n/q^(n-1)`

3. Lépés: behelyettesítés, értékkiszámítás.
 `q = root(10-5)(155000/25)` =
 a1 = 155000/^(10 - 1) =

---

Tesztfeladatok

1. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3
 q = 2
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

2. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3
 q = -2
 n = 15
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

3. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3000
 q = 1/3
 n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

4. Egy mértani sorozat esetén:
 a1 = 3000
 q = -1/3
 n = 5
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
an =
Sn =

5. Egy mértani sorozat esetén:
 ak = 25
 an = 155000
 k = 5
 n = 10
Határozzuk meg a hiányzó paramétereket!
q =
a1 =

NÉV:
EREDMÉNY:
AZONOSÍTÓ:

Ssz.	Max	Pont	Param	Be
1.
2.
3.
4.
5.
Összesen.