2020. augusztus 4., kedd

3.6. Gúlák

Gúla fogalma

Gúlák fajtái:

Négyzetes gúla jellemzői:

Képletek:
1. `color(red)((a^2)/4 + m^2 = m_o^2)`
2. `color(red)((a^2)/2 + m^2 = b^2)`

`T=a^2`
`P=4*T_h`
`T_h=(a*m_o)/2`
`A = T + P`
`A = a^2 + 4*(a*m_o)/2`
3. `color(red)(A = a^2 + 2*a*m_o)`
`V=(T*m)/3`
4. `color(red)(V = (a^2*m)/3)`
5. `color(red)(tg alpha = (a/2)/m = a/(2*m))`
6. `color(red)(tg beta = ((a*√2)/2)/m = (a*√2)/(2*m))`

Alapfeladat:
a = 5
m = 7
 m_o = ? b = ? A = ? V = ?



Feladatok

1. a = 5cm
m = 8cm
 mo = ? (2 tizedes pontosság)
 A = ? V = ? (egész pontosság)

m_o = m³
A = m²
V = m³

Házi Feladatok

1. a = 10
m = 8
 mo = ? b = ?
 A = ? V = ?
2. Egy szabályos hatoldalú gúla alapéle 6 cm, oldaléle 12 cm. Mekkora a gúla felszíne, térfogata?
3. Egy gúla ABCD alaplapja téglalap, oldalai: AB=21, BC=18 egység. Oldalélei közül AE=DE és BE=CE. Az ADE oldallapjának az oldalmagassága 13, a BCE oldallapé 20 egység. Számítsuk ki a gúla felszínét, térfogatát, oldaléleinek hosszát!
dátum:

3.5. Kúpok

A kúp fogalma:

A kúp jellemzői:


r = sugár m = magasság a = alkotó

Képletek:
Pitagorasz-tétel:
1.`color(red)(r^2 + m^2 = a^2)` (r,m)
`a^2 - r^2 = m^2` (r,a)
`a^2 - m^2 = r^2` (m,a)

`T = r^2*pi`
`P = i*r/2 = K*a/2 = 2*r*pi*a/2 = r*pi*a`
`A = T + P`
2.`color(red)(A = r^2*pi + r*pi*a)`
`a = (A-r^2*pi)/(r*pi)` (r,A)
`r^2 + a*r - A/(pi) = 0` (a,A)

`V=(T*m)/3`
3.`color(red)(V = (r^2*pi*m)/3)`
`m = (3*V)/(r^2*pi)` (r,V)
`r = sqrt((3*V)/(pi*m))` (m,V)


Ha A és m van megadva, akkor:
`r^2 + m^2 = a^2` |-r^2
`m^2 = a^2 - r^2 = (a+r)(a-r)`
`A/pi = r^2 + r*a = r(a+r)`
`m^2*pi/A =(a-r)/r`
`(m^2*pi/A)*r = a - r`
`(m^2*pi/A+1)*r = a`
visszahelyettesítések:
`r^2 + m^2 = (m^2*pi/A+1)^2*r^2`
`m^2 = ((m^2*pi/A+1)^2-1)*r^2`
`r = m/sqrt((m^2*pi/A+1)^2-1)` (m,A)
vagy
`A/pi = r^2 + r^2*(m^2*pi/A+1) = r^2*(m^2*pi/A+2)`
`r =sqrt((A/pi)/(m^2*pi/A+2))` (m,A)


Ha a és V van megadva, akkor:
A.`m^2 = a^2 - r^2` ismeretlen:r,m
B.`A = r^2*pi + r*pi*a` ismeretlen:r,A
C.`V = (r^2*pi*m)/3` ismeretlen:r,m
A. és C. kétismeretlenes egyenletrendszer!
`9*V^2 = r^4*pi^2*(a^2-r^2)`
`x^3 - a^2*x^2 + 9*V^2/pi^2 = 0`
Hiányos harmadfokú egyenlet = csak grafikusan tudjuk megoldani!


Ha A és V van megadva, akkor:
A.`r^2 + m^2 = a^2` ismeretlen:r,m
B.`A = r^2*pi + r*pi*a` ismeretlen:r,a ->a(r)
C.`V = (r^2*pi*m)/3` ismeretlen:r,m ->m(r)
`a^2 = (A - r^2*pi)^2/(r*pi)^2`
`m^2 = (3*V)^2/(r^2*pi)^2`
`(A - r^2*pi)^2/(r*pi)^2 - (3*V)^2/(r^2*pi)^2 = r^2` |*(r^2*pi)^2
`r^2*(A - r^2*pi)^2 - (3*V)^2 = r^2*(r^2*pi)^2`
Ez az eset is hiányos harmadfokú egyenletre vezet!


Alapfeladatok:
1.r = 3
m = 7
 a = ? A = ? V = ?


2. r = 5cm
a = 8cm
m = ?
A = ?
V = ?


3. m = 6cm
a = 8cm
r = ?
A = ?
V = ?


4. a = 5cm
A = 120cm^2
r = ?
m = ?
V = ?


(másodfokú egyenlet megoldásával mindig van megoldás!)

5. r = 5cm
A = 180cm^2
a = ?
m = ?
V = ?


(nincs mindig megoldás!)

6. m =5cm
A = 180cm^2
r = ?
a = ?
V = ?


(a megoldás kétféle képlettel is számolható!)

7. r = 5cm
V = 100cm^3
m = ?
a = ?
A = ?


8. m = 5cm
V = 100cm^3
r = ?
a = ?
A = ?


Házi Feladatok

1.r = 3
m = 5
 a = ? A = ? V = ?

2. a = 6
A = 120
r = ?
m = ?
V = ?
dátum:

3.4. Hengerek

A henger fogalma

A henger jellemzői
`A = 2*T + P`
1. `color(red)(A = 2*r^2*pi + 2*r*pi*m)` (r,m)
`A = 2*r*pi*(r + m)`
`r^2+m*r-A/(2*pi)=0` (m,A)

`V=T*m`
2.`color(red)(V = r^2*pi*m)`

Ha adott A és V, hogyan számoljuk ki az r-t és az m-t?
`V = r^2*pi*m → m = V/(r^2*pi)`
`A = 2*r^2*pi + (2*r*pi*V)/(r^2*pi)`
`A = 2*r^2*pi + (2*V)/r |*r`
`A*r = 2*pi*r^3 + 2*V`
`0 = 2*pi*r^3 - A*r + 2*V`
`0 = r^3 - A/(2*pi)*r + V/pi` (A,V)

Legyen a harmadfokú egyenlet: x³ + p·x + q = 0.
Diszkrimináns: `D = q^2/4 + p^3/27`
`y_1 = root(3)(-q/2+sqrt(D))`
`y_2 = root(3)(-q/2-sqrt(D))`
megoldóképlet:
Ha D>=0, akkor `x = y_1+y_2`
Ha D<0, akkor
`x_1=2*sqrt(-p/3)*cos(1/3*arccos((-q/2)/(sqrt((-p/3)^3))))`
`x_2=2*sqrt(-p/3)*cos((2*pi)/3+1/3*arccos((-q/2)/(sqrt((-p/3)^3))))`
`x_3=2*sqrt(-p/3)*cos((2*pi)/3-1/3*arccos((-q/2)/(sqrt((-p/3)^3))))`

Harmadfokú  egyenletmegoldó program: itt
Vagy a Geogebra segítségével: itt
A harmadfokú egyenlet megoldóképlete: itt

Mintafeladatok:
(Alapadatok)
r = 5
m = 8
A = 408,2
V = 628

1. r = 5
m = 8
A = ?
V = ?


2. r = 5
A = 408,2
m = ?
V = ?


3. r = 5
V = 628
m = ?
A = ?


4. m = 8
A = 408,2
r = ?
V = ?

(másodfokú egyenletet kell megoldani!)

5. m = 8
V = 628
r = ?
A = ?


6. A = 408,2
V = 628
r = ?
m = ?

(harmodfokú egyenletet kell megoldani!)

Házi Feladatok

1.r = 4
m = 9
A = ?
V = ?


2. m = 7
A = 500
r = ?
V = ?


dátum:

3.3. Hasábok

Mai alkalommal a hasábokról fogunk tanulni.

Bemelegítésként nézzük meg a következő videót:
zanza.tv

1. Kérdés: Mit nevezünk hasábnak?

1. Segítség: Gondolj a hasábburgonyára!
2. Segítség: egy ábra
Ez alapján a válasz:

A hasábok olyan testek, amelyeknek az alap- és fedőlapja:
és az oldallapok:


Megjegyzések:
1. A hengerek is hasáb szerű testek, de nem hasábok!
2. A hasáboknak két fő fajtája van, az egyeneshasábok és a ferde hasábok.

2. Kérdés: Milyen speciális hasábokat ismerünk?

1. Olyan hasáb, amelynek minden oldallapja négyzet:
2. Olyan hasáb, amelynek az alap/fedőlapja négyzet:
3. Olyan hasáb, amelynek minden oldallapja paralelogramma:
4. Olyan hasáb, amelynek minden oldallapja téglalap:
5. Olyan hasáb, amelynek az alap/fedőlapja szabályos háromszög:

Megjegyzés:
A kocka speciális szabályos test, görög neve hexaéder.
hexa = hat, éder = lap.

3. Kérdés: Milyen jellemzői vannak egy kockának?

Segítség: ábra

Meghatározás Megnevezés Jele Képlete
Egy lap két szemközti csúcsát köti össze
A két legtávolabbi csúcsot köti össze
A felületdarabok területösszege
A kitöltött térrész nagysága

4. Kérdés: A kockával kapcsolatban milyen számolási feladatok lehetségesek?


Lehetséges feladatok:
Alapesetben adott
  • 1 független paraméter (a) és
  • 4 ettől függő paraméter (e,f,A,V).

Mivel e,f,A,V értéke is "a" értékétől függ, ezért az "a" a kulcsparaméter, amit első lépésben ki kell számolnunk, és amiből az összes többi származtatható.Ez további 4 kiegészítő esetet eredményez.

Ez azt jelenti, hogy 5 lehetséges feladattípus van:
1. a → e,f,A,V

2. e → a → f,A,V
3. f → a  → e,A,V
4. A → a  → e,f,V
5. V → a → e,f, A

Megjegyzések:
  • A nyíl azt jelenti, hogy a nyíl előtt lévő mennyiség segítségével ki tudjuk számítani a nyíl mögött lévő mennyiségnek az értékét.
  • A 2-4. esetben vigyázni kell, hogy az "a" értékét pontosan határozzuk meg, mert ettől függ a többi mennyiség kiszámításának a pontossága.

Feladatok:
1. Egy kocka élének hossza 5 cm.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
e =
f =
A =
V =


2. Egy kocka lapátlója 2cm hosszú.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a =
f =
A =
V =


3. Egy kocka testátlója 14cm hosszú.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a =
e =
A =
V =


4. Egy kocka felszínének nagysága 120cm².
 Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a =
e =
f =
V =


5. Egy kocka  térfogatának nagysága 1225cm³.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a =
e =
f =
A =



5. Kérdés: Milyen paraméterekkel jellemezhető a négyzetes oszlop?

Ábra:
m f a e a
A négyzetes oszlop alapparaméterei:
a = az alapél hossza
m = a négyzetes oszlop magassága

Lapátlóból kétféle van:
Az alaplap lapátlója: `e_1 = a*sqrt(2)`
Az oldallap lapátlója: `e_2 = sqrt(a^2 + m^2)`
Testátló:
`f = sqrt(2*a^2 + m^2)`
Felszín:
`A = T_alap + 4*T_oldal+ T_fedő`
`A = 2*a^2 + 4*a*m`
Térfogat:
`V = a^2*m`

6. Kérdés: Milyen jellemzői vannak a téglatestnek?

C. Téglatest
c f a e b
A = 2*a*b + 2*a*c + 2*b*c
V = a*b*c
f = R(a^2 + b^2 + c^2)


Egy szobát kell kifestenünk
a = 4m
b = 5m
m = 2,3m
Aablak+ajtó = 3m^2
1 liter festék 8m^2-re elég.
Mennyi festékre van szükségünk?

A = 2*a*c + 2*b*c + a*c (padlót nem kell befesteni!)
A = 61,4m^2
Ahasznos = 61,4 - 3 = 58,4m^2
V = 58,4/8 = 7,3 (=8)


7. Kérdés: Mi jellemzi a szabályos hatszög alapú hasábot?

m a
Minta Feladat:
Egy szabályos hatszög alapú hasáb alaplapjának oldaléle 10cm,
a térfogata 3000cm3.
Mekkora a hasáb felszíne?

Adatok:
a = 10cm
V = 3000cm^3
A = ?

Tháromsz = a^2*sin alpha/2

Thatsz = 6*Tháromsz
Thatsz = 259,81cm^2

V = Thatsz*m
m = 11,55cm

P = Khatsz*m
Khatsz = 6*a = 60cm
P = 60*11,55 = 693cm^2

A = 2*Thatsz + P = 2*259,81 + 693 = 1212,6cm^2


8. kérdés: Mi jellemzi a szabályos háromszög alapú hasábot?

m a a a

14. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjának területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területének.
Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?
Teendők:
1. Szabályos háromszög területe = `T_h=(a^2*sqrt(3))/4`!
2. Palást területe = `T_p=6*T_h`!
3. A hasáb felszíne = `A = 2*T_h+T_p`!
4. A hasáb magassága = `m=T_p/(3*a)`!
5. A hasáb térfogata = `V=T_h*m`!



9. kérdés: Mi jellemzi a szimmetrikus trapéz alapú hasábot?


m a M c
Minta Feladat:
Egy gát keresztmetszete szimmetrikus trapéz alakú.
  • A trapéz hosszabbik alapja 35m,
  • rövidebb alapja 5m,
  • magassága is 5m.
  • A gát 1km hosszú.
Határozzuk meg a gát térfogatát!    (0. Tagoljuk a feladat szövegét!)

    (1. Vegyük fel az adatokat!)
Adatok:
  a = 35m
  c = 5m
  m = 5m
  M = 1km = 1000m    (2. Váltsunk át!)
  V = ?m³

    (3. Írjuk fel a trapéz területképletét!)
`T_(tr) = ((a + c)*m)/2`

    (4. Helyettesítsünk be! Számoljuk ki a helyettesítési értéket!)
`T_(tr) = ((35 + 5)*5)/2` = 100m²

    (5. Írjuk fel a hasáb térfogatképletét!)
`V = T_(tr)*M`

    (6. Helyettesítsünk be! Számoljuk ki a helyettesítési értéket!)
V = 100*1000 = 100 000m³

    (7. Fogalmazzuk meg a választ választékosan!)
A feladatban szereplő gát tétfogata százezer köbméter.

Önálló feladat:
Egy gát keresztmetszete szimmetrikus trapéz alakú.
A trapéz hosszabbik alapja m, rövidebb alapja m, magassága m. A gát km hosszú. Határozzuk meg a gát térfogatát!

`T_(tr) = `m²
V = m³




dátum:

3.2. Kerület-, területszámítás

Négyzet területe:
T = a^2
(oldal négyzete)
Négyzet átlójának hossza:
e = a*√2 = a*1,4142
Négyzet kerülete:
K = 3*a
Téglalap területe:
T = a*b
(két oldal szorzata)

Derékszögű háromszög területe:
T = (a*b)/2
(két befogó szorzata per kettő)
Egyenlő szárú háromszög területe:
T = (a*m)/2
(alap szor magasság per kettő)

Szabályos háromszög területe:
m = a*√3/2 = a*0,866
(alapszor gyök három per kettő)
T = a*m/2
(alap szor magasság per kettő)

Általános háromszög:
T = a*m_a/2
(Alap szor magasság per kettő)
T = a*b*sin γ/2
 (Két oldal szorzata szorozva a közbezárt szög szinuszával per kettő)
Héron-képlet:
K = a + b + c
(kerület egyenlő a három oldal összege)
s = K/2
(s egyenlő a félkerülettel)
T = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))
(s szer s mínusz a szer s mínusz b szer s mínusz c a gyök alatt)

Paralelogramma:
m = b*sin α
(oldalél szor az alapon fekvő szög szinusza)
T = a*m
(alap szor magasság)


Trapéz:
T = m*(a+c)/2
(magasság szor a két alap számtani átlaga)

Szabályos hatszög:
T6szög =  3*T3szög

Szabályos n-szög:
A középpontból szabályos háromszögre bontjuk az n-szöget.
A magasságokkal derékszögű háromszögekre továbbontjuk ezt.
2*n db kis derékszögű háromszög keletkezik.
α = 360°/(2*n)
tg α = (a/2)/m → m = (a/2)/tg α
T3sz = (a/2)*m/2
Tnsz = n*T3sz

Kör:
K = 2*r*π
T = r^2*π

Körcikk:
i =  (α/360°)*2*r*π
K = 2*r + i
T =  (α/360°)*r^2*π



dátum:

3.1. Térelemek hajlásszöge, távolsága

zanza.tv

1. Alapfogalmak:
Test a térnek felületekkel körülhatárolt része.
Poliéder: sokszöglapokkal határolt test.
A poliéder jellemzői:
  • csúcsok
  • élek
  • lapok
  • átlók (lapátló, testátló)
A poliéderek közül a szabályos testek a legnevezetesebbek.
Létezik néhány speciális poliéder, amelyet magyar tudósok fedeztek fel.

Mi a következő testekkel foglalkozunk:
  • hengerszerű testek,
  • kúpszerű testek és
  • a gömb.


2. Hengerszerű testek:
  • legyen az alaplap és a fedőlap egybevágó síkidom és
  • az alaplap síkja és a fedőlap síkja párhuzamos egymással.
Ha az alaplap pontjait a fedőlap pontjain keresztül párhuzamos egyenesekkel járatjuk körül, akkor hengerszerű testet kapunk.
  • Ha az alap és fedőlap sokszög, akkor hasábokról,
  • ha körlap, akkor hengerekről beszélünk.

A körüljárásnál használt egyeneseknek a két sík közé eső része az alkotó.
A két sík távolsága a magasság.

Ha az egyenesek merőlegesek a síkokra, akkor egyenes hengerszerű testekről,
ha nem merőlegesek, akkor ferde hengerszerű testekről beszélünk.

Ha az alap és fedőlap élei és egy alkotó mentén a test felületét felhasítjuk, akkor az síkba kiteríthetővé válik.
A test hálója a testet alkotó felületek síkba való kiterítéseként jön létre.
A test hálóját az alap és fedőlap mellett a palást alkotja.

3. Kúpszerű testek:
A kúpszerű testek esetén a fedőlapot egyetlen csúcspont helyettesíti.
Ha az alaplap sokszög, akkor gúlákról,
ha kör, akkor kúpokról beszélünk.

Ha a kúpszerű testet az alaplappal párhuzamos síkkal metsszük el, akkor csonka testeket kapunk.

4. Gömb:
A gömb olyan test, amelynek a felülete nem teríthető ki síkba.

5. Meghatározandó paraméterek:
A testeknél meg szoktuk határozni:
felszínt = a felület területét,
térfogatot = amely megmutatja, hogy a zárt térrészbe hány egységnyi kis kocka fér el.

A térgeometriában hasznos eszköz a síkmetszet készítése.
Ha találunk derékszögű háromszöget, akkor arra fel tudjuk írni a Pitagorasz-tételt.


Térelemek hajlásszöge:
1. Egyenes és sík:

Ha egy egyenes egy pontban metszi egy egyenest és az egyenes a metszésponton átmenő összes egyenessel 90°-os szöget zár be, akkor az egyenes merőleges a síkra.
Pont és sík távolsága:

Egy metsző egyenes merőleges vetülete az az egyenes, amelyet a metszéspontra illeszkedő merőleges egyenes és az eredeti egyenes által meghatározott sík az eredeti síkkal közös pontok (metszésvonal) révén meghatároz.


Ha egy egyenes egy síkban fekszik, vagy párhuzamos egy síkkal,
akkor a hajlásszögük = 0°.


2. Két sík:
Két egymást metsző síknak egy jól meghatározott eredeti metszésvonaluk van. Az eredeti metszésvonalra merőleges sík a metsző síkokkal két egymást metsző származtatott metszésvonalat határoz meg. Ezeknek a vonalaknak a szöge lesz a két sík hajlásszöge.

Ha két sík egybeesik, vagy párhuzamos, akkor a hajlásszögük nulla fok.

3. Két kitérő egyenes távolsága:
A két kitérő egyenes esetén egymással párhuzamos síkokat kell első lépésben meghatároznunk:
az első sík tartalmazza az első egyenest és párhuzamos a második egyenessel,
a második sík tartalmazza a második egyenest és párhuzamos az első egyenessel.
A két párhuzamos síkra állított merőleges egyértelműen meghatározza az egyenesek távolságát.

dátum:

2.6. Számonkérés (Sorozatok)

 matektanarok.hu

1. Számtani sorozat:
         A. an meghatározása:
1. (12.10.1.)
Az {an} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4.
Adja meg a sorozat 26. tagját!
a26= 2pont

2.(06.5.2.)
Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája -2/3.
Mekkora a sorozat negyedik eleme?
A sorozat negyedik eleme: 2pont

3.(08.5.10.)
Egy számtani sorozat első tagja –3, differenciája –17.
Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját!
Számítását részletezze!
Képlet: an = 1pont
Behelyettesítés: a100 = 1pont
A sorozat 100-adik tagja: 1pont

        B. Sn meghatározása:
4. (18.10.11.)
Egy számtani sorozat negyedik tagja 8, ötödik tagja 11.
 Számítsa ki a sorozat első tíz tagjának összegét!
Megoldását részletezze!
A sorozat differenciája: d = 1pont
Az első tag: a1 = 1pont
Az első tíz tag összege: S10 = 2pont

5.(07.10.7.)
Egy számtani sorozat első és ötödik tagjának összege 60.
Mennyi a sorozat első öt tagjának összege?
Válaszát indokolja!

Sn = (Képlet) = 1pont
S5 = (Behelyettesítés) = 1pont
S5 = 1pont


               C. a1 meghatározása:
6. (11.10.8.)
Egy számtani sorozat ötvenedik tagja 29, az ötvenegyedik tagja 26.
Számítsa ki a sorozat első tagját!

d = 1pont
29 = a50 = a1 + 1pont
a1 = 1pont
7. (13.10.8.)
Egy számtani sorozat hatodik tagja 15, kilencedik tagja 0.
Számítsa ki a sorozat első tagját!
Válaszát indokolja!
A számtani sorozat különbségét d-vel jelölve 3d = 1pont
amiből d = 1pont
A sorozat első tagja: 1pont

8. (16.5.8.)
Egy számtani sorozat negyedik tagja 7, ötödik tagja –5.
Határozza meg a sorozat első tagját!
Megoldását részletezze!
d = 1pont
a3 = ; a2 = 1pont
a1 = 1pont



NÉV:
maximális
pontszám		elért
pontszám		eltelt
idő
I. rész 1. feladat2 pont
2. feladat2 pont
3. feladat3 pont
4. feladat4 pont
5. feladat3 pont
6. feladat3 pont
7. feladat3 pont
8. feladat3 pont
Összesen:

Értékelés:

Mértani sorozat:
           A. q értékének meghatározása:
1. (06.2.1.)
Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40?

A mértani sorozat hányadosa: 2pont
2.(07.5.2.)
Egy mértani sorozat második eleme 32, hatodik eleme 2.
Mekkora a sorozat hányadosa? Írja le a megoldás menetét!

A feltételből az egyenlet: 1pont
q1 = ; q2 = 2pont

            B. an értékének meghatározása:
3. (05.05.8.)
Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 1/2 . Számítsa ki a sorozat ötödik tagját!

A sorozat ötödik tagja: 2pont

4.(09.5.7.)
Egy mértani sorozat első tagja –3, a hányadosa –2. Adja meg a sorozat ötödik tagját!
Írja le a megoldás menetét!

Képlet: an = 1pont
Behelyettesítés: a5 = 1pont
A sorozat ötödik tagja: 1pont

5.(09.10.6.)
Egy mértani sorozat első tagja –5, hányadosa –2. Számítsa ki a sorozat tizenegyedik tagját!
Indokolja a válaszát!

a11 = (Behelyettesítés) = 1pont
a11 = 1pont
6. (19.10.7.)
Egy mértani sorozat első tagja 6, negyedik tagja 48. Adja meg a sorozat harmadik tagját!

A sorozat harmadik tagja: 2pont
7. (17.5.2.)
Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja –18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

Megoldás = 2pont

8. (15.06.6.)
Egy mértani sorozat első tagja 2, második tagja -6.
  a) Határozza meg a sorozat hányadosát!
  b) Adja meg a sorozat negyedik tagját!

A sorozat hányadosa: 1pont
A sorozat negyedik tagja: 1pont

9. (11.06.8.)
Az (an) mértani sorozatban a2 = 8 és a3 = 6.
Számítsa ki a sorozat ötödik tagját!
Válaszát indokolja!

q = 1pont
a5 = a3· 1pont
a5 = 1pont

            C. Sn értékének meghatározása:

10. (12.5.1.)
Egy mértani sorozat első tagja 3, hányadosa −2. Adja meg a sorozat első hat tagjának összegét!

A sorozat első hat tagjának összege: 2pont

11. (19.5.11.)
Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja −12.
Számítsa ki a sorozat első tíz tagjának összegét!
Megoldását részletezze!

A sorozat hányadosa q = 1pont
A sorozat első tagja a1 = 1pont
Az első tíz tag összege S10 = 2pont

                    D. Kamatos kamatszámítás:
12. (11.10.3.)
Egy sejttenyészetben 2 naponta kétszereződik meg a sejtek száma. Az első nap kezdetén 5000 sejtből állt a tenyészet.
Hány sejt lesz a tenyészetben 8 nap elteltével?
Számításait részletezze!

A 8 nap alatt -szer kétszereződött meg a sejtek száma (s) 1pont
s = 5000· 1pont
s = 1pont

13. (15.05.9.)
Egy bomlási folyamatban a radioaktív részecskék száma kezdetben 6·1023, amely érték percenként az előző érték századrészére csökken.
Számítsa ki a radioaktív részecskék számát 10 perc elteltével!

A radioaktív részecskék száma 10 perc elteltével: 2pont

                 E. a1 értékének meghatározása:
14. (12.10.12.)
A {bn} mértani sorozat hányadosa 2, első hat tagjának összege 94,5. Számítsa ki a sorozat első tagját! Válaszát indokolja!

S6 = 94,5 = (Összegképletbe való behelyettesítés) = 1pont
94,5 = b1· 1pont
b1 = 1pont

15. (18.5.12.)
Egy mértani sorozat második tagja 5, ötödik tagja 40. Határozza meg a sorozat első tagját!
Megoldását részletezze!

q³ = 2pont
q = 1pont
a1 = 1pont

NÉV:
maximális
pontszám		elért
pontszám		eltelt
idő
I. rész 1. feladat2 pont
2. feladat3 pont
3. feladat2 pont
4. feladat3 pont
5. feladat2 pont
6. feladat2 pont
7. feladat2 pont
8. feladat2 pont
9. feladat3 pont
10. feladat2 pont
11. feladat4 pont
12. feladat3 pont
13. feladat2 pont
14. feladat3 pont
15. feladat4 pont
Összesen:

Értékelés:



dátum:
Feliratkozás: Bejegyzések (Atom)