Matek 12: 3.3. Hasábok

Mai alkalommal a hasábokról fogunk tanulni.

Bemelegítésként nézzük meg a következő videót:
zanza.tv

1. Kérdés: Mit nevezünk hasábnak?

1. Segítség: Gondolj a hasábburgonyára!
2. Segítség: egy ábra

Ez alapján a válasz:

A hasábok olyan testek, amelyeknek az alap- és fedőlapja:
és az oldallapok:

Megjegyzések:
1. A hengerek is hasáb szerű testek, de nem hasábok!
2. A hasáboknak két fő fajtája van, az egyeneshasábok és a ferde hasábok.

2. Kérdés: Milyen speciális hasábokat ismerünk?

1. Olyan hasáb, amelynek minden oldallapja négyzet:
2. Olyan hasáb, amelynek az alap/fedőlapja négyzet:
3. Olyan hasáb, amelynek minden oldallapja paralelogramma:
4. Olyan hasáb, amelynek minden oldallapja téglalap:
5. Olyan hasáb, amelynek az alap/fedőlapja szabályos háromszög:

Megjegyzés:
A kocka speciális szabályos test, görög neve hexaéder.
hexa = hat, éder = lap.

3. Kérdés: Milyen jellemzői vannak egy kockának?

Segítség: ábra

Meghatározás	Megnevezés	Jele	Képlete
Egy lap két szemközti csúcsát köti össze
A két legtávolabbi csúcsot köti össze
A felületdarabok területösszege
A kitöltött térrész nagysága

4. Kérdés: A kockával kapcsolatban milyen számolási feladatok lehetségesek?

Lehetséges feladatok:
Alapesetben adott

1 független paraméter (a) és
4 ettől függő paraméter (e,f,A,V).

Mivel e,f,A,V értéke is "a" értékétől függ, ezért az "a" a kulcsparaméter, amit első lépésben ki kell számolnunk, és amiből az összes többi származtatható.Ez további 4 kiegészítő esetet eredményez.

Ez azt jelenti, hogy 5 lehetséges feladattípus van:
1. a → e,f,A,V

2. e → a → f,A,V
3. f → a → e,A,V
4. A → a → e,f,V
5. V → a → e,f, A

Megjegyzések:

A nyíl azt jelenti, hogy a nyíl előtt lévő mennyiség segítségével ki tudjuk számítani a nyíl mögött lévő mennyiségnek az értékét.
A 2-4. esetben vigyázni kell, hogy az "a" értékét pontosan határozzuk meg, mert ettől függ a többi mennyiség kiszámításának a pontossága.

Feladatok:
1. Egy kocka élének hossza 5 cm.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
e =
f =
A =
V =

2. Egy kocka lapátlója 2cm hosszú.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a =
f =
A =
V =

3. Egy kocka testátlója 14cm hosszú.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a =
e =
A =
V =

4. Egy kocka felszínének nagysága 120cm².
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a =
e =
f =
V =

5. Egy kocka térfogatának nagysága 1225cm³.
Határozzuk meg a kocka többi jellemzőjét két tizedes jegy pontossággal!
a =
e =
f =
A =

5. Kérdés: Milyen paraméterekkel jellemezhető a négyzetes oszlop?

Ábra:

A négyzetes oszlop alapparaméterei:
a = az alapél hossza
m = a négyzetes oszlop magassága

Lapátlóból kétféle van:
Az alaplap lapátlója:

$e_1 = a*sqrt(2)$
Az oldallap lapátlója:

$e_2 = sqrt(a^2 + m^2)$
Testátló:

$f = sqrt(2*a^2 + m^2)$
Felszín:

$A = T_alap + 4*T_oldal+ T_fedő$

$A = 2*a^2 + 4*a*m$
Térfogat:

$V = a^2*m$

6. Kérdés: Milyen jellemzői vannak a téglatestnek?

C. Téglatest

A = 2*a*b + 2*a*c + 2*b*c
V = a*b*c
f = R(a^2 + b^2 + c^2)

Egy szobát kell kifestenünk
a = 4m
b = 5m
m = 2,3m
Aablak+ajtó = 3m^2
1 liter festék 8m^2-re elég.
Mennyi festékre van szükségünk?

A = 2*a*c + 2*b*c + a*c (padlót nem kell befesteni!)
A = 61,4m^2
Ahasznos = 61,4 - 3 = 58,4m^2
V = 58,4/8 = 7,3 (=8)

7. Kérdés: Mi jellemzi a szabályos hatszög alapú hasábot?

Minta Feladat:
Egy szabályos hatszög alapú hasáb alaplapjának oldaléle 10cm,
a térfogata 3000cm3.
Mekkora a hasáb felszíne?

Adatok:
a = 10cm
V = 3000cm^3
A = ?

Tháromsz = a^2*sin alpha/2

Thatsz = 6*Tháromsz
Thatsz = 259,81cm^2

V = Thatsz*m
m = 11,55cm

P = Khatsz*m
Khatsz = 6*a = 60cm
P = 60*11,55 = 693cm^2

A = 2*Thatsz + P = 2*259,81 + 693 = 1212,6cm^2

8. kérdés: Mi jellemzi a szabályos háromszög alapú hasábot?

14. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 8 cm hosszú, palástjának területe (az oldallapok területösszege) hatszorosa az egyik alaplap területének.
Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?

Teendők:
1. Szabályos háromszög területe =

$T_h=(a^2*sqrt(3))/4$ !
2. Palást területe =

$T_p=6*T_h$ !
3. A hasáb felszíne =

$A = 2*T_h+T_p$ !
4. A hasáb magassága =

$m=T_p/(3*a)$ !
5. A hasáb térfogata =

$V=T_h*m$ !

9. kérdés: Mi jellemzi a szimmetrikus trapéz alapú hasábot?

Minta Feladat:
Egy gát keresztmetszete szimmetrikus trapéz alakú.

A trapéz hosszabbik alapja 35m,
rövidebb alapja 5m,
magassága is 5m.
A gát 1km hosszú.

Határozzuk meg a gát térfogatát! (0. Tagoljuk a feladat szövegét!)

(1. Vegyük fel az adatokat!)
Adatok:
a = 35m
c = 5m
m = 5m
M = 1km = 1000m (2. Váltsunk át!)
V = ?m³

(3. Írjuk fel a trapéz területképletét!)

$T_(tr) = ((a + c)*m)/2$

(4. Helyettesítsünk be! Számoljuk ki a helyettesítési értéket!)

$T_(tr) = ((35 + 5)*5)/2$ = 100m²

(5. Írjuk fel a hasáb térfogatképletét!)

$V = T_(tr)*M$

(6. Helyettesítsünk be! Számoljuk ki a helyettesítési értéket!)
V = 100*1000 = 100 000m³

(7. Fogalmazzuk meg a választ választékosan!)
A feladatban szereplő gát tétfogata százezer köbméter.

Önálló feladat:
Egy gát keresztmetszete szimmetrikus trapéz alakú.
A trapéz hosszabbik alapja 28m, rövidebb alapja 5m, magassága 6m. A gát 4km hosszú. Határozzuk meg a gát térfogatát!

$T_(tr) =$ m²
V = m³

2020. augusztus 4., kedd

3.3. Hasábok