A kúp jellemzői:
Képletek:
Pitagorasz-tétel:
1.`color(red)(r^2 + m^2 = a^2)` (r,m)
`a^2 - r^2 = m^2` (r,a)
`a^2 - m^2 = r^2` (m,a)
`T = r^2*pi`
`P = i*r/2 = K*a/2 = 2*r*pi*a/2 = r*pi*a`
`A = T + P`
2.`color(red)(A = r^2*pi + r*pi*a)`
`a = (A-r^2*pi)/(r*pi)` (r,A)
`r^2 + a*r - A/(pi) = 0` (a,A)
`V=(T*m)/3`
3.`color(red)(V = (r^2*pi*m)/3)`
`m = (3*V)/(r^2*pi)` (r,V)
`r = sqrt((3*V)/(pi*m))` (m,V)
Ha A és m van megadva, akkor:
`r^2 + m^2 = a^2` |-r^2
`m^2 = a^2 - r^2 = (a+r)(a-r)`
`A/pi = r^2 + r*a = r(a+r)`
`m^2*pi/A =(a-r)/r`
`(m^2*pi/A)*r = a - r`
`(m^2*pi/A+1)*r = a`
visszahelyettesítések:
`r^2 + m^2 = (m^2*pi/A+1)^2*r^2`
`m^2 = ((m^2*pi/A+1)^2-1)*r^2`
`r = m/sqrt((m^2*pi/A+1)^2-1)` (m,A)
vagy
`A/pi = r^2 + r^2*(m^2*pi/A+1) = r^2*(m^2*pi/A+2)`
`r =sqrt((A/pi)/(m^2*pi/A+2))` (m,A)
Ha a és V van megadva, akkor:
A.`m^2 = a^2 - r^2` ismeretlen:r,m
B.`A = r^2*pi + r*pi*a` ismeretlen:r,A
C.`V = (r^2*pi*m)/3` ismeretlen:r,m
A. és C. kétismeretlenes egyenletrendszer!
`9*V^2 = r^4*pi^2*(a^2-r^2)`
`x^3 - a^2*x^2 + 9*V^2/pi^2 = 0`
Hiányos harmadfokú egyenlet = csak grafikusan tudjuk megoldani!
Ha A és V van megadva, akkor:
A.`r^2 + m^2 = a^2` ismeretlen:r,m
B.`A = r^2*pi + r*pi*a` ismeretlen:r,a ->a(r)
C.`V = (r^2*pi*m)/3` ismeretlen:r,m ->m(r)
`a^2 = (A - r^2*pi)^2/(r*pi)^2`
`m^2 = (3*V)^2/(r^2*pi)^2`
`(A - r^2*pi)^2/(r*pi)^2 - (3*V)^2/(r^2*pi)^2 = r^2` |*(r^2*pi)^2
`r^2*(A - r^2*pi)^2 - (3*V)^2 = r^2*(r^2*pi)^2`
Ez az eset is hiányos harmadfokú egyenletre vezet!
Alapfeladatok:
1.r = 3
m = 7
a = ? A = ? V = ?
2. r = 5cm
a = 8cm
m = ?
A = ?
V = ?
3. m = 6cm
a = 8cm
r = ?
A = ?
V = ?
4. a = 5cm
A = 120cm^2
r = ?
m = ?
V = ?
(másodfokú egyenlet megoldásával mindig van megoldás!)
5. r = 5cm
A = 180cm^2
a = ?
m = ?
V = ?
(nincs mindig megoldás!)
6. m =5cm
A = 180cm^2
r = ?
a = ?
V = ?
(a megoldás kétféle képlettel is számolható!)
7. r = 5cm
V = 100cm^3
m = ?
a = ?
A = ?
8. m = 5cm
V = 100cm^3
r = ?
a = ?
A = ?
Házi Feladatok
1.r = 3m = 5
a = ? A = ? V = ?
2. a = 6
A = 120
r = ?
m = ?
V = ?
