Kamatos kamatszámítás

1. Kamatos kamatszámítás

Elmélet:

Jelölések:
KÉ = kezdőérték
ZÉ = záróérték
% = kamatláb %-ban megadva
 r = ráta, kamatláb tizedes törtben megadva
n = időszakok száma

Képletek: `ZÉ = KÉ·(1 + %/100)^n`
`ZÉ = KÉ·(1 + r)^n`

Kamatos kamatszámítás alapfeladatok:
1.
Beteszünk a bankba 150EFt-ot 3 évre 2,5%-os kamatos kamatra.
Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

  1.B. Beteszünk a bankba 200EFt-ot 3évre, kamatlábak az egyes években: 2,5%, 2%, 1,5%.
  Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
  1.C. Beteszünk a bankba 200EFt-ot 2 évre, éves kamatláb 8%. Kamatfizetés negyedévente történik.
  Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

2.
Mennyi pénzt tegyünk a bankba, hogy 4 év múlva, 4%-os évi kamatos kamatozás mellett 250EFT-unk legyen?

3.
Hány százalékos kamatos kamatláb mellett gyarapszik 5 év alatt a 200EFt-unk 400EFT-ra?

4.
Hány év alatt lesz a 150EFt-unkból 300EFt-unk évi 5%-os kamatos kamatozás mellett?

---

2. Gyüjtőjáradék

Mértani sorozat, ahol
A = annuitás, azonos összegű befektetés
a_1 = A*(1 + r)
q = 1 + r
`S_n = a_1*(q^n-1)/(q-1)`
`color(blue)(ZÉ = A*(1+r)*((1+ r)^n - 1)/(1 + r -1))`

Feladat:
1. 3 éven keresztül minden év elején beteszünk a bankba 500EFt-ot, évi 6%-os kamatos kamatra.
Kamatfizetés év végén történik. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?
Táblázat:

Ssz.	Tőke az időszak elején	Kamat	Tőke az időszak végén
1.
2.
3.

3. Törlesztőjáradék

Mértani sorozat, ahol
ZÉ = S_n
a_1 = A
q = 1 + r
`color(red)(A*((1+ r)^n - 1)/(1 + r -1) = KÉ*(1 + r)^n)`

Feladat:
Felveszünk 3 millió forint hitelt 1 éves lejáratra, 12%-os éves kamatos kamatra.
A törlesztés harmadévente, az időszak végén, azonos összegű törlesztőrészletekben történik.
Mekkora a törlesztőrészlet értéke?

Megoldás táblázat nélkül:
KÉ = 3000 000Ft
% = 10/3 = 4% -> r = 0,04
n = 3
`A*(1,04^3 -1)/(0,04) = 3 000 000*1,04^3`
A = 1 081 046Ft

Ellenőrzés táblázat:
Adósságszolgálat = törlesztés + Kamat

Ssz.	Hitel az időszak elején	Törlesztés	Kamat	Adósságszolgálat
1.	3 000 000	1 081 046 - 120 000 = 961 046	3 000 000*0,04 = 120 000	1 081 046
2.	30000000 - 961046 = 2038954	1081046-81558 = 999488	2038954*0.04 81558	1 081 046
3.	2038954-999488 = 1039466	1081046-41579 = 1039467	1039466*0.04 = 41579	1 081 046

Egyéb megoldás:

Házi feladatok

A. Kamatos kamat:
1. Beteszünk a bankba 250EFtot 4 évre 7,5%-os kamatos kamatra. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

2. Mennyi pénz tegyünk a bankba, hogy 5 év múlva 5%-os kamatos kamat mellett 350EFt-unk legyen?

3. Hány százalékos kamatos kamat mellett lesz 6 év alatt 300EFt-ból 650EFt?

4. Hány év alatt lesz a 250EFt-ból 450EFt, évi 8%-os kamatos kamatozás mellett?

B. Gyűjtőjáradék, törlesztőjáradék:
1. Negyedévente beteszünk a bankba az időszak elején 180EFtot, 6 éves lejáratra, évi 16%-os kamatos kamatra. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

2. Harmadévente beteszünk a bankba az időszak elején 210EFt-ot, 7 éves lejáratra, évi 8%-os kamatos kamtra. Mennyi pénzünk lesz az időszak végén?

3. 5 éves lejáratra 5millió Ft hitelt veszünk fel, törlesztés félévente azonos összegekben történik. Éves kamatláb 15%. Mekkora a törlesztőrészlet?

4. 3 éves lejáratra 3millió Ft hitelt veszünk fel, törlesztés havonta azonos összegekben történik. Éves kamatláb 18%. Mekkora a törlesztőrészlet?

Mértani sorozatok

A mértani sorozat fogalma:

A sorozat mindig ugyanannyiszorosára nő, vagy ugyanannyiad részére csökken (exponenciálisan nő/csökken)
pl. 1; 2; 4; 8; esetén.

Jellemzők:

q = hányados = a növekedés mértéke
a_n = általános tag
S_n = első n-tag összege:

Képletek:

`a_n = a_1·q^(n-1)`
`S_n = a_1·(q^n - 1)/(q - 1)`

Mintafeladatok:

1. Ha az első tag és a hányados is pozitív:
a1 = 2, q = 3,
A sorozat: 2; 6; 18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = 2*3^4 = 162`
S_5 = ?
 `S_5 = 2*(3^5-1)/(3-1)=242`

2. Ha az első tag negatív a hányados viszont pozitív:
a1 = -2, q = 3,
A sorozat: -2; -6; -18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = -2*3^4 = -162`
S_5 = ?
 `S_5 = -2*(3^5-1)/(3-1)=-242`

3. Ha az első tag pozitív, a hányados viszont negatív:
a1 = 2, q = -3
A sorozat: 2; -6; 18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = 2*(-3)^4 = 162`
S_5 = ?
 `S_5 = 2*((-3)^5-1)/(-3-1)=122`

4. Ha az első tag és a hányados is negatív:
a_1 = -2, q = -3
A sorozat: -2; 6; -18; ...
a_5 = ?,
 `a_5 = -2*(-3)^4 = -162`
S_5 = ?
 `S_5 = -2*((-3)^5-1)/(-3-1)=-122`

Házi feladatok

Mértani sorozatok esetén:
1.
a_1 = 3
q = 2,5
 a_7 = ?
 S_7 = ?

2.
a_1 = -2
q = 1,5
 a_8 = ?
 S_8 = ?

3.
a_1 = 5
q = -7,5
 a_9 = ?
 S_9 = ?

4.
a_1 = -9
q = -4,5
 a_10 = ?
 S_10 = ?

Számtani sorozatok

A számtani sorozat meghatározása:

mindig ugyanannyival nő, vagy csökken (egyenletesen nő/csökken)

Jellemzők:
d = különbség
an = általános tag
Sn = első n-tag összege:

Képletek:

`an = a1 + (n - 1)·d`
`Sn = n·(a1 + an)/2`
`Sn = (2·a1 + (n-1)·d)·n/2`

Órai Feladatok:

1. a_3 = 10, a_5 = 6
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

2. a_4 = 15, a_7 = 6
d = ?, a1 =?, a8= ?, S8 = ?

3. a_2 = 11, a_6 = -9
d = ?, a1 =?, a7 = ?, S7 = ?

4. a_5 = 12, a_7 = 9
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

5. a_6 = 14, a_9 = 9
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

Házi Feladatok:

1. a_4 = 8, a_6 = 4
d = ?, a1 =?, a9 = ?, S9 = ?

2. a_5 = 10, a_8 = 1
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

3. a_3 = 22, a_7 = 2
d = ?, a1 =?, a8 = ?, S8 = ?

4. a_2 = 7, a_4 = 4
d = ?, a1 =?, a6 = ?, S6 = ?

5. a_6 = 8, a_9 = 3
d = ?, a1 =?, a10 = ?, S10 = ?

Számsorozatok

Elmélet

1. Sorozatok fogalma:

Egyértelmű folytathatóság
A függvények leszűkítése a pozitív egészek, vagy a természetes számok halmazára

2. Sorozatok fajtái

Számtani sorozatok
Mértani sorozatok
Fibonacci-sorozat

3. Jelölések:

a,b, ... sorozatok jele
1,2,3 ... = index, sorszám
a_1 = az a sorozat 1. tagja
a_n = az a sorozat (tetszőleges sorszámú, általános) n. tagja

4. Sorozatok megadása:

1. szöveges körülírással: pl. a √2 tizedes jegyei
2. függvényszerű képlettel
3. rekurzív definícióval:
Ebben az esetben 2 dolgot kell megadni:
- kezdőértékeket,
- előző értékekre hivatkozó képletet.

5. A képzési szabályok:

direkt szabály: a_n és n között teremt kapcsolatot
pl. a_n = 3*n - 2

rekurzív: a_n és a_(n-1), a_(n-2) között teremt kapcsolatot
Fibonacci-sorozat: a_1 = 1, a_2 = 1 és a_n = a_(n-1) + a_(n-2)

Feladatok

1. Határozza meg a következő sorozat első 5 tagját:
a_n = 5·n + 3

2. Határozza meg a következő sorozat képzési szabályát:
1; 3; 5; 7; ...

Térgeometria témazáró (teszt)

Azonosító:

Témazáró térgeometria (gyakorlás)

A. Behelyettesítéses, szöveges feladatok:

A1 Egyszerű feladatok:

1. Egy kocka élhossza 5cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

2. Egy négyzetes oszlop alaplapjának hossza 5cm, magassága 8cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

3. Egy téglatest oldalainak hossza 4cm, 5cm, 6cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

4. Egy szabályos háromszög alapú hasáb alapélének hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

5. Egy gömb sugara 5cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

6. Egy henger sugarának hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

---

A2. Összetettebb feladatok:
1. Egy szabályos hatszög alapú hasáb alapélének hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

2. Egy szabályos nyolcszög alapú hasáb alapélének hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a testátlójának a hossza?
b) a felszíne?
c) a térfogata?

3. Egy négyzet alapú gúla alapélének hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

4. Egy kúp sugarának hossza 6cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

5. Egy négyzet alapú csonkagúla alapélének hossza 6cm, fedőlapélének hossza 4cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

6. Egy csonkakúp alaplapjának sugara 6cm, fedőlapjának sugara 4cm, magassága 7cm. Mekkora
a) a felszíne?
b) a térfogata?

---

B. Sűrűséges, áras feladatok
1. Egy henger alakú test sugara 12cm, hossza 1,2m. Sűrűsége 8,9kg/dm^3.
Mekkora a tömege?

2. Egy vízzel telt téglatest alakú tartály oldalainak hossza: 120cm, 150cm, 200cm. Egységár: 2,5 Ft/m^3.
Mennyibe kerül a tartály feltöltése?

---

C. Szögek meghatározása
1. Egy téglatest oldalai 10cm, 12cm, 15cm. Mekkora szöget zárnak be a testátlói?

2. Egy kúp alaplapjának sugara 5cm. Magassága 8cm. Mekkora a kúp nyílásszöge?

3. Egy gúla alapélének hossza 10cm, magassága 8cm. Mekkora
a) az oldalélnek az alapéllel alkotott szöge?
b) az oldalélnek az alaplappal alkotott szöge?
c) Az oldallapnak és az alaplapnak a szöge?

4. Egy csonkakúp alaplapjának sugara 12cm, fedőlapjának sugara 8cm, magassága 7cm.
Mekkora az alaplapnak az alkotóval alkotott szöge?

---

D. Képletrendezéses feladatok
D1. Egyszerű képletrendezések
1. Egy kocka testátlójának hossza 11cm. Mekkora az alapélének a hossza?

2. Egy kocka felszíne 120cm^2. Mekkora az alapélének hossza?

3. Egy kocka térfogata 150cm^3. Mekkora az alapélének a hossza?

4. Egy henger sugara 10cm, felszíne 120cm^2. Mekkora a magassága?

5. Egy henger magassága 5cm, térfogata 150cm^3. Mekkora a sugara?

6. Egy gömb felszíne 250cm^2. Mekkora a sugara?

7. Egy gömb térfogata 250cm^3. Mekkora a sugara?

---

D2. Összetett képletrendezéses (másodfokú egyenlettel megoldható) feladatok
1. Egy henger magassága 5cm, a felszíne 150cm^2. Mekkora a sugara?

2. Egy kúp alkotájának a nagysága 6 cm. A felszíne 85 cm². Mekkora a sugara?

---

E. Összetett testek felszínének és térfogatának meghatározása
1. Egy test két részből áll: egy hengerből és egy hozzá illeszkedő kúpból.
A henger sugara 5cm, magassága 11cm, a kúp magassága 7cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

2. Egy test két részből áll: egy négyzetes oszlopból és egy hozzá illeszkedő négyzet alapú gúlából.
A négyzetes oszlop alapélének a hossza 5cm, magassága 12cm, a gúla magassága 10cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

Összetett testek

1. Kiskockákból álló testek.
Egy kiskocka mellé teszünk két kiskockát, majd mellé három kiskockát.
Egy kocka oldaléle 3cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

2. Kétösszetevős feladatok
1. Egy test két részből áll: egy hengerből és egy hozzá illeszkedő kúpból.
A henger sugara 5cm, magassága 11cm, a kúp magassága 7cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

Egy test két részből áll: egy négyzetes oszlopból és egy hozzá illeszkedő négyzet alapú gúlából.
A négyzetes oszlop alapélének a hossza 5cm, magassága 12cm, a gúla magassága 10cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

3. Többösszetevős feladatok
1. Kapszula:
Két záró félgömb sugara 2,5mm, hozzá kapcsolódó henger hossza 8mm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

2. Cölöp:
Csonkakúp: r = 1,5cm, R = 2cm, m_csk = 1cm.
Henger: m_h = 5cm.
Kúp: m_k = 3cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

3. Csavar:
Csonkakúp: R = 5,5cm, r = 4cm, m_csk = 3cm.
Henger: m_h = 15cm.
Kúp: m_k = 5cm.
Mekkora a test felszíne és térfogata?

Csonkagúla és csonkakúp jellemzői

Jelölések:
a = alaplap élhossza
b = oldalél hossza
c = fedőlap élhossza

e = alaplap lapátlójának hossza
f = fedőlap lapátlójának hossza

m = magasság
mo = oldallap magassága

A = felszín
V = térfogat

Képletek:
e = a*1,4142
f = c*1,4142
(a -b)^2/4 + mo^2 = b^2
(a -c)^2/4 + m^2 = mo^2
(e -f)^2/4 + m^2 = b^2
A = a^2 + c^2 + 4*(a + c)/2*mo
V = (a^2 + a*c + c^2)*m/3

Mintafeladatok:
a = 5cm
m = 4cm
c = 3cm
e = ?
f = ?
b = ?
mo = ?
A = ?
V = ?

Csonkakúp:
Jelölések:
R = alaplap sugara
r = fedőlap sugara
m = magasság
a = alkotó hossza

A = felszín
V = térfogat

Képletek:
(R -r)^2/4 + m^2 = a^2
A = R^2*pi + r^2*pi + (r + R)/2*a
V = (R^2*pi + r^2*pi + r*R*pi)/3

Mintafeladatok:
R = 5cm
r = 3cm
m = 4cm
a = ?
A = ?
V = ?

Egy csonkakúp alaplapjának sugara 12cm, fedőlapjának sugara 8cm, magassága 7cm.
Mekkora az alaplapnak az alkotóval alkotott szöge?

Kúp jellemzői

Jelölések:
r = alaplap sugara
m = magasság
a = alkotó

A = felszín
V = térfogat

Képletek:
r^2 + m^2 = a^2
A = r^2*pi + 2*r*pi*a/2
V = r^2*pi*m/3

Mintafeladatok:
1. r = 3cm
m = 5cm
a = ?
A = ?
V = ?
r = 3cm
a = 5cm
m = ?

2. r = 3cm
A = 200cm^2
m = ?
m = 5cm
A = 200cm
r = ?

3. r = 3cm
V = 200cm^3
m = ?
m = 5cm
V = 200cm^3
r = ?

Egy kúp alaplapjának sugara 5cm. Magassága 8cm. Mekkora a kúp nyílásszöge?

Gúla jellemzői

Jelölések:
a = alapél hossza
b = oldalél hossza

e = alaplap átlója
m = magasság
mo = oldallap magassága

A = felszín
V = térfogat

Képletek:
e = a*1,4142
(a/2)^2 + m^2 = mo^2
a^2/2 + m^2 = b^2
(a/2)^2 + mo^2 = b^2
A = a^2 + 4*(a*mo/2)
V = a^2*m/3

Mintafeladatok:
1. a = 3cm
m = 5cm
e = ?
b = ?
mo = ?
A = ?
V = ?
a = 3cm
b = 5cm

a = 3cm
mo = 5cm

2. a = 3cm
A = 200cm^2
m = ?

3. a = 3cm
V = 200cm^3
m = ?

Egy gúla alapélének hossza 10cm, magassága 8cm. Mekkora
a) az oldalélnek az alapéllel alkotott szöge?
b) az oldalélnek az alaplappal alkotott szöge?
c) Az oldallapnak és az alaplapnak a szöge?

Gömb jellemzői

Jelölések:
r = sugár

A = felszín
V = térfogat

Képletek:
A = 4*r^2*pi
V = 4/3*r^3*pi

Mintafeladatok:
1. r = 3cm
A = ?
V = ?

2. A = 200cm^2
r = ?

3. V = 200cm^3
r = ?

Beírható és köré írható testestek:
1. Kockába gömb
r = 3cm
a = ?

2. Gömbbe kocka
a = 3cm
r = ?

Henger jellemzői

Jelölések:
r = alaplap sugara
m = magasság

A = felszín
V = térfogat

Képletek:
A = 2*r^2*pi + 2*r*pi*m
V = r^2*pi*m

Mintafeladatok:
1. r = 3cm
m = 5cm
A = ?
V = ?

2. r = 3cm
A = 200cm^2
m = ?
m = 5cm
A = 200cm^2

3. r = 3cm
V = 200cm^3
m = ?
m = 5cm
V = 200cm^2
r = ?

Háromszög alapú hasáb és szabályos sokszög alapú hasáb jellemzői

Háromszög alapú hasáb:
Jelölések:
a = alapél hossza
m = magasság

m_hsz = alaplap magassága
T_hsz = alaplap területe
A = felszín
V = térfogat

Képletek:
m_hsz = a*0,866
T_hsz = a*m_hsz/2
A = 2*T_hsz + 3*a*m
V = T_hsz*m

Mintafeladatok:
1. a = 3cm
m = 5cm
m_hsz = ?
T_hsz = ?
A = ?
V = ?

Szabályos hatszög alapú hasáb:
Jelölések:
a = alapél hossza
m = magasság

m_hsz = alaplapot alkotó háromszög magassága
T_hsz = alaplapot alkotó háromszög területe
T_hatsz = alaplap területe
A = felszín
V = térfogat

Képletek:
m_hsz = a*0,866
T_hsz = a*m_hsz/2
T_hatsz = 6*T_hsz
A = 2*T_hatsz + 6*a*m
V = T_hatsz*m

Mintafeladatok:
1. a = 3cm
m = 5cm
m_hsz = ?
T_hsz = ?
T_hatsz = ?
A = ?
V = ?

Szabályos nyolcszög alapú hasáb:
Jellemzők:
a = alapél hossza
m = magasság

x = alaplapot kiegészítő háromszög oldalhossza
T_hsz = kiegészítő háromszög területe
T_nysz = alaplap területe
A = felszín
V = térfogat

Képletek:
x = a/1,4142
T_hsz = x^2/2
T_nysz = (a + 2*a)^2 - 4*T_hsz
A = 2*T_nysz + 8*a*m
V = T_nysz*m

Mintafeladatok:
1. a = 3cm
m = 5cm
x = ?
T_hsz = ?
T_nysz = ?
A = ?
V = ?

Négyzetes oszlop és téglatest jellemzői

Négyzetes oszlop
Jelölések:
a = alaplap élei
m = magasság

f = testátló

A = felszín
V = térfogat

Képletek:
f = √(2*a^2 + m^2)

A = 2*a^2 + 4*a*m
V = a^2*m


Mintafeladatok:
1. a = 3cm
m = 5cm
f = ?
A = ?
V = ?

2. f = 8cm
a = 5cm
m = ?
m = 5cm
a = ?

3. A = 20cm^2
a = 3cm
m = ?
m = 3cm
a = ?

4. V = 30cm^3
a = 3cm
m = ?
m = 3cm
a = ?


Téglatest
Jellemzők:
a = hossz
b = szélesség
c = magasság

f = testátló

A = felszín
V = térfogat

f = √(a^2 + b^2 + c^2)
A = 2*a*b + 2*a*c + 2b*c
V = a*b*c

Mintafeladatok
1. a = 3cm
b = 4cm
c = 5cm

f = ?
A = ?
V =?

2. a = 3cm
b = 4cm
f = 5cm

c = ?

3. a = 3cm
b = 4cm
A = 100cm^2
c = ?

4. a = 3cm
b = 4cm
V = 100cm^3
c = ?

Egy téglatest oldalai 10cm, 12cm, 15cm. Mekkora szöget zárnak be a testátlói?

Kocka jellemzői

Jelölések:
A kocka
a = oldalélének hossza

e = lapátló hossza
f = testátló hossza:
A = felszíne
V = térfogata

Képletek
e = a*1,4142
f = a*1,7321
A = 6*a^2
V = a^3

Minta Feladatok:
Egyszerű képletbehelyettesítés:
1. a = 5cm
e = ?
f = ?
A = ?
V = ?

Képletátrendezés + behelyettesítés,
vagy behelyettesítés + egyenletmegoldás
2. e = 5cm
a = ?

3. f = 5cm
a = ?

4. A = 20cm^2
a = ?

5. V = 20cm^3
a = ?

Speciális feladat:
Milyen távolságra van a kocka csúcsaitól a kocka testátlója?

Egyszerű testek fajtái

0. Célok meghatározása

A fontosabb testek

• megnevezése
• felismerése
• jellemzőinek felsorolása

1. Hasábok

1.1. Háromszög alapú hasáb, vagy prizma

Jellemzői:
Alaplap: Szabályos háromszög
Fedőlap: Szabályos háromszög
Oldallapok: Téglalapok
Ábra:

1.2. Kocka

Jellemzői:
Alaplap: Négyzet
Fedőlap: Négyzet
Oldallapok: Négyzetek
Ábra:

1.3. Négyzetes oszlop

Jellemzői:
Alaplap: Négyzet
Fedőlap: Négyzet
Oldallapok: Téglalapok
Ábra:

1.4. Téglatest

Jellemzői:
Alaplap: Téglalap
Fedőlap: Téglalap
Oldallapok: Téglalapok
Ábra:

1.5. Szabályos sokszög alapú hasáb (általában hatszög, vagy nyolcszög)

Jellemzői:
Alaplap: Szabályos sokszög
Fedőlap: Szabályos sokszög
Oldallapok: Téglalapok
Ábra:

2. Gúlák

2.1. Háromszög alapú gúla, vagy tetraéder

Jellemzői:
Alaplap: Szabályos háromszög
Fedőlap: Pont
Oldallapok: Szabályos háromszögek
Ábra:

Négyzet alapú gúla, vagy piramis

Jellemzői:
Alaplap: Négyzet
Fedőlap: Pont
Oldallapok: Egyenlő szárú háromszögek
Ábra:

3. Csonkagúla

Jellemzői:
Alaplap: Négyzet
Fedőlap: Négyzet
Oldallapok: Egyenlő szárú trapézok
Ábra:

4. Henger

Jellemzői:
Alaplap: Kör
Fedőlap: Kör
Oldallapok: Téglalap
Ábra:

5. Kúp

Jellemzői:
Alaplap: Kör
Fedőlap: Pont
Oldallapok: Körcikk
Ábra:

6. Csonkakúp

Jellemzői:
Alaplap: Kör
Fedőlap: Kör
Oldallapok: Körgyűrűcikk
Ábra:

7. Gömb

Jellemzői:
Alaplap: Pont
Fedőlap: Pont
Oldallapok: Nincs
Ábra:

Feladatok

1. Jellemezd a következő testet!
A test neve:  
Jellemzői:
Alaplap: Nincs Pont Háromszög Négyzet Téglalap Trapéz Szabályos sokszög Kör Körcikk Körgyűrűcikk
Fedőlap: Nincs Pont Háromszög Négyzet Téglalap Trapéz Szabályos sokszög Kör Körcikk Körgyűrűcikk
Oldallapok: Nincs Pont Háromszögek Négyzetek Téglalap Téglalapok Trapézok Szabályos sokszögek Körök Körcikk Körgyűrűcikk

---

2. Ismerd fel az ábra alapján a testet!
Ábra:

A test neve:
Háromszög alapú hasáb Kocka Négyzetes oszlop Téglatest Szabályos sokszög alapú hasáb Háromszög alapú gúla Négyzet alapú gúla Csonkagúla Henger Kúp Csonkakúp Gömb

Térgeometria bevezető

0. Célok meghatározása

1. A térgeometria helyének meghatározása a geometrián belül.
2. A térgeometriai objektumainak felsorolása.
3. A térgeometriai alapfogalmak meghatározása.
4. A térgeometriai paraméterek két csoportba sorolása.
5. A térgeometriai paraméterjelölések meghatározása.

1. Melyek a geometria részei?

• Gráfok (1.)
• Síkgeometria (2.)
• Trigonometria (3.): A síkgeometria közvetlen alkalmazása
• Térgeometria (4.): A síkgeometria közvetett alkalmazása
• Koordináta geometria (5.)

2. Mik a térgeometria objektumai?

A térgeometriai alakzatok:

• Egyszerű testek:
• Kizárólag síklapokkal határolt testek:
• Hasábok (1.)
• Gúlák (2.)
• Csonka gúlák (3.)
• Síklapokkal és görbült felületekkel határolt testek
• Hengerek (4.)
• Kúpok (5.)
• Csonka kúpok (6.)
• Kizárólag görbült felületekkel határolt testek
• Gömbök (7.)
• Összetett testek (8.)

3. Milyen síkjellegű alkotóelemei vannak a testeknek?

• Lapok:
• alaplap = lent elhelyezkedő vízszintes síklap
• fedőlap = fent elhelyezkedő vízszintes síklap
• oldallapok = oldalt elhelyezkedő síklapok
• kiterített oldallap = alkotóval rendelkező testek esetén az alkotó, majd az alap- és fedőlapélek mentén haladva hasítással, majd síkba kiterítéssel létrejött síkidom
• palást = oldallapok együtt, illetve a kiterített oldallap alkotják a palástot.
• Lapok együttese:
• hálózat = alaplap + fedőlap + palást síkba kiterítve
• közelítő hálózat = gömb esetén van, csonkakúp és kúppalástokból áll.

Test	Alaplap	Fedőlap	Oldallapok
1. Hasábok	Van	Van	Van
2. Gúlák	Van	Nincs	Van
3. Csonkagúlák	Van	Van	Van
4. Hengerek	Van	Van	Nincs
5. Kúpok	Van	Nincs	Nincs
6. Csonkakúpok	Van	Van	Nincs
7. Gömbök	Nincs	Nincs	Nincs

(Ez alapján egy topológiai csoportosítást is végre lehet hajtani.)

4. Milyen számított, az egész testre jellemző paraméterei vannak a testeknek?

• Felszín = A hálózat területe
• Jele: A = Area
• Mértékegysége: cm², m²
• Térfogat = A test által határolt térrész mértéke az egységnyi oldalhosszúságú kockával összehasonlítva.
• Jele: V = Volume
• Mértékegysége: cm³, m³

5. Milyen részparaméterei vannak a testeknek?

5.1. Pontok:

(Nagy betűkkel jelöljük őket, a kezdet kezdetén.)
Lehetnek:

• Csúcspontok
• Síkmetszeti pontok (pl. magasságok talppontjai)
• Körök középpontjai

5.2. Szakaszok:

(Kiskezdőbetűvel jelöljük őket, a pontok jelölése után. Vagy a végpontok megadásával, pl. AB szakasz.)
(Van hosszuk = Végpontok távolsága.)
Lehetnek:

• élek:
• alaplapélek = az alaplap szomszédos csúcsait kötik össze.
• fedőlapélek = a fedőlap szomszédos csúcsait kötik össze.
• oldalélek = az alaplap és a fedőlap egymással szomszédos csúcsait kötik össze.
• sugarak = az alap- vagy fedőlap középpontját kötik össze az ottani élpontokkal. (Jele: r, vagy R)
• átlók:
• lapátlók = nem szomszédos (átellenes) pontokat kötnek össze az alaplapon, a fedőlapon, vagy az oldallapokon
• testátlók = az alaplap és a fedőlap nem szomszédos (átellenes) pontjait kötik össze
• magasságok:
• testmagasságok = az alap- és fedőlap síkjaira merőleges szakaszok
  
• oldalmagasságok = az alaplap- és a fedőlapélekre merőleges szakaszok
  
• alkotók = az oldalfelületnek és az alapkör középpontjából állított magasságra illeszkedő síknak a metszetei.

5.3. Szögek:

(Az abc elejéről vett görög kis betűkkel jelöljük őket, vagy ABC ∢ = A B csúcsnál lévő szög.)
(Két egymást metsző egyenes esetén értelmezhető.)
Lehetnek:

• Két átellenes alkotó szöge.
• Alaplap és az alkotó szöge.
• Alaplap és az oldallap szöge.
• Alaplap és az oldalél szöge.
• Alapél és az oldalél szöge.
• Alaplap és a testátló szöge.
• Alapél és a lapátló szöge.
• Két egymást metsző testátló szöge.

Feladatok

1. Alternatívaválsaztásos feladat:

Ssz	Meghatározás	Alternatívák	Válasz
1.		A. B. C.	A B C
2.		A. B. C.	A B C
3.		A. B. C.	A B C
4.		A. B. C.	A B C
5.		A. B. C.	A B C
6.		A. B. C.	A B C
7.		A. B. C.	A B C
8.		A. B. C.	A B C
9.		A. B. C.	A B C
10.		A. B. C.	A B C

Jó válaszok száma:0/10.

---

2. Társításos feladat:

Fogalmak	Meghatározások	Válasz
1.	A.	1. - A B C D E
2.	B.	2. - A B C D E
3.	C.	3. - A B C D E
4.	D.	4. - A B C D E
5.	E.	5. - A B C D E

Jó válaszok száma:0/5.

---

2. Igaz-hamis feladat:

Állítás	Válasz
1.	Igaz Hamis
2.	Igaz Hamis
3.	Igaz Hamis
4.	Igaz Hamis
5.	Igaz Hamis
6.	Igaz Hamis
7.	Igaz Hamis
8.	Igaz Hamis
9.	Igaz Hamis
10.	Igaz Hamis

Jó válaszok száma:0/10.