2020. augusztus 4., kedd

Főoldal

Matematika 12.



Alapok Függvények Geometria Ismétlés
1. Logika 2. Sorozatok 3. Térgeo
1.1. Logikai állítások 2.1. Sorozat fogalma 3.1. Térgeo (táv,szög)
1.2. Logikai műveletek 2.2. Számtani sorozat 3.2. Térgeo (ker,ter)
1.3. Következtetés 2.3. Mértani sorozat 3.3. Térgeo (hasáb)
1.4. Logika szk. 2.4. Vegyes feladatok 3.4. Térgeo (henger)
2.5. Kamatos kamat 3.5. Térgeo (kúp)
2.6. Sorozat szk. 3.6. Térgeo (gúla)
3.7. Térgeo (csonka)
3.8. Térgeo (gömb)
3.9. Térgeo (összetett)
3.10. Térgeo (számonkérés)
dátum:

3.10. Számonkérés (Térgeometria)

1. hasáb:


(átlóhossz)

1.
2006.10.7.
Egy négyzetes oszlop egy csúcsból kiinduló három élének hossza: a, a és b.
Fejezze ki ezekkel az adatokkal az ebből a csúcsból kiinduló testátló hosszát!

(Adatbeviteli szabályok:^=hatványozásjel;szóköz és szorzásjel nem kell!)
A testátló hosszának négyzete: 2pont
(felszín)

2.
2005.06.3.
Egy téglatest egy csúcsból kiinduló éleinek hossza 15 cm, 12 cm és 8 cm.
Számítsa ki a téglatest felszínét!
Írja le a számítás menetét!
A = (Képletbe való behelyettesítés) = 2pont
A = cm² 1pont

(térfogat)

3.
2006.05.6.
Egy téglatest alakú akvárium belső méretei (egy csúcsból kiinduló éleinek hossza): 42 cm, 25 cm és 3 dm. Megtelik-e az akvárium, ha beletöltünk 20 liter vizet?
Válaszát indokolja!

V = liter. 2pont
Megtelik-e? 1pont
4.
2018.05.4.
Egy 100 cm x 50 cm x 50 cm belső méretű (téglatest alakú) akváriumot vízzel töltünk fel.
Mennyibe kerül a feltöltéshez szükséges víz, ha 1 köbméter víz ára 220 Ft?
Megoldását részletezze!
V = m³. 2pont
Ennyi víz Ftba kerül. 1pont

5.
2017.05.9.
A Bocitej Kft. 1 literes tejesdobozának alakja négyzet alapú egyenes hasáb.
A dobozt színültig töltik tejjel.
Hány cm magas a doboz, ha az alapnégyzet oldala 7 cm?
Megoldását részletezze!

1 liter = cm³ 1pont
Ha a doboz m cm magasságú, akkor a térfogata = ²·m. 1pont
A doboz magassága: cm. 1pont
6.
2010.06.7.
Egy négyzet alapú hasáb alapéle 3 cm. Térfogata 72 cm³.
Hány cm hosszú a hasáb magassága?

A hasáb magassága cm hosszú. 2pont
7.
2017.06.8.
Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb minden éle 4 cm hosszú.
Számítsa ki a test térfogatát!
Számításait részletezze!
Az alaplap területe = cm² 2pont
A hasáb térfogata = cm³ 2pont

8.
11.05.3.
Hányszorosára nő egy kocka térfogata, ha minden élét háromszorosára növeljük?

A kocka térfogata szorosára/szeresére nőtt. 2pont
(hajlásszög)

9.
11.10.12.
Az ábrán látható kockának berajzoltuk az egyik lapátlóját.
Rajzoljon ebbe az ábrába egy olyan másik lapátlót, amelynek van közös végpontja a berajzolt lapátlóval!
Hány fokos szöget zár be ez a két lapátló?
Válaszát indokolja!

A lapátlók által létrehozható háromszög: . 2pont
A keresett szög: °. 1pont


összetett test:

10.
08.06.12.
Egy 80 cm széles és 20 méter hosszú raffia szőnyeg 1,5 cm vastagságú.
Ebből 80x50 cm-es lábtörlőket készítenek, ezért a szőnyeget a hosszúsága mentén 50 centiméterenként elvágják. A felvágott darabokat lapjával egymásra rakják.
Milyen magas oszlop keletkezik?
Válaszát indokolja!

A felvágáskor gyékénydarab keletkezik. 1pont
Az egymásra rakott darabok cm magasságot érnek el. 1pont
11.
2005.07.12.
Három tömör játékkockát az ábrának megfelelően rakunk össze.
Mindegyik kocka éle 3 cm.

Mekkora a keletkező test
a) felszíne,
b) térfogata?Számítását írja le!

a)
Egy lap területe: cm². 		1pont
A felszín lap területének összege. 1pont
A = cm². 1pont
b)
A keletkező test térfogata: cm³. 		1pont
Névmegadás: Értékelés:
maximális
pontszám		elért
pontszám		eltelt
idő
I. rész 1. feladat2 pont
2. feladat3 pont
3. feladat3 pont
4. feladat3 pont
5. feladat3 pont
6. feladat2 pont
7. feladat4 pont
8. feladat2 pont
9. feladat3 pont
10. feladat2 pont
11. feladat4 pont
Összesen:

2.henger:


(térfogat)

12.
2005.07.11.
Egy henger alakú bögre belsejének magassága 12 cm, belső alapkörének átmérője 8 cm.
Belefér-e egyszerre ½ liter kakaó?
Válaszát indokolja!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

V = (Képletbehelyettesítés) = 1pont
V ≈ (egész értékre kerekítve) ≈ cm³ 1pont
Belefér-e? 1pont

13.
2005.06.11.
Egy henger alakú fazék belsejének magassága 14 cm, belső alapkörének átmérője 20 cm.
Meg lehet-e főzni benne egyszerre 5 liter levest?
Válaszát indokolja!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

V = (Képletbe való behelyettesítés) = 2pont
V ≈ (Egész értékre kerekítve) ≈ cm3 1pont
Bele fér-e? 1pont
14.
07.06.12.
A bűvész henger alakú cilinderének belső átmérője 22 cm, magassága 25 cm. Hány liter vizet lehetne belevarázsolni?
Írja le a megoldás menetét!
(Az eredményt egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!)

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

V = (képlet) = 1pont
V = (behelyettesítés) = cm³ 1pont
V = (végeredmény) = liter 1pont
15.
13.06.2.
Egy téglalap oldalai 12cm, illetve 5 cm hosszúak.
Ezt a téglalapot megforgatjuk a hosszabbik oldal egyenese körül.
Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? Válaszát indokolja!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

keletkezik. 1pont
V = (Behelyettesítés) = cm³ 1pont
V ≈ cm³ 1pont
16.
2016.10.6.
A diákok az egyik kémiaórán két mérőhengert használnak.
Az egyik henger magassága és alapkörének átmérője is feleakkora, mint a másiké.
Hányszorosa a nagyobb mérőhenger térfogata a kisebb mérőhenger térfogatának?
Válaszát indokolja!

Hengerek hasonlóságának aránya = 1: 2pont
A térfogatok aránya = 1: 1pont
Tehát a nagyobb mérőhenger térfogata -szorosa(-szerese) a kisebb mérőhenger térfogatának. 1pont
(sugár)

17.
2019. 06.4.
Egy forgáshenger alakú palack térfogata 1 liter, magassága 20 cm.
Számítsa ki a palack alapkörének sugarát! Megoldását részletezze!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

V = cm³ 1pont
V = (Képletbe való behelyettesítés) = 1pont
r ≈ cm 2pont

gúla:


18.
08.06.5.
Az ábrán látható az ABCDE négyzet alapú egyenes gúla.
Döntse el, hogy az alább felsorolt szögek közül melyik az AE oldalél és az alaplap hajlásszöge?
a) BCE∢
b) CAE∢
c) DCE∢

A helyes válasz betűjele: 2pont

kúp:


(térfogat)

19.
2017.10.1.
Egy forgáskúp alapkörének sugara 5 cm, magassága 9 cm hosszú.
Számítsa ki a kúp térfogatát!

V ≈ cm³ 2pont

(magasság)

20.
15.06.9.
Egy forgáskúp alkotója 41 cm, alapkörének sugara 9 cm hosszú.
Hány centiméter a kúp magassága?
Válaszát indokolja!

A kúp magassága = m.
Pitagorasz-tétel:
m² + ² = ² 		2pont
A kúp magassága: cm 1pont

gömb:


(térfogat)

21.
2005.05.12.
Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm.
Hány liter levegő van benne?
Válaszát indokolja!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

V = (Képletbe való behelyettesítés) 1pont
V ≈ (Egy tizedesre kerekítve) cm3 1pont
V ≈ (Egy tizedesre kerekítve) liter. 1pont
22.
13.05.9.
Két gömb sugarának aránya 2 : 1.
A nagyobb gömb térfogata k-szorosa a kisebb gömb térfogatának.
Adja meg k értékét!

k = 2pont

(sugár)

23.
09.05.12.
Egy gömb alakú gáztároló térfogata 5000 m³.
Hány méter a gömb sugara?
A választ egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!
Írja le a számítás menetét!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

Ha a gömb sugara r, akkor: V = 1pont
r³ ≈ (Egész érték) ≈ 1pont
A gömb sugara méter. 2pont

(gömb és kocka)

24.
2014.06.10.
Mekkora a 7 cm élű kocka köré írható gömbnek a sugara?
Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!
A gömb sugara a kocka testátlójának a . 1pont
A kocka testátlójának hossza: 1pont
A gömb sugara: 1pont

25.
09.10.11.
Belefér-e egy 1600 cm2 felszínű (gömb alakú) vasgolyó egy 20 cm élű kocka alakú dobozba?
Válaszát indokolja!

A kockába tehető legnagyobb felszínű gömb sugara cm. 1pont
ennek felszíne: cm² 1pont
Belefér a gömb a dobozba? 1pont


Névmegadás: Értékelés:
maximális
pontszám		elért
pontszám		eltelt
idő
I. rész
12. feladat3 pont
13. feladat4 pont
14. feladat3 pont
15. feladat3 pont
16. feladat4 pont
17. feladat4 pont
18. feladat2 pont
19. feladat2 pont
20. feladat3 pont
21. feladat3 pont
22. feladat2 pont
23. feladat4 pont
24. feladat3 pont
25. feladat3 pont
Összesen:





dátum:

3.9. Összetett feladatok

Az összetett testek elemzése

Az összetett testekről, tudjuk, hogy
  • Az összetett testek már megismert egyszerű testekből állnak.
    • Hasábokból, hengerekből, gúlákból, kúpokból és gömbökből.
  • Ezeket a testeket először részekre kell bontani, majd a részek elemzése után össze kell rakni őket.
    • A felszín számításánál a hozzáférhetetlen részeket nem kell figyelembe venni.
    • A térfogat számításánál a részképleteket kell csak összegezni.

1. (kidolgozott) feladat

Az ábrán látható facölöpből 250 db-ot készítünk.
a) Hány liter festék kell a lefestésükhöz, ha egy liter festék 1,2m2 felület lefestéséhez elegendő?
b) Mekkora lesz a facölöpök össztérfogata és a tömege, ha a fa sűrűsége 0,5 g/cm3?
Adatok:
 r1 = 5cm
 r2 = 8cm
 m1 = 10cm
 m2 = 20cm
 m3 = 15cm
Ábra:

Megoldás:
1. lépés:
Bontsuk ismert testekre az adott összetett testet!
Ez a test 3 részből áll:

1. Felül egy csonkakúpból.
2. Középen egy hengerből.
3. Alul egy kúpból.

2. lépés:
Jelöljük a hiányzó paramétereket. Az indexezésnél érdemes számokat használni.

a1 = a csonkakúp alkotója.
a2 = m2 = a henger alkotója.
a3 = a kúp alkotója.

3. lépés:
Keressünk Pitagorasz-tételes képleteket az alkotók kiszámításához. Számoljuk ki az alkotókat!

Csonkakúp:
 `color(red)((R-r)^2+m^2=a^2)`
ahol R = r2 = 8cm, r = r1 = 5cm, m = m1 = 10cm és a = a1.
`(8-5)^2+10^2=a^2`
`9+100=a^2`
`a_1 =sqrt(109)=10,44cm`

Kúp:
 `color(red)(r^2+m^2=a^2)`
ahol r = r2 = 8cm, m = m3 = 15cm
`8^2+15^2=a^2`
`64+225=a^2`
`289=a^2`
`a_3=sqrt(289)=17cm`

3. lépés:
Keressünk felszínképleteket! Vigyázzunk, hogy a nem látható részek nem tartoznak a felszínhez!

1. Csonkakúp:
 `color(red)(A_(csk)=π⋅[R^2 +r^2 +(R+r)⋅a])`
A `R^2`-es tag az alaplap területe, amit nekünk most nem kell figyelembe venni.

 `color(blue)(A_1=π⋅[r^2 +(R+r)⋅a])`
ahol R = r2 = 8cm, r = r1 = 5cm és a = a1 = 10,44cm.
`A_1 = 3,14*[5^2+(8+5)*10,44] =`
`A_1 =3,14*(25+13*10,44)`
`A_1 =3,14*(25+135,72)`
`A_1=3,14*160,72 = 504,66cm^2`

2. Henger:
 `color(red)(A_h=2πr(r+m))`
Nekünk most csak a palástra van szükségünk!
 `color(blue)(A_2=2pi*r*m)`
ahol r = r2 = 8cm és m = m2 = 20cm.
`A_2=2*3,14*8*20 = 1 004,8cm^2`

3. Kúp:
 `color(red)(A_k=pi*r(r+a))`
Az alaplap területét nem kel figyelembe venni.
 `color(blue)(A_3=pi*r*a)`
ahol r = r2 = 8cm és a = a3 = 17cm.
`A_3=3,14*8*17=427,04cm^2`

A test felszíne a részek összegével egyenlő.
A = 504,66 + 1 004,8 + 427,04 = 1 936,5cm².
A = 0,19365m².

`A_(összes) = n*A = 250*0,19365=48,4125m^2`

Szükséges festékmennyiség = 48,4125/1,2 = 40,3
Vagyis 41 liter festékre van szükségünk a cölöpök lefestéséhez.

4. lépés:
Keressünk térfogatképleteket! Itt nem kell ügyelni az érintkezésekre.
1. Csonkakúp:
 `color(red)(V_1=(m*π*(R^2 +R*r+r^2))/3`
ahol m = m1 = 10cm, R = r2 = 8cm, r = r1 = 5cm.
`V_1= (10*3,14*(8^2+8*5+5^2))/3`
`V_1= (31,4*(64+40+25))/3`
`V_1= (31,4*129)/3`
`V_1= (4 050,6)/3`
`V_1=1 350,2cm^3`

2. Henger:
 `color(red)(V_2=r^2*π*m)`
ahol m = m2 = 20cm,r = r2 = 8cm.
`V_2=8^2*3,14*20`
`V_2 = 4 019,2cm^3`

3. Kúp:
 `color(red)(V_3=(r^2*π*m)/3)`
ahol m = m3 = 15cm, r = r2 = 8cm
`V_3=(8^2*3,14*15)/3`
`V_3=1 004,8cm^3`

`V=V_1+V_2+V_3`
`V=1 350,2+4 019,2+1 004,8 = 6 374,2cm^3`
`V_(250)=250*6 374,2=1 593 550cm^3`
`V_(250)=1,6m^3`

`ϱ=m/V`
`ϱ=0,5(kg)/(m^3)`
`m=1,6*0,5=0,8kg`

2. beadandó) feladatok:

1.

Az ábrán látható obeliszk felszínét és térfogatát szeretnénk meghatározni.
Hány százalék a hulladék, ha ezt egy az alaplapra illeszkedő azonos magasságú négyzetes oszlopból faragták ki?
Adatok:
 m1 = 10m
 m2 = 2m
 a1 = 1,5m
 a2 = 0,8m
Ábra:

Megoldás:
1. lépés: Bontsuk ismert testekre az adott összetett testet!
Nevezzük meg a részeket!
2. lépés: Jelöljük a hiányzó paramétereket mo1,mo2-vel.
Az indexezésnél érdemes számokat használni.
3. lépés: Keressünk Pitagorasz-tételes képleteket az oldalmagasságok kiszámításához.
Számoljuk ki az oldalmagasságokat!
4. lépés: Keressünk felszínképleteket!
Vigyázzunk, hogy a nem látható részek nem tartoznak a felszínhez!
5. lépés: Keressünk térfogatképleteket!
Számoljuk ki az térfogatelemeket!
6. lépés: Határozzuk meg a négyzetes oszlop térfogatát!
Osszuk el a két térfogatértéket egymással!
Vonjuk ki a kapott értéket a 100%-ból!

2.

Egy huszonnyolcas acélszög három forgástestre bontható. A feje egy olyan csonkakúp, amelynek alapköre 5 mm, fedőköre 2 mm átmérőjű, magassága pedig 1 mm. A szög hengeres része 25 mm hosszú, átmérője szintén 2 mm. Végül a szög hegye egy olyan forgás-kúpnak tekinthető, melynek magassága 2,5 mm, alapkörének átmérője pedig 2 mm.
a) Mekkora egy ilyen acélszög teljes hossza? A barkácsboltban 10 dkg huszonnyolcas acélszöget kérünk.
b) Körülbelül hány darab szöget kapunk, ha a szög anyagának sűrűsége 7,8 g/cm3? (Tömeg = sűrűség × térfogat.)
dátum:

3.8. A gömb

Források:
sdt
zanza.tv

1. A gömb fogalma, származtatása:

A gömb adott ponttól (középpont), adott távolságra (sugár) levő pontok halmaza a térben.

A gömböt úgy is származtathatjuk, hogy egy kört az átmérője mentén megforgatunk:
Megjegyzések:
1. A görögök szerint a legtökéletesebb mértani test.
2. A gömb felszíne nem teríthető ki síkba.
3. A felszín és térfogat képlete Arkhimédésztől származik.

2. A gömb jellemzői:

d => r:  (0.)
 `color(red)(r = d/2)`

r => A:  (1.)
 `color(red)(A = 4*r^2*pi)`

r => V: (2.)
 `color(red)(V = 4/3*r^3*pi)`

3. Mintafeladatok:

Gömb esetén három adat van (r,A,V).
Ha az egyik ismert, akkor a másik kettő már egyértelműen meghatározható.
Ez három különböző lehetőséget jelent.
1. eset: r => A,V
 `color(red)(A = 4*r^2*pi)`
 `color(red)(V = 4/3*r^3*pi)`
2. eset: A => r: (3.)
 `color(blue)(r = sqrt(A/(4*pi)))`

3. eset: V = > r: (4.)
 `color(blue)(r = root(3)((3*V)/(4*pi)))`

1. r = 5
A = ?
V = ?
Megoldás:
 `A = 4*5^2*3,14 = 314`
 `V = 4/3*5^3*3,14 = 523,33`

2. A = 200
r = ?
V = ?
Megoldás:
`r = sqrt(200/(4*3,14))= 3,99`
`V = 4/3*3,99^3*3,14 = 265,94`

3. V = 1500
r = ?
A = ?
Megoldás:
`r = root(3)((3*1500)/(4*3,14)) = 7,1`
`A=4*7,1^2*3,14 = 265,94`


4. Gömb és más testek kapcsolata (beírt és köré írt gömb)

1. Feladat:


Kockából gömb

Egy 10 cm oldalhosszúságú fakockából a lehető legnagyobb térfogatú gömböt szeretnénk kifaragni. Hány százalék a hulladék?
A kocka élhossza a gömb átmérőjével egyezik meg.
 Ennek megfelelően r = 5cm.
Kocka térfogata:
 `V_k =10^3 =1000cm^3`
Gömb térfogata:
 `V_g = 4/3*5^3*3,14 = 523,33cm^3`
Hulladék térfogata:
 `V_h = V_k - V_g`
 `V_h = 1000-523,33=476,67cm^3`
veszteségarány = A veszteség térfogata per a kiindulási test térfogata.
`V_h/V_k = (476,67)/1000 = 0,477 = 47,7%`

2. Feladat:


Gömbbe kocka

Mekkora az a oldalhosszúságú kocka köré írható gömb sugara?
Ábra:
(forrás:https://qph.fs.quoracdn.net/main-qimg-695f41e4af1545b140b56d25f446b6b9-c)
A gömb átmérője a kocka testátlójával egyenlő.
 `f = a*sqrt(3)`
 `R = f/2 = a*sqrt(3)/2`

3. Feladat:


Kúpba gömb

Egy egyenes kúp alapkörének átmérője 10 egység, minden alkotója 13 egység.
Számítsuk ki annak a gömbnek a sugarát, amely a kúp belsejében van és érinti a kúp alaplapját és minden alkotóját (ezt nevezzük beírt gömbnek)!
Mekkora a gömb felszíne, térfogata?
Megoldás:
Ábra:
Vágjuk ketté a gömböt tartalmazó kúpot.
A síkmetszetek: egyenlő szárú háromszög és főkör.
 Feladatok:
1. A kúp alapkörének átmérőjéből határozzuk meg a kúp sugarát!
`d_k = 2*r_k`   (1.)
 `r_k = d_k/2 = 10/2 = 5`
2. A sugár és az alkotó ismeretében számoljuk ki Pitagorasz-tétellel a kúp magasságát! `r_k^2 + m_k^2 = a_k^2`    (2.)
 `m_k^2 = a_k^2 - r_k^2`
 `m_k^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144`
 ` m_k = sqrt(144) = 12`
3. Hasonlóság segítségével határozzuk meg a gömb sugarát!
CVB△∼OEC△ (Szögeik egyenlők):
Arányok:
 `r_g/r_k = (m_k - r_g)/a_k`   (3.) kényszerfeltétel
 `r_g/5 = (12-r_g)/13`
 `13*r_g = 5*(12-r_g)`
 `13*r_g = 60 -5*r_g`
 `18*r_g = 60`
 `r_g = 60/18 = 10/3`
4. Határozzuk meg a gömb felszínét!
 `A_g = 4*r_g^2*pi`   (4.)
 `A_g = 4*(10/3)^2*3,14 = 139,63`
5. Határozzuk meg a gömb térfogatát!
 `V_g = 4/3*r_g^3*pi`    (5.)
 `V_g = 4/3*(10/3)^3*3,14 = 155`

4. feladat:


Gúlába gömb

Hatoldalú szabályos gúla alapélei 8 egység hosszúak, magassága 11 egység.
Számítsuk ki annak a gömbnek a sugarát, amely a gúla belsejében van és érinti minden lapját (ezt nevezzük beírt gömbnek)!
Megoldás:
Előlnézeti kép:
Feladatok:
1. Határozzuk meg az alaplapi szabályos kis háromszög magasságát (`m_(ah)`)!  `m_(ah) = a_(ah)*sqrt(3)/2`  (1.) szabályos háromszög
 `m_(ah) = 4*sqrt(3) cm`
2. Határozzuk meg az oldallapi egyenlő szárú nagy háromszög magasságát (`m_(oh)`)!  `m_(ah)^2 +m_g^2 =m_(oh)^2` (2.)
 `m_(oh) =sqrt(121+16*3) = 13cm`

Keresztmetszeti kép:
 Hasonlóság:
 kicsi befogó : nagy befogó = kicsi átfogó : nagy átfogó
 `r_g/m_(ah)=(m_g-r)/m_(oh)`   (3.) kényszerfeltétel
 `r/(4*sqrt(3))=(11-r)/13`
 `13*r = 44*sqrt(3) - 4*sqrt(3)*r`
 `(13-4*sqrt(3))*r=44*sqrt(3)`
 `r=(44*sqrt(3))/(13-4*sqrt(3))`
 `r=(44*13*sqrt(3)+44*4*3)/(169-48)=`
 `=(4*13*sqrt(3)+16*3)/11=(52*sqrt(3)+48)/11`
 `r=3,82cm`

5. feladat:


Gömbből gömb

Olyan fél kg tömör vasgolyót tervezünk, amely belül üres, falvastagsága mindenütt egyenlő, külső átmérője 12 cm.
Mekkora legyen a falvastagsága?
(a vas sűrűsége 7,86 g/cm³).
Megoldás:
Feladatok:
1. Határozzuk meg a külső sugár értékét!
 `r_k = d_k/2`
 `r_k = 12/3 = 6cm`
2. Határozzuk meg a belső sugár értékét!
 `r_b = r_k - x`

Keresztmetszeti ábra:

3. Írjuk fel a golyó térfogatképletét!
 `V_(golyó)=V_(külső)-V_(belső)`
 `V_g = 4/3*r_k^3*pi -4/3*(r_k -x)^3*pi`
 `V_g = 4/3*3,14*(6^3 - (6-x)^3)`

4. Fejezzük ki a golyó térfogatát a tömeg és a sűrűség segítségével!
m = 0,5kg = 500g
ϱ = 7,86 g/cm³
 `ϱ = m/V`
 `V=m/ϱ `
 `V_g = 500/(7,86)`

5. A két mennyiség egyenlőségéből számoljuk ki az x-et!
 `4/3*3,14*(6^3 - (6-x)^3) = 500/(7,86)`
 `6^3 - (6-x)^3 = (500*3)/(7,86*4*3,14)`
 `216 - (6-x)^3 = 15,19`
 `(6-x)^3 = 200,81`
 6-x=5,86
 x=6-5,86 = 0,15cm

6. Feladat:


Hengerbe gömb

Egy 15cm magas henger alakú pohár alapkörének sugara 4cm.
A pohár félig van vízzel.
Mennyivel emelkedik a víz szintje, ha beledobunk egy 2cm sugarú acélgolyót?

A megoldás menete:
1. A golyó a saját térfogatának megfelelő térfogatú vízet szorít ki. (Vg=Vh)
2. Számoljuk ki a golyó térfogatát! (Vg = ?)
3. Legyen az vízszintemelkedés mértéke = x
4. A henger térfogatképletébe behelyettesítve határozzuk meg az x értékét!

Megoldás:
`V_g =4/3*2^3*3,14 = 33,49cm^3`
`V_h =4^2*3,14*x`
`V_g=V_h`
50,24*x = 33,49
x = 0,67cm

Házi feladatok

1. A Föld felszínének 70,8%-a víz. Mekkora a szárazföld területe, ha a bolygónkat 6380km sugarú gömbnek tekintjük?

2. Hány liter levegő fér egy 41cm átmérőjű strandlabdába?

3. Egy 50cm sugarú, 75cm magas henger alakú edényben viasz van, amelyekből 7cm sugarú gömb alakú gyertyákat öntünk. Hány db készítéséhez van elegendő alapanyagunk?
dátum:

3.7. A csonkagúla és a csonkakúp

zanza.tv

1. Csonka alakzatok származtatása:

A csonka testeket csonkolással származtatjuk, tehát a hagyományos testekett az alaplap síkjával párhuzamosan metszük el.

2. Csonka alakzatok jellemzői

Alapvető paraméterek:
  • T = alaplap területe
  • t = fedőlap területe
  • P = palást területe

`1. color(red)(A = T + t + P)`
`2. color(red)(V = ((T + sqrt(T*t) + t)*m)/3)`

3. Csonka kúp jellemzői:

alpha = a kúp nyílásszögének a fele.

Képletek:
1. `color(red)((R - r)^2 + m^2 = a^2)`

`A = T + t + P`
`T = R^2*pi`
`t = r^2*pi`
`P = (R + r)*a`
2. `color(red)(A = R^2*pi + r^2*pi + (R + r)*a)`
`V=((t+sqrt(t*T)+T)*m)/3`
3. `color(red)(V = ((R^2 + R*r + r^2)*pi*m)/3)`
4. `color(red)(tg alpha = (R-r)/m)`

Feladatok


Csonkakúp:
R = 5
r = 3
m = 7
 a = ? A = ? V = ?



1.Egy csonka kúp alakú víztároló tartály adatai:
magasság = 15m
alapkör átmérője = 8m
fedőlap átmérője = 24m.
Mennyi a víz térfogata száz köbméterekre kerekítve?

Megoldás:
R = 12m
r = 4m
m = 15m
 V = ?

V = m³

2. Egy csonka kúp alakú torony
magassága 8 méter,
alapkörének átmérője 10 méter,
fedőlapja 7,5 méter.
Mekkora szöget zár be a torony fala a vízszintessel?
(A megoldást egész fokokban kell megadni!)

Adatok:
m = 8 méter
R = 10/2 = 5 méter
r = 7,5/2 = 3,75 méter
  `alpha' = ?`
α' = °

4. Négyzetes csonka gúla jellemzői:



Képletek:
1. `color(red)((a/2 - c/2)^2 + m^2 = m_o^2)`
2. `color(red)(((a*sqrt(2))/2 - (c*sqrt(2))/2)^2 + m^2 = b^2)`

`T=a^2`
`t=c^2`
`P=4*T_(tr)`
`T_(tr)=((a + c)*m_o)/2`
`A = T + t + P`
`A = a^2 + c^2 + 4*((a + c)*m_o)/2`
3. `color(red)(A = a^2 + c^2 + 2*(a + c)*m_o)`
`V=((t+sqrt(t*T)+T)*m)/3`
4. `color(red)(V = ((a^2 + a*c + c^2)*m)/3)`
5. `color(red)(tg alpha = (a/2-b/2)/m)`
6. `color(red)(tg beta = (a*sqrt(2)/2-b*sqrt(2)/2)/m)`

Feladatok


Csonkagúla:
Alapfeladat:
a = 5
c = 3
m = 7
 m_o = ? b = ? A = ? V = ?



1. Szabályos négyoldalú csonka gúla:
alaplap oldaléle 16cm,
fedőlap oldaléle 10cm,
magassága 14cm.
Számoljuk ki a felszínét!
(Megoldások egész értékre kerekítettek!)

Adatok:
a = 16cm
c = 10cm
m = 14cm
 mo = ? A =?
mo = cm
A = cm^2



dátum:
Feliratkozás: Megjegyzések (Atom)