Matek 12: augusztus 2020

2020. augusztus 4., kedd

Főoldal

Matematika 12.

Alapok	Függvények	Geometria	Ismétlés
1. Logika	2. Sorozatok	3. Térgeo
1.1. Logikai állítások	2.1. Sorozat fogalma	3.1. Térgeo (táv,szög)
1.2. Logikai műveletek	2.2. Számtani sorozat	3.2. Térgeo (ker,ter)
1.3. Következtetés	2.3. Mértani sorozat	3.3. Térgeo (hasáb)
1.4. Logika szk.	2.4. Vegyes feladatok	3.4. Térgeo (henger)
	2.5. Kamatos kamat	3.5. Térgeo (kúp)
	2.6. Sorozat szk.	3.6. Térgeo (gúla)
		3.7. Térgeo (csonka)
		3.8. Térgeo (gömb)
		3.9. Térgeo (összetett)
		3.10. Térgeo (számonkérés)

3.10. Számonkérés (Térgeometria)

1. hasáb:

(átlóhossz)

1.
2006.10.7.
Egy négyzetes oszlop egy csúcsból kiinduló három élének hossza: a, a és b.
Fejezze ki ezekkel az adatokkal az ebből a csúcsból kiinduló testátló hosszát!

(Adatbeviteli szabályok:^=hatványozásjel;szóköz és szorzásjel nem kell!)

A testátló hosszának négyzete:

2pont

(felszín)

2.
2005.06.3.
Egy téglatest egy csúcsból kiinduló éleinek hossza 15 cm, 12 cm és 8 cm.
Számítsa ki a téglatest felszínét!
Írja le a számítás menetét!

A = (Képletbe való behelyettesítés) =	2pont	0 pont 2 pont
A = cm²	1pont	0 pont 1 pont

(térfogat)

3.
2006.05.6.
Egy téglatest alakú akvárium belső méretei (egy csúcsból kiinduló éleinek hossza): 42 cm, 25 cm és 3 dm. Megtelik-e az akvárium, ha beletöltünk 20 liter vizet?
Válaszát indokolja!

V = liter.	2pont	0 pont 2 pont
Megtelik-e?	1pont	0 pont 1 pont

4.
2018.05.4.
Egy 100 cm x 50 cm x 50 cm belső méretű (téglatest alakú) akváriumot vízzel töltünk fel.
Mennyibe kerül a feltöltéshez szükséges víz, ha 1 köbméter víz ára 220 Ft?
Megoldását részletezze!

V = m³.	2pont	0 pont 2 pont
Ennyi víz Ftba kerül.	1pont	0 pont 1 pont

5.
2017.05.9.
A Bocitej Kft. 1 literes tejesdobozának alakja négyzet alapú egyenes hasáb.
A dobozt színültig töltik tejjel.
Hány cm magas a doboz, ha az alapnégyzet oldala 7 cm?
Megoldását részletezze!

1 liter = cm³	1pont	0 pont 1 pont
Ha a doboz m cm magasságú, akkor a térfogata = ²·m.	1pont	0 pont 1 pont
A doboz magassága: cm.	1pont	0 pont 1 pont

6.
2010.06.7.
Egy négyzet alapú hasáb alapéle 3 cm. Térfogata 72 cm³.
Hány cm hosszú a hasáb magassága?

A hasáb magassága cm hosszú.

2pont

7.
2017.06.8.
Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb minden éle 4 cm hosszú.
Számítsa ki a test térfogatát!
Számításait részletezze!

Az alaplap területe = cm²	2pont	0 pont 2 pont
A hasáb térfogata = cm³	2pont	0 pont 2 pont

8.
11.05.3.
Hányszorosára nő egy kocka térfogata, ha minden élét háromszorosára növeljük?

A kocka térfogata szorosára/szeresére nőtt.

2pont

(hajlásszög)

9.
11.10.12.
Az ábrán látható kockának berajzoltuk az egyik lapátlóját.
Rajzoljon ebbe az ábrába egy olyan másik lapátlót, amelynek van közös végpontja a berajzolt lapátlóval!
Hány fokos szöget zár be ez a két lapátló?
Válaszát indokolja!

A lapátlók által létrehozható háromszög: .	2pont	0 pont 2 pont
A keresett szög: °.	1pont	0 pont 1 pont

összetett test:

10.
08.06.12.
Egy 80 cm széles és 20 méter hosszú raffia szőnyeg 1,5 cm vastagságú.
Ebből 80x50 cm-es lábtörlőket készítenek, ezért a szőnyeget a hosszúsága mentén 50 centiméterenként elvágják. A felvágott darabokat lapjával egymásra rakják.
Milyen magas oszlop keletkezik?
Válaszát indokolja!

A felvágáskor gyékénydarab keletkezik.	1pont	0 pont 1 pont
Az egymásra rakott darabok cm magasságot érnek el.	1pont	0 pont 1 pont

11.
2005.07.12.
Három tömör játékkockát az ábrának megfelelően rakunk össze.
Mindegyik kocka éle 3 cm.

Mekkora a keletkező test
a) felszíne,
b) térfogata?Számítását írja le!

a) Egy lap területe: cm².	1pont	0 pont 1 pont
A felszín lap területének összege.	1pont	0 pont 1 pont
A = cm².	1pont	0 pont 1 pont
b) A keletkező test térfogata: cm³.	1pont	0 pont 1 pont

Névmegadás: Értékelés:

		maximális pontszám	elért pontszám	eltelt idő
I. rész	1. feladat	2 pont
	2. feladat	3 pont
	3. feladat	3 pont
	4. feladat	3 pont
	5. feladat	3 pont
	6. feladat	2 pont
	7. feladat	4 pont
	8. feladat	2 pont
	9. feladat	3 pont
	10. feladat	2 pont
	11. feladat	4 pont
Összesen:

2.henger:

(térfogat)

12.
2005.07.11.
Egy henger alakú bögre belsejének magassága 12 cm, belső alapkörének átmérője 8 cm.
Belefér-e egyszerre ½ liter kakaó?
Válaszát indokolja!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

V = (Képletbehelyettesítés) =	1pont	0 pont 1 pont
V ≈ (egész értékre kerekítve) ≈ cm³	1pont	0 pont 1 pont
Belefér-e?	1pont	0 pont 1 pont

13.
2005.06.11.
Egy henger alakú fazék belsejének magassága 14 cm, belső alapkörének átmérője 20 cm.
Meg lehet-e főzni benne egyszerre 5 liter levest?
Válaszát indokolja!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

V = (Képletbe való behelyettesítés) =	2pont	0 pont 2 pont
V ≈ (Egész értékre kerekítve) ≈ cm³	1pont	0 pont 1 pont
Bele fér-e?	1pont	0 pont 1 pont

14.
07.06.12.
A bűvész henger alakú cilinderének belső átmérője 22 cm, magassága 25 cm. Hány liter vizet lehetne belevarázsolni?
Írja le a megoldás menetét!
(Az eredményt egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!)

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

V = (képlet) =	1pont	0 pont 1 pont
V = (behelyettesítés) = cm³	1pont	0 pont 1 pont
V = (végeredmény) = liter	1pont	0 pont 1 pont

15.
13.06.2.
Egy téglalap oldalai 12cm, illetve 5 cm hosszúak.
Ezt a téglalapot megforgatjuk a hosszabbik oldal egyenese körül.
Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? Válaszát indokolja!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

keletkezik.	1pont	0 pont 1 pont
V = (Behelyettesítés) = cm³	1pont	0 pont 1 pont
V ≈ cm³	1pont	0 pont 1 pont

16.
2016.10.6.
A diákok az egyik kémiaórán két mérőhengert használnak.
Az egyik henger magassága és alapkörének átmérője is feleakkora, mint a másiké.
Hányszorosa a nagyobb mérőhenger térfogata a kisebb mérőhenger térfogatának?
Válaszát indokolja!

Hengerek hasonlóságának aránya = 1:	2pont	0 pont 2 pont
A térfogatok aránya = 1:	1pont	0 pont 1 pont
Tehát a nagyobb mérőhenger térfogata -szorosa(-szerese) a kisebb mérőhenger térfogatának.	1pont	0 pont 1 pont

(sugár)

17.
2019. 06.4.
Egy forgáshenger alakú palack térfogata 1 liter, magassága 20 cm.
Számítsa ki a palack alapkörének sugarát! Megoldását részletezze!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

V = cm³	1pont	0 pont 1 pont
V = (Képletbe való behelyettesítés) =	1pont	0 pont 1 pont
r ≈ cm	2pont	0 pont 2 pont

gúla:

18.
08.06.5.
Az ábrán látható az ABCDE négyzet alapú egyenes gúla.
Döntse el, hogy az alább felsorolt szögek közül melyik az AE oldalél és az alaplap hajlásszöge?
a) BCE∢
b) CAE∢
c) DCE∢

A helyes válasz betűjele:

2pont

kúp:

(térfogat)

19.
2017.10.1.
Egy forgáskúp alapkörének sugara 5 cm, magassága 9 cm hosszú.
Számítsa ki a kúp térfogatát!

V ≈ cm³

2pont

(magasság)

20.
15.06.9.
Egy forgáskúp alkotója 41 cm, alapkörének sugara 9 cm hosszú.
Hány centiméter a kúp magassága?
Válaszát indokolja!

A kúp magassága = m. Pitagorasz-tétel: m² + ² = ²	2pont	0 pont 2 pont
A kúp magassága: cm	1pont	0 pont 1 pont

gömb:

(térfogat)

21.
2005.05.12.
Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm.
Hány liter levegő van benne?
Válaszát indokolja!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

V = (Képletbe való behelyettesítés)	1pont	0 pont 1 pont
V ≈ (Egy tizedesre kerekítve) cm³	1pont	0 pont 1 pont
V ≈ (Egy tizedesre kerekítve) liter.	1pont	0 pont 1 pont

22.
13.05.9.
Két gömb sugarának aránya 2 : 1.
A nagyobb gömb térfogata k-szorosa a kisebb gömb térfogatának.
Adja meg k értékét!

k =

2pont

(sugár)

23.
09.05.12.
Egy gömb alakú gáztároló térfogata 5000 m³.
Hány méter a gömb sugara?
A választ egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!
Írja le a számítás menetét!

(Adatbeviteli szabályok:π = pi = 3,14; ^ = hatványozás; * = szorzás!)

Ha a gömb sugara r, akkor: V =	1pont	0 pont 1 pont
r³ ≈ (Egész érték) ≈	1pont	0 pont 1 pont
A gömb sugara méter.	2pont	0 pont 2 pont

(gömb és kocka)

24.
2014.06.10.
Mekkora a 7 cm élű kocka köré írható gömbnek a sugara?
Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!

A gömb sugara a kocka testátlójának a .	1pont	0 pont 1 pont
A kocka testátlójának hossza:	1pont	0 pont 1 pont
A gömb sugara:	1pont	0 pont 1 pont

25.
09.10.11.
Belefér-e egy 1600 cm2 felszínű (gömb alakú) vasgolyó egy 20 cm élű kocka alakú dobozba?
Válaszát indokolja!

A kockába tehető legnagyobb felszínű gömb sugara cm.	1pont	0 pont 1 pont
ennek felszíne: cm²	1pont	0 pont 1 pont
Belefér a gömb a dobozba?	1pont	0 pont 1 pont

Névmegadás: Értékelés:

		maximális pontszám	elért pontszám	eltelt idő
I. rész
	12. feladat	3 pont
	13. feladat	4 pont
	14. feladat	3 pont
	15. feladat	3 pont
	16. feladat	4 pont
	17. feladat	4 pont
	18. feladat	2 pont
	19. feladat	2 pont
	20. feladat	3 pont
	21. feladat	3 pont
	22. feladat	2 pont
	23. feladat	4 pont
	24. feladat	3 pont
	25. feladat	3 pont
Összesen:

3.9. Összetett feladatok

Az összetett testek elemzése

Az összetett testekről, tudjuk, hogy

Az összetett testek már megismert egyszerű testekből állnak.

Hasábokból, hengerekből, gúlákból, kúpokból és gömbökből.

Ezeket a testeket először részekre kell bontani, majd a részek elemzése után össze kell rakni őket.

A felszín számításánál a hozzáférhetetlen részeket nem kell figyelembe venni.
A térfogat számításánál a részképleteket kell csak összegezni.

1. (kidolgozott) feladat

Az ábrán látható facölöpből 250 db-ot készítünk.
a) Hány liter festék kell a lefestésükhöz, ha egy liter festék 1,2m² felület lefestéséhez elegendő?
b) Mekkora lesz a facölöpök össztérfogata és a tömege, ha a fa sűrűsége 0,5 g/cm³?
Adatok:
r₁ = 5cm
r₂ = 8cm
m₁ = 10cm
m₂ = 20cm
m₃ = 15cm

Ábra:

Megoldás:
1. lépés:
Bontsuk ismert testekre az adott összetett testet!
Ez a test 3 részből áll:

1. Felül egy csonkakúpból.
2. Középen egy hengerből.
3. Alul egy kúpból.

2. lépés:
Jelöljük a hiányzó paramétereket. Az indexezésnél érdemes számokat használni.

a₁ = a csonkakúp alkotója.
a₂ = m₂ = a henger alkotója.
a₃ = a kúp alkotója.

3. lépés:
Keressünk Pitagorasz-tételes képleteket az alkotók kiszámításához. Számoljuk ki az alkotókat!

Csonkakúp:

$color(red)((R-r)^2+m^2=a^2)$
ahol R = r₂ = 8cm, r = r₁ = 5cm, m = m₁ = 10cm és a = a₁.

$(8-5)^2+10^2=a^2$

$9+100=a^2$

$a_1 =sqrt(109)=10,44cm$

Kúp:

$color(red)(r^2+m^2=a^2)$
ahol r = r₂ = 8cm, m = m₃ = 15cm

$8^2+15^2=a^2$

$64+225=a^2$

$289=a^2$

$a_3=sqrt(289)=17cm$

3. lépés:
Keressünk felszínképleteket! Vigyázzunk, hogy a nem látható részek nem tartoznak a felszínhez!

1. Csonkakúp:

$color(red)(A_(csk)=π⋅[R^2 +r^2 +(R+r)⋅a])$
A

$R^2$ -es tag az alaplap területe, amit nekünk most nem kell figyelembe venni.

$color(blue)(A_1=π⋅[r^2 +(R+r)⋅a])$
ahol R = r₂ = 8cm, r = r₁ = 5cm és a = a₁ = 10,44cm.

$A_1 = 3,14*[5^2+(8+5)*10,44] =$

$A_1 =3,14*(25+13*10,44)$

$A_1 =3,14*(25+135,72)$

$A_1=3,14*160,72 = 504,66cm^2$

2. Henger:

$color(red)(A_h=2πr(r+m))$
Nekünk most csak a palástra van szükségünk!

$color(blue)(A_2=2pi*r*m)$
ahol r = r₂ = 8cm és m = m₂ = 20cm.

$A_2=2*3,14*8*20 = 1 004,8cm^2$

3. Kúp:

$color(red)(A_k=pi*r(r+a))$
Az alaplap területét nem kel figyelembe venni.

$color(blue)(A_3=pi*r*a)$
ahol r = r₂ = 8cm és a = a₃ = 17cm.

$A_3=3,14*8*17=427,04cm^2$

A test felszíne a részek összegével egyenlő.
A = 504,66 + 1 004,8 + 427,04 = 1 936,5cm².
A = 0,19365m².

$A_(összes) = n*A = 250*0,19365=48,4125m^2$

Szükséges festékmennyiség = 48,4125/1,2 = 40,3
Vagyis 41 liter festékre van szükségünk a cölöpök lefestéséhez.

4. lépés:
Keressünk térfogatképleteket! Itt nem kell ügyelni az érintkezésekre.
1. Csonkakúp:

$color(red)(V_1=(m*π*(R^2 +R*r+r^2))/3$
ahol m = m₁ = 10cm, R = r₂ = 8cm, r = r₁ = 5cm.

$V_1= (10*3,14*(8^2+8*5+5^2))/3$

$V_1= (31,4*(64+40+25))/3$

$V_1= (31,4*129)/3$

$V_1= (4 050,6)/3$

$V_1=1 350,2cm^3$

2. Henger:

$color(red)(V_2=r^2*π*m)$
ahol m = m₂ = 20cm,r = r₂ = 8cm.

$V_2=8^2*3,14*20$

$V_2 = 4 019,2cm^3$

3. Kúp:

$color(red)(V_3=(r^2*π*m)/3)$
ahol m = m₃ = 15cm, r = r₂ = 8cm

$V_3=(8^2*3,14*15)/3$

$V_3=1 004,8cm^3$

$V=V_1+V_2+V_3$

$V=1 350,2+4 019,2+1 004,8 = 6 374,2cm^3$

$V_(250)=250*6 374,2=1 593 550cm^3$

$V_(250)=1,6m^3$

$ϱ=m/V$

$ϱ=0,5(kg)/(m^3)$

$m=1,6*0,5=0,8kg$

2. beadandó) feladatok:

1.

Az ábrán látható obeliszk felszínét és térfogatát szeretnénk meghatározni.
Hány százalék a hulladék, ha ezt egy az alaplapra illeszkedő azonos magasságú négyzetes oszlopból faragták ki?
Adatok:
m₁ = 10m
m₂ = 2m
a₁ = 1,5m
a₂ = 0,8m

Ábra:

Megoldás:
1. lépés: Bontsuk ismert testekre az adott összetett testet!
Nevezzük meg a részeket!
2. lépés: Jelöljük a hiányzó paramétereket mo1,mo2-vel.
Az indexezésnél érdemes számokat használni.
3. lépés: Keressünk Pitagorasz-tételes képleteket az oldalmagasságok kiszámításához.
Számoljuk ki az oldalmagasságokat!
4. lépés: Keressünk felszínképleteket!
Vigyázzunk, hogy a nem látható részek nem tartoznak a felszínhez!
5. lépés: Keressünk térfogatképleteket!
Számoljuk ki az térfogatelemeket!
6. lépés: Határozzuk meg a négyzetes oszlop térfogatát!
Osszuk el a két térfogatértéket egymással!
Vonjuk ki a kapott értéket a 100%-ból!

2.

Egy huszonnyolcas acélszög három forgástestre bontható. A feje egy olyan csonkakúp, amelynek alapköre 5 mm, fedőköre 2 mm átmérőjű, magassága pedig 1 mm. A szög hengeres része 25 mm hosszú, átmérője szintén 2 mm. Végül a szög hegye egy olyan forgás-kúpnak tekinthető, melynek magassága 2,5 mm, alapkörének átmérője pedig 2 mm.
a) Mekkora egy ilyen acélszög teljes hossza? A barkácsboltban 10 dkg huszonnyolcas acélszöget kérünk.
b) Körülbelül hány darab szöget kapunk, ha a szög anyagának sűrűsége 7,8 g/cm3? (Tömeg = sűrűség × térfogat.)

3.8. A gömb

Források:
sdt
zanza.tv

1. A gömb fogalma, származtatása:

A gömb adott ponttól (középpont), adott távolságra (sugár) levő pontok halmaza a térben.

A gömböt úgy is származtathatjuk, hogy egy kört az átmérője mentén megforgatunk:

Megjegyzések:
1. A görögök szerint a legtökéletesebb mértani test.
2. A gömb felszíne nem teríthető ki síkba.
3. A felszín és térfogat képlete Arkhimédésztől származik.

2. A gömb jellemzői:

d => r: (0.)

$color(red)(r = d/2)$

r => A: (1.)

$color(red)(A = 4*r^2*pi)$

r => V: (2.)

$color(red)(V = 4/3*r^3*pi)$

3. Mintafeladatok:

Gömb esetén három adat van (r,A,V).
Ha az egyik ismert, akkor a másik kettő már egyértelműen meghatározható.
Ez három különböző lehetőséget jelent.
1. eset: r => A,V

$color(red)(A = 4*r^2*pi)$

$color(red)(V = 4/3*r^3*pi)$
2. eset: A => r: (3.)

$color(blue)(r = sqrt(A/(4*pi)))$

3. eset: V = > r: (4.)

$color(blue)(r = root(3)((3*V)/(4*pi)))$

1. r = 5
A = ?
V = ?

Megoldás:

$A = 4*5^2*3,14 = 314$

$V = 4/3*5^3*3,14 = 523,33$

2. A = 200
r = ?
V = ?

Megoldás:

$r = sqrt(200/(4*3,14))= 3,99$

$V = 4/3*3,99^3*3,14 = 265,94$

3. V = 1500
r = ?
A = ?

Megoldás:

$r = root(3)((3*1500)/(4*3,14)) = 7,1$

$A=4*7,1^2*3,14 = 265,94$

4. Gömb és más testek kapcsolata (beírt és köré írt gömb)

1. Feladat:

Kockából gömb

Egy 10 cm oldalhosszúságú fakockából a lehető legnagyobb térfogatú gömböt szeretnénk kifaragni. Hány százalék a hulladék?

A kocka élhossza a gömb átmérőjével egyezik meg.
Ennek megfelelően r = 5cm.
Kocka térfogata:

$V_k =10^3 =1000cm^3$
Gömb térfogata:

$V_g = 4/3*5^3*3,14 = 523,33cm^3$
Hulladék térfogata:

$V_h = V_k - V_g$

$V_h = 1000-523,33=476,67cm^3$
veszteségarány = A veszteség térfogata per a kiindulási test térfogata.

$V_h/V_k = (476,67)/1000 = 0,477 = 47,7%$

2. Feladat:

Gömbbe kocka

Mekkora az a oldalhosszúságú kocka köré írható gömb sugara?

Ábra:

(forrás:https://qph.fs.quoracdn.net/main-qimg-695f41e4af1545b140b56d25f446b6b9-c)
A gömb átmérője a kocka testátlójával egyenlő.

$f = a*sqrt(3)$

$R = f/2 = a*sqrt(3)/2$

3. Feladat:

Kúpba gömb

Egy egyenes kúp alapkörének átmérője 10 egység, minden alkotója 13 egység.
Számítsuk ki annak a gömbnek a sugarát, amely a kúp belsejében van és érinti a kúp alaplapját és minden alkotóját (ezt nevezzük beírt gömbnek)!
Mekkora a gömb felszíne, térfogata?

Megoldás:
Ábra:
Vágjuk ketté a gömböt tartalmazó kúpot.
A síkmetszetek: egyenlő szárú háromszög és főkör.

Feladatok:
1. A kúp alapkörének átmérőjéből határozzuk meg a kúp sugarát!

$d_k = 2*r_k$ (1.)

$r_k = d_k/2 = 10/2 = 5$
2. A sugár és az alkotó ismeretében számoljuk ki Pitagorasz-tétellel a kúp magasságát!

$r_k^2 + m_k^2 = a_k^2$ (2.)

$m_k^2 = a_k^2 - r_k^2$

$m_k^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$m_k = sqrt(144) = 12$
3. Hasonlóság segítségével határozzuk meg a gömb sugarát!
CVB△∼OEC△ (Szögeik egyenlők):
Arányok:

$r_g/r_k = (m_k - r_g)/a_k$ (3.) kényszerfeltétel

$r_g/5 = (12-r_g)/13$

$13*r_g = 5*(12-r_g)$

$13*r_g = 60 -5*r_g$

$18*r_g = 60$

$r_g = 60/18 = 10/3$
4. Határozzuk meg a gömb felszínét!

$A_g = 4*r_g^2*pi$ (4.)

$A_g = 4*(10/3)^2*3,14 = 139,63$
5. Határozzuk meg a gömb térfogatát!

$V_g = 4/3*r_g^3*pi$ (5.)

$V_g = 4/3*(10/3)^3*3,14 = 155$

4. feladat:

Gúlába gömb

Hatoldalú szabályos gúla alapélei 8 egység hosszúak, magassága 11 egység.
Számítsuk ki annak a gömbnek a sugarát, amely a gúla belsejében van és érinti minden lapját (ezt nevezzük beírt gömbnek)!

Megoldás:
Előlnézeti kép:

Feladatok:
1. Határozzuk meg az alaplapi szabályos kis háromszög magasságát (

$m_(ah)$ )!

$m_(ah) = a_(ah)*sqrt(3)/2$ (1.) szabályos háromszög

$m_(ah) = 4*sqrt(3) cm$
2. Határozzuk meg az oldallapi egyenlő szárú nagy háromszög magasságát (

$m_(oh)$ )!

$m_(ah)^2 +m_g^2 =m_(oh)^2$ (2.)

$m_(oh) =sqrt(121+16*3) = 13cm$

Keresztmetszeti kép:

Hasonlóság:
kicsi befogó : nagy befogó = kicsi átfogó : nagy átfogó

$r_g/m_(ah)=(m_g-r)/m_(oh)$ (3.) kényszerfeltétel

$r/(4*sqrt(3))=(11-r)/13$

$13*r = 44*sqrt(3) - 4*sqrt(3)*r$

$(13-4*sqrt(3))*r=44*sqrt(3)$

$r=(44*sqrt(3))/(13-4*sqrt(3))$

$r=(44*13*sqrt(3)+44*4*3)/(169-48)=$

$=(4*13*sqrt(3)+16*3)/11=(52*sqrt(3)+48)/11$

$r=3,82cm$

5. feladat:

Gömbből gömb

Olyan fél kg tömör vasgolyót tervezünk, amely belül üres, falvastagsága mindenütt egyenlő, külső átmérője 12 cm.
Mekkora legyen a falvastagsága?
(a vas sűrűsége 7,86 g/cm³).

Megoldás:
Feladatok:
1. Határozzuk meg a külső sugár értékét!

$r_k = d_k/2$

$r_k = 12/3 = 6cm$
2. Határozzuk meg a belső sugár értékét!

$r_b = r_k - x$

Keresztmetszeti ábra:

3. Írjuk fel a golyó térfogatképletét!

$V_(golyó)=V_(külső)-V_(belső)$

$V_g = 4/3*r_k^3*pi -4/3*(r_k -x)^3*pi$

$V_g = 4/3*3,14*(6^3 - (6-x)^3)$

4. Fejezzük ki a golyó térfogatát a tömeg és a sűrűség segítségével!
m = 0,5kg = 500g
ϱ = 7,86 g/cm³

$ϱ = m/V$

$V=m/ϱ$

$V_g = 500/(7,86)$

5. A két mennyiség egyenlőségéből számoljuk ki az x-et!

$4/3*3,14*(6^3 - (6-x)^3) = 500/(7,86)$

$6^3 - (6-x)^3 = (500*3)/(7,86*4*3,14)$

$216 - (6-x)^3 = 15,19$

$(6-x)^3 = 200,81$
6-x=5,86
x=6-5,86 = 0,15cm

6. Feladat:

Hengerbe gömb

Egy 15cm magas henger alakú pohár alapkörének sugara 4cm.
A pohár félig van vízzel.
Mennyivel emelkedik a víz szintje, ha beledobunk egy 2cm sugarú acélgolyót?

A megoldás menete:
1. A golyó a saját térfogatának megfelelő térfogatú vízet szorít ki. (Vg=Vh)
2. Számoljuk ki a golyó térfogatát! (Vg = ?)
3. Legyen az vízszintemelkedés mértéke = x
4. A henger térfogatképletébe behelyettesítve határozzuk meg az x értékét!

Megoldás:

$V_g =4/3*2^3*3,14 = 33,49cm^3$

$V_h =4^2*3,14*x$

$V_g=V_h$
50,24*x = 33,49
x = 0,67cm

Házi feladatok

1. A Föld felszínének 70,8%-a víz. Mekkora a szárazföld területe, ha a bolygónkat 6380km sugarú gömbnek tekintjük?

2. Hány liter levegő fér egy 41cm átmérőjű strandlabdába?

3. Egy 50cm sugarú, 75cm magas henger alakú edényben viasz van, amelyekből 7cm sugarú gömb alakú gyertyákat öntünk. Hány db készítéséhez van elegendő alapanyagunk?

3.7. A csonkagúla és a csonkakúp

zanza.tv

1. Csonka alakzatok származtatása:

A csonka testeket csonkolással származtatjuk, tehát a hagyományos testekett az alaplap síkjával párhuzamosan metszük el.

2. Csonka alakzatok jellemzői

Alapvető paraméterek:

T = alaplap területe
t = fedőlap területe
P = palást területe

$1. color(red)(A = T + t + P)$

$2. color(red)(V = ((T + sqrt(T*t) + t)*m)/3)$

3. Csonka kúp jellemzői:

alpha = a kúp nyílásszögének a fele.

Képletek:
1.

$color(red)((R - r)^2 + m^2 = a^2)$

$A = T + t + P$

$T = R^2*pi$

$t = r^2*pi$

$P = (R + r)*a$
2.

$color(red)(A = R^2*pi + r^2*pi + (R + r)*a)$

$V=((t+sqrt(t*T)+T)*m)/3$
3.

$color(red)(V = ((R^2 + R*r + r^2)*pi*m)/3)$
4.

$color(red)(tg alpha = (R-r)/m)$

Feladatok

Csonkakúp:
R = 5
r = 3
m = 7
a = ? A = ? V = ?

1.Egy csonka kúp alakú víztároló tartály adatai:
magasság = 15m
alapkör átmérője = 8m
fedőlap átmérője = 24m.
Mennyi a víz térfogata száz köbméterekre kerekítve?

Megoldás:
R = 12m
r = 4m
m = 15m
V = ?

V = m³

2. Egy csonka kúp alakú torony
magassága 8 méter,
alapkörének átmérője 10 méter,
fedőlapja 7,5 méter.
Mekkora szöget zár be a torony fala a vízszintessel?
(A megoldást egész fokokban kell megadni!)

Adatok:
m = 8 méter
R = 10/2 = 5 méter
r = 7,5/2 = 3,75 méter

$alpha' = ?$
α' = °

4. Négyzetes csonka gúla jellemzői:

Képletek:
1.

$color(red)((a/2 - c/2)^2 + m^2 = m_o^2)$
2.

$color(red)(((a*sqrt(2))/2 - (c*sqrt(2))/2)^2 + m^2 = b^2)$

$T=a^2$

$t=c^2$

$P=4*T_(tr)$

$T_(tr)=((a + c)*m_o)/2$

$A = T + t + P$

$A = a^2 + c^2 + 4*((a + c)*m_o)/2$
3.

$color(red)(A = a^2 + c^2 + 2*(a + c)*m_o)$

$V=((t+sqrt(t*T)+T)*m)/3$
4.

$color(red)(V = ((a^2 + a*c + c^2)*m)/3)$
5.

$color(red)(tg alpha = (a/2-b/2)/m)$
6.

$color(red)(tg beta = (a*sqrt(2)/2-b*sqrt(2)/2)/m)$

Feladatok

Csonkagúla:
Alapfeladat:
a = 5
c = 3
m = 7
m_o = ? b = ? A = ? V = ?

1. Szabályos négyoldalú csonka gúla:
alaplap oldaléle 16cm,
fedőlap oldaléle 10cm,
magassága 14cm.
Számoljuk ki a felszínét!
(Megoldások egész értékre kerekítettek!)

Adatok:
a = 16cm
c = 10cm
m = 14cm
mo = ? A =?
mo = cm
A = cm^2