zanza.tv
1. A mértani sorozat fogalma, jellemzői
Azokat a sorozatokat, amelyekben a második tagtól kezdve minden tag az előző elem ugyanannyi-szorosa, mértani sorozatnak nevezzük.Azt is mondhatjuk, hogy a mértani sorozatban a szomszédos tagok hányadosa állandó.
Ez az állandó a mértani sorozat kvóciense, jele q.
A definícióból következik, hogy a mértani sorozatnak egyik eleme sem lehet nulla, mert nullával nem oszthatunk.
Emiatt a hányados is nullától különböző szám.
2. A mértani sorozatra vonatkozó képletek
n-edik tag:1. an=a1⋅qn-1
első n tag összege:
Ha q nem 1, akkor
2. Sn=a1⋅qn-1q-1
(Ügyeljünk a q kitevőjére!)
Ha q = 1, akkor
Sn=n⋅q
3. Alapfeladatok
Lássunk néhány példát!Az egy, négy, tizenhat, hatvannégy számok egy olyan mértani sorozat tagjai, amelynek az első eleme egy, a hányadosa négy.
A száz, húsz, négy, négy ötöd, négy huszonötöd számok szintén mértani sorozatot alkotnak.
Ennek a kvóciense egy ötöd.
Mivel egyenlő annak a mértani sorozatnak a tizedik tagja, amelynek az első tagja három, a kvóciense kettő?
A képzési szabály szerint a második tag háromszor kettő, vagyis hat. A harmadik tag hatszor kettő, azaz tizenkettő. Ezt úgy is felírhatjuk, hogy háromszor kettő a négyzeten. Hasonlóan a negyedik tag háromszor kettő a harmadikon, az ötödik háromszor kettő a negyediken. Biztosan látod már a szabályt: a tizedik tag háromszor kettő a kilencediken lesz, vagyis ezerötszázharminchat.
A példa alapján megfogalmazhatjuk a mértani sorozatok egyik fontos képletét: ha ismerjük az első tagot és a kvócienst, bármelyik tag kiszámolható.
Az n-nedik tag a1-szer q az n mínusz egyediken.
Egy mértani sorozat ötödik tagja húsz, a hányadosa mínusz három.
Mennyi az első és a második eleme?
Alkalmazzuk az előbbi összefüggést!
Behelyettesítünk, majd osztunk nyolcvaneggyel.
Az első tag húsz nyolcvanegyed, a második ennek a mínusz háromszorosa, mínusz húsz huszonheted. Ez egy olyan sorozat, amelyben a tagok váltakozó előjelűek.
Módosítsuk úgy a feladatot, hogy az első és az ötödik tagot ismerjük, és a hányadost keressük!
Az n-edik tag képletébe behelyettesítünk, majd osztunk kettővel.
Melyik szám negyedik hatványa a tíz?
Negyedik gyökvonással kapjuk meg a választ.
Két megoldásunk van, mert a kapott szám ellentettjének is tíz a negyedik hatványa.
Gyakran találkozol olyan feladatokkal, ahol a mértani sorozat tagjainak összegét kell kiszámolni.
Itt van például a búzaszemek száma.
A rádzsa hozatott egy zsák búzát, az azonban hamar elfogyott.
Hány szem búza kellett volna?
Össze kell adni annak a mértani sorozatnak hatvannégy tagját, amelyben az első elem egy, a hányados kettő.
Ha a kapott egyenletet megszorozzuk kettővel, majd a második egyenletből kivonjuk az elsőt, megkapjuk a keresett összeget: kettő a hatvannegyediken mínusz egy.
Ez egy húszjegyű szám.
Minden olyan mértani sorozat összegét ki lehet számolni hasonlóan, amely nem állandó, tehát a hányadosa egytől különböző.
A képlet a következő:
a1-szer q az n-ediken mínusz egy per q mínusz egy.
Ha a hányados egyenlő eggyel, akkor minden tag egyenlő az elsővel, az összeg n-szer a1.
Számítsuk ki annak a mértani sorozatnak a hatodik tagját és az első hat tagjának az összegét, amelynek első eleme mínusz kettő, a hányadosa egy egész öt tized!
A hatodik tag az n-edik tagra vonatkozó képlettel számolható ki, értéke mínusz tizenöt egész ezernyolcszázhetvenöt tízezred.
Az összegképlet alapján s6 mínusz negyvenegy egész ötezer-hatszázhuszonöt tízezred.
Térjünk vissza a bevezető történethez!
Ha annyi szem búzát vagonokba raknánk, amennyit a sakk feltalálója kért, akkor a szerelvény elérne a Napig.
Természetesen a brahmin kívánságát nem lehetett teljesíteni, összesen, sok ezer év alatt sem termett ennyi búza a Földön.
Feladatok:
Három tizedes jegyre pontosan kerekíts!
1.
a1 = 10
q = 0,5
a5 = ? 0,625
S5 = ? 19,375
2.
a1 = 5
q = -0,2
a5 = ? 0,008
S5 = ? 4,168
3.
a1 = -12
q = 3
a5 = ? -972
S5 = ? -1452
4.
a1 = -729
q = -1/3
a5 = ? -9
S5 = ? -549
5.
a1 = 2
q = 10
a5 = ? 20000
S5 = ? 22222
1. Egy trópusi lián hossza minden héten a másfélszeresére nő.
Hány méter hosszú lesz 6 hét múlva, ha most 160 centiméteres?
Vegyük észre, hogy a lián hossza egy mértani sorozat szerint változik. A sorozat első tagját és kvóciensét ismerjük. Hányadik tagját keressük? Vigyázz, nem a hat a helyes válasz! A kezdeti hossz az első tag, a hossz egy hét múlva a második tag, két hét múlva a harmadik tag, és így tovább, tehát hat hét után a sorozat hetedik tagját kapjuk. Az n-edik tag képletébe kell behelyettesítenünk.
Hány hét alatt nő meg ez a növény 40 méter hosszúra?
Most azt keressük, hogy a mértani sorozat hányadik tagja negyven méter, azaz 4000 centiméter. A képletbe behelyettesítve exponenciális egyenletet kapunk. Ha a 4000-et elosztjuk 160-nal 25-öt kapunk. Azt, hogy hányadik hatványa a másfélnek a 25, akkor tudjuk kiszámolni, ha az n-et valahogy „levarázsoljuk” a kitevőből. Ezt úgy tudjuk elérni, ha vesszük az egyenlet mindkét oldalának a tízes alapú logaritmusát. A logaritmus egyik azonossága szerint a hatvány logaritmusa egyenlő a kitevőnek és az alap logaritmusának a szorzatával. „Enre” így nyolc egész kilenc-tizedet kapunk. Azonban „en” értéke csak pozitív egész szám lehet, így a kapott értéket kilencre kerekítjük. Figyelembe véve, hogy a kezdeti hossz a sorozat első tagja, a válaszunk a kérdésre az, hogy 8 hét alatt éri el a lián a 40 méteres hosszúságot.
2. Bence, Dorián és Marci a helyi focicsapatban játszanak. A bajnokság végén megbeszélik, ki hány gólt lőtt összesen. Marci észreveszi, hogy a három szám egy mértani sorozat három egymást követő eleme. Bence szerezte a legkevesebb gólt, négyet, Dorián rúgta a legtöbbet, és tudjuk, hogy hárman együtt 19-szer találtak be a kapuba. Hány gólt lőtt Dorián és Marci?
Felírjuk az adatokat. A 4 a mértani sorozat első tagja, az első három tag összege 19. A második és harmadik tagot keressük. A kiszámításukhoz szükség van a kvóciensre, először ezt határozzuk meg! Ha csak két-három tag összege van megadva, nem érdemes az összegképletet használni. Másodfokú egyenletet kaptunk, nullára redukálás után alkalmazzuk a megoldóképletet! Ebben az esetben a negatív kvóciens nem jó, a gólok száma nem lehet negatív. A q tehát 1,5. Marci 6, Dorián 9 gólt lőtt az idei bajnokságban.
3. Biztosan te is kaptál már elektronikus „szerencselevelet”, amiben az áll, hogy ha meghatározott számú ismerősödnek továbbküldöd, akkor teljesül a kívánságod, egyébként pedig valami szörnyű tragédia vár rád. Egy ilyen levél írója először öt embernek küldte el az üzenetet és feltételezzük, hogy mindenki egy napon belül továbbküldi öt ismerősének, akik hasonlóan járnak el. Hány nap alatt kapná meg Magyarország mind a tízmillió lakosa a levelet?
Számoljunk úgy, hogy senki sem kapja meg kétszer az üzenetet és nincsenek külföldi címzettek! Itt is mértani sorozattal állunk szemben. Ennek az első tagja és a hányadosa is 5. A tagok összege tízmillió. Az n a kérdés. Rövid átalakítás után ismét exponenciális egyenlethez jutottunk. Logaritmus alkalmazásával az n 9,9 lesz. Ez azt jelenti, hogy tíz nap alatt mindenkihez eljutna az üzenet Magyarországon. Természetesen a láncleveleket, így a szerencseleveleket sem kell továbbküldeni, a kukában a helyük.
4. Az utóbbi években jelentősen megnőtt az internetet használók száma Magyarországon is. 2004 és 2011 között vizsgálva az internet-előfizetések számát, jó közelítéssel mértani sorozatot kapunk. 2006 végén 1,3 millió, 2011-ben már 4,3 millió internet-előfizetés volt az országban. Hány internet-előfizetés volt 2004-ben és mennyi volt 2012 végén, ha így folytatódott a növekedés?
A 2004-es adat a mértani sorozat első tagja, ezt keressük. A 2006-hoz tartozó szám a harmadik tag, a 2011-es érték pedig a nyolcadik. Két egyenletet írhatunk fel, amelyekben az első tag és a kvóciens az ismeretlenek. A mértani sorozatos feladatokban gyakran célszerű elosztani az egyenleteket egymással. Itt is ezt tesszük. Ötödik gyököt kell vonnunk a kapott számból, ez lesz a sorozat hányadosa. Kerekítsük az eredményt századra! Ezután az első tagot úgy kapjuk meg, ha valamelyik egyenletbe behelyettesítjük a q-t. A 2012-es érték a sorozat kilencedik tagja, ezt is kiszámoljuk. A valós adat 2012-ben ennél egy kicsit több volt, 5,456 (öt egész négyszázötvenhat ezred) millió.
125 (250) (500) (1000)
(25)(50)(100)(200)
(5)(10)(20)(40)
1(2)(4)8
