1. Bevezetés:
A kétváltozós logikai műveletek közül említésre méltó az implikáció és az ekvivalencia, amely a halmazelméletben a részhalmazoknak és a halmazok egyenlőségének felel meg.
2. Következtetés (implikáció)
Kulcsszavak: HA ..., AKKOR
Ha esek az eső, akkor esernyőt viszek magammal.
HA A, AKKOR B.
A → B
A = Feltétel
B = Következmény
Ha esek az eső, akkor esernyőt viszek magammal.
HA A, AKKOR B.
A → B
A = Feltétel
B = Következmény
Igazságtáblázat:
| A | B | A → B |
| i | i | i |
| i | h | h |
| h | i | i |
| h | h | i |
Az implikáció csak akkor hamis, ha a feltétel igaz, de a következmény hamis.
Legyen A halmaz a B halmaz részhalmaza.
pl.
Ha egy szám osztható hattal, akkor osztható 2-vel is.
A = hattal osztható számok halmaza (szűkebb halmaz)
B = kettővel osztható számok halmaza (tágabb halmaz).
i = benne van a halmazban
h = nincs benne a halmazban.
Legyen A halmaz a B halmaz részhalmaza.
pl.
Ha egy szám osztható hattal, akkor osztható 2-vel is.
A = hattal osztható számok halmaza (szűkebb halmaz)
B = kettővel osztható számok halmaza (tágabb halmaz).
i = benne van a halmazban
h = nincs benne a halmazban.
1. eset: (i i i)
Ha egy szám benne van a szűkebb halmazban, akkor benne van a tágabban is.
(pl. 6 )
2. eset: (i h h)
Ha egy szám benne van a szűkebb halmazban, akkor nem lehetséges, hogy a tágabban ne lenne benne.
(pl 6)
Ha egy szám benne van a szűkebb halmazban, akkor benne van a tágabban is.
(pl. 6 )
2. eset: (i h h)
Ha egy szám benne van a szűkebb halmazban, akkor nem lehetséges, hogy a tágabban ne lenne benne.
(pl 6)
3. eset: (h i i)
Ha egy szám nincs benne a szűkebb halmazban, attól még lehet, hogy a tágabban bene van.
(pl. 4)
4. eset: (h h i)
Ha egy szám nincs benne a szűkebb halmazban, attól még lehet, hogy a tágabban sincs benne.
(pl. 3)
Ha egy szám nincs benne a szűkebb halmazban, attól még lehet, hogy a tágabban bene van.
(pl. 4)
4. eset: (h h i)
Ha egy szám nincs benne a szűkebb halmazban, attól még lehet, hogy a tágabban sincs benne.
(pl. 3)
Az implikáció kifejezhető negációval és diszjunkcióval:
A → B = ¬A ∨ B
A → B = ¬A ∨ B
3. Vizsgáljuk meg A és B egymáshoz való viszonyát!
A elégséges (további vizsgálatot nem igénylő) feltétele B-nek: túlszűkítés miatt. (Kimaradó esetek lehetnek.)
B szükséges (további vizsgálatot igénylő) feltétele A-nak: a túltágítottság miatt. (Nem megfelelő esetek is lehetnek.)
A 6-tal való oszthatóság a 2-vel való oszthatóságnak elégséges feltétele: A 2-vel való oszthatósághoz elég tudnunk, hogy a szám osztható 6-tal, további vizsgálat nem szükséges. Kimaradó eset: pl. 4.
A 2-vel való oszthatóság a 6-tal való oszthatóságnak szükséges feltétele: Ha egy számról tudjuk, hogy osztható kettővel, akkor még további vizsgálatra van szükség, ahhoz, hogy eldöntsük, hogy a szám osztható-e hattal. Nem megfelelő eset: pl. 4.
A 2-vel való oszthatóság a 6-tal való oszthatóságnak szükséges feltétele: Ha egy számról tudjuk, hogy osztható kettővel, akkor még további vizsgálatra van szükség, ahhoz, hogy eldöntsük, hogy a szám osztható-e hattal. Nem megfelelő eset: pl. 4.
4. Megfordítás:
Ha egy implikáció esetén megcseréljük a feltételt és a következményt, akkor az állítás megfordításához jutunk.
Ha egy állítás igaz, abból még nem következik, hogy a megfordítása igaz lenne.
Ha egy állítás igaz, abból még nem következik, hogy a megfordítása igaz lenne.
5. Ekvivalencia
Jele: A ↔ B
Az oda vissza nyíl azt fejezi ki, hogy az állítás és a megfordítása is igaz:
A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A)
Az oda vissza nyíl azt fejezi ki, hogy az állítás és a megfordítása is igaz:
A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A)
Igazságtáblázat:
| A | B | A ↔ B |
| i | i | i |
| i | h | h |
| h | i | h |
| h | h | i |
Az ekvivalencia akkor igaz, ha az A is és a B is igaz, vagy A is és a B is hamis.
Az ekvivalencia a halmazok egyenlőségének felel meg.
A és B egymás szükséges és elégséges feltételei egymásnak.
Egy tétel kimondásánál úgy érzékeltethetjük, hogy a tétel megfordítása is igaz, hogy használjuk a megfogalmazásban az "akkor és csakis akkor" kifejezést.
Az ekvivalencia a halmazok egyenlőségének felel meg.
A és B egymás szükséges és elégséges feltételei egymásnak.
Egy tétel kimondásánál úgy érzékeltethetjük, hogy a tétel megfordítása is igaz, hogy használjuk a megfogalmazásban az "akkor és csakis akkor" kifejezést.
