Összetett feladatok:
A. Számtani és mértani formalizált sorozatok:
3. (13.5.13.)a) Egy számtani sorozat első tagja 2, első hét tagjának összege 45,5.
Adja meg a sorozat hatodik tagját!
Teendők:
1. Alkalmazzuk az Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n képletet!
2. d = ?
3. a6=?
1. Alkalmazzuk az Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n képletet!
2. d = ?
3. a6=?
b) Egy mértani sorozat első tagja 5, második és harmadik tagjának összege 10.
Adja meg a sorozat első hét tagjának az összegét!
Teendők:
1. A sorozat hányadosát q-val jelölve az egyenlet = ?
2. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
3. Első megoldás esetén: S7=?
4. Második megoldás esetén: S7=?
1. A sorozat hányadosát q-val jelölve az egyenlet = ?
2. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
3. Első megoldás esetén: S7=?
4. Második megoldás esetén: S7=?
4. (15.10.13.)
Egy számtani sorozat három egymást követő tagja ebben a sorrendben 32; a és 18.
a) Határozza meg az a értékét és a sorozat differenciáját!
Teendők:
1. d = ?
2. a = ?
1. d = ?
2. a = ?
Egy mértani sorozat három egymást követő tagja ebben a sorrendben 32; b és 18.
b) Határozza meg a b értékét és a sorozat hányadosát!
Teendők:
1. q = ?
2. b = ?
1. q = ?
2. b = ?
8. (16.5.15.)
A kereskedelemmel foglalkozó cégek között több olyan is van, amely állandóan emelkedő
fizetéssel jutalmazza a dolgozók munkavégzését. Péter munkát keres, és két cég ajánlata
közül választhat:
I. ajánlat: Az induló havi fizetés 200 000 Ft, amit havonta 5000 Ft-tal emelnek négy éven át.
II. ajánlat: Az induló havi fizetés 200 000 Ft, amit havonta 2%-kal emelnek négy éven át.
a) Melyik ajánlatot válassza Péter, ha tervei szerint négy évig a választott munkahelyen akar dolgozni, és azt az ajánlatot szeretné választani, amelyik a négy év alatt nagyobb összjövedelmet kínál?
I. ajánlat: Az induló havi fizetés 200 000 Ft, amit havonta 5000 Ft-tal emelnek négy éven át.
II. ajánlat: Az induló havi fizetés 200 000 Ft, amit havonta 2%-kal emelnek négy éven át.
a) Melyik ajánlatot válassza Péter, ha tervei szerint négy évig a választott munkahelyen akar dolgozni, és azt az ajánlatot szeretné választani, amelyik a négy év alatt nagyobb összjövedelmet kínál?
Teendők:
1. Első ajánlat (számtani sorozat): S48=?
2. Második ajánlat (mértani sorozat): S48=?
3. Összehasonlítás!
1. Első ajánlat (számtani sorozat): S48=?
2. Második ajánlat (mértani sorozat): S48=?
3. Összehasonlítás!
14.(10.10.16.)
a) Egy számtani sorozat első tagja –7, a nyolcadik tagja 14.
Adja meg n lehetséges értékeit, ha a sorozat elsőn tagjának összege legfeljebb 660.
Adja meg n lehetséges értékeit, ha a sorozat elsőn tagjának összege legfeljebb 660.
b) Egy mértani sorozat első tagja ugyancsak –7, a negyedik tagja –189.
Mekkora az n, ha az elsőn tag összege –68 887?
Mekkora az n, ha az elsőn tag összege –68 887?
5.(16.10.14.)
Andrea és Gabi közösen, de különböző edzésmódszerrel készülnek egy futóversenyre. A felkészülés első hetében mindketten 15 km-t, a felkészülés tizenegyedik (11.) hetében pedig már mindketten 60 km-t futnak.
Andrea hétről hétre ugyanannyi kilométerrel növeli a lefutott táv hosszát.
a) Hány kilométerrel fut többet hétről hétre Andrea?
Teendők:
1. d = ?
1. d = ?
b) Hány kilométert fut Andrea a 11 hét alatt összesen?
Teendők:
1. Összegképlet alkalmazása!
1. Összegképlet alkalmazása!
Gabi hétről hétre ugyanannyi százalékkal növeli a lefutott táv hosszát.
c) Hány százalékkal fut többet hétről hétre Gabi?
Teendők:
1. q = ?
2. Válaszadás!
1. q = ?
2. Válaszadás!
17. (14.10.16)
Egy számtani sorozat első tagja 56, differenciája –4.
a) Adja meg a sorozat első 25 tagjának összegét!
a) Adja meg a sorozat első 25 tagjának összegét!
b) Számítsa ki az n értékét és a sorozat n-edik tagját, ha az elsőn tag összege 408.
Egy mértani sorozat első tagja 1025, hányadosa 0,01.
c) Hányadik tagja ennek a sorozatnak a 100 000?
c) Hányadik tagja ennek a sorozatnak a 100 000?
28. (14.05.15.)
a) Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3. A sorozat első n tagjának
összege 440. Adja meg n értékét!
Teendők:
1. A szöveg alapján felírható egyenlet: Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n.
2. Megoldandó másodfokú egyenlet = ?
3. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
1. A szöveg alapján felírható egyenlet: Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n.
2. Megoldandó másodfokú egyenlet = ?
3. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
b) Egy mértani sorozat első tagja 5, hányadosa 1,2. Az első tagtól kezdve legalább
hány tagot kell összeadni ebben a sorozatban, hogy az összeg elérje az 500-at?
Teendők:
1. Használjuk: Sn=a1⋅qn-1q-1.!
2. Egyszerűsítsünk!
3. Mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát véve!
4. Rendezzük az egyenletet!
5. n = ?
1. Használjuk: Sn=a1⋅qn-1q-1.!
2. Egyszerűsítsünk!
3. Mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát véve!
4. Rendezzük az egyenletet!
5. n = ?
9. (19.10.15.a)
a) Egy számtani sorozat első és harmadik tagjának összege 8.
A sorozat harmadik, negyedik és ötödik tagjának összege 9.
Adja meg a sorozat első tíz tagjának összegét!
A sorozat harmadik, negyedik és ötödik tagjának összege 9.
Adja meg a sorozat első tíz tagjának összegét!
Teendők:
1. Az első feltételből határozzuk meg a második tagot: a2=a1+a32
2. A második feltételből határozzuk meg a negyedik tagot: a4+a4+a4=a3+a4+a5
3. A második és negyedik tag ismeretében az első tag és a differencia meghatározható.
4. Képlettel számoljuk ki az S10 értékét!
1. Az első feltételből határozzuk meg a második tagot: a2=a1+a32
2. A második feltételből határozzuk meg a negyedik tagot: a4+a4+a4=a3+a4+a5
3. A második és negyedik tag ismeretében az első tag és a differencia meghatározható.
4. Képlettel számoljuk ki az S10 értékét!
20.(05.05.14.)
Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21.
a) Mekkora az első 150 tag összege?
a) Mekkora az első 150 tag összege?
Teendők:
1. A differencia = két egymást követő tag különbsége!
2. Tudjuk hogy a1=a2-d=?
3. Tudjuk, hogy a150=a1+(n-1)⋅d=?
4. Tudjuk, hogy S150=a1+a1502⋅n=?
1. A differencia = két egymást követő tag különbsége!
2. Tudjuk hogy a1=a2-d=?
3. Tudjuk, hogy a150=a1+(n-1)⋅d=?
4. Tudjuk, hogy S150=a1+a1502⋅n=?
27. (12.06.13.)
Egy számtani sorozat tizedik tagja 10, a különbsége 4.
a) Pali azt állítja, hogy a sorozat tizedik tagjának kettes számrendszerbeli alakja 1011. Indokolja vagy cáfolja Pali állításának helyességét!
a) Pali azt állítja, hogy a sorozat tizedik tagjának kettes számrendszerbeli alakja 1011. Indokolja vagy cáfolja Pali állításának helyességét!
Teendők:
1. Átváltás!
2. Eredményközlés!
1. Átváltás!
2. Eredményközlés!
b) Mekkora a sorozat első tagja?
Teendők:
1. Helyettesítsünk be az általános tag képletébe!
2. a1=?
1. Helyettesítsünk be az általános tag képletébe!
2. a1=?
c) Határozza meg a sorozat legkisebb három számjegyű tagját! Hányadik tagja ez
a sorozatnak?
Teendők:
1. Helyettesítsünk be az általános tag képletébe!
2. n = ?
3. an=?
1. Helyettesítsünk be az általános tag képletébe!
2. n = ?
3. an=?
d) Hány elemű az a halmaz, amelyet ezen számtani sorozat kétjegyű pozitív tagjai
alkotnak?
Teendők:
1. Az első és utolsó megfelelő tag = ?
2. A halmaz elemszáma = ?
1. Az első és utolsó megfelelő tag = ?
2. A halmaz elemszáma = ?
22. (05.07.15.)
Egy számtani sorozat első tagja 5, második tagja 8.
a) Adja meg a sorozat 80. tagját!
a) Adja meg a sorozat 80. tagját!
Teendők:
1. differencia = két egymást követő tag különbsége = ?
2. A 80. tag meghatározásához használjuk az an=a1+(n-1)⋅d képletet!
1. differencia = két egymást követő tag különbsége = ?
2. A 80. tag meghatározásához használjuk az an=a1+(n-1)⋅d képletet!
b) Tagja-e a fenti sorozatnak a 2005? (Válaszát számítással indokolja!)
Teendők:
1. Ha egész számra jön ki az n értékének meghatározása, akkor tagja!
2. Válasz a kérdésre= ?
1. Ha egész számra jön ki az n értékének meghatározása, akkor tagja!
2. Válasz a kérdésre= ?
c) A sorozat első n tagját összeadva az összeg 1550. Határozza meg n értékét!
Teendők:
1. Alkalmazzuk az Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n képletet!
2. Szorozzunk 2-vel és bontsuk fel a zárójelet!
3. Rendezzünk nullára!
4. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
5. Ellenőrizzünk!
1. Alkalmazzuk az Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n képletet!
2. Szorozzunk 2-vel és bontsuk fel a zárójelet!
3. Rendezzünk nullára!
4. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
5. Ellenőrizzünk!
29.(15.06.15.)
c) Adott az a mértani sorozat, melynek n-edik tagja: an=3⋅2n-1.
Számítsa ki a sorozat első 10 tagjának összegét!
Számítsa ki a sorozat első 10 tagjának összegét!
Teendők:
1. Az általános képletből (an=a1⋅qn-1) a1 és q értéke meghatározható!
2. Helyettesítsünk be az összegképletbe: Sn=a1⋅qn-1q-1!
1. Az általános képletből (an=a1⋅qn-1) a1 és q értéke meghatározható!
2. Helyettesítsünk be az összegképletbe: Sn=a1⋅qn-1q-1!
B. Számjegyes formalizált feladat:
21. (05.06.14.)
a) Iktasson be a 6 és az 1623 közé két számot úgy, hogy azok a megadottakkal együtt
egy számtani sorozat szomszédos tagjai legyenek!
Teendők:
1. Alkalmazzuk az 1623-ra az an=a1+(n-1)⋅d képletet!
2. Határozzuk meg a d értékét!
3. Az első beiktatott szám = ?
4. A második beiktatott szám = ?
1. Alkalmazzuk az 1623-ra az an=a1+(n-1)⋅d képletet!
2. Határozzuk meg a d értékét!
3. Az első beiktatott szám = ?
4. A második beiktatott szám = ?
b) Számítsa ki a 6 és az 1623 közötti néggyel osztható számok összegét!
Teendők:
1. A feltételeknek megfelelő első szám = ?
2. A feltételeknek megfelelő utolsó szám = ?
3. A számtani sorozat differenciája = ?
4. Alkalmazzuk az 1623-ra az an=a1+(n-1)⋅d képletet!
5. n = ?
6. Alkalmazzuk Sn=a1+an2⋅n képletet!
1. A feltételeknek megfelelő első szám = ?
2. A feltételeknek megfelelő utolsó szám = ?
3. A számtani sorozat differenciája = ?
4. Alkalmazzuk az 1623-ra az an=a1+(n-1)⋅d képletet!
5. n = ?
6. Alkalmazzuk Sn=a1+an2⋅n képletet!
6. (06.2.15.)
Összeadtunk ötvenöt egymást követő pozitív páratlan számot, az összeg értéke 3905.
a) Melyik volt az összegben az első, illetve az ötvenötödik páratlan szám?
Teendők:
1. Alkalmazzuk az Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n képletet!
2. Határozzuk meg a1 értékét!
3. Határozzuk meg a55 értékét az an=a1+(n-1)⋅d képlettel!
4. Ellenőrizzünk!
1. Alkalmazzuk az Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n képletet!
2. Határozzuk meg a1 értékét!
3. Határozzuk meg a55 értékét az an=a1+(n-1)⋅d képlettel!
4. Ellenőrizzünk!
b) Melyik az összeadottak között a legkisebb olyan szám, amelynek a prímtényezős felbontásában két különböző prímszám szerepel, és a négyzete ötre végződik?
Teendők:
1. Próbáljuk ki a lehetséges értékeket, megfelelnek-e a feltételeknek!
1. Próbáljuk ki a lehetséges értékeket, megfelelnek-e a feltételeknek!
11.(07.5.18.)
a) Határozza meg azt a háromjegyű számot, amelyről a következőket tudjuk:
− számjegyei a felírás sorrendjében egy számtani sorozat egymást követőtagjai;
− a szám értéke 53,5-szerese a számjegyei összegének;
− ha kivonjuk belőle az első és utolsó jegy felcserélésével kapott háromjegyű számot, akkor 594 az eredmény.
− számjegyei a felírás sorrendjében egy számtani sorozat egymást követőtagjai;
− a szám értéke 53,5-szerese a számjegyei összegének;
− ha kivonjuk belőle az első és utolsó jegy felcserélésével kapott háromjegyű számot, akkor 594 az eredmény.
b) Sorolja fel azokat a 200-nál nagyobb háromjegyű számokat, amelyeknek számjegyei a felírás sorrendjében növekvő számtani sorozat tagjai!
C. Csak számtani szöveges feladatok
24.(08.06.13.)
Egy vállalat új termék gyártását kezdte el. Az első héten 200 darab termék készült el, a
további hetekben pedig az előző hetinél mindig 3-mal több.
a) Hány ilyen terméket gyártottak az indulástól számított 15. héten?
a) Hány ilyen terméket gyártottak az indulástól számított 15. héten?
Teendők:
1. Határozzuk meg a1 és d értékét!
2. Számtani sorozat a15 értékének meghatározása!
1. Határozzuk meg a1 és d értékét!
2. Számtani sorozat a15 értékének meghatározása!
b) Ebből a termékből összesen hány készül el egy év (52 hét) alatt, ha a termelés
végig így növekszik?
Teendők:
1. Számtani sorozat a52 értékének meghatározása!
2. Számtani sorozat S52 értékének meghatározása!
1. Számtani sorozat a52 értékének meghatározása!
2. Számtani sorozat S52 értékének meghatározása!
c) A kezdetektől számítva legalább hány hétnek kell eltelnie, hogy a vállalat erről a
termékről kijelenthesse: Az induláshoz képest megduplázódott a hetenként
előállított termékek száma.
Teendők:
1. A megduplázódott termékszám meghatározása!
2. Egyenlőtlenség felírása!
3. Egyenlőtlenség megoldása!
4. Eredmény közlése!
1. A megduplázódott termékszám meghatározása!
2. Egyenlőtlenség felírása!
3. Egyenlőtlenség megoldása!
4. Eredmény közlése!
23. (05.10.14.)
Egy kultúrpalota színháztermének a nézőtere szimmetrikus trapéz alaprajzú, a
széksorok a színpadtól távolodva rövidülnek. A leghátsó sorban 20 szék van, és
minden megelőző sorban 2-vel több, mint a mögötte lévőben. 500 diák és 10 kísérő
tanár pont megtöltik a nézőteret.
Hány széksor van a nézőtéren?
Hány széksor van a nézőtéren?
Teendők:
1. Gyűjtsük ki az ismert adatokat: a1;d;Sn!
2. Alkalmazzuk az Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n képletet!
3. Szorozzunk át kettővel és bontsuk fel a zárójleket!
4. Rendezzünk nullára!
5. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
6. Eredményközlés!
1. Gyűjtsük ki az ismert adatokat: a1;d;Sn!
2. Alkalmazzuk az Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n képletet!
3. Szorozzunk át kettővel és bontsuk fel a zárójleket!
4. Rendezzünk nullára!
5. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
6. Eredményközlés!
19. (17.10.18.)
Egy matematikaversenyen 25 feladatot kell a résztvevőknek megoldaniuk 75 perc alatt. A felkészülés során Vera azt tervezgeti, hogy mennyi időt töltsön majd a könnyebb fel-adatok megoldásával, és mennyi időt hagyjon a nehezebbekre. Az első feladatra 1 percet szán. A versenyfeladatok általában egyre nehezedő sorrendben vannak megadva; Vera ezt úgy veszi figyelembe a tervezésnél, hogy a második feladattól kezdve mindig ugyanannyival növeli az egyes feladatok megoldására fordítható időt. Vera a rendelkezésére álló teljes időtartamot szeretné kitölteni a feladatok megoldásával.
a) A terv szerint összesen mennyi időt szán Vera az utolsó 4 feladat megoldására?
a) A terv szerint összesen mennyi időt szán Vera az utolsó 4 feladat megoldására?
10.(06.10.16.)
Egy útépítő vállalkozás egy munka elkezdésekor az első napon 220 méternyi utat aszfaltoz le. A következő napon 230 métert, az azutánin 240 métert és így tovább: a munkások létszámát naponta növelve minden következő munkanapon 10 méterrel többet, mint az azt megelőző napon.
a) Hány méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon?
a) Hány méter utat aszfaltoznak le a 11-edik munkanapon?
b) Az összes aszfaltozandó út hossza ebben a munkában 7,1 km. Hányadik munkanapon készülnek el vele?
c) Hány méter utat aszfaltoznak le az utolsó munkanapon?
d) A 21-edik napon kétszer annyian dolgoztak, mint az első napon. Igaz-e az a feltételezés, hogy a naponta elkészült út hossza egyenesen arányos a munkások létszámával?
(Válaszát indokolja!)
(Válaszát indokolja!)
7. (15.5.15.)
Zsuzsa nagyszülei elhatározzák, hogy amikor unokájuk 18 éves lesz, akkor vásárlási
utalványt adnak neki ajándékba. Ezért Zsuzsa 18. születésnapja előtt 18 hónapon keresztül
minden hónapban félretesznek valamekkora összeget úgy, hogy Zsuzsa 18. születésnapján
éppen 90 000 forintjuk legyen erre a célra. Úgy tervezik, hogy az első alkalom
után mindig 200 forinttal többet tesznek félre, mint az előző hónapban.
a) Terveik szerint mennyi pénzt tesznek félre az első, és mennyit az utolsó alkalommal?
a) Terveik szerint mennyi pénzt tesznek félre az első, és mennyit az utolsó alkalommal?
Teendők:
1. Használjuk a számtani sorozat összegképletét!
2. a1=?
3. Határozzuk meg a 18. tagot!
4. Válaszadás!
1. Használjuk a számtani sorozat összegképletét!
2. a1=?
3. Határozzuk meg a 18. tagot!
4. Válaszadás!
1. (09.10.14.)
Angéla a pihenőkertjük egy részére járólapokat fektetett le. Az első sorba 8 járólap
került, minden további sorba kettővel több, mint az azt megelőzőbe. Összesen 858 járólapot használt fel.
a) Hány sort rakott le Angéla?
a) Hány sort rakott le Angéla?
Teendők:
1. Használjuk az Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n képletet!
2. Bontsuk fel a zárójelet!
3. Rendezzünk nullára!
4. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
5. Ellenőrizzünk!
1. Használjuk az Sn=2⋅a1+(n-1)⋅d2⋅n képletet!
2. Bontsuk fel a zárójelet!
3. Rendezzünk nullára!
4. Oldjuk meg a másodfokú egyenletet!
5. Ellenőrizzünk!
A járólapokat 225-ös csomagolásban árusítják. Minden csomagban bordó színű a
járólapok 16 %-a, a többi szürke. Angéla 4 csomag járólapot vásárolt. Csak bordó színű
lapokat rakott le az első és az utolsó sorba. Ezen kívül a többi sor két szélén levő
1-1 járólap is bordó, az összes többi lerakott járólap szürke.
b) Adja meg, hogy hány szürke és hány bordó járólap maradt ki a lerakás után!
b) Adja meg, hogy hány szürke és hány bordó járólap maradt ki a lerakás után!
Teendők:
1. A bordó járólapok száma = ?
2. A huszonhatodik sorba kerülő járólapok száma = ?
3. A burkolt rész peremére kerülő bordó járólapok száma = ?
4. Kimaradt bordó járólapok száma = ?
5. Kimaradt járólapok száma = ?
1. A bordó járólapok száma = ?
2. A huszonhatodik sorba kerülő járólapok száma = ?
3. A burkolt rész peremére kerülő bordó járólapok száma = ?
4. Kimaradt bordó járólapok száma = ?
5. Kimaradt járólapok száma = ?
2. (12.5.15.)
Az újkori olimpiai játékok megrendezésére 1896 óta kerül sor, ebben az évben tartották
az első (nyári) olimpiát Athénban. Azóta minden negyedik évben tartanak nyári olimpiát,
és ezeket sorszámmal látják el. Három nyári olimpiát (az első és a második világháború
miatt) nem tartottak meg, de ezek az elmaradt játékok is kaptak sorszámot.
a) Melyik évben tartották a 20. nyári olimpiai játékokat?
a) Melyik évben tartották a 20. nyári olimpiai játékokat?
Teendők:
1. Határozzuk meg sorozat 20. tagját!
1. Határozzuk meg sorozat 20. tagját!
b) Számítsa ki, hogy a 2008-ban Pekingben tartott nyári olimpiának mi volt a sorszáma!
Teendők:
1. Helyettesítsünk be az an=a1+(n-1)⋅d képletbe!
2. Eredményközlés!
1. Helyettesítsünk be az an=a1+(n-1)⋅d képletbe!
2. Eredményközlés!
A nyári olimpiák szervezőinek egyik fő bevételi forrása a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel. Rendelkezésünkre állnak a következő adatok (millió dollárban számolva):
Olimpia sorszáma | 20. | 22. |
Bevétel a televíziós jogok értékesítéséből | 75 | 192 |
Eszter úgy véli, hogy a televíziós jogok értékesítéséből származó bevételek - a 20. olimpiától kezdve - az egymás utáni nyári olimpiákon egy számtani sorozat egymást követő tagjait alkotják.
Marci szerint ugyanezek a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A saját modelljük alapján mindketten kiszámolják, hogy mennyi lehetett a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel a 27. nyári olimpián. Ezután megkeresik a tényleges adatot, amely egy internetes honlap szerint 1383 (millió dollár).
c) Számítsa ki, hogy Eszter vagy Marci becslése tér el kisebb mértékben a 27. nyári olimpia tényleges adatától!
Teendők:
1. Eszter sorozata számtani sorozat. d = ?
2. Eszter becslése a sorozat nyolcadik tagjára!
3. Marci sorozata egy mértani sorozat. q = ?
4. Marci becslése a sorozat nyolcadik tagjára!
5. Eltérések!
6. Megoldásközlés!
1. Eszter sorozata számtani sorozat. d = ?
2. Eszter becslése a sorozat nyolcadik tagjára!
3. Marci sorozata egy mértani sorozat. q = ?
4. Marci becslése a sorozat nyolcadik tagjára!
5. Eltérések!
6. Megoldásközlés!
D. Csak mértani szöveges feladatok
12.(07.10.17.)
Szabó nagymama sálat kötött egyetlen lányunokájának.
Az első napon 8 cm készült el a sálból, és a nagymama elhatározta, hogy a további napokon minden nap 20 százalékkal többet köt meg, mint az előző napon. Ezt az elhatározását tartani tudta.
c) Hány nap alatt készült-el a 2 méter hosszúra tervezett sál?
c) Hány nap alatt készült-el a 2 méter hosszúra tervezett sál?
15. (12.10.16.)
A mobiltársaság Telint néven új mobilinternet csomagot vezet be a piacra január elsején. Januárban 10 000 új előfizetőt várnak, majd ezután minden hónapban az előző havinál 7,5%-kal több új előfizetőre számítanak. Abban a hónapban, amikor az adott havi új előfizetők száma eléri a 20000-et, a társaság változtatni szeretne a Telint csomag árán.
b) Számítsa ki, hogy a tervek alapján melyik hónapban éri el a Telint csomag egyhavi új előfizetőinek a száma a 20 000-et!
b) Számítsa ki, hogy a tervek alapján melyik hónapban éri el a Telint csomag egyhavi új előfizetőinek a száma a 20 000-et!
18. (17.10.16.)
A mobiltelefonok 1990 végén jelentek meg Magyarországon. Az előfizetések száma gyorsan nőtt: 2002 végén már kb. 7 millió, 2008 végén pedig kb. 12 millió előfizetés volt az országban.
a)Hány százalékkal nőtt a mobiltelefon előfizetések száma 2002 végétől 2008 végéig?
a)Hány százalékkal nőtt a mobiltelefon előfizetések száma 2002 végétől 2008 végéig?
1993 és 2001 között az egyes évek végén nyilvántartott mobiltelefon-előfizetések számát – ezer darabban – jó közelítéssel a következő függvény adja meg:
f(x)=51⋅1,667n, ahol x az 1992 vége óta eltelt évek számát jelöli.
b) A függvény alapján hány mobiltelefon-előfizető lehetett 2000 végén?
f(x)=51⋅1,667n, ahol x az 1992 vége óta eltelt évek számát jelöli.
b) A függvény alapján hány mobiltelefon-előfizető lehetett 2000 végén?
A kezdeti időszakban a mobilhálózatból indított hívások száma is gyors növekedést mutatott. 1991 januárjában Magyarországon körülbelül 350 000 mobilhívást indítottak, majd ettől a hónaptól kezdve minden hónapban megközelítőleg 6,5%-kal nőtt a hívások száma az előző havi hívások számához viszonyítva (egészen 2002-ig).
c) Melyik évben volt az a hónap, amelyben az egy havi mobilhívások száma először elérte a 100 milliót?
c) Melyik évben volt az a hónap, amelyben az egy havi mobilhívások száma először elérte a 100 milliót?
A mobiltelefonok elterjedése egy idő után a vezetékestelefon-előfizetések és hívások számának csökkenését eredményezte. A vezetékestelefon-hálózatból indított hívások száma Magyarországon 2000-ben kb. 4200 millió volt, majd ez a szám évről évre kb. 8%-kal csökkent.
d) Hány hívást indítottak vezetékes hálózatból 2009-ben, és összesen hány vezetékes hívás volt a 2000 elejétől 2009 végéig terjedő tízéves időszakban?
d) Hány hívást indítottak vezetékes hálózatból 2009-ben, és összesen hány vezetékes hívás volt a 2000 elejétől 2009 végéig terjedő tízéves időszakban?
13. (10.5.17.)
Statisztikai adatok szerint az 1997-es év utáni években 2003-mal bezárólag a világon évente átlagosan 1,1%-kal több autót gyártottak, mint a megelőző évben.
A 2003-at követő években, egészen 2007-tel bezárólag évente átlagosan már 5,4%-kal gyártottak többet, mint a megelőző évben. 2003-ban összesen 41,9 millió autó készült.
a) Hány autót gyártottak a világon 2007-ben?
a) Hány autót gyártottak a világon 2007-ben?
b) Hány autót gyártottak a világon 1997-ben? Válaszait százezerre kerekítve adja meg!
2008-ban az előző évhez képest csökkent a gyártott autók száma, ekkor a világon összesen 48,8 millió új autó hagyta el a gyárakat. 2008-ban előrejelzés készült a következő 5 évre vonatkozóan. Eszerint 2013-ban 38 millió autót fognak gyártani. Az előrejelzés úgy számolt, hogy minden évben az előző évinek ugyanakkora százalékával csökken a termelés.
c) Hány százalékkal csökken az előrejelzés szerint az évenkénti termelés a 2008-at követő 5 év során? Az eredményt egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!
c) Hány százalékkal csökken az előrejelzés szerint az évenkénti termelés a 2008-at követő 5 év során? Az eredményt egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!
d) Elfogadjuk az előrejelzés adatát, majd azt feltételezzük, hogy 2013 után évente 3%-kal csökken a gyártott autók száma.
Melyik évben lesz így az abban az évben gyártott autók száma a 2013-ban gyártottaknak a 76%-a?
Melyik évben lesz így az abban az évben gyártott autók száma a 2013-ban gyártottaknak a 76%-a?
Kamtos kamatszámítás:
26.(11.05.14.)
Egy autó ára újonnan 2 millió 152 ezer forint, a megvásárlása után öt évvel ennek
az autónak az értéke 900 ezer forint.
a) A megvásárolt autó tulajdonosának a vezetési biztonságát a vásárláskor 90 ponttal jellemezhetjük. Ez a vezetési biztonság évente az előző évinek 6 %-ával nő.
Hány pontos lesz 5 év elteltével az autótulajdonos vezetési biztonsága? Válaszát egész pontra kerekítve adja meg!
a) A megvásárolt autó tulajdonosának a vezetési biztonságát a vásárláskor 90 ponttal jellemezhetjük. Ez a vezetési biztonság évente az előző évinek 6 %-ával nő.
Hány pontos lesz 5 év elteltével az autótulajdonos vezetési biztonsága? Válaszát egész pontra kerekítve adja meg!
Teendők:
1. Alkalmazzuk a Záróérték = Kezdőérték*( 1 + %/100)évekszáma!
2. Megoldásközlés.
1. Alkalmazzuk a Záróérték = Kezdőérték*( 1 + %/100)évekszáma!
2. Megoldásközlés.
b) Az első öt év során ennek az autónak az értéke minden évben az előző évi értékének
ugyanannyi százalékával csökken. Hány százalék ez az éves csökkenés?
Válaszát egész százalékra kerekítve adja meg!
Válaszát egész százalékra kerekítve adja meg!
Teendők:
1. Alkalmazzuk a Záróérték = Kezdőérték*( 1 - értékcsökkenés%/100)évekszáma!
2. Osszunk a kezdőértékkel!
3. Vonjunk sokadik gyököt!
4. Oldjuk meg az egyenletet!
1. Alkalmazzuk a Záróérték = Kezdőérték*( 1 - értékcsökkenés%/100)évekszáma!
2. Osszunk a kezdőértékkel!
3. Vonjunk sokadik gyököt!
4. Oldjuk meg az egyenletet!
25. (08.10.15.)
Csilla és Csongor ikrek, és születésükkor mindkettőjük részére takarékkönyvet nyitottak
a nagyszülők. 18 éves korukig egyikőjük számlájáról sem vettek fel pénzt.
Csilla számlájára a születésekor 500 000 Ft-ot helyeztek el. Ez az összeg évi 8%-kal kamatozik.
a) Legfeljebb mekkora összeget vehet fel Csilla a 18. születésnapján a számlájáról, ha a kamat mindvégig 8%? (A pénzt forintra kerekített értékben fizeti ki a bank.)
Csilla számlájára a születésekor 500 000 Ft-ot helyeztek el. Ez az összeg évi 8%-kal kamatozik.
a) Legfeljebb mekkora összeget vehet fel Csilla a 18. születésnapján a számlájáról, ha a kamat mindvégig 8%? (A pénzt forintra kerekített értékben fizeti ki a bank.)
Teendők:
1. Használjuk a Zá képletet!
1. Használjuk a Zá képletet!
Csongor számlájára a születésekor 400 000 Ft-ot helyeztek el. Ez az összeg félévente
kamatozik, mindig azonos kamatlábbal.
b) Mekkora ez a félévenkénti kamatláb, ha tudjuk, hogy Csongor a számlájáról a 18. születésnapján 2 millió forintot vehet fel? (A kamatláb mindvégig állandó.) A kamatlábat két tizedesjegyre kerekítve adja meg!
b) Mekkora ez a félévenkénti kamatláb, ha tudjuk, hogy Csongor a számlájáról a 18. születésnapján 2 millió forintot vehet fel? (A kamatláb mindvégig állandó.) A kamatlábat két tizedesjegyre kerekítve adja meg!
Teendők:
1. Használjuk a Zárótőke=Kezdőtőke*(1+%/100)^(időszakokszáma) képletet!
2. Osszunk a kezdőtőkével!
3. Vonjunk sokadik gyököt!
4. Eredmény közlése!
1. Használjuk a Zárótőke=Kezdőtőke*(1+%/100)^(időszakokszáma) képletet!
2. Osszunk a kezdőtőkével!
3. Vonjunk sokadik gyököt!
4. Eredmény közlése!
16. (13.10.16.)
Ideális laboratóriumi körülmények között a kólibaktériumok gyorsan és folyamatosan osztódnak, számuk 15 percenként megduplázódik. Egy tápoldat kezdetben megközelítőleg 3 millió kólibaktériumot tartalmaz.
b)Hány baktérium lesz a tápoldatban 1,5 óra elteltével?
A baktériumok számát a tápoldatban t perc elteltével a B(t)=3000000*2^(t/15) összefüggés adja meg.
b)Hány baktérium lesz a tápoldatban 1,5 óra elteltével?
A baktériumok számát a tápoldatban t perc elteltével a B(t)=3000000*2^(t/15) összefüggés adja meg.
c) Hány perc alatt éri el a kólibaktériumok száma a tápoldatban a 600 milliót? Válaszát egészre kerekítve adja meg!